高中数学 考前归纳总结 常见基本不等式的解法
常见基本不等式的解法 一、简单的一元高次不等式的解法：标根法： 其步骤是： （1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意 奇穿过偶弹回； （3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。 如（1）解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。（答：{}|12x x x ≥=-或）； （2）不等式(0x -的解集是____（答：{}|31x x x ≥=-或）； （3）设函数()()f x x ，g 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{}|12x x ≤<， ()0g x ≥的解集为?，则不等式()()0f x g x ?>的解集为______ （答：()[),12,-∞+∞U ； （4）要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<（解集非空）的每一个x 的值至少满足 不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，则实数a 的取值范围是______. （答：81[7,)8 ） 二、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子 分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式 不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如（1）解不等式25123 x x x -<---（答：()()1,12,3-U ）； （2）关于x 的不等式0ax b ->的解集为()1,+∞，则关于x 的不等式 02ax b x +>-的 解集为____________（答：()(),12,-∞-+∞U ）. 三、绝对值不等式的解法： （1）零点分段讨论法（最后结果应取各段的并集）： 如解不等式312242 x x -++≥（答：x R ∈）； （2）利用绝对值的定义；（3）数形结合； 如解不等式13x x +->（答：()(),12,-∞-+∞U ） （4）两边平方：如若不等式322x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围
一元一次不等式解法
一元一次不等式解法 一元一次不等式的解法 一、不等式知识回顾 1、不等式定义： 2．不等式的解及解集 （1）__________________________________________ 叫做不等式的解．（2） _________________________________________叫做不等式的解集． 3．不等式的基本性 质用字母表示为: (1)__________________________________________________ ． (2) __________________________________________________ ． (3) __________________________________________________ ． 回顾练习：3．写出不等式x5的5个小数解____________________，5个整数解 ____________________；这个不等式的解得个数为______________________ 4．写出三个 和x5的解集相同的不等式______________ ________ 二、新知识学习 1、一元一次不等式定义：只含有________个未知数并且未知数的次数是________的 不等式叫做一元一次不等式. 例1．判断下列不等式是不是一元一次不等式. (1)16x 5 (2)2y(y9)1y(3)x2 35x (4)y57 2：一元一次不等式解法 解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程的步骤很相似 （1）去分母（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。 3：比较一元一次不等式的解法与一元一次方程的解的异同解一元一次不等式的步骤与解一元 一次方程类似。 不同之处是，不等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数时，必须根据这个 数是正数，还是负数，正确地运用不等式性质2，特别是注意在不等式两边乘以（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向。 4：求一元一次不等式的整数解与求一元一次不等式的解集的异同点 （1）解法步骤类似：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1. （2）求一元一次不等式的整数解比求一元一次方程的解集多一个步骤：就是在解集中找出整数解. 5：数学思想 1. 类比法：
必修5--基本不等式几种解题技巧及典型例题
均值不等式应用（技巧）技巧一：凑项 1、求y = 2x+ 1 x - 3 （x > 3）的最小值 2、已知x > 3 2 ，求y = 2 2x - 3 的最小值 3、已知x < 5 4 ，求函数y = 4x – 2 + 1 4x - 5 的最大值。 技巧二：凑系数 4、当0 < x < 4时，求y = x(8 - 2x)的最大值。 5、设0 < x < 3 2 时，求y = 4x(3 - 2x)的最大值，并求此时x的值。 6、已知0 < x < 1时，求y = 2x(1 - x) 的最大值。 7、设0 < x < 2 3 时，求y = x(2 - 3x) 的最大值 技巧三：分离 8、求y = x2 + 7x + 10 x + 1 （x > -1）的值域； 9、求y = x2 + 3x + 1 x （x > 0）
的值域 10、已知x > 2，求y = x2 - 3x + 6 x - 2 的最小值 11、已知a > b > c，求y = a - c a - b + a - c b - c 的最小值 12、已知x > -1，求y = x + 1 x2 + 5x + 8 的最大值 技巧四：应用最值定理取不到等号时利用函数单调性 13、求函数y = x2 + 5 x2 + 4 的值域。 14、若实数满足a + b = 2，则3a + 3b的最小值是。 15、若 + = 2，求1 x + 1 y 的最小值，并求x、y的值。 技巧六：整体代换 16、已知x > 0，y > 0，且1 x + 9 y = 1，求x + y的最小值。
17、若x、y∈R+且2x + y = 1，求1 x + 1 y 的最小值 18、已知a，b，x，y∈R+ 且a x + b y = 1，求x + y的最小值。 19、已知正实数x，y满足2x + y = 1，求1 x + 2 y 的最小值 20、已知正实数x，y，z满足x + y + z = 1，求1 x + 4 y + 9 z 的最小值 技巧七：取平方 21、已知x，y为正实数，且x2 + y2 2 = 1，求x 1 + y2的最大值。 22、已知x，y为正实数，3x + 2y = 10，求函数y = 3x + 2y的最值。 23、求函数y = 2x - 1 + 5 - 2x（1 2 < x < 5 2 ）的最大值。 技巧八：已知条件既有和又有积，放缩后解不等式 24、已知a，b为正实数，2b + ab + a = 30，求函数y = 1 ab 的最小值。
不等式及解法典型题目
七年级下册不等式专题测练 训练一 不等式及其解集 1.下列式子中，不等式的个数为（ ） ①20-<；②34x y +>；③21x +=；④x y +；⑤6a ≠． A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2.当3x =-时,下列不等式成立的是( ) A 、58x ->- B 、1303 x +> C 、3(3)3x ->- D 、32x x > 3.用不等式表示图1中的不等式的解集，其中正确的是（ ） A 、2x >- B 、2x <- C 、22x -<< D 、2x > 4.哥哥今年6岁，弟弟今年4岁，以下说法正确的是（ ） A 、比弟弟大的人，一定比哥哥大； B 、比哥哥小的人，一定比弟弟小； C 、比哥哥大的人可能比弟弟小； D 、比弟弟小的人决不会比哥哥大． 5.设“●”、“▲”表示两种不同的物体，现用天平称(如图),若用x 、?y 分别表示“●”、“▲”的重量,写出符合题意的不等式是_________. 6.先根据文字语言列出不等式，并想出不等式的解集，然后再在数轴上表示出其解集． （1）x 减去4-的差是正数； （2）a 的3倍小于6-． 训练二 不等式的性质 1.如果x y >，那么下列结论错误的是（ ） A 、33x y ->- B 、44x y > C 、2255 x y > D 、x y ->- 2.若0m n >>，那么下列各式中正确的是（ ） A 、mp np > B 、2n mn < C 、 11m n > D 、()()m p n p -->+- 3.如果(3)3a x a +>+的解集为1x <，那么a 必须满足（ ） A 、0a < B 、3a > C 、3a >- D 、3a <- 4.设0x y <<，用不等号连接下列各项中的式子：2x - 2 y -， 2x 2y ． 5.式子22x -，当x 时，该式子的值是正数；当x 时，该式子的值是负数；当x 时，该式子的值小于2．
一次不等式的解法(数学论文)
一次不等式的解法 摘要：大家已经学过如何解一元一次的方程了，那么不妨来学习研究一下如何解一次不等式,一次不等式的解法与一元一次方程的方法类似. 首先说明什么是不等式：由不等号连结两个代数式，就成为不等式.能够使不等式成立的x 的值，称为不等式的解.全部解组成的集合称为不等式的解集.解不等式的基础是不等式的基本性质.一元一次不等式的一般形式是ax>b(或ax4(x+1)+5 解： 由原不等式，得-5x>11, 两边同除以-5,得x<5 11-. ∴原不等式解集为x<5 11-. 思路：用解一元一次方程的方法将不等式化为一般形式，然后（变号）求解. 例题三：解不等式x x x 34 62331-<-+-. 解： 由原不等式，得 -x>19, 两边同除以-1，得x<-19. ∴原不等式解集为x<-19. 例题四：解关于x 的不等式 2mx+3<3x+n. 解： 由原不等式，得 (2m-3)x(1)2m-3>0,即m> 23时,解集为3 23--m n x . (3)2m-3=0,即m=23时,又分两种情况. 若n-3>0,即n>3,解集为所有数； 若n-3≤0,即n ≤3,原不等式无解. 思路：和方程一样，不等式中不是未知数的字母称为参数，解含参数的不等式，也应该对参数进行分类讨论.方法与一元一次不等式相同，先将不等式化为一般形式然后求解. 总结：研究了很多解一元一次不等式的例题，发现了其解集的以下规律： 当一元一次不等式化为一般形式b ax <后，解集有 (1)a>0时，解集为a b x < . (2)a<0时，解集为a b x >. (3)a=0时，若b>0，则解集包括所有数；若b ≤0，则这个不等式无解. 当一元一次不等式化为一般形式b ax >后，解集有 (1) a<0时，解集为a b x < . (2) a>0时，解集为a b x >. (3) a=0时，若b<0，则解集包括所有数；若b ≥0，则这个不等式无解. 当一元一次不等式化为一般形式b ax ≤后，解集有 (1)a>0时，解集为a b x ≤ . (2)a<0时，解集为a b x ≥. (3)a=0时，若0≥b ，则解集包括所有数；若b<0，则这个不等式无解. 当一元一次不等式化为一般形式b ax ≥后，解集有 (1)a>0时，解集为a b x ≥. (2)a<0时，解集为a b x ≤. (3)a=0时，若0≤b ，则解集包括所有数；若0>b ，则这个不等式无解. 总之，解一次不等式解法与一元一次方程的解法一样很简单很类似，它们的共同目的都是求出未知数. ——温州外国语学校 七（7）班 周天晴 2011年1月31日
基本不等式求最值的类型与方法,经典大全
专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=， 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤、图象及性质知，当(0,1]x ∈时，函数 4 ()f x x x =+是减函数。证明：任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则
不等式及其解法
一元二次不等式及其解法（文科学案） 编者：赵学磊审核：刘丽娟 【教学目标】 1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 2．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神。 【教学重点】 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。 【教学难点】 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 【教学过程】 1.一元二次不等式的概念 形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式，用文字语言表述为：，叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系 （1）将原不等式化为一般式. ax2＋bx＋c≥0与ax2＋bx＋c≤0（a>0） （2）判断?的符号. （3）求方程的根. （4）根据图象写不等式的解集. 写不等式解集的规律是：大于零取小于零取。
三、典型讲解： 题型一、解一元二次不等式 例1、求下列不等式的解集. （1）2230x x -+-> （2）2 4410x x -+> （3）x 2+28≥11x; （4）x 20； (2)3x 2＋5x －2>0； (3) x 2－4x ＋5>0.； (4)9x 2－6x ＋1>0； 题型二、含有参数一元二次不等式的解法 例2解下列含有参数的一元二次不等式：2x 2 +ax+2>0 变式2、 x 2－(a+a 2)x+a 3>0
不等式解题技巧
不等式解题技巧 【基本知识】 1、若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取 “=”） 2、(1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈， 则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） 3、0x >若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 4、， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a =b =c 时,“=”号成立； )(333 3 + ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号 成立. 5、若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注意： （1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可 以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” （3）熟悉一个重要的不等式链： b a 2 +2 a b +≤≤2 2 2b a + 【技巧讲解】 技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造） 1、 已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 2、当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值。
二元一次不等式及解法
3.2《一元二次不等式及其解法》教案（第1课时） 【教学目标】 1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法； 3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。 【教学重点及难点】 教学重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。 教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 【教学过程】 一.课题导入 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 教材P84互联网的收费问题 教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：2 50x x -<…………………………(1) 二.讲授新课 1）一元二次不等式的定义 象2 50x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 2）探究一元二次不等式250x x -<的解集 怎样求不等式（1）的解集呢？ 探究： （1）二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x == 二次函数有两个零点：120,5x x == 于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。 （2）观察图象，获得解集 画出二次函数2 5y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即2 50x x ->；
专题27 应用基本不等式求最值的求解策略高中数学黄金解题模板
【高考地位】 基本不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，忽略理任何一个条件，就会导致解题失败，因此熟练掌握基本不等式求解一些函数的最值问题的解题策略是至关重要的。【方法点评】 方法一凑项法 使用情景：某一类函数的最值问题 解题模板：第一步根据观察已知函数的表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，将其配凑（凑项、凑系数等）成符合其条件； 第二步使用基本不等式对其进行求解即可； 第三步得出结论. 例1已知 5 4 x<，求函数1 42 45 y x x =-+ - 的最大值。 【答案】 max 1 y=. 第三步，得出结论：
故当1x =时，max 1y =。学#科网 点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 【变式演练1】【江苏省盐城市阜宁中学2017-2018学年高二上学期第一次学情调研数学（文）试题】函数 4 2(0)y x x x =-->的最大值为________. 【答案】-2 【解析】4422242y x x x x ?? =---+≤-- ??? ＝２＝， 当且仅当4 x x ＝ ，即x ＝２时，“＝”成立 【变式演练2】【2018届山西高三上期中数学（理）试卷】当1x >时，不等式1 1 x a x + ≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞ B ．[2,)+∞ C ．[3,)+∞ D ．(,3]-∞ 【答案】D 【解析】 考点：均值不等式． 方法二 分离法 使用情景：某一类函数的最值问题 解题模板：第一步 首先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式； 第二步 把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式； 第三步 将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果.
高中数学不等式的分类、解法讲解学习
高中数学不等式的分 类、解法
精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式， 分式不等式，高次不等式，指数、对数不等 式，三角不等式，含参不等式，函数不等式， 绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时，将二次不等式整理成首 项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像 写出解集 3三个二次之间的关系： 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法 法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()()(x g x f a a x g x f >?>； 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0； ) ()(0)(log )(log x g x f x g x f a a < 7.三角不等式解法 利用三角函数线或用三角函数的图像求解 8.含参不等式解法 根据解题需要，对参数进行分类讨论 9.函数不等式解法 利用函数的单调性求解，化为基本不等式 （有时还会结合奇偶性） 10.绝对值不等式解法（后面详细讨论） 二、练习： （1）23440x x -++>解集为 （2 23x -<< ）（一化二算三写） （2）213 022 x x ++>解集为 （R ） (变为≤，则得?)（无实根则配方） 三、例题与练习 例1已知函数)()1()(b x ax x f +?-= ，若不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-，则不等式 0)2(<-x f 的解集为 ),2 1 ()23,(+∞--∞Y 解法一：由根与系数关系求出3,1-=-=b a ，得32)(2++-=x x x f ，再得出新不等式，求解
