半分钟巧记三角函数符号象限
半分钟巧记三角函数符号象限
我们都知道,三角函数符号象限在整个三角函数中有很重要的地位,那如何快速准确的记忆三角函数符号象限呢!只需一个字,那就是”才”!我们都知道，三角函数的符号象限法则为：一全二正弦，三切四余弦，具体为下图：
虽然有口诀，但是很多同学还是会记不住或是记混，那现在我们就用这个字来解读一下，巧妙记住三角函数符号象限。写下这字的第一笔是“一”，为正弦的符号象限，即一二象限为正，其余象限全是负的；这个字的第二笔是“l”，为余弦的符号象限，即一四象限为正，其余象限全是负的；这个字的第三笔是“丿”，为正切的符号象限，即一三象限为正，其余象限全是负的。怎么样，同学们是不是一下子就都记住啦！哦哦，，很喜欢写”才”这个字。很好用的，我们具体做题来试一试吧！
(完整word版)特殊角三角函数值表
特殊角三角函数值表： 函数名 在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有 正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y 正弦（sin）:角α的对边比斜边余弦（cos）:角α的邻边比斜边 正切（tan）:角α的对边比邻边余切（cot）:角α的邻边比对边 特殊函数人倒数关系: tanα ?cotα=1sinα ?cscα=1cosα ?secα=1特殊函数人商数关系:tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα 特殊函数人平方关系：sinα2+cosα2=11+tanα2=secα21+cotα=cscα2 以下关系，函数名不变，符号看象限 sin（π+α）=-sinα cos（π+α）=-cosα tan（π+α）=tanα cot（π+α）=cotα sin（π－α）=sinα cos（π－α）=-cosα tan（π－α）=-tanα cot（π－α）=-cotα sin（2π－α）=-sinα cos（2π－α）=cosα tan（2π－α）=-tanα cot（2π－α）=-cotα 以下关系，奇变偶不变，符号看象限 sin（90°-α）=cosα cos（90°-α）=sinα tan（90°-α）=cotα cot（90°-α）=tanα sin（90°+α）=cosα cos（90°+α）=sinα tan（90°+α）=-cotαcot（90°+α）=-tanα 特殊三角函数人积化和差的关系： sinα ?cosβ=（1/2）*[sin（α+β）+sin（α－β）] cosα ?sinβ=（1/2）*[sin（α+β）－sin（α－β）] cosα ?cosβ=（1/2）*[cos（α+β）+cos（α－β）] sinα ?sinβ=（1/2）*[cos（α+β）－cos（α－β）] 特殊三角函数 - 和差化积公式 sinα+sinβ=2*[sin(α+β)/2]*[cos(α-β)/2] sinα-sinβ=2*[cos(α+β)/2]*[sin(α-β)/2]
同增异减 内偶则偶 内奇同外
1、同增异减： 比如函数g(x)单调递增，所以g(x)随x的增大而增大 又对于函数f(x)，若它是递减函数 那么对于复合函数f(x)=f[g(x)](这是注意g(x)又是f(x)的自变量)， 因为g(x)随x的增大而增大，又f(x)是减函数， 所以f[g(x)]随x的增大而减小，这就是所谓的同增异减。 例题： Y＝log2(X2 - 2x) 首先要使函数有意义，有：x2-2x >0, 即：(x -2)x>0,即： x >2或x <0 又y=x2 -2x的对称轴是x=1， 所以y=x2 -2x的增区间是x>2，减区间是x<0 又y=log2x为单调增函数。 故：Y＝log2(X2 - 2x)单调增区间是 x>2 Y＝log2(X2 - 2x)单调减区间是 x <0 参考:假设： （1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y 值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X。因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大。 因此可得“同增” 若复合函数为一增一减两个函数复合：假设：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小。 反之亦然，因此可得“异减”。 2、内偶则偶，内奇同外： 这说的是，如果g（x）是偶函数，f（g（x））必然是偶函数，这个很容易理解 如果g（x）是奇函数，则复合函数的奇偶性和f（x）相同，如果f（x）为奇函数则f（g （x））也是奇函数，如果f（x）是偶函数则f（g（x））也是偶函数 注意： 复合函数要考虑定义域的变化，首先要保证x在g（x）的定义域以内，又必须保证g(x)的值全部在f（x）的定义域之内
小学奥数20数的奇偶性
2.3数的奇偶性 2.3.1相关概念 整数按照能不能被2整除，可分为两类：能被2整除的自然数叫偶数，不能被2整除的自然数叫奇数。 整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因为偶数能被2整除，所以偶数可以表示为2n的形式，其中n为整数；因为奇数不能被2整除，所以奇数可以表示为2n+1的形式，其中n为整数。 每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。 2.3.2奇偶数的性质 （1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。 （2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。任意多个偶数的和（或差）是偶数。 （3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。 （4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。 （5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。奇数肯定不能被偶数整除。 （6）偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。因为（2n）2=4n2=4×n2，所以（2n）2能被4整除；因为（2n+1）2=4n2+4n+1=4×（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。 （7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。 （8）如果一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。 2.3.3典型例题 例1 用l、2、3、4、5这五个数两两相乘，可得到10个不同的乘积。问乘积中是偶数多还是奇数多？ 讲析：如果两个整数的积是奇数，那么这两个整数都必须是奇数。在这五个数中，只有三个奇数，两两相乘可以得到3个不同的奇数积。而偶数积共有7个。所以，乘积中是偶数的多。 例2 有两组数，甲组：1、3、5、7、9……、23；乙组：2、4、6、8、10、……24，从甲组任意选一个数与乙组任意选出一个数相加，能得到______个不同的和。 讲析：甲组有12个奇数，乙组有12个偶数。甲组中任意一个数与乙组中任意一个数相加的和，必为奇数，其中最大是47，最小是3。从3到47不同的奇数共有23个。所以，能得到23个不同的和。
详讲口诀“奇变偶不变,符号看象限”.doc
详讲口诀“奇变偶不变，符号看象限” 在学习三角函数这部分内容的时候,你一定记得“奇变偶不变，符号看象限”这个口诀吧。它是专门用来记诱导公式的。下面就详细解释一下它的含义。 下面是16个常用的诱导公式 sin(90°-α)= cosα sin(90°+α)= cosα cos(90°-α)= sinα cos(90°+α)= - sinα sin(270°-α)= - cosα sin(270°+α)= - cosα cos(270°-α)= - sinα cos(270°+α)= sinα sin(180°-α)= sinα sin(180°+α)= - sinα cos(180°-α)= - cosα cos(180°+α)= - cosα sin(360°-α)= - sinα sin(360°+α)= sinα cos(360°-α)= cosα cos(360°+α)= cosα 观察上面这些诱导公式。 （1）这些公式左边为90°的1,2,3,4倍再加（或减）α的和（或差）的正弦,余弦。公式右边有时是α的正弦，有时是α的余弦。它们有时一致有时相反。
其中的规律为“奇变偶不变” 例如: cos(270°-α)= - sinα中, 270°是90°的3(奇数)倍所以cos变为sin,即奇变 又如，sin(180°+α)= - sinα中, 180°是90°的2(偶数)倍所以sin还是sin,即偶不变 请你自己再任意找一个试试. （2）公式右边有时是正，有时是负.其中的规律为“符号看象限”例如: cos(270°-α)= - sinα中, 视α为锐角,270°-α是第三象限角,第三象限角的余弦为负,所以等式右边有负号. sin(180°+α)= - sinα中, 视α为锐角,180°+α是第三象限角,第三象限角的正弦为负,所以等式右边有负号. 这就是“符号看象限”的含义. 请你自己再任意找一个试试 注意：公式中α可以不是锐角,只是为了记住公式,视α为锐角. 另外这个口诀还能记住正切,余切,正割,余割的诱导公式
《数的奇偶性》教学设计
“数的奇偶性”教学设计 【教学内容】 新世纪版小学数学教材五年级上册第14～15页。 【教材分析】 “数的奇偶性”是义务教育课程标准实验教科书数学（新世纪版）五年级上册第一单元的内容，教材在学习了数的特征的基础上，安排了多个数学活动或游戏，让学生探索和理解数的奇偶性，尝试运用列表和画示意图等解决问题的策略，发现规律，再来运用数的奇偶性的知识解决生活中的一些问题。 【学生分析】 对小学生来说，学习数学需要积累活动经验，而这种活动经验积累离不开学生丰富多彩的活动，由于教材所提供的游戏活动题材发生在学生的身边，很容易引起学生的兴趣，只需要教师的适时点拨引导，可以在各种学习中探索规律，对于个别学生运用规律去解决数目较大的问题时会产生障碍，需要进行反复验证。 【学习目标】 1.在具体情境中，通过实际操作，尝试运用“列表”“画示意图”等方法发现数的奇偶性规律，并运用其解决生活中的一些简单问题。 2.经历探索加减法中数的奇偶性变化的过程，在活动中发现加法中的数的奇偶性的变化规律，在活动中体验研究方法，提高推理能力。 3.使学生体会到生活中处处有数学，增强学好数学的信心和应用数学的意识。 【教学重点】 探索并理解数的奇偶性。 【教学难点】 能应用数的奇偶性分析和解决生活中的一些简单问题 【教学用具】 课件、纸箱、数字卡片。 【教学方法】 采用情境教学法、直观操作法、谈话法、观察法、引导发现法、讨论练习等多种方法，充分发挥以教师为主导、学生为主体。真正做到教师只是教学的组织者、引导者、合作者。 【教学过程】 一、创设情景，激发学生的求知欲望 同学们喜欢做游戏吗？（喜欢），下面老师就和你们一起来做游戏——翻手掌），大家玩过了吗？其实在翻手掌中也有许多数学知识，你留心了吗？今天老
三角函数值的定义符号
南京城市职业学院课程教案
第三象限：0,0.<
十、数的奇偶性
十、数的奇偶性 一张画面向上的扑克牌，将它翻动一次，扑克牌就会变成画面向下。再翻动一次，它的画面又会向上。不停地翻动，就会发现，当翻动的次数是2，4，6，8…时，扑克牌的画面向上；当翻动的次数是1，3，5，7，9……时，扑克牌的画面向下。这样，就把整数分成了两类：一类是2，4，6，8，10…叫作偶数；另一类是1，3，5，7，9…叫作奇数。 特别地，0也是偶数。 自然数是一奇一偶顺序排列的。两个连续的自然数，必然是一个奇数，一个偶数。 奇数和偶数在运算中表现出不同的特性。那么，想一想奇数和偶数在运算中都有哪些性质呢？ 我们可以将性质总结如下： 1．加减法与奇偶数 (1)一个数在与奇数进行加减运算时，必会改变奇偶性。 即：奇数±奇数＝偶数 奇数±偶数＝奇数 (2)一个数在与偶数进行加、减运算时，必会保持奇偶性。 即：偶数±偶数＝偶数 偶数±奇数＝奇数 你发现了吗？ 想一想：当多个数相加时，和的奇偶性由( )的个数决定。 当多个数相加时，和的奇偶性由奇数的个数决定。加数中有奇数个奇数时，和为奇；当加数中有偶数个奇数时，和为偶。(此规律可推广到多个数相加、减的情况) 2．乘法与奇偶数 任何一个数乘以偶数，都得偶数；只有奇数乘奇数时，才得奇数。 即：偶×偶＝偶；奇×偶＝偶；奇×奇＝奇。 想一想： 1．偶数个奇数相加，和为( )数，为什么？ 2．奇数个奇数相加，和为( )数，为什么？ 3．任意个偶数相加，和为( )数，为什么？ 4．当多个数相乘时，只要有一个数是偶数时，积一定为( )数 整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决 例1下式的和是奇数还是偶数？ 1＋2＋3＋4＋…＋2005＋2006 分析与解：本题当然可以先求出算式的和，再来判断这个和的奇偶性。但如果能不计算，直接分析判断出和的奇偶性，那么解法将更加简洁。根据奇偶数的性质，和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关，与加数中的偶数无关。1～2006中共有1003个奇数，1003是奇数，奇数个奇数之和是奇数。所以，本题要求的和是奇数。 练一练： 不计算，说出下面结果是奇数还是偶数。 (1)1×2＋3×4＋……＋2005×2006
高中数学“奇变偶不变符号看象限”详解
高中数学“奇变偶不变,符号看象限”详解 （1）sin(90°-α)= cosα sin(90°+α)= cosα cos(90°-α)= sinα cos(90°+α)= - sinα sin(270°-α)= - cosα sin(270°+α)= - cosα cos(270°-α)= - sinα cos(270°+α)= sinα sin(180°-α)= sinα sin(180°+α)= - sinα cos(180°-α)= - cosα cos(180°+α)= - cosα sin(360°-α)= - sinα sin(360°+α)= sinα cos(360°-α)= cosα cos(360°+α)= cosα 这些公式左边为90°的1,2,3,4倍再加（或减）α的和（或差）的正弦,余弦。公式右边有时是α的正弦，有时是α的余弦。它们有时一致有时相反,其中的规律为“奇变偶不变”例如: cos(270°-α)= - sinα中, 270°是90°的3(奇数)倍所以cos变为sin,即奇变 又如，sin(180°+α)= - sinα中, 180°是90°的2(偶数)倍所以sin还是sin,即偶不变 （2）公式右边有时是正，有时是负.其中的规律为“符号看象限” 例如: cos(270°-α)= - sinα中, 视α为锐角,270°-α是第三象限角,第三象限角的余弦为负,所以等式右边有负号. sin(180°+α)= - sinα中, 视α为锐角,180°+α是第三象限角,第三象限角的正弦为负,所以等式右边有负号.这就是“符号看象限”的含义. 注意：公式中α可以不是锐角,只是为了记住公式,视α为锐角. 另外这个口诀还能记住正切,余切,正割,余割的诱导公式 例如: 公式cot(270°-α)= tanα中, 270°是90°的3(奇数)倍所以cot变为tan.视α为锐角，270°-α是第三象限角,第三象限角的余切为正,所以等式右边没有负号. 公式sec(180°+α)= -secα中, 180°是90°的2(偶数)倍所以sec还是sec.视α为锐角,180°+α是第三象限角,第三象限角的正割为负,所以等式右边有负号. 于是上面的16个公式也可以写为
三角函数特殊角值表
三角函数特殊值 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°= 21 sin45°=cos45°=2 2 tan30°=cot60°=3 3 tan 45°=cot45°=1 2 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3
说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 3 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 巧记特殊角的三角函数值 初学三角函数，记忆特殊角三角函数值易错易混。若在理解掌握的基础上，经过变形，使其呈现某种规律，再配以歌诀，则可浅显易记，触目成诵。 仔细观察表1，你会发现重要的规律。
第一讲 数的奇偶性
第一讲数的奇偶性 例1 在“—”上适当地填上“奇”字或“偶”字。 （1）奇数×奇数+偶数= 数。 （2）奇数×数×奇数+奇数=奇数 （3）（奇数+ 数）×奇数+偶数=偶数 开心闯关 下面各题的结果是奇数还是偶数 (1) 偶数+奇数×偶数+5=（） （2）奇数×奇数+偶数×偶数=（） 例2 1+2+3+…+1993的和是奇数还是偶数？ × 开心闯关 能不能在下面的各个方框中分别填入“+”或“-”号，使等式成立？ 1（）2（）3（）4（）5（）6（）7（）8（）9（）=10 例3 算式1×2+3×4+5×6+…+99×100的得数是奇数还是偶数？ 开心闯关 （1）、1×2+2×3+3×4+…+2007×2008的和是奇数还是偶数？为什么？ （2）已知：3×5×a×b×c=3375，问：在自然数a,b,c中，b是奇数还是偶数？ 例4 5月12日四川汶川发生8.0级地震，由于山体滑坡，桥梁倒塌，导致交通完全中断。解放军叔叔不顾余震的危险，用冲锋舟从河的南岸出发向北岸运送生活用品，再把北岸的伤员和灾民运送回南岸。 （1）冲锋舟渡河11次后是在南岸还是北岸？ （2）有人说冲锋舟渡河100次后，冲锋舟在北岸，他的说法对了吗？为什么？ 开心闯关 桌上有9只茶杯，全部是杯底朝上，你每次翻转4只茶杯，称为一次翻动，经过若干次翻动能不能使这9只茶杯的杯口全部朝上？
例5 某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：答对一题给3分，答错一题扣1分，某题不答给1分，请说明该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数。 第二讲数的分拆 例1、将14分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积最大，应该如何分拆？ 开心闯关 把25分拆成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应如何分拆？ 例2、将14分拆成3个自然数的和，并使这三个自然数的积最大，如何分拆？ 开心闯关 把25分拆成三个自然数的和，再求出这三个自然数的积，要使这个积最大，应如何分拆？ 例3、将14分拆成若干个自然数的和，并使这些自然数的积最大，如何分拆？ 开心闯关 将16表示成若干个自然数的和，如果要使这些数的乘积最大，这些自然数是（） 例4、湖南卫视电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播出几天？ 开心闯关 将135个人分成若干个小组，要求任意两个组的人数都不同，则至多可以分成多少组？
三角函数特殊角值表
1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=2 1 ，sin45°=cos45°=22，tan30°=cot60°=33，tan45°=cot45°=1 正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x 余割函数cscθ=r/y 2、列表法： 说明：正弦值随角度变化，即0?30?45?60?90?变化；值从0 21222 3 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1；0＜cos α＜1；tan α＞0；cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ；cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜ α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 函数名正弦余弦正切余切正割余割 符号sincostancotseccsc 正弦函数sin （A ）=a/c 余弦函数cos （A ）=b/c 正切函数tan （A ）=a/b 余切函数cot （A ）=b/a 其中a 为对边，b 为邻边，c 为斜边 三角函数对照表 30? 1 2 1 45? 1 1 2 60?
专题26 奇偶分析_答案
专题26 奇偶分析 例1 668 提示：裴波拉数列各项的奇偶性规律是 ：从第一个数开始，每组连续的3个数 中，前两个数是奇数，第三个数是偶数，又因为2004÷3＝668.所以前2004个数中共有668个偶数. 例2 D 例3 假设存在自然数a 和b ，使22 2002a b =+ .则（a ＋b ）(a －b )＝2002＝2×1001，若 a ， b 同为奇数或同为偶数，则（a ＋b ）×（a －b ）必定是“偶数×偶数”；若a ，b 为一奇一偶，则(a ＋b )(a －b )必定是“奇数×奇数”.上述两种情况均与等式右边的“偶数×奇数”相 矛盾，故找不到自然数a 和b ，使22 2002a b =+ . 例 4 提示：设6张卡片正面写的数是 123456 a ,,,,,a a a a a ，反面写的数对应为 123456 ,,,,,b b b b b b ，则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为 112266 ,,...,a b a b a b --- . 设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，…，5这6个值，于是 112266 ,,...,a b a b a b ---＝0＋1＋2＋…＋5＝15是个奇数. 又 i i a b - 与 i i a b - （i ＝1，2，3…，6）的奇偶性相同，所以 112266 +...a b a b a b --++- 与()()()()()1 12266161260 .........a b a b a b a a b b b -+-++-=++-+++= 的奇偶性相同，是个偶数，导致矛盾. 例5 提示：不能，理由如下： 将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即A 用1，B 用2，…，Z 用26代替），这样表甲和表乙就分别变成了表丙和表丁： 19 15 2 18 11 2 4 19 20 26 6 16 8 5 24 7 8 15 3 14 18 20 2 19 1 4 2 2 24 3 6 25 1
第五章 5.2 5.2.1 第二课时 三角函数值的符号及公式一
第二课时三角函数值的符号及公式一 课标要求素养要求 1. 能利用三角函数的定义，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号. 2.通过任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等. 通过三角函数值在各象限内的符号和公式一的应用，重点提升学生的数学运算和逻辑推理素养 . 教材知识探究 地球自转会引起昼夜的交替变化，而公转引起四季交替变化，月亮圆缺变化的周期性，而三角函数值是否有“周而复始”的变化规律呢？ 问题如图，角α的终边OP绕原点O，旋转无数周后的三角函数值与α的对应的三角函数值相等吗？ 提示相等，根据任意角的三角函数的定义可得，终边相同角的同一三角函数值相等. 1.三角函数值在各象限的符号 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图). 2.公式一函数名称不变 (1)语言表示：终边相同的角的同一三角函数的值相等.
(2)式子表示：???sin （α＋k ·2π）＝sin α， cos （α＋k ·2π）＝cos α，其中k ∈Z .tan （α＋k ·2π）＝tan α， (3)角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现. 教材拓展补遗 [微判断] 1.同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.(√) 2.若sin α·cos α>0，则角α为第一象限角.(×) 提示 sin α·cos α>0，则sin α，cos α同号，则α为第一、三象限角. 3.终边相同角的同名三角函数的值相等.(√) 4.sin 3>0，cos 4<0.(√) 5.sin α>0，则α为第一、二象限角.(×) 提示 α的终边位于第一、二象限或y 轴正半轴. [微训练] 1.sin 390°的值为( ) A.32 B.22 C.12 D.－12 解析 sin 390°＝sin(360°＋30°)＝sin 30°＝1 2，故选C. 答案 C 2.下列4个实数中，最小的数是( ) A.sin 1 B.sin 2 C.sin 3 D.sin 4 解析 ∵4位于第三象限，故sin 4<0，故选D. 答案 D 3.计算：sin(2π＋π6)＝________，cos 19π 3＝________. 解析 sin(2π＋π6)＝sin π6＝12，cos 19π3＝cos(6π＋π3)＝cos π3＝1 2. 答案 12 12
数的奇偶性
数的奇偶性 一几条规则：（1）两奇之和是偶数（2）两奇之差是偶数 （3）两偶之和是偶数（4）两偶之差是偶数 （5）奇数与偶数之和是偶数（6）奇数与偶数之差是偶数推而广之：奇数个奇数之和是奇数，偶数个奇数之和是偶数， （7）奇数×奇数＝奇数（8）偶数×偶数＝偶数 （9）奇数×偶数＝偶数 （10）一个偶数，若能被一个奇数整除，商一定是偶数。 （11）一个奇数，若能被另一个奇数整除，商一定是奇数。 例1. 1＋2＋2＋3＋3＋3＋4＋4＋4＋4＋5＋5＋5＋5＋5＋…＋19＋…＋19的和是奇数还是偶数？ 例2. 1―2＋3―4＋5―6＋…＋1989―1990＋1991的结果是奇数还是偶数？ 例3. 33个小朋友做游戏，每一次均有8个小朋友向后转，问能不能经过若干次的向后转，使所有小朋友全部转过身去？ 例4. A、B、C是三个任意的自然数，你能否证明A―B、B―C、A―C中一定有一个差能被2整除？ 例5. 养鸡专业户养黑鸡和白鸡各201只，这些鸡上、下午在201个鸡窝里下蛋。请你说明，有这样一个鸡窝，每天上午、下午在这个鸡窝里下蛋的是不同颜色的两只鸡（若每只鸡每天下一个蛋）。 例6. 50盏红灯排成一排，按顺序分别编上号码，1、2、3、4、…50，每盏灯有按钮，只要一按按钮，红灯就变成绿灯，再一按，绿灯就变成红灯。有50个人，第一个人走过来把号码为1的倍数的按钮按一下，接着第二个人走过来把号码为2的倍数的按钮按一下，第三个人走过来把号码为3的倍数的按钮按一下，……第50个人走过来把号码为50的倍数的按钮按一下。问最后有几盏是绿灯？ 例7. 证明是否存在着这样的整数A、B、C，使得：A×B×C＋A=111...1 A×B×C＋B=111...1 A×B×C＋C=111 (1) 例8. 数学奥林匹克竞赛初赛试题共22道题，记分方法是，起点11分，答对一题加5分，不答一题倒扣1分，答错一题倒扣3分。试问：1993个同学参加竞赛，则所有的参赛学生得分的总数是奇数还是偶数？ 课后练习： 1.1＋4＋7＋10＋13＋…＋331＋334的和，是奇数还是偶数？ 2. （1＋2＋3＋4＋…＋99＋100）×（1＋2＋2＋3＋3＋3＋4＋4＋4＋4＋5＋5＋5＋5＋5＋…＋11＋…＋11）是奇数还是偶数？ 3. 自然数m有115个约数，请你证明m是一个平方数。 4. 某班49个同学坐成7行7列，要让49个同学中，每一个人都离开自己的位子坐到邻座去，此种方案能否实现？为什么？ 5. 5只杯子全部杯口朝下，每次翻动其中4只，能否用这种方法将杯口全部朝上？ 6. 给出一些数字的奇偶性，请将数字猜出来。奇奇偶 ×偶奇 奇奇偶 偶偶偶 偶5 .7 偶 7.111…1×999…9的积里共有多少个数字是偶数?
三角函数基本概念和表示
第三章三角函数 第一节三角函数及概念 复习要求： 1．任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数 （1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。 ： 知识点： 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转 到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的 始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。 2.角的分类 为了区别起见，我们规定: | 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。 如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。 3.象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 （1）第一象限角的集合： |22, 2 k k k Z π απαπ ?? <<+∈ ???? （2）第二象限的集合： |22, 2 k k k Z π απαππ ?? +<<+∈ ?? ??。 （3）第三象限角的集合： 3 |22, 2 k k k Z π αππαπ ?? +<<+∈ ?? ??。
（4）第四象限角的集合： 3|222,2k k k Z παπαππ?? +<<+∈?? ?? 4.轴线角 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。它不属于任何象限,也称为非象限角。 < 5.终边相同的角 所有与角α终边相同的角连同角α在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。记为： {} |360,S k k Z ββα==+?∈或 {} |2,S k k Z ββαπ==+∈。它们彼此相差 2()k k Z π∈，根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 6.区间角 区间角是指介于两个角之间的所有角，如5| ,6 666π πππααα???? =≤≤ =????? ???。 7，角度制与弧度制 角度制：规定周角的1 360为1度的角，记作0 1，它不会因圆的大小改变而改变， 与r 无关 弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad 或1弧度或1(单位可以省略不写)。 | 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 8.角的度量 （1）角的度量制有：角度制，弧度制 （2）换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π=。 3602π=，180rad π=， 10.01745()180rad rad π= ≈，1801()57.30 rad π=≈ （3 {
特殊三角函数数值表图文稿
特殊三角函数数值表集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 公式 sin(A/2) = √{(1--cosA)/2} cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)} cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sin(a) cos(-a) = cos(a) sin(π/2-a) = cos(a) cos(π/2-a) = sin(a) sin(π/2+a) = cos(a) cos(π/2+a) = -sin(a) sin(π-a) = sin(a) cos(π-a) = -cos(a) sin(π+a) = -sin(a) cos(π+a) = -cos(a) tgA=tanA = sinA/cosA 万能公式
奇偶性
七奇数与偶数(A) 年级班姓名得分 一、填空题 1. 2，4，6，8，……是连续的偶数，若五个连续的偶数的和是320，这五个数中最小的一个是______. 2. 有两个质数,它们的和是小于100的奇数,并且是17的倍数.这两个质数是_____. 3. 100个自然数,它们的和是10000,在这些数里,奇数的个数比偶数的个数多,那么,这些数里至多有_____个偶数. 4. 右图是一张靶纸,靶纸上的1、3、5、7、9表示射中该靶区的分数.甲说:我打了六枪,每枪都中靶得分,共得了27分.乙说:我打了3枪,每枪都中靶得分,共得了27分. 已知甲、乙两人中有一人说的是真话，那么说假话的是_____. 5. 一只电动老鼠从右上图的A点出发,沿格线奔跑,并且每到一个格点不是向左转就是向右转.当这只电动老鼠又回到A点时,甲说它共转了81次弯,乙说它共转了82次弯.如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？ 6. 一次数学考试共有20道题,规定答对一题得2分,答错一题扣1分,未答的题不计分.考试结束后,小明共得23分.他想知道自己做错了几道题,但只记得未答的题的数目是个偶数.请你帮助小明计算一下,他答错了_____道题. 7. 有一批文章共15篇,各篇文章的页数分别是1页、2页、3页……14页和15页的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多有_____篇. 8. 一本书中间的某一张被撕掉了,余下的各页码数之和是1133,这本书有_____页,撕掉的是第_____页和第_____页.
9. 有8只盒子,每只盒内放有同一种笔.8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支.在这些笔中,圆珠笔的支 数是钢笔的支数的2倍,钢笔支数是铅笔支数的3 1,只有一只盒里放的水彩笔.这盒水彩笔共有_____支. 10. 某次数学竞赛准备了35支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发给6支，二等奖每人发给3支，三等奖每人发给2支，后来改为一等将每人发13支，二等奖每人发4支，三等奖每人发1支.那么获二等奖的有_____人. 二、解答题 11．如下图，从0点起每隔3米种一棵树.如果把3块“爱护树木”的小木牌分别挂在3棵树上，那么不管怎么挂，至少有两棵挂牌树之间的距离是偶数（以米为单位）.试说明理由. 12. 小地球仪上赤道大圆与过南北极的某大圆相交于A 、B 两点.有黑、白二蚁从A 点同时出发分别沿着这两个大圆爬行.黑蚁爬赤道大圆一周要10秒钟,白蚁爬过南北极的大圆一周要8秒钟.问:在10分钟内黑、白二蚁在B 点相遇几次？为什么？ 13．如右图所示，一个圆周上有9个位置，依次编为1~9号.现在有一个小球在1号位置上,第一天顺时针前进10个位置,第二天逆时针前进14个位置.以后,第奇数天与第一天相同,顺时针前进10个位置,第偶数天与第二天相同,逆时针前进14个位置.问: 至少经过多少天 ,小球又回到1号位置. 0 3 6 9 12 15 18 21 24
奇偶性 习题(含答案)
奇偶性习题（含答案） 一、单选题 1．若，，且，则函数满足 A．为增函数且为偶函数B．且为偶函数 C．为增函数且为奇函数D．且为奇函数 2．下列函数是偶函数的是 A．B．C．D． 3．函数的图象大致是 A．B．C． D． 4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 ( ) A．B．C．D． 5．下列函数在定义域内是奇函数且单调函数的为 A．B．C．D． 6．下列函数为奇函数的是（） A．B．C．D． 7．已知函数是奇函数，当时，，则曲线在 处的切线方程为（） A．B．C．D． 8．函数是（） A．奇函数，且在上是增函数B．奇函数，且在上是减函数C．偶函数，且在上是增函数D．偶函数，且在上是减函数9．已知是定义在上的奇函数，若时，，则时，
A．B．C．D． 10．设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若对所有的x∈[－1,1]及任意的a∈[－1,1]都满足f(x)≤t2－2at＋1，则t的取值范围是( ) A．[－2,2]B．(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞) C．D． 二、填空题 11．已知函数，若，则的值为__________． 12．若函数为偶函数，则a＝_______. 13．已知奇函数在，上单调递减，且则不等式的解集为_______. 14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中． ①_______； ②若的值域是，则的取值范围是_______． 15．已知,分别是定义在上的偶函数和奇函数,且,则=_____． 三、解答题 16．已知定义在上的偶函数，当时，； （1）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （2）解不等式：。 17．已知函数(、为实数),，，＞，＜ 设＞，＜，＞，＞且为偶函数,判断是否恒大于零?若是给出证明,不是则说明理由. 18．设是定义在上的函数，且对任意实数，恒有 ，当时，. (1)当时，求的解析式；（2）计算. 19．设是实数，已知奇函数, （1）求的值；
详讲口诀“奇变偶不变,符号看象限”doc
详讲口诀“奇变偶不变,符号瞧象限” 在学习三角函数这部分内容的时候,您一定记得“奇变偶不变,符号瞧象限”这个口诀吧。它就是专门用来记诱导公式的。下面就详细解释一下它的含义。 下面就是16个常用的诱导公式 sin(90°-α)= cosα sin(90°+α)= cosα cos(90°-α)= sinα cos(90°+α)= - sinα sin(270°-α)= - cosα sin(270°+α)= - cosα cos(270°-α)= - sinα cos(270°+α)= sinα sin(180°-α)= sinα sin(180°+α)= - sinα cos(180°-α)= - cosα cos(180°+α)= - cosα sin(360°-α)= - sinα sin(360°+α)= sinα cos(360°-α)= cosα cos(360°+α)= cosα 观察上面这些诱导公式。 (1)这些公式左边为90°的1,2,3,4倍再加(或减)α的与(或差)的正 弦,余弦。公式右边有时就是α的正弦,有时就是α的余弦。它们有时一致有时相反。
其中的规律为“奇变偶不变” 例如: cos(270°-α)= - sinα中, 270°就是90°的3(奇数)倍所以cos变为sin,即奇变 又如,sin(180°+α)= - sinα中, 180°就是90°的2(偶数)倍所以sin还就是sin,即偶不变 请您自己再任意找一个试试、 (2)公式右边有时就是正,有时就是负、其中的规律为“符号瞧象限”例如: cos(270°-α)= - sinα中, 视α为锐角,270°-α就是第三象限角,第三象限角的余弦为负,所以等式右边有负号、 sin(180°+α)= - sinα中, 视α为锐角,180°+α就是第三象限角,第三象限角的正弦为负,所以等式右边有负号、 这就就是“符号瞧象限”的含义、 请您自己再任意找一个试试 注意:公式中α可以不就是锐角,只就是为了记住公式,视α为锐角、另外这个口诀还能记住正切,余切,正割,余割的诱导公式
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