参数方程化普通方程
1.参数方程????
?x =cos 2
θy =sin 2
θ
,(θ为参数)表示的曲线是( ) A .直线 B .圆 C .线段
D .射线
解析:选=cos 2θ∈[0,1],y =sin 2θ∈[0,1],∴x +y =1,(x ,y ∈[0,1])为线段.
2.(1)参数方程?
????x =2t
y =t (t 为参数)化为普通方程为
____________.
(2)参数方程?
????x =1+cos θ
y =1-sin θ,(θ为参数)化为普通方程为
____________.
解析:(1)把t =12x 代入y =t 得y =1
2
x .
(2)参数方程变形为?
????x -1=cos θ,
y -1=-sin θ,两式平方相加,得(x
-1)2+(y -1)2=1.
答案:(1)y =1
2
x (2)(x -1)2+(y -1)2=1
3.曲线C :?????x =12t
y =t
2
,(t 为参数)的形状为____________.
解析:因为t =2x ,代入y =t 2
,得y =4x 2
,即x 2
=1
4
y ,所
以曲线C 为抛物线.
答案:抛物线
4.将下列参数方程化为普通方程:
(1)?????x =t +1
y =1-2t ,(t 为参数);
(2)?
????x =5cos θy =4sin θ-1,(θ为参数);
(3)?????x =1+3
2t y =2-1
2
t ,(t 为参数);
(4)?????x =
2t 1+t 2
y =1-t 21+t
2
,(t 为参数).
[解] (1)由x =t +1≥1,有t =x -1, 代入y =1-2t , 得y =-2x +3(x ≥1).
(2)由?????x =5cos θ
y =4sin θ-1
得
?????cos θ=x
5sin θ=y +14
, ①
②
①2+②2得x 2
25+(y +1)
2
16
=1.
(3)由?????x =1+32t y =2-12t 得?
???
?x -1=32
t y -2=-12
t
, ①
②
②÷①得y -2x -1=-33,∴y -2=-3
3
(x -1)(x ≠1)
∴3x +3y -6-3=0,
又当t =0时x =1,y =2也适合,故普通方程为3x +3y -6-3=0.
(4)由?
????x =
2t 1+t 2
y =1-t 21+t 2得?
????x 2=
4t
2(1+t 2)2y 2
=1+t 4-2t 2(1+t 2)2
, ①
② ①+②得x 2+y 2=1.
5.参数方程?????x =2+sin 2
θ
y =-1+cos 2θ
,(θ为参数)化为普通方程是
( )
A .2x -y +4=0
B .2x +y -4=0
C .2x -y +4=0,x ∈[2,3]
D .2x +y -4=0,x ∈[2,3]
解析:选 D.由x =2+sin 2θ,则x ∈[2,3],sin 2θ=x -2,y =-1+1-2sin 2θ=-2sin 2θ=-2x +4,即2x +y -4=
0,故化为普通方程为2x +y -4=0,x ∈[2,3].
6.把参数方程?
????x =sin θ-cos θ
y =sin 2θ,(θ为参数)化成普通方程
是____________.
解析:将x =sin θ-cos θ两边平方得x 2=1-sin 2θ, 即sin 2θ=1-x 2,代入y =sin 2θ,得y =-x 2+1.
又x =sin θ-cos θ=2sin ?
????
θ-π4,∴-2≤x ≤2,
故普通方程为y =-x 2+1(-2≤x ≤2). 答案:y =-x 2+1(-2≤x ≤2)
7.已知曲线C 1:?
????x =-4+cos t
y =3+sin t ,(t 为参数),C 2:
?????x =8cos θ
y =3sin θ.
,(θ为参数). (1)化C 1,C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线
(2)若C 1上的点P 对应的参数t =π
2
,Q 为C 2上的动点,求
PQ 中点M
到直线C 3:?
????x =3+2t ,
y =-2+t (t 为参数)距离的最小值及此
时Q 点坐标.
[解] (1)由C 1:?????x =-4+cos t
y =3+sin t ,(t 为参数),
则?????cos t =x +4,
sin t =y -3,
由sin 2t +cos 2t =1得(x +4)2+(y -3)2=1,即曲线C 1的普通方程.C 1表示的是圆心为(-4,3),半径为1的圆.2分
由C 2:?????x =8cos θ,
y =3sin θ.
(θ为参数),
则?????cos θ=x
8,
sin θ=y
3,
由
cos 2θ+sin 2θ=1得
x 2
64
+y 2
9
=1,即曲
线C 2的普通方程.C 2表示的是中心在坐标原点,焦点在x 轴上,长半轴长为8,短半轴长为3的椭圆.5分
(2)当t =π
2
时,P (-4,4),Q (8cos θ,3sin θ),
故M ? ??
??-2+4cos θ,2+3
2sin θ,6分
C 3为直线x -2y -7=分
则点M 到直线C 3的距离d =55|4cos θ-3sin θ-13|=
5
5|5cos(θ+φ)-13|,9分
从而当cos φ=45,sin φ=35时,d 取得最小值85
5.
11分
此时,Q 点的坐标为? ????
325
,-95.12分
8.(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为?
????x =3+1
2
t ,
y =32
t
(t 为参数).以原点为极点,x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ=23sin θ.
(1)写出⊙C 的直角坐标方程;
(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求
P 的直角坐标.
解:(1)由ρ=23sin θ,得ρ2=23ρsin θ, 从而有x 2+y 2=23y ,所以x 2+(y -3)2=3.
(2)设P ?
??
???3+12t ,32t ,又C (0,3), 则|PC |= ? ????3+12t 2+? ??
???32t -32=t 2+12,
故当t =0时,|PC |取得最小值, 此时,点P 的直角坐标为(3,0).
9.已知曲线C 1的参数方程为?????x =4+5cos t ,
y =5+5sin t
(t 为参数),以坐
标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
解:(1)将?
????x =4+5cos t ,
y =5+5sin t 消去参数
t ,化为普通方程(x -
4)2+(y -5)2=25,即C 1:x 2+y 2-8x -10y +16=0.
将?
????x =ρcos θ,y =ρsin θ代入x 2+y 2-8x -10y +16=0得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
所以C 1的极坐标方程为ρ2
-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
(2)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y =0.
由?????x 2+y 2-8x -10y +16=0,x 2+y 2
-2y =0,解得?????x =1y =1或?????x =0,y =2.
所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2,
π4),(2,π2
). 10.化参数方程?????x =t +1
t
y =t -1
t
(t 为参数)为普通方程,并求出该曲线
上一点P ,使它到y =2x +1的距离为最小,并求此最小距离.
解:化参数方程为普通方程为x 2-y 2=4.
设P (t +1t ,t -1
t
),则点P 到直线2x -y +1=0的距离
d =|t +3
t
+1|
5
.
(1)当t >0时,d ≥23+1
5.
(2)当t <0时,∵-t -3
t
≥23,
∴t +3
t
+1≤-23+1.
∴|t +3t +1|≥23-1,∴d ≥23-1
5.
∵23+15>23-15
,
∴d 的最小值为23-15,即215-5
5,
此时点P 的坐标为(-433,-2
3
3).