2020选择填空专题答案
专题复习一：选择题与填空题的基本解法参考答案
一、选择题:例1．[解析] 解法一：由题意得????? a 4＋a 7＝a 1q 3
＋a 1q 6
＝2，
a 5a 6＝a 1q 4·a 1q 5＝a 21q 9
＝－8，
∴????? q 3
＝－2，
a 1＝1
或????? q 3＝－12，
a 1＝8.
∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9
)＝－7.
解法二：由???
??
a 4＋a 7＝2，
a 5a 6＝a 4a 7＝－8解得?
??
??
a 4＝－2，
a 7＝4或?
??
??
a 4＝4，
a 7＝－2.
∴?
??
??
q 3
＝－2，
a 1＝1或?????
q 3＝－12，
a 1＝－8.
∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9
)＝－7.选)(D .
例2．解：由f (x ＋2)＝－f (x )得f ＝－f ＝f ＝－f ＝f (－，由f (x )是奇函数，得f (－
＝－f ＝－，所以选B .
也可由f (x ＋2)＝－f (x )，得到周期T ＝4，所以f ＝f (－＝－f ＝－.
例3．[解析] 由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a ,又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝
2ab
a 2＋b
2
＝a ，解得a ＝3b ，∴b
a
＝13
，
∴e ＝c a ＝a 2－b 2
a
＝
1－
b
a
2
＝1－
13
2
＝
6
3
.选A ） 例4．（提示：∵,(0,
)2
π
αβ∈，∴4
2
2
π
β
π
α-
<-
<
，∴2
6
6
β
π
π
α-
=
-
或；同理
2
6
α
π
β-=-
，∴0αβ+=（舍）或2
3
αβπ+=
，所以选B ） 例5【解析】(把
y
x
看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案 ，选A 。） 例6【解析】事实上不难看出，曲线方程
[]214(2,2)y x x =-∈-的图象为
22(1)4(22,13)x y x y +-=-≤≤≤≤，表示以（1，0）为圆心，2为半径的上半圆，如图。
直线(2)4y k x =-+过定点（2，4），那么斜率的范围就清楚了，选D
例7解：令x y x
y sin ,100
==
，这两个方程的曲线交点的个数就是原方程实数解的个数.由于直线x y 1001=的斜率为100
1，又.1sin 1≤≤-x 所以仅当100100≤≤-x 时，两图象有交点.由函数x y sin =的周期性，把闭区间[]100,100-分
成
()[]()[][].
100,152,12,2,1162,100ππππ?++--k k ,,14,15( --=k ),
14,,2,1,0,1,2 --共32个区间，在每个区间上，两图象都有两个交点，注意到原点多计一次，故实际交点有63个.即原方程有63个实数解.故选)(C
例8【解析】()f x
即可得出结论，如下左图知选B ）
例9解：E 为抛物线2x y =的内部（包括周界）
，F 为动圆()12
2=-+a y x 的内部（包括周界）.该题的几何意义是a 为何值时，动圆进入区域E ，并被E 所覆盖.（图略）a 是动圆圆心的纵坐标，显然结论应是()+∈≥R c c a ，故可排除
()()D B ,，而当1=a 时，.F F E ≠ （可验证点()1,0到抛物线上点的最小距离为
2
3
）.选()A . 例10．B 解：取直线），）（，的坐标可得分别为（则4400,,:N M x y l = 故故垂直平分线为），
中点为（线段,22,5||||MN P x x NF MF n N M =++=+= 22,4,4:=-==+'n a a y x l 则故
例11．（提示：特殊化处理，不妨设三棱锥S-ABC 是棱长为3的正三棱锥，K 是FC 的中点，12,V V 12,V V 分别表示上下两部分的体积
则
328()327
S DEF S ABC V V --==，12844
278423V V -∴==-+，选C ）
例12．（提示：特殊化处理，不妨设△ABC 为直角三角形，则圆心O 在斜边中点处，此时有OH OA OB OC =++，1m =，选B 。）
例13．解：[解析] 由题意知m 2
－1＝n 2
＋1，即m 2
＝n 2
＋2，(e 1e 2)2
＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝? ?
?
?
?1－1m 2? ??
??1＋1n 2，因为m 2＝n 2＋2，m >1，n >0，所以m >n ，(e 1e 2)2>1，所以e 1e 2>1.选（A ）
例14．解：[解析] 将P 、Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有VC －AA 1B ＝VA 1－ABC ＝
VABC －A 1B 1C 1
3
.故选B ．
例15．解：当30o αβ==时,可排除A 、B 选项,当15o
αβ==时代入C 选项中,即：
0cos302sin15o
o
<<
两边平方234sin 154
o
<1cos304230.2682o -=?
=-≈矛盾故选D
例16．解：C A m l m l ,)1(////,,是假命题，故可排除推不出∴??βαβα ②也是假命题。故选择D
例17．解：∵ 2－ax 是在[0，1]上是减函数，所以a >1，排除答案A 、C ；若a ＝2，由
2－ax >0得x ＜1，这与x ∈[0，1]不符合，排除答案D .所以选B .
例18．解：我们可以简单的代入数据m=4及m=2，容易检验这两个数都是符合条件的，所以正确选项为B 。
例19．（提示：若选A 或B ，则周期为2π，与图象所示周期不符；若选D ，则与 “按向量a =(,0)6
π
-
平移” 不符，选C 。此题属于容易题）
例20．[解析] 因为函数y ＝f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，且满足f (x )＋f (－x )＝0，所以f (x )为奇函数，故排除C 、D ，又f (e)＝1－e ＋1<0，所以(e ，f (e ))在第四象限，排除B ，选A ．
例21．解：（代入法）f (x ＋
π2)＝sin[π3－2(x ＋π2)]＋sin[2(x ＋π
2
)]＝－f (x )，而 f (x ＋π)＝sin[
π
3
－2(x ＋π)]＋sin[2(x ＋π)]＝f (x ).所以应选B ； 另解：（直接法）y ＝
32cos2x －12sin2x ＋sin2x ＝sin(2x ＋π
3
)，T ＝π，选B . 例22．解：（代入法）把选择支逐次代入，当x ＝－
2π时，y ＝－1，可见x ＝－2
π
是对称轴，又因为统一前提规定“只有一项是符合要求的”，故选A .
另解：（直接法） ∵函数y ＝sin （2x ＋
25π）的图象的对称轴方程为2x ＋2
5π
＝k π＋2
π
，即 x ＝2π
k －π，当k ＝1时，x ＝－2
π，选A .
例23．[解析] 构造函数g (x )＝
f x
e
x
，则g ′(x )＝
f ′x e x －e x ′f x
e
x
2
＝
f ′x －f x
e
x
，
因为?x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，并且e x
>0，所以g ′(x )<0，故函数g (x )＝
f x
e
x
在
R 上单调递减，所以g (－2 018)>g (0)，g (2 018) e －2 018 >f (0)， f 2 018 e 2 018 也就是e 2 018 f (－2 018)>f (0)，f (2 018) 二、填空题:例1. [解析] 在△ABC 中，因为3sin A ＝2sin B ．由正弦定理可知3a ＝2b ， 因为a ＝2，所以b ＝3.由余弦定理可知 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×? ?? ??－14＝16，所以c ＝4. 例2. [解析] 因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x ＝－x 3＋2x －e x ＋1e x ＝－f (x )． 所以f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x 是奇函数，因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2 )≤－f (a －1)，即f (2a 2 )≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2 －2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2 ≥0，所以f (x )在R 上单调递增，所以2a 2≤1－a ，即2a 2 ＋a －1≤0，所以－1≤a ≤12 . 例3.解：.)2(,)4()2(j m mi b a j m i m b a +-=--++=+∵)()(b a b a -⊥+，∴ 0)()(=-?+b a b a ∴0)4)(2()]4()2([)2(222=-+-?-++-++j m m j i m m m j m m ， 而i ，j 为互相垂直的单位向量，故可得,0)4)(2()2(=-+-+m m m m ∴2-=m 。 例 4.解：2 2121)(+-+ =++= x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，221)(+-=x a x g 在),2(+∞-上为增函数，∴021<-a ，∴2 1 >a 。 例5解：特殊化：令5,4,3===c b a ，则△ABC 为直角三角形， 4cos ,cos 05A C = =，从而所求值为45 。 例6.分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k 的直线与抛物线均有两个交点P 、Q ，当k 变化时PF 、FQ 的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF 、FQ 不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。 解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为),41 , 0(a 把直线方程a y 41=代入抛物线方程得 a x 21± ，∴a FQ PF 21 ||||==，从而a q p 411=+。 例7.解： 由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的对称轴是x=2。可取特殊函数 f(x)=(x-2)2,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。∴f(2) 例 8.解析：考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨令： a b b a ===421 2，，则l o g ，l o g l o g l o g l o g l o g b a b a b a b a b b b a ==<<21 3 ，，所以 例9.解析：设P(x ，y)，则当∠=?F P F 12 90时，点P 的轨迹为x y 22 5+=，由此可得点P 的横坐标x =±3 5 。又当P 在x 轴上时，∠=F P F 120，点P 在y 轴上时，∠F P F 12 为钝角，由此可得点P 横坐标的取值范围是：- << 35535 5 x ； 例10.解：考虑到a 1,a 3,a 9的下标成等比数列，故可令a n =n ，又易知它满足题设条件，于是 10 42931a a a a a a ++++=1613 。 例 11.解： 容易发现当△ABC 是一个等边三角形时，满足 (sin sin )() sin sin A C a c A B b -+=-，而此时C ＝60°，故角C 的大小为60°. 例12.解：根据不等式解集的几何意义，作函数24x x y -= 和 函数x a y )1(-=的图象（如图），从图上容易得出实数a 的取值范围是[)+∞∈,2a 。 例13.解：画出函数ｙ＝｜ｌｏｇ2｜ｘ－1｜｜的图象，可采用下面的方法进行． 222 log (1)(1) log 1log (1)(1) x x x x x ->?-=?- 1｜的图象，此图象关于直线x ＝1对称，再将这个图象位于x 轴下方的部分翻折到x 轴上 方去（如图9-17所示），即得 ｙ＝｜ｌｏｇ２｜ｘ－1｜｜的图象．由图象可知，原函数的单调减区间为（－∞，0］与（1，2］ 例14.解： 令y 1=21x -,y 2=k(x-2),由图可知k AB 33,∴-3 3 例15.解析 如图所示，易知抛物线y ＝x 2 －2x ＋m 与y ＝x 2 －2x ＋n 有相同的对称轴x ＝1，它们 与x 轴的四个交点依次为A 、B 、C 、D .因为14A x = 则7 4 D x =.又|AB |＝|BC |＝|CD |，所以35 ,44 B C x x == 故17351 44442 m n -= ?-?= 例16. [解析] 作出函数f(x)的图象，根据图象观察出函数f(x)的图象与函数y1＝a|x|的图象交点的情况，然后利用判别式等知识求解．画出函数f(x)的图象如图所示． 函数y ＝f(x)－a|x|有4个零点，即函数y1＝a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a>0)． 当a ＝2时，函数f(x)的图象与函数y1＝a|x|的图象有3个交点．故a<2. 当y ＝a|x|(x≤0)与y ＝|x2＋5x ＋4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y1＝a|x| 的图象有5个交点，此时，由??? ?? y ＝－ax ，y ＝－x2－5x －4 得x2＋(5－a)x ＋4＝0. 当Δ＝0得(5－a)2－16＝0，解得a ＝1或a ＝9(舍去)，则当1 例17．.解：设t x =，则原不等式可转化为： , 023 2<+ -t at ∴a > 0，且2与 )4(>b b 是方程 0232=+ -t at 的两根，由此可得：36,81 ==b a 。 例18. 解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆 42)(22+=+-a y a x ，∴31≤≤-a 。 例19. [解析] 如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝ 22＋ 2 2＋ 2 2＝2R ， 所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR33 ＝6π. 例 20. [解析] 设 g(x)＝ f x x ，则 g′(x)＝xf ′x －f x x2 ，又因为f(x)>xf ′(x)，所以g′(x)＝ xf ′ x －f x x2 <0在(0， ＋∞)上恒成立，所以函数g(x)＝ f x x 为(0，＋∞)上的减函数，又因为x2f(1 x )－f(x)>0 ? f 1x 1x > f x x ?g(1x )>g(x)，则有1 x