四川省泸州市2020-2021学年高二上学期期末数学文科试题
四川省泸州市2020-2021学年高二上学期期末数学文科试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若直线:210l x y +-=与直线:210m x ay +-=平行，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．12 D ．4
2．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高二学生中抽取的人数为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
3． 双曲线2228x y -=的实轴长是
A ．2
B ．
C ．4
D ． 4．若0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A ．11a b <
B ．22a b >
C ．ln()0b a ->
D ．22ac bc < 5．设样本数据1x ，2x ，…，5x 的平均数和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数，1i =，2，…，5），则1y ，2y ，…，5y 的平均数和方差分别为（ ） A ．1，4 B ．1a +，4a + C ．1a +，4 D ．1，4a + 6．一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A ．π
B ．34π+
C ．4π+
D ．24π+
7．若方程22
1259x y k k
-=--表示曲线为焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．(17,25)
B ．(,9)(25,)-∞?+∞
C ．(9,25)
D ．(25,)+∞
8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为
A ．35
B ．20
C ．18
D ．9
9．设α，β，γ表示平面，m ，n ，l 表示直线，则下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，l β//，则l α⊥
B ．若αβ⊥，m αβ=，l m ⊥，则l α⊥
C ．若βα⊥，γα⊥，l β
γ=，则l α⊥ D ．若m n α?、，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥
10．若关于x 的不等式23||x a x -->至少有一个负实数解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．133,4?
?- ??? B ．1313,44??- ??
? C ．()3,3- D ．13,34??- ???
11．已知直线(1)(0)y k x k =->与抛物线2:4C y x =分别相交于A ，B 两点，与C 的准线交于点D ，若||||AB BD =，则k 的值为（ ）
A B ．3 C ．D ．
12．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F 过1F 作圆222
x y a +=的切线交双曲线右支于点M ，则12F MF ∠的大小为（ ） A ．2π B ．6π C ．3π D ．4
π
二、填空题
13．双曲线22
124
x y -=的渐近线方程为_______. 14．在区间[0,5]内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间[0,5]内的概率为_______.
15．在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面ACD ，ABC 与ACD 都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为_______.
16．不等式2220x axy y -+≤对于任意[1,2]x ∈及[1,3]y ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________.
三、解答题
17．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:20C x y x my n +-++=，过点(1,1)--与(3,3)-
（1）求圆C 的方程；
（2）若圆C 上有两点M ，N 关于直线20x y +=对称，且||MN =MN 的方程.
18．某厂通过节能降耗技术改造后，记录了生产A 产品过程中的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组统计数据，如下表：
（1）利用所给数据求y 关于x 的回归直线方程???y
bx a =+； （2）已知该厂技改前100吨A 产品的生产能耗为90吨标准煤，请你预测该厂技改后100吨A 产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
参考公式：最小二乘法估计分别为，()()()1
12
2211?n n i i i i
i i n n i i i i x y nxy x x y y b x
nx x x ====---==--∑∑∑∑，??a
y bx =-. 19．某校抽取了100名学生期中考试的英语和数学成绩，已知成绩都不低于100分，其中英语成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是[100,110)，[110,120)，
[120,130)，[130,140)，[140,150].
（1）根据频率分布直方图，估计这100名学生英语成绩的平均数和中位数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）若这100名学生数学成绩分数段的人数y 的情况如下表所示：
且区间[130,140)内英语人数与数学人数之比为10:1，现从数学成绩在[130,150]的学生中随机选取2人，求选出的2人中恰好有1人数学成绩在[140,150]的概率.
20．如图，多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，1AB =，2CD DE ==，3AD AC ==，点F 为CE 中点.
（1）证明//BF 平面ACD ；
（2）求AF 与平面ABED 所成角的正弦值.
21．已知点(1,1)A --，(1,1)B -，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是2，设点M 的轨迹为C .
（1）求点M 的轨迹C 的方程；
（2）设直线:l y x b =+与轨迹C 交于D 、E 两点，(1,0)Q ，若QD QE ⊥，求弦长DE 的值.
22．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>左、右顶点分别为A 、B ，上顶点为D (0,1)，离
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若点E 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AE 、BE 与直线5:2
l x =分别交于M 、N 两点，当线段MN 的长度最小时，椭圆C 上是否存在点T 使TBE 的面积为4
5？
若存在，求出点T 的坐标：若不存在，请说明理由.
参考答案
1．D
【分析】
讨论a 的值，由直线平行的性质，求解即可.
【详解】
当0a =时，直线:210l x y +-=与直线:210m x -=不平行，不满足题意；
当0a ≠时，由直线11:22l y x =-+与直线21:m y x a a =-+平行，则122112a a
?-=-????≠?? 解得：4a =
故选：D
【点睛】
本题主要考查了由直线平行求参数，属于中档题.
2．D
【分析】
根据所给的高一学生的总数和高一学生抽到的人数，可以求出每个个体被抽到的概率，根据这个概率值求出高二学生被抽到的人数．
【详解】
由题意知高一学生210人，从高一学生中抽取的人数为7
∴可以做出每210307
=人抽取一个人， ∴从高二学生中抽取的人数应为
270930=． 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查分层抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 3．C
【解析】 试题分析：双曲线方程变形为22
148
x y -=
，所以28b b =∴=
2b = 考点：双曲线方程及性质
4．B
【分析】
取特殊值排除ACD 选项，由幂函数的单调性判断B 选项.
【详解】
当2,1a b =-=-时，11112a b
-=>=-；ln()ln10b a -==；则AC 错误； 当0c 时，22ac bc =，则D 错误；
因为函数2y x 在(,0)-∞上单调递减，0a b <<，所以22a b > 故选：B
【点睛】
本题主要考查了由所给条件判断不等式是否成立，属于中档题.
5．C
【分析】
直接利用平均数和方差公式求解.
【详解】
由题得均值
121012101210()()()()101010110101010y y y x a x a x a x x x a a y a ++?+++++?++++?+++=====+ 方差222
1210()()()10
y y y y y y -+-+?+-=, 222
1210[()(1)][()(1)][()(1)]10
x a a x a a x a a +-+++-++?++-+= 2221210(1)(1)(1)4041010
x x x -+-+?+-===． 故选：C
【点睛】
本题主要考查平均数和方差的公式的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
6．B
【解析】
试题分析：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开）由题意可知，圆柱的
高为2，底面圆的半径为1，故其表面积为21121222123422
S πππ=??+?+
???=+故选B.
考点：由三视图求面积、体积．
7．A
【分析】 根据椭圆的性质得出不等式组(9)25(9)0250k k k k -->-??-->??->?
，即可得出答案.
【详解】
由题意可得，(9)25(9)0250k k k k -->-??-->??->?
，解得(17,25)k ∈
故选：A
【点睛】
本题主要考查了由方程表示椭圆求参数范围，属于中档题.
8．C
【解析】
试题分析：模拟算法：开始：输入3,2,1,312,0n x v i i ====-=≥成立；
1224v =?+=，211,0i i =-=≥成立；
4219v =?+=，110,0i i =-=≥成立；
92018v =?+=，011,0i i =-=-≥不成立，输出18v =.故选C.
考点：1.数学文化；2.程序框图.
9．C
【分析】
利用空间直线平面位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
A. 若αβ⊥，l β//，则l α⊥或者l α?或者l 与α斜交，所以该选项错误；
B. 若αβ⊥，m αβ=，l m ⊥，则l α⊥或者l α?或者//l α或者l 与α斜交，所以
该选项错误；
C. 若βα⊥，γα⊥，l βγ=，则l α⊥,是正确的.
D. 若m n α?、，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥或者l α?或者l 与α相交，所以该选项错误. 故选：C
【点睛】
本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.
10．D
【分析】
将该不等式的问题，转化为函数的交点问题，利用图象即可得出实数a 的取值范围.
【详解】
关于x 的不等式2
3||x a x -->等价于2
2330x a x x ?-<-?->?
若不等式至少有一个实数解，则函数(2,3x y x ∈=-与||y x a =-的图象有交点 在同一坐标系中，画出函数23y x =-与||y x a =-的图象，如下图所示
当||y x a =-的图象右边部分与2
3y x =-相切时，23y x a y x =-??=-?有唯一解，即230x x a +--=有唯一解，则14(3)0a ?=---=，解得134a =-
当||y x a =-的图象左边部分过(0,3)时，求得3a =
则实数a 的取值范围是13,34??-
???
故选：D
【点睛】
本题主要考查了由函数的零点求参数范围，属于中档题.
11．C
【分析】
如图，设A ，B 两点在抛物线的准线上的射影分别为A '，B ′，过B 作AA '的垂线BH ，在三角形ABH 中，BAH ∠等于直线AB 的倾斜角，其正切值即为k 值，利用在直角三角形ABH 中，||tan ||
BH BAH AH ∠=
，从而得出直线AB 的斜率． 【详解】
如图，设A ，B 两点在抛物线的准线上的射影分别为A '，B ′，过B 作AA '的垂线BH ，
在三角形ABH 中，BAH ∠等于直线AB 的倾斜角，其正切值即为k 值，
由抛物线的定义可知：
设||BF n =，B 为AD 中点，
根据抛物线的定义可知：||||AF AA ='，||||BF BB ='，2||||BB AA '='，
可得2||||BF AA ='，即||2||AF BF =，
||2AF n ∴=，||2AA n '=，
||AH n ∴=，
在直角三角形ABH 中，||tan ||BH BAH AH ∠===l 的斜率k =故选：C ．
【点睛】
本题主要考察了直线与抛物线的位置关系、抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题．
12．D
【分析】
根据几何关系得出直线1MF 的方程，与双曲线方程联立得出M 的坐标，根据距离公式以及余弦定理即可得出答案.
【详解】
由题意可得,c b ==
设切点为T ，连2,TO MF ，则11,||,||TO a F c F b O T ===
121
||tan 2OT a MF F FT b ∴∠===
，即直线1:)MF y x =① 将①式代入22221x y a b -=
得22370x a -=-
，解得3
x a =
则,33M a ?? ? ???
12)F M a ∴==
由双曲线定义得22)2F M a a =-=
由余弦定理得222212cos 2F MF ∠== 124F MF π∴∠=
故选：D
【点睛】
本题主要考查了直线与双曲线的位置关系求参数，属于中档题.
13
．y =
【分析】
根据方程得出2a b =
=，即可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】
根据双曲线的方程得2a b =
=
则其渐近线方程为b y x a =±
=
故答案为：y =
【点睛】
本题主要考查了求双曲线的渐近线方程，属于基础题.
14．20
π 【分析】
利用几何概型求概率即可.
【详解】
将取出的两个数用,x y 表示，则,[0,5]x y ∈
要求这两个数的平方和在[0,5]内，则22
05x y ≤+≤
由图可知，22
05x y ≤+≤表示图中阴影部分 则这两个数的平方和在区间[0,5]
内的概率为214
2520ππ??= 故答案为：
20
π 【点睛】
本题主要考查了几何概型计算概率，属于中档题.
15．60π
【分析】
根据几何关系确定该三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式即可得出答案.
【详解】
设外接球的球心为O ，半径为R ，AC 的中点为M ，,ACD ABC ??的外接圆圆心分别为12,O O ，连接121,,,,,BM DM OO OO AO AO ，如下图所示
则BM AC ⊥，AC 为平面ABC 与平面ACD 的交线
即BM ⊥平面ACD ，DM ⊥平面ABC ，1OO ⊥平面ACD ，2OO ⊥平面ABC 故四边形12OO MO 为矩形
12163OO O M ===22221163152sin 60R OO AO ???=+=+= ???
则该三棱锥的外接球的表面积为2460R ππ=
故答案为：60π
【点睛】
本题主要考查了几何体的外接球问题以及球的表面积公式，属于中档题.
16．9[,)2
+∞
【分析】
分离参数，令y t x =，根据不等式的性质得出1,32t ??∈????，设2()h t t t =+，根据函数单调性的定义得出其值域，即可确定a 的范围.
【详解】
依题意，不等式22
20x axy y -+≤等价于2222x y x y a xy y x +≥=+，设y t x = [1,2]x ∈及[1,3]y ∈，1112x ∴，即132y x
132t ∴，则22x y t y x t +=+ 令2()h t t t =+，1,32t ??∈????
令12132
t t <≤≤时，()()()()121212122t t t t h t h t t t ---=
当
1212≤<
123t t ≤<≤时，12120,20t t t t -<-，则()()12h t h t ≤
所以函数()h t
在区间12???
上单调递减，在区间??上单调递增
119211()4,(3)322233h h h =+====+=
则9()2h t ≤≤，即9[,)2a ∈+∞ 故答案为：9[,)2+∞
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式在某区间上的恒成立问题，涉及求函数的值域，属于中档题.
17．（1）22(1)(2)5x y -++=（2）11524y x =-或1524
y x =- 【分析】
（1）将点(1,1)--与(3,3)-代入圆的方程，解方程组即可得出圆C 的方程；
（2）由两直线垂直的关系设出直线MN 的方程，结合圆的弦长公式以及点到直线的距离公式，即可得出直线MN 的方程.
【详解】
（1）由112099630
m n m n ++-+=??+--+=?，解得4,0m n == 则圆C 的方程为22240x y x y +-+=，即22(1)(2)5x y -++=
（2）由（1）可得，圆C 的圆心坐标为(1,2)-
由于,M N 关于直线20x y +=对称，则,M N 所在的直线与直线20x y +=垂直 设,M N 所在直线方程为12y x b =+，圆心到直线12
y x b =+的距离d
=
，解得2
d = 圆心到直线12y x b =+
的距离d ==解得155,44
b b =-=- 即直线MN 的方程为11524y x =
-或1524y x =- 【点睛】
本题主要考查了求圆的方程以及直线与圆的位置关系的应用，属于中档题.
18．（1）?0.735y
x =+（2）16.5 【分析】
（1）利用最小二乘法得出回归方程即可；
（2）将100x =代入回归方程，即可得出答案.
【详解】
（1）
4130254030504060456650i i i x y ==?+?+?+?=∑ 4222221304050608600i i x
==+++=∑
30405060454x +++==，25304045354
y +++== 2665043545350??0.7,350.745 3.58600445500
b a -??∴====-?=-? 即?0.735y
x =+ （2）当100x =时，?70 3.573.5y
=+=，9073.516.5-= 则该厂技改后100吨A 产品的生产能耗比技改前降低16.5吨标准煤
【点睛】
本题主要考查了求回归方程以及根据回归方程进行数据估计，属于中档题.
19．（1）这100名学生英语成绩的平均数和中位数分别为124，123.75（2）
35
【分析】
（1）利用频率分布直方图求平均数，中位数的方法求解即可；
（2）利用题设条件得出,m n 的值，再由古典概型的概率公式求解即可.
【详解】
（1）这100名学生英语成绩的平均数为1050.051150.31250.41350.21450.05124?+?+?+?+?=
设这100名学生英语成绩的中位数为x
直方图可知[100,110),[110,120),[120,130)对应的频率分别为0.05,0.3,0.4
0.050.30.40.750.5,0.5(0.30.05)0.15++=>-+=
(120)0.040.15x ∴-?=，解得123.75x =
则这100名学生英语成绩的中位数为123.75
（2）区间[130,140)内英语人数为1000.220?=人
∴区间[130,140)内数学人数为120210
?=人
2,100(1540402)3m n ∴==-+++=
设数学成绩在[130,140)的人记为12,a a ，数学成绩在[140,150]的人记为123,,b b b 则从数学成绩在[130,150]的学生中随机选取2人的所有情况为
()()()()12111213,,,,,,,a a a b a b a b ，()()()212223,,,,,a b a b a b ，()()()121323,,,,,b b b b b b ，共10种，其中选出的2人中恰好有1人数学成绩在[140,150]有6种
即选出的2人中恰好有1人数学成绩在[140,150]的概率为
63105= 【点睛】
本题主要考查了由频率分布直方图计算平均数，中位数以及古典概型概率的求解，属于中档题.
20．（1）见解析（2 【分析】
（1）利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用向量法求解即可.
【详解】
（1）取CD 的中点为G ，连接,FG AG AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD
//AB DE ∴，且12
AB DE = 在CDE ?中，,F G 分别是,CE CD 中点
//FG ED ∴，且12
FG ED = //AB DE ∴且=AB DE
即四边形ABFG 为平行四边形
//BF AG ∴
BF ?平面ACD ，AG ?平面ACD
∴//BF 平面ACD
（2）由（1）可知，//AB FG ，FG ∴⊥平面ACD
,CD AG ?平面ACD ，,FG CD FG AG ∴⊥⊥
AC AD =，AG CD ∴⊥
∴以点G 作为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系
A
，B ，(0,1,0)C ，(0,1,0)D -，(0,1,2)
E -(22,0,1),(0,0,1),(22,1,0)A
F AB AD ∴=-==--，(0,0,1)F
设平面ABED 的法向量为(,,)n x y z =
0000z n AB n AB y n AD n AD ??=?⊥?=????????+=?
⊥?=?
???? 取x =，则(2,4,0)n =-
设AF 与平面ABED 所成角为
θ ||sin
9
||||81AF n AF n θ?===?+
【点睛】
本题主要考查了证明线面平行以及利用向量法证明线面角，属于中档题.
21．（1）2(1),y x x =≠±（2
【分析】
（1）根据斜率公式得出直线AM 的斜率与直线BM 的斜率，由题意得出点M 的轨迹C 的方程；
（2）将QD QE ⊥转化为0QD QE ?=，结合韦达定理以及弦长公式，即可得出答案.
【详解】
（1）设(,)M x y ，由题意得1(1)1AM y k x x +=≠-+，1(1)1
BM y k x x +=≠- 则2AM BM k k -=，即11211
y y x x ++-=+-，化简得2(1),y x x =≠± 故点M 的轨迹C 的方程为2(1),y x x =≠±
（2）设()()1122,,,D x y E x y ，则()()11221,,1,QD x y QE x y =-=-
()()12120110QD QE x x y y ∴?=?--+=
将y x b =+代入2(1),y x x =≠±中，得20x x b --=
12121,x x x x b ∴+=?=-，()1212
22
y y x x b ?== 则()()212121100x x y y b b --+=?-=，解得0b =或1b = 当0b =时，y x =与2y x 的交点为(0,0)和(1,1)，则0b =不成立
1b ∴=
DE ∴==【点睛】
本题主要考查了求平面轨迹方程以及直线与抛物线相交的弦长，属于中档题.
22．（1）2
214
x y +=（2）见解析 【分析】
（1）由椭圆的性质列出方程组，即可得出椭圆方程；