微积分习题讲解与答案
微积分习题讲解与答案Last updated on the afternoon of January 3, 2021
1?指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程: (1)心)2-2少 + 和=0 (2) x2y-xy f + y = 0
(3)x2+ 4y n + (sinx)y = 0 (4) —+ P =sin26
de
解⑴1阶非线性
(2)1阶线性
⑶3阶线性
(4)1阶线性
2.验证下列函数是否是所给微分方程的解
(1)xy f + y = cosx,j = -----------
x
⑵(l-x2)y f + xy = 2x,y = 2 + C^l-x2 (C 为任意常数)
(3)y n-2y, + y=09y=Ce x (C 为任意常数)
(4)y n-(^ + A2)j r += 0,J =+C2e^x (CiQ为任意常数)
⑸(x - 2y)y f = 2x-y9x2-xy + y2=C (C 为任意常数)
(6) (xy-x)y H + xy f2 + = = ln(xj)
xcosx-sinx sinx
解(1)是, = cosx 二右
左二X -- ；---- +
X X
(2)是，^=(l-x2) t X +x(2 + Cyll-x2 ) = 2x=右y/l-x2
⑶是‘左=Ce x— 2Ce x +Ce x =0=右(4)是，左二
=右
2x — V
⑸是，左*-2刃口^2一尸右
,+兀-^ +〉，亠_2亠 (xj-x) (xy-x) xy — x xy- x
二比二'尹+亠厶+(宀2丿)5—)“
(xy-x) (xy-x) (xy-x)
二右
3 ?求下列微分方程的解
(3) (l + y)dx —(1 一 y)dy = 0
(2) | = Jcosxdx,j r = 5111^ + ^
⑶圧^訂张j%严峡皿
即一y + 21nll + y l=x + C
⑷估心侖必
解得 ln(l + j 2) = ln(l + x 2) + C^
4?已知曲线y = f(x)经过原点，并且它在点(X 』)处的切线的斜率等于2，，
试求这条
曲线的方程。
解已知y f = 2x 2
⑹是,左 ⑴加2； ⑵ 4-0SX ；
(be
解得 J = |x 3+C
又知曲线过原点，得c = 0
2
所求曲线方程为J = -x 3
习题
1.用分离变量法求下列微分方程的解 (1) y , = 4x y iy
(2) xy f -y\ny = 0 (3) " = IO"，
(4) sec 2 x tan ydx + sec 2 y tan xdy = 0
⑵J -^ = J —解得厂严 J y\ny J x
⑶ J 10?Jy= jlO x Jx 解得-10_v =1O X +C 即 10"+107=住
(4) J S ^-y -dy = -J ^CC A dx 解得 In I tan y 1= - In I tan x I +C\
整理得 tanA ? t^iny = C
⑸打(1 + 丿呛=
Jx(l + x)(/x 解得 J J 2 +|j 3 = \x2 +3X +c
由于几-0=1,解得c = ? o
解得 y = (x 2+C)2
则切宀扣+|
⑹ 卜?，心=『严厶 解得_e -y =_e 2x +c
由于 J L.O =° 贝〔J c = -|
原方程解为2e~y =3-e 2x
2 ?求下列齐次方程的解
(1) xy 9 = jin — x
(3) xy f -y-yjy 2 -x 2 =0
解（1）令W = ^-,代入方程得
x
分离变量得
两边积分得
整理得 llnw-ll=C 2lxl
将W = ^回代，即得原方程通解 X
d 1+丄
（2）原式可化为 ~T = —
血1_2
X
令w = 2t 代入方程得
X
分离变量得 两边积分得
（5）八畔占 ax ax (6) x(x + 2j)j r -j 2 =O,jl xU =l
将“=丄回代，即得原方程通解 X 整理得 2arctan —-ln(x 2 + j 2) = C X
令上，代入方程得 X
分离变量得
将"=丄回代，即得原方程通解 X
⑷原式可化为 ?=f-T--+i
dx 1兀丿 x 令丄，代入方程得 X
分离变量得 两边积分得
将w =^回代，即得原方程通解 X
令上》,则"+上1=上—
x dx u 一 1(3)原式可化为
两边积分得
即 |w + Vw 2-H=Clxl
(5)—)务。 dy_ y? dx xy
- A-
令代入方程得 X
分离变量得 两边积分得
将? = 回代，即得原方程通解 x
将y 1*1=1代入得c=2
于是.特解为
1 ?求下列微分方程的通解
⑶(x 2 +l)y f + 2xy = 4x 2
(5) jinjdr + (x — Inj)dy = 0 解(1)这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程 的
通解。分离变量得 两端同时积分，得 得通解为 用常数变易法，把
C 换成C(x)t 即 两边微分，得
(6)原式可化为 与二y ， dr x 1 +2xy 1 + 2上 X
习题
(1)十+y=严
(2) xy f + y = x 2 +3x + 2
⑹(2x-y 2)y r = 2y
代入原方程，得
两端同时积分，得
故所求微分方程通解为
其中C为任意常数。
(2)P(x) = —,g(x) = x + 3+ —
则尸少齐问)严％+ c
■
或：这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程的通解。分离变量得
两端同时积分，得
得通解为
用常数变易法，把C换成CCU即
两边微分，得
代入原方程，得
两端同时积分，得
故所求微分方程通解为
其中C为任意常数。
⑶ />(’)=启=
X +1 x2 + l
⑷ p(x)=i^,e(x)=i
X
则尸討丿gdx + c
(5)原式可化为字+—1二丄P(y) = ^-,Q(y) = -
ay jin j y jin j y
则x = e~^，v 'dv J Q(y)e^l，)，d'dj + C
■ ■
(6)原式可化为学一亠一斗P(y) =-丄,0(j) =-斗
ay y 2 y 2
则…心珥倒刃丿叫)，+ C
2?某种商品的消费量X随收入/的变化满足方程
孚= X+“e'⑺是常数)
(11
当7=0时，X = X「求函数X = X(/)的表达式。
解原式可化为芋-X=“e‘ P(I) = -l,Q(I) = ae,
d/
则X=e?E[j0⑴丿皿d/+C
又当7=0时，X = X「得C = X。
则原方程解为x =e l\al + X(J
习题
1?某商品的需求函数与供给函数分别为
Qd = u_bP,Q、= -c +〃P (其中a,b,c,d,均为正常数)
假设商品价格P是时间f的函数，已知初始价格P(O)= P°,且在任一时刻匚价格AO 的变化率与这一时刻的超额需求0d -0成正比(比例常数为《＞0)
⑴求供需相等时的价格巴(均衡价格)
(2)求价格P⑴的表达式
(3)分析价格P⑴随时间的变化情况
解(1)当0=0时，即
a —bP = y +dP 、得P =巴=U +C
b + d
(2)由于芈=k? _QJ =灿@ _bP) _ (_c + dP",即
at
方程通解为
已知价格P(0) = P o .代入得C = P°-P,,于是
(3)由于
2.已知某种商品的需求价格弹性为￡ =其中。为价格.Q为需求量，且当/厂1时，需求量0=1,试求需求函数关系。
解设需求关系式为Q=Q(P),则由题设知
即
此微分方程通解为
将C(D=1代入，得C7,故所求需求函数为
3?设某厂生产某种产品，随产量的増加，其总成本的増长率正比于产量与常数2之和，反比于总成本，当产量为0时，成本为1,求总成本函数。
解设产量为K总成本为C,比例系数为1,则依题意有
解此微分方程，得
把初始条件丿1一。= 1代入解得C = 一3 于是总成本函数为
4?在宏观经济研究中，发现某地区的国民收入”国民储蓄S和投资/均是时间, 的函数，且储蓄额S是国民收入的君，投资额为国民收入增长率的若当=0时, 国民收入为5亿元，试求国民收入函数（假定在时间/的储蓄额全部用于投资）解依题意得
因为储蓄额全部用于投资，故有即国民收入函数应满足方程
解得尸C戶
将初始条件代入上式，得C = 5
3
于是J =
习题
1、求下列微分方程通解
(2) y n = sinx
⑶ h-（y）2=o (4) (/+1”"一2少=0
解⑴ F = j2dx = 2x + G y = j(2x + C l)6x = x2 +C t x + C2
(2) y = J sinxdx = —cosx +G y=j(-cosx + G )dx = -sinx + C{x + C2
（3）令y f = = P\原方程降阶为
分离变量得两边积分得即
所以
⑷令= = 原方程降阶为
(1 + x)y n + y f = ln(x +1) j(O) = O,j r (O) = O
解⑴设S'则宀摒’代入原方程'得 分离变
量得 积分得 p 2 = y' +c,即(by = j 3 +c
由 y(3) = 1,/(3) = 1 得 C = 0
则/=±y\由ylo 知y r 单调增加,于是/ = y 5
再积分一次，可得通解 由 )，(3) = 1 得 6=-5
⑵令V = p ，贝収=//，原方程化为
卩，+亠〃=些竿 属于一阶线性方程 X + l X+1
由b(0) = 0得 c 1=o
又由刃0) = 0得c 2=o
初值问题的解为
分离变量得
两边积分得 所以 2求解初值问题
(1) M 3 2
丿(3)= i,y (3)
= i
1 ?求下列方程通解(1)y”_2y'_3y =0
(3) y”_6y' + 9y = 0
解⑴ r-2j r-3j=0
解特征方程为
解得两个不同实根入=3,22 其中G,C2是任意常数⑵ y” + 7^ + 12y = 0
解特征方程为
(2)丿"+ 7，+ 12＞，= 0
(4)j* +j r +J = 0
-1.所求方程的通解为
解得两个不同实根人=_3丿2=7,所求方程的通解为
其中G，C2是任意常数
(3) y ff-6y f + 9y = 0
解特征方程为
其特征根儿=仏=3为二重实根，所求方程通解为
其中E，C2是任意常数
(4) y" + y f + y =0
解特征方程为
解得两个共辄虚根入=一￡+￥必2=一￡一所求方程通解为
其中C|,C2是任意常数
2.求方程y n + 2y r + 3y = 0满足初始条件J l x.0= 1, L-.o= 1的特解
解特征方程为解得两个共辄虚根人=」+远，九2=7-迈i，所求方程通解为
习题
由初始条件y L.o= 1,F L.o= 1得G = 1
又由
由y' L-o=1.得C2 = J2
于是满足初始条件的特解为
3?求微分方程y n-2y r-3y = 3x + l的一个特解
解f(x) = 3x + l^(3x + l)e Ox ,其中〃=1,“ = 0不是特征方程，_2；1 — 3 = 0 的根，得
为所给方程的一个特解，直接将X代入原方程，得
比较系数得
解得“ =-1," = +
所以即为所求特解
4?求微分方程丿”-2” +尸12xe x的通解
解f(x)^12xe x ,其中〃对应的齐次方程为
特征方程22-22-3 = 0有二重特征根2 = 1
齐次方程通解为
由于是重特征根，所以设非齐次方程特解为
直接将X代入原方程，得
比较系数得
解得“ =2上=0,因此y?=2*訂为所给方程的一个特解，从而所求方程通解为
其中G，C2是任意常数
5.求方程y n + 4y r + 4y=cos2x的通解
解对应齐次方程为
它的特征方程尤+ 4兄+ 4 = 0有重根
故对应齐次方程的通解为
由于0±2,不是特征根，因此设所给方程的特解为
代入原方程得
比较系数得
解得“J,—0,因此j*=|sin2x为所给方程的一个特解从而通解为
O O
习题
1?设某种产品就要推向市场，f时刻的销量为兀⑴，由于产品良好性能，每个产品都是
—个宣传品，f时刻产品销售的増长率学与x(/)成正比，同时，考虑到产品销售存在
dr
—定的市场容量"统计表明学与尚未购买该产品的潜在顾客的数量也成正dr
比，试给出X⑴的方程，并求销量达到多少时最为畅销。
解
其中k为比例系数，分离变量积分，可得
由以及
当x(r)
dr 2 dr
N (\2x N d2x
〒时，?<0；当x(e)<-时，L>0 ;即当销量达到最大需求量N的
2 dr 2 dr
—半时，产品最为畅销，当销量不足N的一半时，销售速度不断増大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减少。
2、某商品的价格由供求关系决定，若供给量S与需求量0均是价格P的线性函数：若价格P是时间/(年)的函数，且已知在时刻/时，价格P的变化率与过剩需求Q-S 成正比，比例系数为2,试求价格P与时间/(年)的函数关系，且已知初始价格P°=2 元，问当/=0.3年时价格应为多少？
解依题意，得
解得
由已知P o=2,代入得C = -j
于是
4 4
则当 / =03 时,P(0.3) ? 1.32
习题
1、计算下列各题的差分
⑴y n=/(W)= M2*3B(2) y… =M(M-1)(/I-2)(M-m + 1)
解(1) Av… =(n + l)2 -3fl+,-?2 -3n =3fl(2w2 +6n + 3)
(2) y n = n(/i 一l)(/i 一2)…(/? —tn + 1)
解Ay Zj =(w + l)n(n —- m + 2) —M(W —1X?—2)- -(w—m + 1)
2、求下列差分方程的通解
⑴ J n+i -K =H +3⑵y n^-2y n=2H2-1
⑶儿利+2儿=3?2" (4) y”i+5y”=l
解(1)因?=-1,对应齐次方程通解为
y = C l n=C (C为任意常数)
设J*(n) = ?o w2代入原方程，有
比较系数得如冷①弓所以门“)=护+詁
所求方程通解为
C为任意常数
(2)因?=-2,对应齐次方程通解为
y = C?2" (C为任意常数)设y\n) = a Q n2 +a l n+a2代入原方程，有
比较系数得
故有J*(w) = 一2〃彳-4/r-5
所求方程通解为
(3)对应齐次方程通解为
y=C?(_2)” (C为任意常数)
又f(n) = 3-2",即b = 3,(1 =2,且“+〃 = 4工0,因此,原方程的特解为故原方程通解为
(4)对应齐次方程通解为
y = C?(_5)” (C为任意常数)
又/(?) = !,即〃=1,〃=0,且因此，原方程的特解为
故原方程通解为
3、求下列二阶差分方程的通解
⑴2儿.2 +儿利-儿=0⑵九2一2儿利+2几=0
⑶几+2 + 2几+1 +几=3⑷4儿+2-4儿+i+儿=5(另
解⑴特征方程2Z2+Z-l = 0得特征根
从而得到方程的通解
其中G，C2为任意常数。
(2)原方程对应的特征方程为
特征方程有两个共辄复根
且/* = VJ,tan0 = 1,即sin0 = ^^,cos0 = ^>0 =彳
知方程有两个特解于是原方程通解为其中G，C2为任意常数。
(3)特征方程为力+2兄+ 1 = 0
解得重根21=22=-1,于是原方程通解为其中G，C2为任意常数。下面求非齐次方程特解
因为f(n) = 3,则q = l,且不是特征根则形式
特解为X：=已/(厅,代入原方程
3
比较系数得
4
于是
原方程通解为
其中C”C2为任意常数n
⑷特征方程为4力-4兄+ 1 = 0 解得重根A.=22=|,于是原方程通解为 其中GC 为任意常数。 下面求非齐次方程特解
则＜7 = |,是重根
则形式特解为 比较系数得A.=|
原方程通解为 其中GC 为任意常数。 于是y ：
代入原方程