上海高二数学矩阵及其运算

矩阵及其运算

矩阵的概念

1、形如13?? ???、512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-??、2313242414m n ??

?- ? ?

-?

?这样的矩形数表叫做矩阵。

2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ???称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量12n b b b ??

? ? ???? ???

称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ?阶矩阵，m n ?阶矩阵可记做m n A ?，如矩阵13?? ???

为

21?阶矩阵，可记做21A ?；矩阵512128363836232128?? ? ? ???

为33?阶矩阵，可记做33A ?。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ?阶矩阵m n A ?中的第i （i m ≤）行第j （j n ≤）列数可用

字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128??

?

? ???

第3行第2个数为3221a =。

4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000??

???

为一个23?阶零矩阵。

5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列），可称此方阵为n

阶方阵，如矩阵512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ??

?

- ? ?-??

均为三阶方阵。在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有

元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001??

???

为2

阶单位矩阵，矩阵100010001??

?

? ???

为3阶单位矩阵。

6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，

当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。

7、对于方程组231324244x y mz x y z x y nz ++=??-+=??+-=?

中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列所得的矩阵2332441m n ?? ?

- ? ?-??，我们叫

做方程组的系数矩阵；而矩阵2313242414m n ??

?

- ? ?-??

叫做方程组的增广矩阵。

应用举例： 例1、已知矩阵222,22x x y b a A B x a b y

x y ---????

==

? ?++????且A B =，求a 、b 的值及矩阵A 。

例2、写出下列线性方程组的增广矩阵：

（1）23146x y x y +=??-=?； （2）2320

3250230

x y z x y z x y z +-+=??-++-=??-++=?

例3、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：

（1）235124-?? ?-?? （2）210203213023-??

?

- ? ?-??

例4、已知矩阵sin cos 0sin cos 1ααββ+?? ?+??为单位矩阵，且,,2παβπ??∈????

，求()sin αβ-的值。

矩阵的基本变换：

（1）互换矩阵的两行或两列；

（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；

（3）某一行乘以一个数加到另一行。

显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。

应用举例：

例1、用矩阵变换的方法解三元一次方程组

435

724

5238

x y z

x y z

x y z

+-=

?

?

++=

?

?--=

?

的解。

例2、运用矩阵变换方法解方程组：

32

2

ax y

x y b

+=

?

?

-=

?

（a、b为常数）

课堂练习：

用矩阵变换方法解下列问题：

（1）若方程组

2

(1)(1)4

x y

k x k y

+=

?

?

-++=

?

的解x与y相等，求k的值。

（3）解方程组：320255781x y z x y z x y z -+=??

++=??-+=-?

矩阵运算

（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.） 1．相等

定义 如果两个矩阵[]

n

m ij

a A ?=，[]

p

s ij

b B ?=满足：

(1) 行、列数相同，即 p n s m ==,；

(2) 对应元素相等，即a ij = b ij (i = 1, 2, …, m ；j = 1, 2, …, n )， 则称矩阵A 与矩阵B 相等，记作 A = B

（由矩阵相等定义可知，用等式表示两个m ?n 矩阵相等，等价于元素之间的m ?n 个等式.）例如，矩阵

A =????

??2322

21

131211a a a a a a ， B =??

?

???--412503 那么A = B ，当且仅当

a 11 = 3，a 12 = 0，a 13 = -5，a 21 = -2，a 22 = 1，a 23 = 4

而

C = ??

?

?

??22211211c c c c 因为B , C 这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C 中的元素c 11, c 12, c 21, c 22取什么数都不会与矩阵B 相等.

2．加法

定义2.3 设[]

n

m ij a A ?=，[]

p

s ij

b B ?=是两个m ?n 矩阵，则称矩阵

C = ?

?

??

???

??

???+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a

2

21

12222

2221

211112121111

为A 与B 的和，记作

C = A + B = []

ij ij b a +

（由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.） 同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) =[]

ij ij b a - 称D 为A 与B 的差. 例1 设矩阵A =??????---152403， B =??

?

???--130432，求A + B ，A - B .

例2、矩阵cos cos 0tan 1A αβ

α??=

???，00tan tan tan B β

αβ??= ?-??，010

1

7C ??

- ?

= ? ?-?

?

，若A B C +=

，(0,)2πα∈，(,)2

πβπ∈，求sin 2

αβ

+的值。

矩阵加法满足的运算规则是什么？

设A , B , C , O 都是m ?n 矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则 1. 加法交换律： A + B = B + A ； 2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩阵满足： A + O = A ； 4. 存在矩阵-A ，满足：A -A = A + (-A ) = O .

3．数乘

定义 2.4 设矩阵[]

n

m ij

a A ?=，λ为任意实数，则称矩阵[]

n

m ij

c C ?=为数λ与矩阵A 的数乘，其中

),2,1;,,2,1(n j m i a c ij ij ===λ，记为

C =λA

（由定义2.4可知，数λ乘一个矩阵A ，需要用数λ去乘矩阵A 的每一个元素.特别地，当λ = -1时，λA = -A ，得到A 的负矩阵.）

例3 设矩阵A =??

??

??????--062504713，用2去乘矩阵A ，求2A.

数乘矩阵满足的运算规则是什么？ 对数k , l 和矩阵A = []

n

m ij

a ?，B =[]

n

m ij

b ?满足以下运算规则：

1. 数对矩阵的分配律：k (A + B ) = kA + kB ；

2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA ；

3. 数与矩阵的结合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ；

4. 数1与矩阵满足： 1A = A .

例4 设矩阵 A =??????????-610523，B =????

??????--712834，求3A - 2B .

4．乘法

矩阵乘积的定义 设A =[]ij a 是一个m ?s 矩阵，B =[]ij b 是一个s ?n 矩阵，则称m ?n 矩阵C =[]

ij c 为矩阵

A 与

B 的乘积，记作

C = AB .其中c ij = a i 1b 1 j + a i 2b 2 j + … + a i s b s j =

a

b ik

kj k s

-∑1

(i = 1, 2, …, m ；j = 1, 2, …, n ).

（由矩阵乘积的定义可知：）

(1) 只有当左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数时，A , B 才能作乘法运算AB ；

(2) 两个矩阵的乘积AB 亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A 的行数，它的列数等于右矩阵B 的列数； (3) 乘积矩阵AB 中的第i 行第j 列的元素等于A 的第i 行元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则.

例6 设矩阵 A = ????

??????--530412， B = ??

?

???--10789，计算AB .

例7 设矩阵 A = ????

??2142，B =??

?

???--1122， 求AB 和BA .

由例6、例7可知，当乘积矩阵AB 有意义时，BA 不一定有意义；即使乘积矩阵AB 和BA 有意义时，AB 和BA 也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变.

在例6中矩阵A 和B 都是非零矩阵（A ≠O , B ≠O ）,但是矩阵A 和B 的乘积矩阵AB 是一个零矩阵（AB = O ），即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因此，当AB = O ，不能得出A 和B 中至少有一个是零矩阵的结论.

一般地，当乘积矩阵AB = AC ，且A ≠O 时，不能消去矩阵A ，而得到B = C .这说明矩阵乘法也不满足消去律.

那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢？

矩阵乘法满足下列运算规则： 1. 乘法结合律：（AB ）C = A （BC ）； 2. 左乘分配律：A （B + C ） = AB + AC ； 右乘分配律：（B + C ）A = BA + CA ； 3. 数乘结合律：k （AB ）= （k A ）B = A （k B ），其中k 是一个常数. 例8：已知?

??

?

??=0110A ，矩阵12B ??= ???，求AB 。

练习：计算下列矩阵的乘法

（1）12

12

()n n b b a a a b ?? ? ? ? ???；（2）1212

()n n a a b b b a ?? ? ? ? ???

。

例9、已知矩阵[])(x f A =，[]x x B -=1，??

?

???=a 2x C ，若A=BC ，求函数)x (f 在[1,2] 上的最小值.

例10：将下列线性方程组写成矩阵乘法的形式

（1）21437x y x y -=??+=?；（2）231

4231241

x y z x y z x y z -+=??-+=??-+=-?

。

例11：若AB BA =，矩阵B 就称为与A 可变换，设1101A ??

= ???

，求所有与A 可交换的矩阵B 。

课堂练习与课后作业

一、选择题 1、“两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（ ）

A 、充分不必要条件

B 、必要不充分条件是

C 、充要条件

D 、既不充分又不必要条件 2、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组??

?-=-=+1

y 2x 2

y 3x 2其中正确的是（ ）

A 、??????-=????????????-122132y x

B 、??

????-=????????????-122312y x

C 、??????-=??????????

??-122132y x D 、??

?

???-=?

???????????-121223y x

3、若211403201453A B -???? ? ?

== ? ? ? ?--????

，，且23A X B -=，则矩阵X =___________.

4、点A （1，2）在矩阵?

?

?

?

??-1022对应的变换作用下得到的点的坐标是___________ 5、已知??

?

?

??b a 2000是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，那么a+b= .

6、若点A )22

,22(在矩阵??

?

?

??-αα

ααcos sin sin cos 对应的变换作用下得到的点为（1，0），那么α= .

7、若点A 在矩阵1222-????-??

对应的变换作用下下得到的点为（2，4），那么点A 的坐标为 .

8、已知????

??

--+-=1sin cos sin cos 1ββααA ，??

?

???--=1221B 若A=B ，那么α+β= . 9、设A 为二阶矩阵，其元素满足，0a a ji ij =+i=1，2，j=1，2，且2a a 2112=-，那么矩阵 A= .

10：46x A y ??= ???，13u B v ??

= ???

，且A B =，那么A+AB= 。

11、一个线性方程组满足，系数矩阵为单位矩阵，解为1行3列的矩阵(1,2,1)-，那么该线性方程组为 。

12、计算:

若矩阵1

cos60sin602sin60cos6012A B ?-

?-????== ??????

-??

，，则

AB =___________. 13、计算：342112546110221???? ?

? ?-?? ?

??

= .

14. 线性方程组60

3540x y x y --=??++=?对应的系数矩阵是___________，增广矩阵是___________.

15、 已知矩阵2301(1,2)123A B C ??

-?? ?

==-= ? ?-?? ?

-??

，，，则()AB C =___________.

二、简答题

1.

已知1011A ??= ???

，分别计算23A A 、，猜测*

(2)n A n n ≥∈N ，；

2. 将下列线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解: ⑴ 32110250x y x y --=??+-=?

；

⑵ 111612102113x y z ?????? ??? ?-= ??? ? ??? ?-??????

.

3.

若202137x y -??????= ??? ?-??????

，则x y +=__________

4、已知矩阵[])(x f A =，[]x x x B sin 2cos sin -=，??

????=x x C sin cos ，若A=BC ，求函数)x (f 在]3,0[π

上的最小值.

上海市高二下学期期末考试数学试题(含答案)

高二下学期期末考试数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.过点)2,1(、)6,3(的直线的斜率为______________． 2.若i 是虚数单位，复数z 满足5)43(=-z i ,则z 的虚部为_________． 3.正四面体ABC S -的所有棱长都为2，则它的体积为________． 4.以)2,1(-为圆心且过原点的圆的方程为_____________． 5.从一副52张扑克牌中第一张抽到“Q ”，重新放回，第二张抽到一张有人头的牌，则这两个事件都发生的概率为________． 6.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________． 7.正方体1111D C B A ABCD -中，二面角111C D A B --的大小为__________． 8.双曲线14 22 =-y x 的顶点到其渐近线的距离等于_________． 9.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为9,11,10,,y x .已知这组数据的平均数为10，方差为2，则=-||y x __________． 10.在长方体1111D C B A ABCD -中，已知36,91==BC AA ， N 为BC 的中点，则直线11C D 与平面N B A 11的距离是___________． 11.棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的8个顶点都在球面O 的表面上，E 、F 分别是棱1AA 、1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为________． 12.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外 科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________．(用数字作答) 13.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计） 14.设焦点是)5,0(1-F 、)5,0(2F 的双曲线C 在第一象限内的部分记为曲线T ，若点ΛΛ),,(),,2(),,1(2211n n y n P y P y P 都在曲线T 上，记点),(n n y n P 到直线02:=+-k y x l 的距离为),2,1(Λ=n d n ,又已知5lim =∞ →n n d ，则常数=k ___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（ ）平方米. A ．32424-π B ．33636-π C ．32436-π D ．33648-π 第15题图

上海高二数学期末考试试题

2015-2016上海市高二数学期末试卷 （共150分，时间120分钟） 一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分） 1.对抛物线24y x =，下列描述正确的是（ ） A 开口向上，焦点为(0,1) B 开口向上，焦点为1(0, )16 C 开口向右，焦点为(1,0) D 开口向右，焦点为1 (0,)16 2.已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ?是B ?的 （ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3.椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为（ ） A 25- B 25 C 1- D 1 4.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =, b D A =11， c A A =1，则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A c b a ++-2121 B c b a ++2121 C c b a +-2121 D c b a +--2 1 21 5.空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0）， 若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为（ ） A 平面 B 直线 C 圆 D 线段 6.给出下列等式：命题甲：2 2,2,)2 1 (1x x x -成等比数列，命题乙：)3lg(),1lg(,lg ++x x x 成等差数列，则甲是乙的（ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 7.已知a =(1,2,3),b =（3，0，-1），c =?? ? ??--53,1,5 1给出下列等式： ①∣c b a ++∣=∣c b a --∣ ②c b a ?+)( =)(c b a +? ③2)(c b a ++=2 22c b a ++

上海市高二数学期末考试

高二第一学期数学期末考试 一、填空题（每题3分，共39分） 1、已知数列的通项公式1 2+= n n a n ，求这个数列第6项____________ 2、在等差数列{}n a 中，1615210S d a ，则，且=-==_____________ 3、若等差数列{}n a 共有十项，其中奇数项的和是12.5，偶数项的和是15，则公差d =________ 4、已知等差数列{}{}n n b a 、满足5 32+= n n b a n n ，它们的前n 项之和分别记为n n T S 和，求 11 11T S 的值_______________ 5、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则 52 S S =____________ 6、已知数列{a n }为等比数列，Sn 是它的前n 项和。若a 2· a 3=2a 1,且a4与2a 7等差中项为54 ， 则S 5＝__________ 7、已知向量a 与b 都是单位向量，它们的夹角为120?，且3= +b a k ，则实数k 的 值是 8、若向量a =)(,2x x ，b =)(3,2x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 . 9、设向量a 与b 的夹角为θ，)3,3(=a ，)1,1(2-=-a b ，则cos θ= ． 10、已知向量(4,0),(2,2),AB AC == 则BC AC 与的夹角的大小为 . 11、P 为ΔABC 所在平面上的点，且满足AP =AB +12 A C ，则ΔABP 与ΔABC 的面积之比是 _______． 12、对于n 个向量， 12n a ,a ,,a ,若存在n 个不全为零的实数12,,,n k k k 使得 120n k k k +++= 12n a a a 成立，则称向量 12n a ,a ,,a ,是线性相关的.按此规定，能使向 量(1,0),(1,1),(2,2)==-=123a a a 是线性相关的实数123,,k k k 的值依次为 13、若==k k 则,01 2 131 12 _____________。 二、选择题（每题3分，共12分）

上海市建平中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题(解析版)

建平中学2019学年度第二学期期末考试 高二数学试卷 2020.06.30 说明：（1）本场考试时间为120分钟，总分150分； （2）请认真答卷，并用规范文字书写． 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1．半径为1的球的表面积为______________． 【答案】4π 2．二项式()10 1x +的展开式中5 x 的系数为_____________． 【答案】252 3．圆锥的底面半径为1，一条母线长为3，则此圆锥的高为_______________． 【答案】4．若2 666n n C -=，则正整数n 的值为_______________． 【答案】37 5．已知0 01x y x y ≥?? ≥??+≤? ，则2x y -的最小值为_____________． 【答案】1- 6．数据110,119,120,121的方差为_____________． 【答案】19.25 7．已知关于,,x y z 的实系数三元一次线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=??++=??++=?有唯一解415 x y z =?? =??=-? ，设

1 112 223 3 3d b c A d b c d b c =，11122233 3 a d c B a d c a d c =，111 2 2233 3 a b d C a b d a b d =，则A B C ++=_____________． 【答案】0 8．已知{ }* ,2020,N a b x x x ∈≤∈，满足a b <的有序实数对(),a b 的个数为_________． 【答案】2039190 9．已知关于,x y 的实系数二元一次线性方程组的增广矩阵为22126a A -?? = ??? ，小明同学为了求解 此方程组，将矩阵A 进行初等变换得到矩阵21715B b -?? = ??? ，则a b +=_____． 【答案】2 10． 111111111110!10!1!9!2!8!3!7!4!6!5!5!6!4!7!3!8!2!9!1!10!0! ++++++++++=_______． 【答案】 4 14175 11．已知等边ABC △的边长为2，设BC 边上的高为AD ，将ADC △沿AD 翻折使得点B 与点C A BCD -的外接球的体积为_____________． 【答案】 6 12． ()()()() 2 3 4 6 54326 54321031111x x x a x a x a x a x a x a x a x ---=++++++-对任意()0,1x ∈恒成立， 则3a =______________． 【答案】6 二、选择题（每题5分，满分20分）

高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析

高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析 1．定义运算?? ????++=?????????????df ce bf ae f e d c b a ，如??? ???=?????????????1514543021.已知πβα=+， 2 π βα=-，则=? ? ? ???????? ??ββααααsin cos sin cos cos sin （ ）. A. 00?? ???? B. 01?????? C. 10?????? D. 11?????? 2．定义运算 a b ad bc c d =-,则符合条件 120 121z i i i +=--的复数z 对应的点在 ( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 3．矩阵E =??? ? ??1001的特征值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意实数 4． 若行列式21 24 1 013 9x x =-，则=x ． 5．若2021310x y -??????= ??? ?-?????? ，则x y += ． 6．已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-?? ??? ，则 x y -=_______． 7．矩阵1141?? ???? 的特征值为 ． 8．已知变换100M b ?? =? ??? ，点(2,1)A -在变换M 下变换为点(,1)A a '，则a b += 9．配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10ml 到110ml 之间，用0.618 法寻找最佳加入量时，若第一试点是差点，第二试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量可以是 ； 10．已知 ， ，则y= ． 11．若2211 x x x y y y =--，则______x y +=

上海市2021年高二数学第二学期期末模拟考试卷(一)

上海市高二第二学期期末模拟考试卷（一） 一、填空题 1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是______． 2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为______． 3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为 ______． 4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为______． 5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为______．6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为______． 7．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为______．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数） 相切，切点在第一象限，则实数a的值为______． 9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B 两地的球面距离为______． 10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=______． 11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是______（结果用反三角函数值表示）． 12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是______． 13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T 的最小值为______．

14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有______（写出所有曲线的序号） ①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0． 二、选择题 15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（） A．关于x轴对称 B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称 17．下列命题中，正确的命题是（） A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2 B．若z∈R，则z?=|z|2不成立 C．z1、z2∈C，z1?z2=0，则z1=0或z2=0 D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0 18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题： ①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变 ②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变 ③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变 ④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）

上海市高二上学期期末数学试卷(理科)

上海市高二上学期期末数学试卷（理科） 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题： (共12题；共24分) 1. （2分）已知命题p：?x∈R，x﹣2＞lg（x+1），命题q：f（x）= 是偶函数，则下列结论中正确的是（） A . p∨q是假命题 B . p∧q是真命题 C . p∧￢q是真命题 D . p∨￢q是真命题 2. （2分） (2017高二上·牡丹江月考) 椭圆（）上存在一点满足， 为椭圆的左焦点，为椭圆的右顶点，则椭圆的离心率的范围是（） A . B . C . D . 3. （2分） (2018高二上·舒兰月考) 已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则 （） A . 8 B . 16 C . 27

4. （2分）(2018·长沙模拟) 记不等式组所表示的平面区域为，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（） A . B . C . D . 5. （2分）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c且有20a +15b +12c = ，则△ABC的形状为（） A . 锐角三角形 B . 钝角三角形 C . 直角三角形 D . 等腰直角三角形 6. （2分）等差数列的首项为a1 ，公差为d，前n项和为Sn ．则“”是“Sn的最小值为S1 ，且Sn无最大值”的（） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要 7. （2分）已知{an}为等差数列，且a2=3，a6=5，S7=（） A . 42

C . 24 D . 34 8. （2分） (2015高二下·椒江期中) 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知，， ，则用向量，，可表示向量等于（） A . B . C . D . 9. （2分）(2017·莆田模拟) 已知双曲线 =1的一条渐近线斜率大于1，则实数m的取值范围（） A . （0，4） B . （0，） C . （0，2） D . （，4） 10. （2分）已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（） A . B . C . 4

苏教版高中数学高二选修4-2 矩阵乘法的概念

选修4－2矩阵与变换 2.3.1 矩阵乘法的概念 编写人： 编号：008 学习目标 1、 熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法。 2、 理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，从几何变换的角度来看，它表 示的是原来两个矩阵对应的连续两次变换。 学习过程： 一、预习： （一）阅读教材，解决下列问题： 问题：如果我们对一个平面向量连续实施两次几何变换,结果会是怎样?举例说明。 归纳1：矩阵乘法法则: 归纳2：矩阵乘法的几何意义： （二）初等变换：在数学中，一一对应的平面几何变换都可看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变变换通常叫做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵。 练习 、.?? ??????????10110110=（ ） A 、???? ??1110 B 、??????1011 C 、? ? ? ???0111 D 、??????0110 、已知矩阵X 、M 、N,若M =?? ? ???--1111, N =??????--3322，则下列X 中不满足:XM=N ,的一个 是（ ） A 、X =???? ??--2120 B 、X =??????--1211 C 、X =??????--3031 D 、X =? ? ? ???-3053

二、课堂训练： 例1．（1）已知A= 11 22 11 22 ?? ? ? ? ? ?? ，B= 11 22 11 22 ?? - ? ? ? - ? ?? ,计算AB （2）已知A= 10 02 ?? ? ?? ，B= 14 23 ?? ? - ?? ，计算AB,BA (3)已知A= 10 00 ?? ? ?? ，B= 10 01 ?? ? ?? ，C= 10 02 ?? ? ?? 计算AB,AC 例2、已知梯形ABCD，其中A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先将梯形作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转0 90 (1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M (2)求点A,B,C,D在 M T作用下所得到的结果 (3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形，并验证(2)中的结论。

上海高二数学矩阵及其运算

矩阵及其运算 矩阵的概念 1、形如13?? ???、512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-??、2313242414m n ?? ? - ? ?-?? 这样的矩形数表叫做矩阵。 2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ???称为行向量；垂直方向排列 的数组成的向量12n b b b ?? ? ? ???? ??? 称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ?阶矩阵，m n ?阶矩阵可记做m n A ?，如矩阵13 ?? ??? 为21?阶矩阵，可记做21A ?；矩阵 512128363836232128?? ? ? ??? 为33?阶矩阵，可记做33A ?。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ?阶矩阵m n A ?中的第i （i m ≤）行第 j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128?? ? ? ??? 第3行第2个数为3221a =。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000?? ??? 为一个 23?阶零矩阵。 5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有 n 行（列），可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-?? 均为三阶方阵。在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线

的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001?? ??? 为2阶单位矩阵，矩阵100010001?? ? ? ??? 为3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。 7、对于方程组231 324244x y mz x y z x y nz ++=?? -+=??+-=? 中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列所得的矩阵 2332441m n ?? ?- ? ?-??，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵2313242414m n ?? ?- ? ?-?? 叫做方程组的增广矩阵。 应用举例： 例1、已知矩阵222,22x x y b a A B x a b y x y ---???? == ? ?++????且A B =，求a 、b 的值及矩阵A 。 例2、写出下列线性方程组的增广矩阵： （1）23146x y x y +=??-=?；（2）2320 3250230 x y z x y z x y z +-+=?? -++-=??-++=? 例3、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组： （1）235124-?? ?-??（2）210203213023-?? ? - ? ? -?? 例4、已知矩阵sin cos 0sin cos 1αα ββ+?? ?+??为单位矩阵，且,,2παβπ?? ∈???? ，求()sin αβ-的值。 矩阵的基本变换：

上海市高二数学上学期期末考试

201６学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷 (考试时间:1２0分钟 满分:150分 ） 一.填空题（１--6每小题4分,7--12每小题5分,共５4分） 1.已知复数i i z += 2(i 为虚数单位），则=||z ． ２．若)1,2(=d 是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示). ３.抛物线2 4y x =的焦点坐标为 . 4.6 2x ? - ? 的展开式中的常数项的值是 . ５.已知实数x 、y 满足不等式组5 2600 x y x y x y +≤??+≤? ?≥??≥?,则34z x y =+的最大值是 ． ６．已知虚数ααsin cos i z += 是方程0232 =+-a x x 的一个根,则实数 =a . 7.已知21,F F 为双曲线C:12 2 =-y x 的左右焦点,点P 在双曲线Ｃ上,1260F PF ∠=?,则 =?||||21PF PF ． 8.某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2 名，则不同的安排方案种数为 . 9. 设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θ θ =+??=-+?（θ为参数),直线l 的方程为320x y -+=,则曲 线C 上到直线l 距离为 10 的点的个数为______＿＿____. 10.已知抛物线y x 32=上的两点Ａ、B 的横坐标恰是关于x 的方程02 =++q px x （,p q 是 常数)的两个实根,则直线AB 的方程是 .

11．在ABC ?中, AB 边上的中线2CO =，若动点 P 满足221 sin cos 2 AP AB AC θθ=?+?() R θ∈, 则 ()PA PB PC +?的 最 小 值 是 . 12．已知椭圆C:)0(1 22 22>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ,P 为椭圆Ｃ上任一点，M ＝||||||||2121PF PF PF PF ?+-。Ｍ的最大值为 ．

沪教版(上海)高二上学期数学第 九 章 矩阵和行列式初步

第 九 章 矩阵和行列式初步 格致中学 王国伟 第一课时 9.1 矩阵的概念（1） [教学目标] 1、了解矩阵的产生背景，并会用矩阵形式表示一些实际问题； 2、了解矩阵、行向量、列向量、方矩阵、零矩阵、单位矩阵等概念； 3、理解同阶矩阵、相等的矩阵等概念； 4、理解线性方程组与系数矩阵及其增广矩阵之间的转化。 [教学重点] 1、与矩阵有关的概念； 2、线性方程组的系数矩阵及增广矩阵的概念。 [教学难点] 学习矩阵的目的。 [教学过程] 一、情境设置、引入： 引例1：已知向量()1,3OP =，如果把的坐标排成一列，可简记为13?? ??? ； 引例2：2008 我们可将上表奖牌数简记为：512128363836232128?? ? ? ??? ； 引例3：将方程组231 324244x y mz x y z x y nz ++=?? -+=??+-=? 中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为 2332441m n ?? ?- ? ? -?? ；若将常数项增加进去，则可简记为：2313242414m n ?? ? - ? ?-??。 二、概念讲解：

1、上述形如13?? ???、512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-??、2313242414m n ?? ? - ? ? -? ?这样的矩形数表 叫做矩阵。 2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ???称为行向量；垂直方向排列的数 组成的向量12 n b b b ?? ? ? ???? ??? 称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ?阶矩阵， m n ?阶矩阵可记做m n A ?，如矩阵13?? ???为21?阶矩阵，可记做21A ?；矩阵512128363836232128?? ? ? ? ?? 为33?阶矩阵，可记做33A ?。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ?阶矩阵m n A ?中的第i （i m ≤）行第 j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128?? ? ? ??? 第3行第2个数为3221a =。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000?? ??? 为一个23 ?阶零矩阵。 5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列）， 可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ? - ? ?-?? 均为三阶方阵。在一个 n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余 元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001?? ???为2阶单位矩阵，矩阵100010001?? ? ? ? ?? 为 3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。

上海高中数学教材目录表(2017.08.12)(最新整理)

上海市高中数学二期课改新教材目录表高中一年级第一学期高中一年级第二学期 第一章集合和命题第四章幂函数、指数函数和对数函数（下） 一、集合三、对数 1.1集合及其表示法 1.2集合之间的关系 4.4 对数概念及其运算 1.3集合的运算四、反函数 二、四种命题的形式 4.5 反函数的概念 1.4命题的形式及等价关系五、对数函数 三、充分条件与必要条件 4.6 对数函数的图像与性质 1.5充分条件，必要条件六、指数方程和对数方程 1.6子集与推出关系 4.7 简单的指数方程 第二章不等式 4.8 简单的对数方程 2.1不等式的基本性质第五章三角比 2.2一元二次不等式的解法一、任意角的三角比 2.3其他不等式的解法 5.1 任意角及其度量 2.4基本不等式及其应用 5.2 任意角的三角比 第三章函数的基本性质二、三角恒等式 3.1函数的概念 5.3 同角三角比的关系 3.2函数关系的建立和诱导关系 3.3函数的运算 5.4 两角和与差的余弦、 3.4函数的基本性质正弦和正切 第四章幂函数、指数函数和对数函数（上） 5.5 二倍角与半角的正弦 一、幂函数余弦和正切 4.1幂函数的性质与图像三、解斜三角形 二、指数函数 4.2指数函数的性质与图像 5.6 正弦定理、余弦定理 4.3借助计算器观察函数递增的快慢和解斜三角形 第六章三角函数 一、三角函数的图像与性质 6.1 正弦函数和余弦函数的 图像和性质 6.2 正切函数的图像和性质 6.3 函数y=Asin(?x+Φ)的 图像和性 质 二、反三角函数与最简三角方程 6.4 反三角函数 6.5 最简三角方程

高中二年级第一学期高中二年级第二学期 第七章数列和数学归纳法第十一章坐标平面上的直线 一、数列11.1 直线的方程 7.1 数列11.2 直线的倾斜角和斜率 7.2 等差数列11.3 两条直线的位置关系 7.3 等比数列11.4 点到直线的距离 二、数学归纳法第十二章圆锥曲线 7.4 数学归纳法12.1 曲线和方程 7.5 数学归纳法的应用12.2 圆的方程 7.6 归纳---猜想---论证12.3 椭圆的标准方程 三、数列的极限12.4 椭圆的性质 7.7 数列的极限12.5 双曲线的标准方程 7.8 无穷等比数列各项的和12.6 双曲线的性质 第八章平面向量的坐标表示12.7 抛物线的标准方程 8.1 向量的坐标表示及其运算12.8 抛物线的性质 8.2 向量的数量积第十三章复数 8.3 平面向量的分解定理13.1 复数的概念 8.4 向量的应用13.2 复数的坐标表示 第九章矩阵和行列式初步13.3 复数的加法与减法 一、矩阵13.4 复数的乘法与除法 9.1 矩阵的概念13.5 复数的平方根与立方根 9.2 矩阵的运算13.6 实系数的一元二次方程 二、行列式 9.3 二阶行列式 9.4 三阶行列式 第十章算法初步 10.1 算法的概念 10.2 程序框图 10.3 计算机语句和算法程序

苏教版数学高二选修4-2矩阵与变换学案第01课时 矩阵的概念

第01课时 矩阵的概念 一、要点讲解 1．矩阵的概念： 2．矩阵的相等： 二、知识梳理 1．在数学中，将形如13?????? ，80908688??????，23324m ????-??这样的__________________称做矩阵．_____________________________________叫做矩阵的行，______________________ ________________叫做矩阵的列．通常称具有i 行j 列的矩阵为i ×j 矩阵． 2．__________________称为零矩阵；______________________称为行矩阵；____________ _______________称为列矩阵． 3．平面上向量α = (x ，y )的坐标和平面上的点P (x ，y )看作行矩阵可记为________，看作列矩阵可记为_________． 4．当两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的_______________________，并且____________________也分别相等时，才有A = B ． 三、例题讲解 例1． 用矩阵表示△ABC ，其中A (－1,0)，B (0，2)，C (2，0)． 例2． 设31,422x y A B z ????==????--???? ，若A = B ，求x ，y ，z ． 例3． 已知n 阶矩阵11221 21247712j n j n i i i j in n n n j nn a a a a A a a a a a a a a ????????=???????????? ，其中每行、每列都是等差数列，ij a 表示位于第i 行第j 列的数． (1)写出45a 的值； (2) 写出ij a 的计算公式． 四、巩固练习 1. 画出矩阵143111-????-?? 所表示的三角形，并求该三角形的面积．

上海高二数学矩阵及其运算有详细答案精品

上海高二数学矩阵及其 运算有详细答案精品 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

上海版高二上数学 矩阵及其运算 一．初识矩阵 （一）引入： 引例1：已知向量()1,3OP =，如果把OP 的坐标排成一列，可简记为13?? ???； 引例2：2008年北京奥运会奖牌榜前三位成绩如下表： 记为：512128363836232128?? ? ? ??? ； 我们可将上表奖牌数简 231324244x y mz x y z x y nz ++=?? -+=??+-=? 中未引例3：将方程组 知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为2332441m n ?? ? - ? ?-??；若将常数项增加进去， 则可简记为：2313242414m n ?? ? - ? ?-?? 。 （二）矩阵的概念 1、上述形如13?? ???、512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-??、2313242414m n ?? ? - ? ? -?? 这样的矩形数表叫做矩 阵。 2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ???称为行向量；垂直方向排列的数 组成的向量12n b b b ?? ? ? ???? ??? 称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ?阶矩阵，

m n ?阶矩阵可记做m n A ?，如矩阵13?? ???为21?阶矩阵，可记做21A ?；矩阵512128363836232128?? ? ? ? ?? 为33?阶矩阵，可记做33A ?。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ?阶矩阵m n A ?中的第i （i m ≤）行第j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128?? ? ? ??? 第3行第2个数为3221a =。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000?? ???为一个23 ?阶零矩阵。 5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行 （列），可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ? - ? ?-?? 均为三阶方阵。 在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为 1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001?? ??? 为2阶单位矩阵，矩阵 100010001?? ? ? ??? 为3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。

上海市高二下数学期末复习含答案

高二（下）数学期末复习 一．填空题： 1．计算：2(12)(32)1i i i +-+ +＝ 8＋3i ． 2．?∈(π，2 3π)，直线l ：?sin x ＋?cos y ＋1＝0的倾角α＝ 2π－? ． 3. 与两平行直线1l ：3x －y ＋9＝0与2l ：3x －y －3＝0等距离的直线方程 为： 3x －y ＋3＝0 ． 4．在复平面上，满足条件2＜|z |≤4的复数z 所对应的点Z 组成的图形的面积是 12π ． 5．一条渐近线方程3x ＋4y ＝0，且经过点是(4，6)的双曲线标准方程是27 2 y －482x ＝1． 6．与直线y ＝x ＋1平行，被椭圆2244x y +=截得的弦长为2的直线l 的方程 是： y ＝x ± 455 ． 7．若|i a ai 222+-|＝2，则实数a 的值是： ±3 ． 8．已知复数1z ＝3＋4i ，2z ＝t ＋i ，且21z z ?是实数，则实数t 等于 34 ． 9．直线a ∥平面α，直线b ?平面α，则a 、b 的位置关系是 平行或异面 ． 10．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若EF ＝3，则AD 、BC 所成角为 60o ． 11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1和BB 1的中点，则异面直线C 1M 与DN 所成角的大小为 9 1 arccos ． 12．已知命题：椭圆252x ＋92y ＝1与双曲线112x －5 2 y ＝1的焦距相等．试将此命题推广到一般情形，使已知命题成为推广后命题的一个特例： 椭圆22a x ＋22b y ＝1与双曲线22c x －22 d y ＝1)(2222d c b a +=-的焦距相等 ． 二．选择题： 13．设M 、N 是空间四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点，则下列答案中正确的是（ B ） （A ）MN ＝ (21AB ＋CD )； （B ）MN ＜(2 1AB ＋CD )； （C ）MN ＞(21AB ＋CD )； （D ）MN 与(21AB ＋CD )的大小关系不确定． 14．命题甲：“双曲线C 的方程为22a x －22 b y ＝1(a ＞0，b ＞0)”，命题乙：“双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x a b ”，那么甲是乙的（ A ） （A ）充分不必要条件；（B ）必要不充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件． 15．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ D ）

高二数学基本概念——第9章 矩阵和行列式初步

第9章 矩阵和行列式初步 一、 矩阵 9.1 矩阵的概念 矩阵及其相关的概念 1、矩形数表叫做矩阵 矩阵中的每个数叫做矩阵的元素 由个数排成的行列的数表 n m ?m n ()n j m i a ij ,,2,1;,,2,1 ==mn m m n n a a a a a a a a a 21 2222111211称为矩阵. n m ?记作?? ?? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2122221 11211n m ij a ?=)( 2、矩阵叫做方程组的系数矩阵。? ?? ? ??-1321它是2行2列的矩阵，记为 2 2?A ，矩阵 可简记为A n m A ?注意: 矩阵的符号，是“（）”，不能是“| |”. 列元素。 行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。 。 等，或者必要时可记为n m ij n m n m a B A ???)(,

说明： 通过对线性方程组的增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解，这里所用的矩阵变换有 下列三种： （1）互换矩阵的两行 （2）把某一行同乘以（除以）一个非零常数 （3）某行乘以一个数加到另一行 通过上述三种矩阵变换，使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时，其增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。

9.2 矩阵的运算 矩阵 列的矩形表，称为一个行排列成一个个数由n m n m n j m i a n m ij ?==?) ,,2,1;,2,1( 11 12121 2221 2 .....................n n m m mn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ??? 记为列元素。 行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。 ,()m n m n ij A B a ??必要时可记为等，或者A=。 0m n O O ?所有元素均为的矩阵，称为零矩阵，记作或定义1一、复习 定义2若两个矩阵A ，B 有相同的行数与相同的列数，并且对 应的位置上的元素相等，则称矩阵A 与矩阵B 相等。记为：A=B n m ij n m ij b B a A ??==)(,)(即如果,(1,2,...,;1,2,...,) ij ij a b i m j n ===且则A=B 。 ...)3,2,1,...;3,2,1(===j i b a ij ij 二、矩阵的运算 （一）矩阵的加（减）法和数与矩阵的乘法 3(),()ij ij m n A a B b m n A B ==定义两个行列矩阵对应位置元素相加(或相减）得到的行列矩阵，称为矩阵与矩阵的和（差）。A-B A B +记为或（）。 A B ±即 ()()ij m n ij m n a b ??=±()ij ij m n a b ?=± 定义4以实数乘矩阵A 中的每一个元素所得到的矩阵，称为实数与矩阵A 的乘积矩阵．记做A A α即 ()ij m n a α?=()ij m n a α?=的负矩阵的元素变号，称为的乘积使与A A A 1-A -记作n m ij a A ?-=-)(即 α)(ij a =αα1A 1A A 2A B A B αααααα=+=+注意：（）矩阵与实数相乘满足如下交换率和分配律：（）（）（）

高中数学沪教版知识点归纳

高中数学知识点归纳 高一(上)数学知识点归纳 第一章 集合与命题 1.主要内容：集合的基本概念、空集、子集和真子集、集合的相等；集合的交、 并、补运算。四种命题形式、等价命题；充分条件与必要条件。 2.基本要求：理解集合、空集的意义，会用列举法和描述法表示集合；理解子集、 真子集、集合相等等概念，能判断两个集合之间的包含关系或相等关系；理解 交集、并集，掌握集合的交并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的意 义，能求出已知集合的补集。理解四种命题的形式及其相互关系，能写出一个 简单命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解充分条件、必要条件与充要条件 的意义，能在简单问题的情景中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。 3.重难点：重点是集合的概念及其运算，充分条件、必要条件、充要条件。难点 是对集合有关的理解，命题的证明，充分条件、必要条件、充要条件的判别。 4.集合之间的关系：(1)子集：如果A 中任何一个元素都属于B ，那么A 是B 的 子集，记作A ?B.(2)相等的集合:如果A ?B,且B ?A ，那么A=B.(3).真子集： A ?B 且B 中至少有一个元素不属于A ，记作A ?B. 5.集合的运算：(1)交集：}.{B x A x x B A ∈∈=且I (2)并集:}.{B x A x x B A ∈∈=或Y （3）补集：}.{A x U x x A C U ?∈=且 6.充分条件、必要条件、充要条件 如果P Q ?,那么P 是Q 的充分条件，Q 是P 的必要条件。 如果P Q ?,那么P 是Q 的充要条件。也就是说，命题P 与命题Q 是等价命题。 有关概念：1.我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合。 2.数集有：自然数集N ，整数集Z ，有理数集Q ,实数集R 。 3.集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。 4.用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图 叫做文氏图。