轴向拉伸与压缩习题及解答

轴向拉伸与压缩习题及解

答

Prepared on 22 November 2020

轴向拉伸与压缩习题及解答

一、判断改错

1、构件内力的大小不但与外力大小有关，还与材料的截面形状有关。 答：错。 静定构件内力的大小之与外力的大小有关，与材料的截面无关。

2、杆件的某横截面上，若各点的正应力均为零，则该截面上的轴力为零。 答：对。

3、两根材料、长度都相同的等直柱子，一根的横截面积为1A ，另一根为2A ，且21A A >。如图所示。两杆都受自重作用。则两杆最大压应力相等，最大压缩量也相等。

答：对。 自重作用时，最大压应力在两杆底端，即max max N Al

l A A

νσν=

== 也就是说，最大应力与面积无关，只与杆长有关。所以两者的最大压应力相等。

最大压缩量为 2

max max

22N Al l l l A EA E

νν??===

即最大压缩量与面积无关，只与杆长有关。所以两杆的最大压缩量也相等。

A 1

(a) (b)

4、受集中力轴向拉伸的等直杆，在变形中任意两个横截面一定保持平行。所以宗乡纤维的伸长量都相等，从而在横截面上的内力是均匀分布的。 答：错 。在变形中，离开荷载作用处较远的两个横截面才保持平行，在荷载作用处，横截面不再保持平面，纵向纤维伸长不相等，应力分布复杂，不是均匀分布的。

5、若受力物体内某电测得x 和y 方向都有线应变x ε和y ε，则x 和y 方向肯定有正应力x σ和y σ。

答：错， 不一定。由于横向效应作用，轴在x 方向受拉（压），则有x σ；y 方向不受力，但横向效应使y 方向产生线应变，y x εενε'==-。

二、填空题

1、轴向拉伸的等直杆，杆内的任一点处最大剪应力的方向与轴线成（45）

2、受轴向拉伸的等直杆，在变形后其体积将（增大）

3、低碳钢经过冷做硬化处理后，它的（比例）极限得到了明显的提高。

4、工程上通常把延伸率δ>（5%）的材料成为塑性材料。

5、 一空心圆截面直杆，其内、外径之比为，两端承受力力作用，如将内外径增加一倍，则其抗拉刚度将是原来的（4）倍。

6、两根长度及截面面积相同的等直杆，一根为钢杆，一根为铝杆，承受相同的轴向拉力，则钢杆的正应力（等于）铝杆的正应力，钢杆的伸长量（小于）铝杆的伸长量。

7、 结构受力如图（a ）所示，已知各杆的材料和横截面面积均相同，面积

2200A mm =，材料的弹性模量E=200GPa ，屈服极限280s MPa σ=，强度极限

460b MPa σ=，试填写下列空格。

当F=50kN ，各杆中的线应变分别为1ε=（46.2510-?），2ε=（0），3ε=（46.2510-?），这是节点B 的水平位移Bx δ=（43.6110m -?），竖直位移By δ=（46.2510-?m ），总位移B δ=（47.2210m -?），结构的强度储备（即安全因素）n=（）

三、选择题

1、下列结论正确的是（C ）。

A 论力学主要研究物体受力后的运动效应，但也考虑物体变形效应。

B 理论力学中的四个公理在材料力学都能应用。

C 材料力学主要研究杆件受力后的变形和破坏规律。

D 材料力学研究的为题主要是静止不动的荷载作用下的问题。

析： 理论力学的研究对象是质点、质点系和刚体，不研究变形效应，理论力学中的二力平衡公理、加减平衡力系公理及他们的力的可传性原理都适用于刚体，而不适用于变形体，所以材料力学中不能用以上公理及原理。材料力学中的荷载主要是静载，产生的加速度不会影响材料的力学性能。所以静载不是静止不动的荷载。

2、理论力学中的“力和力偶可传性原理”在下面成立的是（D ） A 在材料力学中仍然处处适用 B 在材料力学中根本不能适用 C 在材料力学中研究变形式可以适用 D 在材料力学研究平衡问题时可以适用

析：力与力偶可传性原理适用于刚体，所以在考虑变形式不适用。但在求支座反力、杆的内力时不牵涉到变形，可以应用以上两个原理。

3、下列结论中正确的是（B）

A 外力指的是作用与物体外部的力

B 自重是外力

C 支座约束反力不属于外力

D 惯性力不属于外力

析：外力指的是物体以外的其他物体对它的作用力，外力可以作用在物体内、外部。自重是物体受地球的引力，属于外力。惯性力也属于外力。

4、下列结论中正确的是（A）

A 影响材料强度的是正应力和切应力的大小。

B 影响材料强度的是内力的大小。

C 同一截面上的正应力必是均匀分布的。

D 同一截面上的剪应力必定是均匀分布的。

5、下列结论中正确的是（B）

A 一个质点的位移可以分为线位移和角位移

B 一个质点可以有线位移，但没有角位移。

C 一根线或一个面元素可以有角位移但没线位移

D 一根线或一个面元素可以有线位移但没角位移

6、空心圆截面杆受轴向拉伸时，下列结论正确的是（B）

A 外径和壁厚都增大

B 外径和壁厚都减小

C 外径减小、壁厚增大

D 外径增大、壁厚减小

析：设原管的外径为D ，内径为d ，则壁厚t=(D-d)/2。轴向拉伸后，外径为

D D D ν'=-，内径为d d d ν'=-，其中ν为泊松比。壁厚

()()(1)222

D d D D d d D d

t ννν''-----'=

==-= (1)t t ν-< 7、设低碳钢拉伸试件工作段的初始横截面面积为0A ，试件被拉断后端口的最小横截面面积为1A ，试件断裂后所能承受的最大荷载为b P 。则下列结论正确是（B ）

A 材料的强度极限1/b b P A σ=

B 材料的强度极限0/b b P A σ=

C 试件应力达到强度极限的瞬时，试件横截面面积为0A

D 试件开始断裂时，试件承受的荷载是b P 8、图示的杆件，轴的BC 段（B ）

A 有变形，无位移

B 有位移，无变形

C 既有变形，又有位移

D 既无变形也无位移

析 本题为四选一概念题。本题考查学生对于变形和位移的概念是否清楚。显然，BC 段会随着AB 段转过一定角度（扭转角），因而该段有角位移，但不发生变形。

9、一等直杆如图所示，在外力F 作用下（D ）。

A 截面a 的轴力最大

B 截面b 的轴力最大

C 截面c 的轴力最大

D 三个截面上轴力一样大

析本题考查学生关于内力的概念，根据截面法，延截面a（或b或c）将杆切开后，截面的内力（即轴力），一定和外力相平衡，构成了共线力系。三个截面上的应力分布不同，但截面上的内力系的合力是完全相同的。

10、关于材料的力学一般性能，如下结论正确的是（A）

A 脆性材料的抗拉能力低于其抗压能力

B 脆性材料的抗拉能力高于其抗压能力

C 韧性材料的抗拉能力高于其抗压能力

D 脆性材料的抗拉能力等于其抗压能力

11、低碳钢材料在拉伸实验过程中，不发生明显的塑性变形时，承受的最大应力应当小于的数值，以下四种答案中正确的是（A）

A 比例极限

B 屈服强度

C 强度极限

D 许用应力

12、低碳钢加载→卸载→再加载路径有以下四种，其中正确的是（B）

A OAB→BC→COA

B B OAB→BD→DOAB

C OAB→BAO→ODB

D OAB→BD→DB

四、简答题

1、图示悬臂梁，初始位置ABC，作用F力后变为AB C''，试问

（1）AB、BC两段是否都产生位移

（2）AB、BC两段是否都产生变形

解（1）AB 、BC 段都产生了位移，分别为BB '、CC '。 （2）只有AB 段有变形，而BC 段无。 2、指出下列概念的区别。

（1）内力、外力、和应力； （2）变形和应变 （3）变形和位移 答： （1）内力指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成；外力指的是物体以外的其他物体对它的作用力；应力指的是杆件截面上的分布内力集度。

（2）变形指物体尺寸、形状的改变；应变指单位长度物体的变形。 （3）变形指物体尺寸、形状的改变；而位移指物体上同一点前后位置的距离，为矢量。 五、计算题

1、图示矩形薄板，未变形前长为1l ，宽为2l ，变形后长和宽分别增加了

1l ?、2l ?，求其沿对角线AB 的线应变。

解：变形前对角线AB 长为AB l

=

变形后对角线长为A B ''

=A B l ''=所以沿对角线AB 的线应变

AB A B AB

AB AB AB l l l l l ε''?-===

2、图示（a ）和（b ）中干的材料相同，横截面积1A =

2

2

A ，杆的长度12L L =，荷载12F F =，1C 点和2C 点的铅锤方向位移分别为1?和2?，则1?和2?的大小关

解 图(a)中两杆的内力相同均为1N F =

两根杆的各自伸长量为11

1

N F L l EA ?=

1C '

1C

60

60

1C

点的位移可根据如图几何关系得到111

1

23C F L l EA ?=

==

2C 点的位移为2

2211

21

2C F L F L EA EA ?=

= 因此12C C ?>?

3、构件极受力如图所示，已知1220,55,10/,1F kN F kN q kN m a m ====，画出构件的轴力图 。

解：如图所示，以向下为正y 方向。

则当0y a ≤≤时，1N F F =-=20kN -（为压力）

当2a y a <≤时，[]1()N F F q y a =-+-=(1010)y kN -+（为压力） 当23a y a <≤时，21()25N F F F qa kN =-+=（为拉力） 轴力图如图所示。

4、求图示阶梯状直杆各横截面上的应力，并求杆的总伸长。材料的弹性模量E=200GPa 。横截面面积21200A mm =，22300A mm =，23400A mm =。

25kN

30kN

20kN

解：CD 段 320N F kN =（压）

33396

3201010.000250.252001040010

N CD F l l m mm EA -???====??? CB 段 210N F kN =（压）

32296

21010 1.50.000250.252001030010

N CB F l l m mm EA -???====??? AB 段 110N F kN =

31196

110101

0.000250.252001020010

N AB F l l m mm EA -???====??? 1230.25l l l l mm ?=?-?-?=-（缩短）

5、如图所示，在杆件的斜截面m —m 上，任一点A 出的应力p=120MPa ，其方位角20θ=，是求该点处的正应力σ和切应力τ。

解： 如图所示：

sin(60)sin80118.18p p MPa σθ=+== cos(60)cos8020.84p p MPa τθ=+==

m

60

6、图示阶梯形圆截面杆AC ，承受轴向载荷1200F kN =，2100F kN =，AB 段的直径1d =40mm 。如欲使BC 与AB 段的正应力相同，求BC 段的直径 。

解 设BC 段的直径为2d ，

AB 段的轴力为1200NAB F F kN ==，应力为121

4

NAB AB AB F F

d A σπ=

= BC 段的轴力为12300NBC F F F kN =+=，应力为12

2

24

NBC BC BC

F F F d A σπ+=

= 令AB BC σσ=，则

112

22

1244

F F F d d ππ+=，得2

149.0d mm ==

7、一根直径16d mm =，长l=3m 的圆截面杆，承受轴向拉力F=30kN ，其伸长为 2.2l mm ?=。试求杆横截面上的弹性模量E 。 解： 应用和可定律求材料的弹性模量

332330103203(1610) 2.2104

N F l Fl E Pa GPa lA lA π--??=

===????? 根据轴向拉伸杆的应力公式，杆横截面上的应力为

32

32

30103

149(1610)

4

4

F

Pa MPa d

σπ

π

-??=

=

=?

8、图示AB 杆横截面面积A=22cm ，在点B ，点C 出分别作用有集中力

160F kN =，2100F kN =，材料的比例极限210p MPa σ=，屈服极限

260s MPa σ=，弹性模量

200E GPa =，受力后AB 干的总伸长为0.9mm ，求AC 、BC 段的应变。

解：BC 段轴力为1NBC F F =，1

300NBC AB BC s F F MPa A A

σσσ==

==>， 因此BC 段身长或缩短量不能根据胡可定律求得。 AB 段轴力为21NAB F F F =-，21200NAB AB AB p F F F MPa A A σσσ-====< 所以AB 段变形在线弹性范围内，0.1NAC AC AC

F l

l mm EA

?==（缩短）

()1BC AC l l l mm ?=?--?=

0.001AC

AC AC

l l ε?=

= 0.01BC

BC BC

l l ε?=

= 9、 如图所示结构中的A 点，作用着水平载荷F ，试用几何方法定型的确定出变形后点A 的位置。

解：如图所示A '即为变形后A 点的位置。

10、在如图(a)所示结构中，AB 为水平放置的刚性杆，1、2、3杆材料相同，弹性模量E=210GPa 。已知22123100,150A A mm A mm ===，20P kN =。求C 点的水平位移和铅锤位移。

解： 取水平刚性杆AB 为受力体，受力图如图（b ）所示，因为 30,0X N ==∑

20,102A P

M N kN ==

=∑ 10,102B P

M N kN ===∑

所以 34

11296

110101 4.76100.4761201010010N l l l m m mm EA --???=?===?=??? 由于12l l ?=?，故 A B y y = 又由于 30N =，所以30l ?=

这是AB 作平动。A 点连接1，3 二杆。变形后的A 点在1A 点，如图（b ）虚线所示。根据几何关系： 11AA A A l ''==? 即 1A A y x l ==?

所以 0.476C C y x l mm ==?=

析 本题中30N =是一个关键。由于30N =，所以12N N =，同时

12l l ?=?。30l ?=，造成AB 平动，AB 杆平动是本题的又一个关键。根据A 点的

变形几何图得到1A A y x l ==?。由于AB 平动，AB 上各点位移都相同 ，所以

0.476C C y x l mm ==?=。

11、 横截面面积为A ，单位长度重量为q 的无限长弹性杆，自由地放在摩擦系数为f 的粗糙水平地面上，如图（a ）所示，试求欲使该杆端点产生位移δ十所需的轴向力P 。弹性模量E 为已知。

解 此时弹性杆的受力图如图（b ）所示。弹性杆因为无限长，所以只有伸长部分有滑动摩擦力，不伸长部分没有摩擦力。设伸长部分长度为l ，单位长度摩擦力q f qf =。伸长段内x 截面处的轴力为 ()N x P qfx =- 平衡方程 ：0,0X qfl P =-=∑ 所以 p l qf

=

dx 微段的伸长量为()()N x dx

d l EA

?= l 长度伸长了δ，所以

22

00()/2()2l

l

P qfx dx P qfl P l d l EA EA qfEA

δ--?==?===??

(a)

即

P =

析 轴向拉伸的杆件，只要截面上有轴力，其相邻微段上就有伸长量，所以只有轴力为零时，才不伸长。伸长所引起的摩擦是滑动摩擦，单位长度摩擦力q f qf =。同时伸长段的轴力是x 的一次式，而不是常数。所以应先求dx 微段的伸长，然后积分求出伸长段的伸长量，最后解出拉力P 值。

12、已知混凝土的容重γ=322/kN m ，许用压应力[]2MPa σ=。试按强度条件确定图示混凝土柱所需的横截面面积1A 和2A 。混凝土的弹性模量E=20GPa 。

并求柱顶A 的位移。

解 如右图，AC 段：1N F P A x γ=+ max 11(1000240)N F P Al A kN γ=+=+ []max max 11

1000

264()N F kPa A A σσ==+≤ 得 210.58A m ≥ BC 段：

max 12N F P Al A l γγ=++max 122(1000152.1264)N F P Al A l A kN γγ=++=++

[]max max 22

1152.1(264)N F kPa A A σσ=

=+≤ 得 220.66A m ≥

3B

(c)

4B

1B

α

B α 13、图示一简单托架，B

C 杆为圆钢，横截面直径d=20mm ，B

D 杆为8号槽钢，两杆的弹性模量

E 均为20GPa ，试求托架B 点的位移。设F=50kN 。

解 B 点在力F 作用下产生位移，是由于BC 杆，BD 杆的变形引起的。F 力作用后，两杆均有轴力产生，使其伸长或缩短，而B 、C 、D 点均为铰链。变形后的结构C 、D 点不动，B 点在加载过程中将绕C 点和D 点转动到新的节点位置。即，将节点B 假象拆开，变形后为BC 为2B C ，BD 为1B D ，两杆分别绕点C,D 作圆弧，两弧交点为新节点，由于是小变形，一般采用用切线代替弧线的方法求变形，即分别过21B B 、点作BC 杆垂线和BD 杆垂线，用两垂线交点点B 代替新节点B '，这样一来就容易求出点B 的位移3BB 。

(1)求各杆的内力。截面法取分离体的平衡（图（b ））由平衡方程

0x

F =∑得1cos 2N N F F α= 0y

F

=∑得1sin N F F α=

解得 15

62.5()4N F F kN ==- 2

3

37.5()4

N F F kN ==+ （2）求各杆的变形。

BD 杆面积查表得242110.24810.24810A cm m -==?

2B

BC 杆面积 2

262220104

4

d A m ππ

-=

=

??

由胡克定律求得两杆的变形为

131

31194

162.5105

1.525102001010.24810N F l BB l m EA --??=?===???? 33

222296

237.5103 1.791102001031410

N F l BB l m EA --??=?===???? 1l ?为缩短变形，2l ?为伸长变形

（3）B 点位移

先用解析发求位移的两个分量，由图（c ）可看出，两个位移分量在每个杆上的投影和即为敢杆的变形，即

22BB l =?

4341sin cos BB B B l αα-=?

故322 1.79110 1.791x BB B l m mm -=?=?=?=

33124cos 1.525 1.7911035

3.2510 3.25sin 45y l l BB B m mm αα--?+????=?===?=

B

点位移3 3.71BB mm ==

14、两根不同的实心截面杆在B 出焊接在一起，弹性模量均为E=200GPa ，受力和尺寸均标在图中。试求： 1 画轴力图；

2 各段杆横截面上的工作应力；

3 杆的轴向变形总量。

解 1 假设各段轴力均为拉力 对于AB 段：水平方向上列平衡方程 0x F =∑ 1500N F -= 得150N F kN =（拉）

对于BC 段：水平方向上列平衡方程

0x F =∑ 255500N F +-= 得25N F kN =-（压） 轴力图如右图所示。 2 39126

150100.04410443810

4N AB

F Pa MPa A σπ-?===?=??（拉应力） 3926

25100.001510 1.56510

4

N BC

F Pa MPa A σπ-?===?=??（压应力） 3 333

11126

91

5010900100.198100.1983810

200104N F l

l m mm EA π---????==

=?=????

（伸长） 33

322226

92

5101220100.0092100.00926510

200104

N F l

l m mm EA π---????==

=?=????

（缩短） 120.189l l l mm ?=?-?=（伸长）

15、有甲乙丙三种材料，其拉伸应力—应变试验曲线如图所示，指出：

5kN

50kN

（1）那种材料的弹性模量E大

（2）那种材料强度高

（3）那种材料的塑性好

解：（1）弹性阶段，σ—ε直线段斜率越大，弹性模量就越小；直线段斜率越小，弹性模量就越大。因此，从图中可以看出，丙曲线的直线段的斜率最小，其弹性模量最大。

（2）σ—ε曲线对应的屈服极限越大，材料的强度就越高。从图中可以看出，甲的屈服极限最大，其强度也最高。

（3）当进入强化阶段后，ε增加相同量，σ值减小越多，材料塑性就越好，从图中可看出丙材料的塑性好一些。

16、某拉伸试验机的结构示意图如图所示，设试验机的CD杆与试件AB的材

料相同为低碳钢，其200

p MPa

σ=，240

s MPa

σ=，400

b MPa

σ=。试验机最大拉力为100kN。

（1）用这一试验机做拉断实验时，试样直径最大可达多大

（2）若设计时取试验机的安全因素为n=2，则杆的横截面面积为多少

（3）若试样直径d=10mm，今欲测弹性模量，则所加载荷最大不能超过多少