初中数学乘法公式例题解析

乘法公式例题解析

新课指南

1.知识与技能:掌握整式乘法的平方差公式、完全平方公式和

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab公式，通过公式运用，培养学生运用公式的计算能力.

2.过程与方法：经历探索平方差公式、完全平方公式和公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 的过程，培养学生研究问题和探索规律的方法.

3.情感态度与价值观：(1)通过从多项式的乘法到乘法公式，再运用公式计算多项式的乘法，培养学生从一般到特殊，再从特殊到一般的思维能力；(2)通过乘法公式的几何背景，培养学生运用数形结合的思想方法和整体的数学思想方法的能力.

4.重点与难点：重点是掌握公式(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2.难点是公式中字母的广泛含义.

教材解读精华要义

数学与生活

如图15－16所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，

(1)请表示图15－16(1)中阴影部分的面积；

(2)某同学将阴影部分拼成了一个长方形，如图15－16(2)所示，这个长方形的长和宽分别是多少？请你表示出它的面积？

(3)比较(1)(2)的结果，你能发现什么？

思考讨论由图15－16(1)可知，阴影部分的面积为(a2-b2)，由图15－16(2)可知，拼成长方形的长为(a+b),宽为(a-b),其面积为(a+b)(a-b)，由于图(2)是由图(1)拼成的，故两图面积相等，所以有(a+b)(a-b)=a2-b2那么如何证明呢？

知识详解

知识点1 平方差公式及其导出

平方差公式是指(a+b)(a-b)=a2-b2.

这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.

课本中本节的开始是先让同学们做几个多项式相乘的小题.

经过计算，同学们首先发现，四个小题所得到的结果有惊人的相同之处：每个小题的结果都只含有两项，而且都可以写成两个数的平方差形式.

为什么会有这些相同之处呢？同学们会想到，这是由于每个小题中的两个多项式都有非常特殊的关联：它们的第一项都相同，第二项的绝对值相同，但是符号相反.

归纳类似的多项式相乘的式子，就得到了平方差公式(a+b)(a-b)=a2-a2.

直接计算也可以得到这个公式：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.

【注意】 a,b仅仅是一个符号，它们可以表示数，也可以表示式子（单项式、多项式等），只是它们的和与差的积，一定等于它们的平方差.

认识公式的特征至关重要.

平方差公式的特征：公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差.

知识规律小结（1）在应用公式(a+b)(a-b)=a2-b2时，需仔细识别公式中的a与b，例如：(2x+3)(2x-3)中，把2x看成a，3看成b；(-m+2n)(-m-2n)中，把-m看成a，2n看成b；(3a-2b)(-3a-2b)中,把-2b看成a,3a看成b，因此有：

(2x+3)(2x-3)=(2x)2-32=4x2-9；

(-m+2n)(-m-2n)=(-m)2-(2n)2=m2-4n2；

(3a-2b)(-3a-2b)=(-2b)2-(3a)2=4b2-9a2.

(2)在51×49中，a=

249

51+

=50，b=

249

51-

=1，

∴51×49=(50+1)(50-1)=502-12=2499.

知识点2 完全平方公式及其推导

探究交流

计算下列各式，你能发现什么规律？

(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)= ； (2)(m+2)2= ；

(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)= ； (4)(m-2)2= .

点拨两个数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数乘积的2倍.

一般地，我们有：

(a+b)2= a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.

两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.

例如：(2x+3)2=(2x)2+2·2x·3+32=4x2+12x+9，

(3m-4)2=(3m)2-2·3m·4+42=9m2-24m+16.

在记忆公式(a±b)2=a2±2ab+b2时，要在理解和比较的基础上记忆，两个公式相同之处在于两个数的平方和，不同之处在于中间项的符号不同，计算时要注意.如：(x-2y)2=x2-2·x·2y+(2y)2=x2-4xy+4y2.

说明完全平方公式，既可以用多项式乘法进行推导：

(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b2= a2+2ab+b2.

同时，也可以用观察情境来推导，如图15－17所示.

由图(1)可知，(a+b)2=a2+2ab+b2，

由图(2)可知，(a-b)2=a2-2ab+b2.

知识点3 添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；

如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

【说明】添括号法则与去括号法则是一致的，添括号正确与否，可用去括号进行检验.

知识点4 公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的推导可以用多项式乘法公式椎导.

(x+a)(x+b)

=x2+bx+ax+ab

=x2+(a+b)x+ab.

例如：(x+2)(x+3)=x2+(2+3)x+2×3=x2+5x+6，

(x+2)(x-3)=x2+(2-3)x+2×(-3)=x2-x-6.

【注意】注意a与b的值，该公式在多项式乘法中广泛应用.

典例剖析师生互动

基本知识应用题

本节知识的基础应用主要包括：(1)会推导平方差公式；(2)会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；(3)掌握公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.

例1 运用平方差公式计算.

(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(b+2a)(2a-b)；(3)(-x+2y)(-x-2y).

(分析) (1)中，把3x 看作a ，2看作b ；(2)中，2 a 看作a ，b 看作b ；(3)中，-x 看作 a ，2y 看作b.

解：(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x 2-4. (2)(b+2a)(2a-b)=(2a )2-b 2=4a 2-b 2. (3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x )2-(2y)2=x 2-4y 2 例2 运用完全平方公式计算. (1)(4m+n )2； (2)(y-

2

1)2. (分析) 主要是正确地应用公式.

解：(1)(4m+n)2=(4m)2+2·4m ·n +n 2=16m 2+8mn+n 2. (2)(y-

21)2=y 2-2y ·21+(21)2=y 2-y+4

1. 【说明】 在应用公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2和(a±b)2=a 2±2ab+b 2时，关键是看清题目中哪一个是公式中的a ，哪一个是公式中的b.

例3 运用乘法公式计算. (1)102×98； (2)1022； (3)992.

(分析)灵活应用乘法公式计算.(1)中，102×98=(100+2)(100-2)；(2)中，1022=(100+2)2；(3)中，992=(100-1)2，然后利用公式计算即可.

解：(1)102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996. (2)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404. (3)992=(100-1)2=1002-2×100×1+12=10000-200+1=9801. 例4 计算.

(1)(m-5)(m+3)； (2)(2x-3)(2x-4).

(分析)本题主要考查公式(x+a)(x+b)=x 2+(a+b)x+ab 的应用.

解：(1)(m-5)(m+3)

=m2+[(-5)+3]m+(-5)·3

=m2-2m-15.

(2)(2x-3)(2x-4)

=(2x)2+[(-3)+(-4)]·2x+(-3)·(-4)

=4x2-14x+12.

综合应用题

本节知识的综合应用主要包括：(1)公式之间的综合应用；(2)与方程的综合应用；(3)与不等式的综合应用.

例5 计算.

(1)(x+2y-3)(x-2y+3)； (2)(a+b+c)2；

(3)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).

(分析) 本题主要考查灵活应用整式乘法公式进行计算.(1)题把x看作公式中的a，(2y-3)看成公式中的b；(2)题把(a+b)看成公式中的a，c看成公式中的b；(3)题运用公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.

解：(1)(x+2y-3)(x-2y+3)=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]

=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)

=x2-4y2+12y-9.

(2)(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2

=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.

(3)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=(y2-4)-(y2+4y-5)

=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.

例6 计算.

(1)(b-2)(b2+4)(b+2)； (2)(2a-b)(2a+b)-(3a-2b)(3a+2b).

(分析) (1)题用乘法的交换律和结合律；(2)题用平方差公式和整式减法.

解：(1)(b-2)(b 2+4)(b+2)=(b-2)(b+2)(b 2+4) =(b 2-4)(b 2+4)=b 4-16.

(2)(2a-b)(2a+b)-(3a-2b)(3a+2b)=(4a 2-b 2)-(9a 2-4b 2) =4a 2-b 2-9a 2+4b 2=-5a 2+3b 2. 学生做一做 计算. (1)(

21-x)(41+x 2)(x+2

1

)； (2)(x+3)2-(x+2)(x-2). 老师评一评 (1)原式=16

1-x 4

； (2)原式=6x+13.

例7 解方程 2(x-2)+x 2=(x+1)(x-1)+x

(分析) 熟练应用整式的乘法公式. 解：2x-4+x 2=x 2-1+x ， 2x+x 2-x 2-x=-1+4， ∴x=3.

例8 解不等式x(x-3)＞(x+7)(x-7). (分析)考查应用整式乘法及平方差公式去括号. 解：x 2-3x ＞x 2-49， x 2-3x-x 2＞-49， -3x ＞-49， ∴x ＜

3

49. 探索与创新题

主要考查灵活应用所学公式解决现实问题. 例9 计算19982-1997×1999.

(分析)同时应用完全平方公式和平方差公式化简，其中， 1997×1999=(1998-1)(1998+1). 解：19982-1997×1999

=19982-(1998-1)(1998+1) =19982-(19982-1) =19982-19982+1 =1.

学生做一做 计算

2002

200420032003

2?-.

老师评一评 原式=

)12003)(12003(20032003

2-+-

=

)

12003(20032003

22--

=1200320032003

22+-

=1

2003

=2003.

例10 计算(2+1)(22+1)(24+1)…(22n +1).

(分析)要计算本题，一般先计算每一个括号内的，然后再求它们的积，这样做是复杂的，也是不必要的，我们不妨考虑用平方差公式来解决，即在原式上乘以(2-1),再同时除以(2-1)即可.

解：原式=1

2)

12()12)(12)(12)(12(242-++++-n Λ

=(22-1)(22+1)(24+1)…(22n +1) =(24-1)(24+1)…(22n +1) =(22n )2-1 =24n -1.

学生做一做 计算.

(1)3·(22+1)(24+1)…(232+1)+1；

(2)1002-992+982

-972+962-952+…+22-12； (3)(1-221)(1-231)(1-241)…(1-291)(1-2

10

1). 老师评一评 (1)由例10可以得到提示. (22+1)(24+1)…(232+1)

=1

2)12()12)(12)(12(232422-+++-Λ

=[(232)2-1]·3

1 =

3

1(264

-1). ∴原式=3·3

1

(264-1)+1=264-1+1=264.

(2)由平方差公式和等差数列公式S n =2

)

1(+n n 可知， 原式

=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+(96+95)(96-95)+…+(4+3)(4-3)+(2+1)(2-1)

=100+99+98+97+96+95+…+4+3+2+1 =

2

)

1100(100+

=5050.

(3)由平方差公式和分数乘法公式可知， 原式=(1+

21)(1-21)(1+31)(1-31)(1+41)(1-41)…(1+91)·(1-91)(1+101

)(1-10

1) =

23×21×34×32×45×43×…×910×98×1011×109 =21·1011 =20

11.

例11 已知(a+b )2=7，(a-b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值.

(分析)由已知(a+b )2=7，(a-b)2=4，就目前的知识水平，具体求出a 和b 的值是比较困难的，但由整式的乘法公式可以将已知化成：

a 2+2ab+

b 2=7，① a 2-2ab+b 2=4，②

由①+②可以求出a 2+b 2，由①-②可以求出ab. 解：由题意可知， a 2+2ab+b 2=7，① a 2-2ab+b 2=4，②

①+②得2(a 2+b 2)=11，∴a 2+b 2=2

11. ①-②得4ab=3.∴ab=

4

3. 小结 (1)由两数和的平方和两数差的平方，可以通过两式的加减求出两数的平方和与两数的积，同理，已知两数和的平方或两数差的平方，以及两数的平方和，可以求出两数的积.

(2)由平方差公式，也可以进行变形.例如：已知a 2-b 2=14，a+b=7，那么a-b=2. 例12 观察下列各式： (x-1)(x+1)=x 2-1 (x-1)(x 2+x+1)=x 3-1 (x-1)(x 3+x 2+x+1)=x 4-1 根据前面各式的规律可得：

(x-1)(x n +x n-1+x n-2+…+x+1)= .(其中n 为正整数) (分析)由已知各式可以发现： (x-1)(x n +x n-1+x n-2+…+x+1)=x n+1-1. 小结 与上例类似地有： 由(a-b)(a+b)=a 2-b 2

(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4

……

可以得出(a-b)(a n+a n-1b+a n-2b2+…+b n)=a n+1-b n+1

学生做一做观察下列各式：

1·2·3·4+1=52

2·3·4·5+1=112

3·4·5·6+1=192

……

(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；

(2)根据(1)计算2000·2001·2002·2003+1.(用一个最简式子表示) 老师评一评 (1)n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2，推导如下：

∵n(n+1)(n+2)(n+3)+1

=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1

=(n2+3n)(n2+3n+2)+1

=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1

=(n2+3n+1)2，

∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2.

(2)当n=2000时，

(n2+3n+1)2=(20002+3×2000+1)2=40060012，

∴2000·2001·2002·2003+1=40060012.

易错与疑难题

例13 计算.

(1)(2x+y-z+10)(2x-y+z+10)；

(2)(a+b)2(a-b)2-(a2+b2)(a-b).

错解：(1)(2x+y-z+10)(2x-y+z+10)

=[2x+(y-z+10)][2x-(y-z+10)]

=4x2-(y-z+10)2.

(2)(a+b)2(a-b)2-(a2+b2)(a-b)

=[(a+b)(a-b)]2-[(a2)2-(b2)2]

=(a2-b2)2-(a4-b4)

=(a4-b4)-(a4-b4)

=0.

(分析) 第(1)小题的两个括号中，2x与10是相同的部分，y与-y及-z与z都互为相反数，分组结合后可利用平方差公式.

第(2)小题中，(a+b)2(a-b)2在逆用积的乘方性质后可利用平方差公式，(a2+b2)(a-b)，则需利用多项式的运算法则计算.

正解：(1)(2x+y-z+10)(2x-y+z+10)

=[(2x+10)+(y-z)][(2x+10)-(y-z)]

=(2x+10)2-(y-z)2

=4x2-y2-z2+10x+2yz+100.

(2)(a+b)2(a-b)2-( a2+b2)(a-b)

=[(a+b)(a-b)]2-(a3+ab2-a2b-b3)

=(a2-b2)2-a3-a b2+a2b+b3

=a4-a3-2a2b2+a2b-a b2+b3+b4.

小结错解第(1)小题是在添括号时发生符号错误.错解第(2)小题的错误有二：一是只凭想象而无根据地用a4-b4代替(a2-b2)2，其实这二者并不相等；二是计算(a2+b2)(a-b)时，在不具备使用平方差公式的条件下，错误地使用了这个公式.

应该牢固地掌握公式的特征，解题时每一步都必须有理有据，包括严防发生符号错误.

中考展望点击中考

中考命题总结与展望

本节知识在中考中多以填空、选择题的形式出现，也有少部分的化简求值题及与解方程、解不等式和函数知识结合在一起的综合题.

中考试题预测

例1 若a 的值使得x 2+4x+a=(x+2)2-1成立，则a 的值为( ) A.5

B.4

C.3

D.2

(分析)因为x 2+4x+a=(x+2)2-1，所以x 2+4x+a=x 2+4x+3， 因此，a=3，故正确答案为C 项.

例2 已知x+y=1，那么

21x 2+xy+2

1

y 2的值为 . (分析) 由21x 2+xy+21y 2得21x 2+xy+21y 2=21(x 2+2xy+y 2)= 2

1

(x+y)2.

又由于x+y=1，所以21x 2+xy+21y 2=21(x+y)2=21×12=2

1

.

答案：2

1

例3 若5-+y x +(xy-6)2=0，则x 2+y 2的值为( ) A.13

B.26

C.28

D.37

(分析) 本题主要考查灵活应用完全平方公式及其变式.由绝对值和平方的非负性可得

??

?=-=-+,06,05xy y x ∴???==+.

6,

5xy y x ∴x 2+y 2=(x+y )2-2xy=52-2×6=13.因此，正确答案为A 项.

例4 如图15－18所示的是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x ，y 表示小矩形的两边长(x ＞y)，请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是( )

A.x+y=7

B.x-y=2

C.4xy+4=49

D.x 2+y 2=25

(分析)由图示可以发现： (x+y )2=4xy+(x-y)2， 并且(x+y)2=49，(x-y )2=4. 所以x+y=7，x-y=2，4xy+4=49， 而x 2+y 2=

21[(x+y)2+(x-y)2]=21(49+4)=2

1

×53≠25. 故关系式不正确的是D. 答案：D

例5 方程组?

??=+=-5,

1522y x y x 的解为 .

(分析)本题主要考查平方差公式的灵活应用. 因为x 2-y 2=(x+y)(x-y)，且x+y=5，所以x-y=3.

所以原方程组可以化为???=-=+,3,5y x y x 所以?

??==.1,

4y x

∴原方程组的解为??

?==.

1,4y x

课堂小结 本节归纳

1.本节主要学习了：

(1)整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2； (2)整式乘法的完全平方公式(a ±b )2=a 2±2ab+b 2.

2.一定要掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，通过学习达到能够熟练、灵活地运用乘法公式的程度.

习题选解 课本习题

人教版课本第184～185页

习题15.3 1.(1)原式=

9

4x 2-y 2

； (2)原式=x 2y 2-1； (3)原式=4a 2-9b 2； (4)原式=25-4b 2； (5)原式=3999999； (6)原式=999996. 2.(1)原式=4a 2+20ab+25b 2；

(2)原式=16x 2-24xy+9y 2； (3)原式=4m 2+4m+1； (4)原式=

49a 2-2ab+9

4

b 2； (5)原式=3969；

(6)原式=9604.

3.(1)原式=5x 2-58x-24；

(2)原式=x 2+2xy+y 2-1；

(3)原式=4x 2+y 2+9-4xy-12x+6y ；

(4)原式=x 4-8x 2+16.

4.原式=12xy+10y 2，当x=

31，y=-21时，原式=2

1

. 5.解：设原正方形的边长为xcm ，由题意可知，

(x+3)2=x 2+39，∴x=5. 答：原正方形的边长为5cm. 6.解：剩下钢板的面积为π[

21(a+b)]2-π·(21a)2-π·(21b)2=21

πab. 答：剩下钢板的面积为2

1

πab.

7.解：将公式(a+b)2=a 2+2ab+b 2变形为a 2+b 2=(a+b)2-2ab ，

∵a+b=5，ab=3，

∴a 2+b 2=(a+b )2-2ab=52-2×3=19. 8.x ＜

7

78

9.???

????-==61,23y x 自我评价 知识巩固

1.下列各式中，相等关系一定成立的是( )

A.(x-y)2=(y-x)2

B.(x+6)(x-6)=x 2-6

C.(x+y )2=x 2+y 2

D.6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x-6)

2.下列运算正确的是( )

A.x 2+x 2=2x 4

B.a 2·a 3= a 5

C.(-2x 2)4=16x 6

D.(x+3y)(x-3y)=x 2-3y 2

3.下列计算正确的是( )

A.(-4x)·(2x 2+3x-1)=-8x 3-12x 2-4x

B.(x+y)(x 2+y 2)=x 3+y 3

C.(-4a-1)(4a-1)=1-16a 2

D.(x-2y )2=x 2-2xy+4y 2 4.(x+2)(x-2)(x 2+4)的计算结果是( )

A.x 4+16

B.-x 4-16

C.x 4-16

D.16-x 4

5.19922-1991×1993的计算结果是( )

A.1

B.-1

C.2

D.-2

6.对于任意的整数n ，能整除代数式(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是( )

A.4

B.3

C.5

D.2

7.( )(5a+1)=1-25a 2，(2x-3) =4x 2-9，(-2a 2-5b)( )=4a 4-25b 2 8.99×101=( )( )= .

9.(x-y+z)(-x+y+z)=[z+( )][ ]=z 2-( )2. 10.多项式x 2+kx+25是另一个多项式的平方，则k= . 11.(a+b )2=(a-b )2+ ，a 2+b 2=[(a+b)2+(a-b)2]( )，

a 2+

b 2=(a+b )2+ ，a 2+b 2=(a-b)2+ . 12.计算.

(1)(a+b)2-(a-b )2； (2)(3x-4y )2-(3x+y)2；

(3)(2x+3y )2-(4x-9y)(4x+9y)+(2x-3y)2； (4)1.23452+0.76552+2.469×0.7655； (5)(x+2y)(x-y)-(x+y )2.

13.已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值. 14.已知a+

a 1=4，求a 2+21a 和a 4+41

a

的值. 15.已知(t+58)2=654481，求(t+84)(t+68)的值. 16.解不等式(1-3x)2+(2x-1)2＞13(x-1)(x+1).

17.已知a=1990x+1989，b=1990x+1990，c=1990x+1991，求a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc 的值. 18.如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，求a+b 的值. 19.已知(a+b )2=60，(a-b )2=80，求a 2+b 2及ab 的值.

20.化简(x+y)+(2x+21?y )+(3x+32?y )+…+(9x+9

8?y

)，并求当x=2，y=9时的值. 21.若f(x)=2x-1(如f(-2)=2×(-2)-1，f(3)=2×3-1)，求2003

)

2003()2()1(f f f +++Λ的

值.

22.观察下面各式：

12+(1×2)2+22=(1×2+1)2 22+(2×2)2+32=(2×3+1)2 32+(3×4)2+42=(3×4+1)2 ……

(1)写出第2005个式子；

(2)写出第n 个式子，并说明你的结论.

参考答案

1.A

2.B

3.C

4.C

5.A

6.C

7.1-5a 2x+3 -2a 2

+5b 8.100-1 100+1 9999 9.x-y z-(x-y) x-y 10.±10 11.4ab

2

1

- 2ab 2ab 12.(1)原式=4ab ；(2)原式=-30xy+15y ；(3)原式=-8x 2

+99y 2；

(4)提示：原式=1.23452

+2×1.2345×0.7655+0.76552

=(1.2345+0.7655)2

=22

=4. (5)原式=-xy-3y 2

.

13.提示：逆向应用整式乘法的完全平方公式和平方的非负性.

∵m 2+n 2-6m+10n+34=0， ∴(m 2-6m+9)+(n 2+10n+25)=0， 即(m-3)2+(n+5)2=0， 由平方的非负性可知，

???=+=-,05,03n m ∴??

?-==.

5,

3n m ∴m+n=3+(-5)=-2. 14.提示：应用倒数的乘积为1和整式乘法的完全平方公式.

∵a+

a 1=4,∴(a+a

1

)2=42. ∴a 2+2a ·a 1+21a =16，即a 2+21

a +2=16.

∴a 2+21a =14.同理a 4

+41a

=194.

15.提示：应用整体的数学思想方法，把(t 2+116t)看作一个整体.

∵(t+58)2=654481，∴t 2+116t+582=654481. ∴t 2+116t=654481-582. ∴(t+48)(t+68) =(t 2+116t)+48×68 =654481-582+48×68 =654481-582+(58-10)(58+10) =654481-582+582-102

=654481-100 =654381. 16.x ＜

2

3 17.解：∵a=1990x+1989，b=1990x+1990，c=1990x+1991，

∴a-b=-1，b-c=-1，c-a=2. ∴a 2+b 2+c 2-ab-ac-be

=21

(2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac) =21

[(a 2-2ab+b 2)+(b 2-2bc+c 2)+(c 2-2ac+a 2)] =21

[(a-b 2)+(b-c)2+(c-a)2] =21

[(-1)2+(-1)2+22] =2

1

(1+1+4) =3.

18.解：∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，

∴[(2a+2b)+1][(2a+2b)-1]=63， ∴(2a+2b )2-1=63，∴(2a+2b)2=64，

∴2a+2b=8或2a+2b=-8，∴a+b=4或a+b=-4， ∴a+b 的值为4或一4. 19.a 2+b 2=70，ab=-5.

20.提示：去括号后合并同类项，然后应用S n =

2

)

1(+n n 与111)1(1+-=+n n n n 解决问题.

原式=x+y+2x+

21?y +3x+32?y +…+9x+9

8?y

=(x+2x+3x+…+9x)+(y+21?y +32?y +…+9

8?y

)

=(1+2+3+…+9)x+(1+21?y +32?y +…+9

8?y )y =2)19(9+·x+(1+1-21+21-31+…+71-81+81-9

1)y

=45x+(1-91

)y

=45x+9

17y.

当x=2，y=9时，原式=45×2+9

17

×9=107.

21.∵f(x)=2x-1，

∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2003)

=(2×1-1)+(2×2-1)+(2×3-1)+…+(2×2003-1) =(2×1+2×2+2×3+…+2×2003)-1×2003 =2(1+2+3+…+2003)-2003 =2×

2

)

12003(2003+?-2003

=20032+2003-2003 =20032

∴原式=2003

20032

=2003.

22.解：(1)当n=1时，12+(1×2)2+22=(1×2+1)2；

当n=2时，22+(2×3)2+32=(2×3+1)2； 当n=3时，32+(3×4)2+42=(3×4+1)2； ……

第2005个式子即当n=2005时，有 20052+(2005×2006)2+20062=(2005×2006+1)2.

(2)第n 个式子为n 2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2.证明如下： ∵n 2+[n(n+1)]2+(n+1)2

八年级乘法公式练习题

八年级平方差公式和完全平方公式练习题 1.填空：两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的，即(a+b)(a-b)= ，这个公式叫做公式. 2.用平方差公式计算 (1) (-m+5n)(-m-5n) (2) (3x-1)(3x+1) (3) (y+3x)(3x-y) (4) (-2+ab)(2+ab) 3.判断正误：对的画“√”，错的画“×”. (1)(a-b)(a+b)=a2-b2；（） (2)(b+a)(a-b)=a2-b2；（） (3)(b+a)(-b+a)=a2-b2；（） (4)(b-a)(a+b)=a2-b2；（） (5)(a-b)(a-b)=a2-b2. （） 4.用多项式乘多项式法则计算： 解：(1) (a+b)2解(2) (a-b)2 =(a+b)(a+b) =(a-b)(a-b) = = = = 5.运用完全平方公式计算： (1) (x+6)2 (2) (y-5)2 (3) (-2x+5)2 (4) (x-y)2

（1）(x+1)(x-3)-(x+2)2+(x+2)(x-2) （2）（3）(2x－1) (2x + 1)－2(x－2) (x + 2) 巩固习题 1.填空： (1)平方差公式(a+b)(a-b)= ； (2)完全平方公式(a+b)2= ，(a-b)2= . 2.运用公式计算： (1) (2x-3)2 (2) (-2x+3y)(-2x-3y) (3) (m-3)(m+3) (4) (x+6y)2 3.判断正误：对的画“√”，错的画“×”. (1)(a+b)2=a2+b2；（） (2)(a-b)2=a2-b2；（） (3)(a+b)2=(-a-b)2；（） (4)(a-b)2=(b-a)2. （） 4.去括号： (1)(a+b)-c= (2)-(a-b)+c= (3)a+(b-c)= (4)a-(b+c)=

初中数学分式方程典型例题讲解

第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义

五年级小数乘法典型练习题

简便计算 【知识分析】 怎么巧算呢就是用比较简便、巧妙的方法来计算。同学们，我们已经学习了乘法计算中乘法交换律、结合律和分配率的运用，其实，它在小数的运算中同样适用，用好这些运算定律能使很多的小数计算题变得简单。使计算又对又快！【例题解读】 例1 简便计算：ΧΧ8Χ4 【分析】我们说过：看到“125”，就要想到“8”；看到“25”，就要想到“4”。因此，观察算式“ΧΧ8Χ4”的特点，我们可以把“”和“8”结合起来进行简便计算。 原式=（Χ8）Χ（Χ4） = 100Χ = 520 例2 简便计算：Χ + Χ + 【分析】观察算式，我们发现算式中得每个部分都有，“” 可写成“Χ1”，因此，算式的结果是三个成绩的和，他们都有一个共同的因数，所以，很容易想到运用乘法分配率进行计算。 原式=Χ（ + + 1） = Χ10 = 16 【经典题型练习】 1、简便计算：ΧΧΧ2 2、简便计算：ΧΧ 3、简便计算：Χ + 2Χ + Χ 简便计算练习课

【巩固练习】 4、简便计算：ΧΧ8Χ4 5、简便计算：ΧΧ 6、简便计算：Χ29 + 30Χ +Χ31 7、简便计算：Χ + Χ– 3Χ 8、简便计算：Χ + Χ + 解决实际问题

【知识分析】 我们要学习“还原问题”和“消去问题”。解决“还原问题”采用的方法是“倒过来想”，同学们只要从后往前按照顺序倒过来算就可以了！解决“消去问题”我们可以通过比较条件，想办法消去其中的一个未知量，从而把一道数量关系较复杂的题目转化成较简单的问题解答出来。 【例题解读】 例题1 敬老院里有位老爷爷，他今年的年龄加上20，再除以2，减去15后，再乘3，恰好是105岁。问这位老爷爷今年多少岁【分析】我们从最后的结果除法，利用已知条件一步一步地倒过来分析，就可以逐步退出答案。比如，最后的结果是105，它是通过“乘3”得来的，那么想一想，什么数乘3是105 （1）什么数乘3等于105 105÷3=35 （2）什么数减去15等于35 35+15=50 （3）什么数除以2等于50 50Χ2=100 （4）什么数加上20等于100 100-20=80 答：这位老爷爷今年80岁。 例题2 李阿姨买了3盒巧克力和5千克果冻，一共花了195元；沈叔叔买了同样地3盒巧克力和3千克果冻，一共花了159元。问每盒巧克力和每千克果冻各多少元 【分析】我们把两人买巧克力和果冻的情况用两个等式表示： 3盒巧克力的价钱+5千克果冻的价钱=195元 3盒巧克力的价钱+3千克果冻的价钱=159元为什么沈叔叔会比李阿姨少花195-159=36（元）呢通过观察，

乘法公式和因式分解练习题(汇编)

乘法公式和因式分解练习题 一、选择题 1.已知2264b Nab a +-是一个完全平方式，则N 等于 ( ) A 、8 B 、±8 C 、±16 D 、±32 2.如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ( ) A 、 2xy B 、－2xy C 、4xy D 、－4xy 3.下列可以用平方差公式计算的是( ) A 、(x －y) (x + y) B 、(x －y) (y －x) C 、(x －y)(－y + x) D 、(x －y)(－x + y) 4.下列各式中，运算结果是22169b a -的是( ) A 、)43)(43(b a b a --+- B 、)34)(34(a b a b --+- C 、)34)(34(a b a b -+ D 、)83)(23(b a b a -+ 5、下列各式中,能运用平方差分式分解因式的是（ ） A 、21x +- B 、22y x + C 、42--x D 、()22b a --- 6、若m x x +-82是完全平方式, 则m 的值为（ ） A 、4 B 、8 C 、16 D 、32 7.计算（x +2）2的结果为x 2+□x +4,则“□”中的数为（ ） A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4 8、把多项式1222+--y x xy 分解因式的结果是（ ） A ．)1)(1(+-+-x y y x B.)1)(1(---+x y y x C.)1)(1+--+y x y x D..)1)(1(--+-y x y x 8.已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于（ ） A ．64 B ．48 C ．32 D ．16 9.若949)7(22+-=-bx x a x ，则b a +之值为何？ A ．18 B ．24 C ．39 D ． 45 10.已知8)(2=-n m ，2)(2=+n m ，则=+22n m （ ）

乘法公式与因式分解知识点经典题例

戴氏教育中高考学校教育中心 【教师寄语：请你相信，有志者事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚;苦心人天 不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！】 乘法公式与因式分解 考点一：完全平方公式 1．（2014?南充）下列运算正确的是（） A．a3?a2=a5B．（a2）3=a5C．a3+a3=a6D．（a+b）2=a2+b2 2．（2014?莆田）下列运算正确的是（） A．a3?a2=a6B．（2a）3=6a3C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．3a2﹣a2=2a2 3．（2014?贵港）下列运算正确的是（） A．2a﹣a=1 B．（a﹣1）2=a2﹣1 C．a?a2=a3D．（2a）2=2a2 考点二：平方差公式 4．（2014?句容市一模）下列运算正确的是（） A．3a+2a=a5B．a2?a3=a6C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．（a+b）2=a2+b2 5．（2014?锡山区一模）计算（x﹣2）（2+x）的结果是（） A．x2﹣4 B．4﹣x2C．x2+4x+4 D．x2﹣4x+4 6．（2013?益阳）下列运算正确的是（） A．2a3÷a=6 B．（ab2）2=ab4C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．（a+b）2=a2+b2 考点三：因式分解的意义 7．（2014?海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（） A．a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21 B．a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7） C．（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21 D．a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25 考点四：公因式 8．观察下列各式：①2a+b和a+b；②5m（a﹣b）和﹣a+b；③3（a+b）和﹣a﹣b；④x2﹣y2和x2+y2；其中 有公因式的是（） A．①②B．②③C．③④D．①④ 考点五：因式分解—提取公因式 9．（2014?威海）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（） A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x）C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1 10．（2013?槐荫区一模）把多项式mx2﹣2mx分解因式，结果正确的是（） A．m（x2﹣2x）B．m2（x﹣2）C．m x（x﹣2）D．m x（x+2） 考点六：因式分解—公式法 11．（2014?衡阳）下列因式分解中，正确的个数为（） ①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y） A．3个B．2个C．1个D．0个 12．（2014?常德）下面分解因式正确的是（） A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B．（x2﹣4）x=x3﹣4x C．ax+bx=（a+b）x D．m2﹣2mn+n2=（m+n）2 考点七：因式分解—分组分解 13．（2010?自贡）把x2﹣y2﹣2y﹣1分解因式结果正确的是（）

《小数乘法》练习题及答案.docx

小学五年级数学试卷 《小数乘法》同步试题 湖北省武汉市青山区青山小学张满等（供题） 湖北省武汉市教育科学研究院马青山（整理） 一、填空 1.王阿姨的计算器坏了，显示屏上显示不出小数点，你能很快地帮她写出下面各式的结果吗？ 已知： 148× 23＝ 3404， 那么：1.48 × 23＝（），148 × 2.3 ＝（），0.148 × 23＝（），14.8 × 2.3 ＝（），1.48 × 0.23 ＝（），0.148 ×0.23 ＝（）。 考查目的：考查学生根据因数与积的小数位数的关系，正确确定积的小数点的位置。 答案： 34.04340.4 3.40434.040.34040.03404 解析：这六道小数乘法的计算方法是相同的，就是积的小数点位置不同。它们都是先按照整数乘法“ 148× 23”算出积，再根据小数乘法中因数与积的小数位数之间的关系，在积“3404”中确定小数点的位置。 确定小数点的位置时，一定要数清两个因数一共有几位小数，再从积的右边起数出几位，点上小数点。本 题既考查了学生对小数乘法计算方法掌握的情况，又让学生感受到小数乘法与整数乘法之间的内在联系。 2.在○里填上“＞”“＜”或“＝”。 7.3 ×1.2 ○ 7.3 4.9 × 0.65○ 4.9 5.43 × 1○ 5.43 2.8× 0.86 ○ 2.95 考查目的：考查学生因数与积的大小关系掌握情况。 答案：＞＜＝＜ 解析：这四道小题都要根据积和因数的大小关系进行比较。第一小题是7.3乘大于 1 的数，乘得的积比 7.3 大，所以应该填“＞”；第二小题是 4.9 乘小于 1 的数，乘得的积比 4.9小，所以应该填“＜”； 第三小题是 5.43乘等于 1 的数，乘得的积就是 5.43 ，所以应该填“＝”；第四小题是 2.8 乘小于 1 的数，乘得的积比 2.8小，既然比 2.8 小，那就更比 2.95 小，所以应该填“＜”。 3.根据运算定律在方框里填上合适的数。 （1） 2.5 ×（ 0.77 × 0.4 ）＝（ （2） 6.1 × 3.6 ＋ 3.9 × 3.6 ＝（ （ 3） 2.02 × 8.5 ＝×8.5＋（ 4） 48× 0.25 ＝ 0.25 ×××）×＋）× ×8.5 考查目的：考查学生对乘法运算定律的掌握情况，以及是否能根据乘法运算定律对算式进行适当的变 换。 答案：（ 1）（ 2.5 × 0.4 ）× 0.77 （2）（ 6.1 ＋ 3.9 ）× 3.6 （3） 2× 8.5 ＋ 0.02 × 8.5 （4） 0.25 × 4× 12 解析：这四道小题都是根据乘法运算定律对算式进行变换，根据运算定律对算式进行适当的变换是简 便计算的重要基础。解答本题时，首先要看清算式的结构和数据特点，看是否符合运算定律的基本形式？ 如果符合，可以直接应用乘法运算定律对算式进行变换；如果不符合，就要思考怎样将算式先变成符合运 算定律的形式？第（ 1）小题符合结合律的形式，考虑到数据的特点，可以直接应用乘法交换律、结合律 进行变换。第（2）小题符合乘法分配律的形式，可以直接逆向应用乘法分配律进行变换。第（3）小题是两个数相乘，不符合乘法分配律的形式，但可以将其中一个数“ 2.02 ”改写成“ 2＋ 0.02 ”的形式，这样就可以正向应用乘法分配律进行变换。第（4）小题也是两个数相乘，可以将其中一个数“48”改写成“ 4×12”的形式，这样就可以应用乘法交换律、结合律进行变换。 4.在下面算式的括号里填上合适的数。（你能想出不同的填法吗？） 1.26 ＝（）×（） ＝（）×（）

初中数学最值问题典型例题

初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．

人教版八年级数学上册：乘法公式专题训练试题

人教版八年级数学上册：乘法公式专题训练试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．若x 2+kx+25是一个完全平方式，则k 的值是____________. 2．已知4s t +=则228s t t -+=__________. 3．计算：(x －y)(x 2＋xy ＋y 2)=__________ 4．已知：7a b +=，13ab =，那么 22a ab b -+= ________________． 5．用完全平方公式填空：4-12(x-y)+9(x-y)2＝（___________）2． 6．观察下列各式，探索发现规律：22－1＝1×3；32－1＝2×4；42－1＝3×5；52－1＝4×6；….按此规律，第n 个等式为__ 7．观察下列等式：（1＋2）2－4×1＝12＋4，（2＋2）2－4×2＝22＋4，（3＋2）2－4×3 ＝32＋4，（4＋2）2－4×4＝42＋4，…，则第n 个等式是__________________. 8．杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，西方人帕斯卡发现时，已比宋代杨辉要迟393年．如图，根据你观察的杨辉三角的排列规律，则（a+b ）6结果中含有a 2b 4 的项的系数为_____． 9．若24x kx ++恰好是某一个多项式的平方，那么实数k 的值是_________． 10．观察下列运算并填空． 1×2×3×4＋1＝24＋1＝25＝52； 2×3×4×5＋1＝120＋1＝121＝112； 3×4×5×6＋1＝360＋1＝361＝192 ； 4×5×6×7＋1＝840＋1＝841＝292； 7×8×9×10＋1＝5040＋1＝5041＝712； …… 试猜想：(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)＋1＝________2. 二、单选题 11．在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a ＞b)(如图甲)，把余下的部分

乘法公式(基础)知识讲解

乘法公式（基础） 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘 法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 要点一、平方差公式 平方差公式：22 ()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征： 既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+ （6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两 数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ()2222a b a b ab +=+-()2 2a b ab =-+ ()()22 4a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号， 括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查

小数乘法竖式计算题练习

《小数乘除法竖式计算题》练习 姓名：班级得分 3.5×3= 0.72×5= 2.05×1.4= 12.4×6.7= 2.3×12= 6.7×0.39= 2.44×6.2= 0.56×0.04= 6.7×0.3= 0.56×0.04= 3.7× 4.6= 0.29×0.07= 6.5×8.4= 56×1.3= 3.2×2.5= 2.6×1.08= 0.87×7= 3.5×16= 12.5×42= 1.8×23=

姓名：班级得分 0.37×0.4= 1.06×25= 7×8.06= 0.6×0.39= 27×0.43= 1.7×0.45= 1.23×1.4= 0.37×8.4= 0.86×1.2= 2.34×0.15= 21×2.84= 4.32×8= 6.8×25= 2.58×3= 58×1.6= 36×2.4= 2.56× 3.7= 1.56×0.08= 1.03×5.3= 0.208×2.5=

姓名：班级得分 1.12×1.1= 0.326×1.3= 6.5×6.5= 3.3× 2.6= 0.98×5.5= 2.1×2.15= 5.2×2.9= 0.48×8.1= 26.4×0.063= 0.15×0.65= 26.87×0.063= 0.15×0.5= 1.11×0.77= 1.65×0.08= 103×0.53= 0.208×77= 1.12×1.12= 0.5642×1.3= 6.6×6.5= 39×

2.6= 1.56×5.5= 6.4× 2.15= 5.2×9.9= 0.49×8.1= 姓名：班级得分 25.2÷6= 34.5 ÷1.5= 5.6÷0.04= 1.8÷12= 1.8÷1.2= 7.83÷9= 4.08÷0.8= 0.54÷0.6= 6.3÷0.14= 72÷15= 14.21÷7= 24÷1.5= 1.26÷18= 43.5÷29= 18.9÷0.27= 1.35÷15=

初中数学专题典型例题训练

第一讲：实数与代数专题典型例题讲解 一实数 1. 例：在14-和15 -之间，请写出两个有理数： . 2. 有理数2 2 3 1 2, (2), 2, 2 ---- 按从小到大的顺序排列是（ ） A ．322122< (2) 2-<--<-， B . 223 12< (2) 22 -<--<- C . 22312< (2) 22-<--<-, D . 232 12< 2(2)2 -<--<- 3. 将一刻度尺如图所示放在数轴上 （数轴的单位长度是1CM ），刻度尺上的“0cm ”和 “15cm ”分别对应数轴上的－3.6和x ，则（ ） A ．9＜x ＜10； B ．10＜x ＜11； C ．11＜x ＜12； D ．12＜x ＜13； 4. 下列说法正确的是（ ） A ．互为相反数的两个数一定不相等； B ．互为倒数的两个数一定不相等； C ．互为相反数的两个数的绝对值相等； D ．互为倒数的两个数的绝对值相等； 5. 若3x -和7x -是某个实数的平方根，则x = . 6. 若函数()f x 、()g x 满足()()0f x g x +=，当2()f x x x =-+，则函数()g x 的最小值为： 7. 有理数A 、B 、C 在数轴上的位置如图所示，则式子|A |+|B |+|A +B |+|B -C |化简结果为.[ ]. .A ．2A +3B -C...B ．3B -C..C ．B +C....D ．C -- 8. 若|A -2|＝2-A ，求A 的取值范围。 9. 已知：|x -2|+x -2＝0，.求：(1)x +2的最大值； 10. 单项式3x y π - 的系数是_______，次数是_____。 11. 如果21 13 m n a b +--与5 4a b 的同类项，则M =_____，N =_________。 12. 如图．在正方形ABCD 的边长为3，以A 为圆心，2为半径作圆弧．以D 为圆心， 3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S 1、S 2．则S 1-S 2= . 13. 以Rt △ACB 两条直角边为直径向外作半圆，如图，其面积分别为1S 和2S ，若△ABC 的面积为S ，则12,S S 与S 的关系为 . 14. 若2 2(3)16x m x +-+是完全平方式，则m 的值为： . 15. 若m 2+m -1=0，求m 3+2m 2+2015的值． 16. 若0,0,x xy <<则15y x x y -+---=

五年级数学小数乘法单元练习题

小数乘法单元练习 一、直接写得数。 二、耐心填一填。 1、2.4+2.4+2.4+2.4 = 2.4×( ) = ( ) 2、根据56×1.3=72.8，直接写出下面各题的结果。 56×13=( ) 0.56×1.3=( ) 5.6×13=( ) 3、根据乘法的运算定律填空。 3.12×0.5=□×□12.5×8.7×0.8=(□×□)×□ (2.5＋0.6)×4=□×□＋□×□ 4.1×1.5＋5.9×1.5=(□＋□)×□4、在○里填上＞、＜或＝ 924×0.6○924 1×0.44○0.44 7.3×1.8○7.3 5、两个因数的积是8.45。如果两个因数同时扩大10倍，则积是（）。 三、请你来当小裁判。 1、0.35×7的积是两位小数。（） 2、48×0.2＞48 （） 3、9.276保留一位小数大约是9.3。（） 4、1.25×(0.8＋1) = 1.25×0.8＋1 （） 5、两个小数相乘的积一定小于1。（） 四、用心选一选。（将正确答案的序号填在括号里） 1、0.25的12倍是（）。 A、0.03 B、0.3 C、3 2、一个数乘0.01，也就是把这个数缩小到它的（）。 A、1/100 B、1/10 C、10倍 3、0.7×0.2与7×0.02的积（）。 A、相等 B、不相等 C、无法判断 4、0.065×45=2.925，如果得数保留一位小数，则是（）。 A、3.0 B、2.9 C、2.93 五、细心算一算。 1、用竖式计算。 4.2×0.8= 1.5×62= 2.7×0.11= 2.9×0.56（得数保留一位小数） 6.23×4.2（得数保留两位小数）

(完整版)初一年级数学经典例题

数学天地： 初一年级数学核心题目赏析 有理数及其运算篇 【核心提示】 有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方. 通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面. 【核心例题】 例1计算：2007 20061 ......431321211?+ +?+?+? 分析 此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆 成 2 1 11211-=?，可利用通项 ()11111+-=+?n n n n ，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解. 解 原式=)20071 20061(......413131212111-++-+-+-）（）（）（ =20071 20061......41313121211- ++-+-+- =20071 1- =2007 2006 例2 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点 分别为A 、B 、C(如右图).化简b c b a a -+-+. 分析 从数轴上可直接得到a 、b 、c 的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b<0、c-b>0. 解 由数轴知，a<0，a-b<0，c-b>0 所以，b c b a a -+-+= -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c 例3 计算：?? ? ??-??? ??-????? ??-??? ??-??? ??-211311 (9811991110011)

乘法公式-乘法公式练习题

乘法公式练习题 1.(2004·青海)下列各式中，相等关系一定成立的是( ) A.(x-y)2=(y-x)2 B.(x+6)(x-6)=x2-6 C.(x+y)2=x2+y2 D.6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x-6) 2.(2003·泰州)下列运算正确的是( ) A.x2+x2=2x4 B.a2·a3= a5 C.(-2x2)4=16x6 D.(x+3y)(x-3y)=x2-3y2 3.(2003·河南)下列计算正确的是( ) A.(-4x)·(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4x B.(x+y)(x2+y2)=x3+y3 C.(-4a-1)(4a-1)=1-16a2 D.(x-2y)2=x2-2xy+4y2 4.(x+2)(x-2)(x2+4)的计算结果是( ) A.x4+16 B.-x4-16 C.x4-16 D.16-x4 5.19922-1991×1993的计算结果是( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 6.对于任意的整数n，能整除代数式(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是( ) A.4 B.3 C.5 D.2 7.( )(5a+1)=1-25a2，(2x-3) =4x2-9，(-2a2-5b)( )=4a4-25b2 8.99×101=( )( )= . 9.(x-y+z)(-x+y+z)=[z+( )][ ]=z2-( )2. 10.多项式x2+kx+25是另一个多项式的平方，则k= . 11.(a+b)2=(a-b)2+ ，a2+b2=[(a+b)2+(a-b)2]( )， a2+b2=(a+b)2+ ，a2+b2=(a-b)2+ . 12.计算. (1)(a+b)2-(a-b)2； (2)(3x-4y)2-(3x+y)2； (3)(2x+3y)2-(4x-9y)(4x+9y)+(2x-3y)2； (4)1.23452+0.76552+2.469×0.7655； (5)(x+2y)(x-y)-(x+y)2. 13.已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值

乘法公式的拓展及常见题型整理

乘法公式的拓展及常见题型整理 例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222 121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---222 2)()1(则= ⑴若()()a b a b -=+=2 2 713，，则a b 22 +=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++2 2 ，则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+- ，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2 =m ，(a —b)2 =n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-2 2)32()32(， 则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求) )((2222d c b a ++ 例题：已知(a+b)2 =7,(a-b)2 =3, 求值: (1)a 2 +b 2 (2)ab 例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=20 1 x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+= ⑵若2=+b a ，则b b a 422 +-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++= ⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值 是 ． （四）步步为营 例题：3?(22 +1)?(24 +1)?(28 +1)?(162+1) 6?)17(+?(72+1)?(74+1)?(78+1)+1 ()( )()()()224 4 8 8 a b a b a b a b a b -+ +++ 1)12()12()12()12()12()12(3216842++?+?+?+?+?+

整式乘法公式专项练习题

《乘法公式》练习题（一） 一、填空题 1.(a +b )(a －b )=_____, 2.(x －1)(x +1)=_____, (2a +b )(2a －b )=_____, (31x －y )(3 1x +y )=_____. 3.(x +4)(－x +4)=_____, (x +3y )(_____)=9y 2－x 2, (－m －n )(_____)=m 2－n 2 4.98×102=(_____)(_____)=( )2－( )2=_____. 5.－(2x 2+3y )(3y －2x 2)=_____. 6.(a －b )(a +b )(a 2+b 2)=_____. 7.(_____－4b )(_____+4b )=9a 2－16b 2, (_____－2x )(_____－2x )=4x 2－25y 2 8.(xy －z )(z +xy )=_____, (65x －0.7y )(65x +0.7y )=_____. 9.(41x +y 2)(_____)=y 4－16 1x 2 10.观察下列各式： (x －1)(x +1)=x 2－1 (x －1)(x 2+x +1)=x 3－1 (x －1)(x 3+x 2+x +1)=x 4－1 根据前面各式的规律可得 (x －1)(x n +x n －1+…+x +1)=_____. 二、选择题 11.下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( ) A.(x +y )(－x －y ) B.(2x +3y )(2x －3z ) C.(－a －b )(a －b ) D.(m －n )(n －m ) 12.下列计算正确的是( ) A.(2x +3)(2x －3)=2x 2－9 B.(x +4)(x －4)=x 2－4 C.(5+x )(x －6)=x 2－30 D.(－1+4b )(－1－4b )=1－16b 2 13.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( ) A.(－a －b )(－b +a ) B.(xy +z )(xy －z ) C.(－2a －b )(2a +b ) D.(0.5x －y )(－y －0.5x ) 14.(4x 2－5y )需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( ) A.－4x 2－5y B.－4x 2+5y C.(4x 2－5y )2 D.(4x +5y )2 15.a 4+(1－a )(1+a )(1+a 2)的计算结果是( ) A.－1 B.1 C.2a 4－1 D.1－2a 4 16.下列各式运算结果是x 2－25y 2的是( ) A.(x +5y )(－x +5y ) B.(－x －5y )(－x +5y ) C.(x －y )(x +25y ) D.(x －5y )(5y －x )

四年级小数乘法计算题

9.99×0.02 4.67×0.9 5.54×2.44 1.666×6.1 9.432×0.002 5.6×6.5 4.88×2.9 5.61×2.1 8.9×2.4 9.77×0.02 1.384×5.1 8.78×83 2.6×61 0.059×0.2 4.268×1.7 57×5.7 9.46×2.85 17.8×6.4 1.5×4.9 2.5×0.88

56.78×8 5.6×2.9 3.77×1.8 0.02×96 5.22×0.3 9.99×0.02 4.67×0.9 5×2.44 1.666×6.1 9.432×0.002 5.6×6.5 4.88×2.9 5.61×4.3 8.9×2.4 5.5×55 9.77×0.02 1.384×5.1 8.78×83 2.6×61 0.059×0.2

4.268×1.7 57× 5.7 9.46×2.85 17.8× 6.4 1.5×4.9 2.5×0.88 5.555×5.2 2.22×3.33 7.658×85 36.02×0.3 56.78×8 3 0.1×5.3 5.3×6.3 4.4×7.3 4× 8.8 4.1×0.8 9.9×1.4 6.4×2.4 12.48×4 9.8×1.3 4.8×9.1 0.6×7 4.2×1.8 8.6×6.5

小数乘法计算练习四姓名学号 5.59×4.3 0.2×5.6 9.4×8.4 0.5×4.6 1.3×1.6 4.6×3.8 9.1×5.6 70.4×1.9 2.1×7.9 3.8×2.3 1.8×9.6 2.1×7.9 3.8×2.3 1.8×9.6 6.1× 4.8 27.5× 5.7 8.7×0.1 1.7×4.7 8.6×8.9 0.3×7.6 2.1×0.4 9.8×4.3 7.7×9.9 3.4×9

乘法公式公式的应用(能力提高试题)

平方差公式专项练习题 A卷：基础题 一、选择题 1．平方差公式（）（a－b）2－b2中字母a，b表示（） A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式D．以上都可以 2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（）（） B．（－）（a－b） C．（1 3）（b－1 3 a） D．（a2－b）（b2） 3．下列计算中，错误的有（） ①（34）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2）=4a2－b2； ③（3－x）（3）2－9；④（－）·（）=－（x－y）（）=－x2－y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若x2－y2=30，且x－－5，则的值是（） A．5 B．6 C．－6 D．－5 二、填空题 5．（－2）（－2x－y）． 6．（－3x2+2y2）（）=9x4－4y4． 7．（－1）（a－1）=（）2－（）2．

8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是． 三、计算题 9．利用平方差公式计算：202 3×2113 ． 10．计算：（2）（a 2 +4）（a 4 +16）（a －2）． B 卷：提高题 一、七彩题 1．（多题－思路题）计算： （1）（2+1）（22 +1）（24 +1）…（22 1）+1（n 是正整数）； （2）（3+1）（32 +1）（34 +1）…（32008 +1）－ 4016 32 ． 2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082 ．

（1）一变：利用平方差公式计算：22007 200720082006 -?． （2）二变：利用平方差公式计算：2 2007200820061 ?+． 二、知识交叉题 3．（科内交叉题）解方程：x （2）+（21）（2x －1）=5（x 2 +3）．

排列&组合计算公式及经典例题汇总

排列组合公式/排列组合计算公式 排列A------和顺序有关 组合 C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示. A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号

c(n,m) 表示. c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝A(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为 c(m+k-1,m). 排列（Anm(n为下标，m为上标)） Anm=n×（n-1）....（n-m+1）；Anm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Ann（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；An1（n为下标1为上标）=n