高中数学必修五不等式测试题
高中数学必修五不等式
测试题
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必修五阶段测试三(第三章 不等式)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2017·山西太原期末)不等式x (x －2)>0的解集是( ) A ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) B ．(－2,0) C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)
D ．(0,2)
2．(2017·江西金溪县一中月考)直线a >b >0，那么下列不等式成立的是( ) A ．－a >－b B ．a ＋c 1
b
D ．(－a )2>(－
b )2
3．y ＝log a ?
????x 2－4x ＋3·1
x 2
＋x －2的定义域是( ) A ．{x |x ≤1或x ≥3} B ．{x |x <－2或x >1} C ．{x |x <－2或x >3} D ．{x |x ≤－2或x >3} 4．若x ，y ∈R, x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( ) A ．最小值12和最大值1 B ．最小值3
4和最大值1
C ．最小值12和最大值3
4
D ．最小值1
5．(2017·黑龙江鸡西期末)若x ，y 满足条件????
?
x ≥y ，x ＋y ≤1
y ≥－1，，则z ＝－2x ＋
y 的最大值为( )
A ．1
B ．－1
2 C ．2 D ．－5
6．设a ＝log 37，b ＝，c ＝，则( )
A ．b B ．c C ．c D ．a b ＋2ab 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．5 8．(2017·山东德州武城二中期末)不等式3x 2＋2x ＋2 x 2＋x ＋1≥m 对任意实数x 都成 立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≤2 B ．m <2 C ．m ≤3 D ．m <3 9．x ，y 满足约束条件? ??? ? x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0， 2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解 不唯一，则实数a 的值为( ) 或－1 B ．2或1 2 C ．2或1 D ．2或－1 10．(2017·贵州铜仁期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ， c ，若b 2＋c 2＝2a 2，则cos A 的最小值为( ) D ．－1 2 11．已知圆C ：(x －a )2 ＋(y －b )2 ＝1，平面区域Ω：???? ? x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0， y ≥0. 若圆 心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( ) A ．5 B ．29 C ．37 D ．49 12．若对满足条件3x ＋3y ＋8＝2xy (x ＞0，y ＞0)的任意x 、y ，(x ＋y )2－a (x ＋y )＋16≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，8] B ．[8，＋∞) C ．(－∞，10] D ．[10，＋∞) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．设常数a >0，若9x ＋a 2 x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 ________． 14．(2017·湖北黄冈期末)已知实数x ，y 满足???? ? x ＋2y ≤1，x ≥0， y ≥0， 则w ＝ 4x ＋2y －16 x －3 的取值范围是________． 15．给定区域D ：???? ? x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4， x ≥0， 令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0， y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不 同的直线． 16．(2017·山西忻州一中期末)已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)已知a ，b ，c 为不相等的正数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1 a ＋1 b ＋1 c . 18.(12分)(2017·安徽蚌埠二中期中)解不等式0 x ＋1<1，并求适合此不 等式的所有整数解． 19．(12分)(2017·内蒙古阿盟一中期末)(1)已知x >0，求f (x )＝2 x ＋2x 的最 小值和取到最小值时对应x 的值； (2)已知0 3，求函数y ＝x (1－3x )的最大值． 20.(12分)已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0； (2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 21．(12分)设不等式组???? ? x >0，y >0， y ≤－nx ＋3n 所表示的平面区域为D n ，记D n 内的 整点个数为a n (n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝ S n 3·2n －1 ，若对一切的正整数n ，总有 T n ≤m ，求实数m 的取值范围． 22.(12分)某糖果厂生产A 、B 两种糖果，A 种糖果每箱可获利润40元，B 种糖果每箱可获利润50元．其生产过程分混合、烹调、包装三道工序．下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位：min). ，烹调的设备最多只能用机器 30 h ，包装的设备最多只能用机器15 h ，每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？ 答案与解析 1．C 不等式x (x －2)>0， ∴x <0或x >2，故选C. 2．D ∵a >b >0，∴a 2>b 2，(－a )2＝a 2，(－b )2＝b 2，∴D 成立． 3．C 由题意得 即??? x 2 －4x ＋3>0， x 2 ＋x －2>0， 解得?? ? x >3或x <1，x >1或x <－2， ∴x >3或x <－2，故选C. 4．B 由x 2＋y 2＝1, 0≤y 2＝1－x 2≤1, ∴(1＋xy )(1－xy )＝1－x 2y 2＝1－x 2(1－x 2)＝ x 4 －x 2 ＋1＝? ????x 2－122＋3 4. ∵0≤x 2≤1, ∴当x 2 ＝12时有最小值34. 当x 2 ＝0或1时有最大值1，故选B. 5．A 不等式组所表示的平面区域如图示． 直线z ＝－2x ＋y 过B 点时z 有最大值，由?? ? y ＝x ， y ＝－1， 得B (－1，－1)，∴ z max ＝1. 6．B ∵a ＝log 37，∴12.∵c ＝，∴0 1 a ＋1 b ＋2ab ≥2 1 ab ＋2ab ≥22×2＝4， 当且仅当1a ＝1 b 且2 1 ab ＝2ab ，即a ＝b ＝1时，“＝”号成立，故选C. 8．A ∵x 2＋x ＋1>0恒成立， ∴不等式可化为3x 2＋2x ＋2≥m (x 2＋x ＋1)， 即(3－m )x 2＋(2－m )x ＋2－m ≥0对任意实数x 都成立， 当m ＝3时，不等式化为－x －1≥0不恒成立． 当m ≠3时，有??? 3－m >0， ?2－m ?2 －4×?3－m ?×?2－m ?≤0， 即m ≤2. 综上，实数m 的取值范围是m ≤2，故选A. 9．D 作出可行域如图中阴影部分所示． 由z ＝y －ax 得y ＝ax ＋z ，知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距． 故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 10．C cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＝ b 2＋ c 2－ b 2＋ c 2 2 2bc ＝b 2＋c 24bc ≥2bc 4bc ＝12 ，当且仅当b ＝c 时等号成立，故选C. 11．C 作出可行域如图(阴影部分)． 由题意知，圆心C (a ，b )，半径r ＝1，且圆C 与x 轴相切，所以b ＝1. 由?? ? x ＋y －7＝0，y ＝1， 得A (6,1)，由?? ? x －y ＋3＝0， y ＝1， 得 B (－2，1)，而目标函数z ＝a 2＋b 2表示点 C 到原点距离的平方，所以当点C 与A (6,1)重合时，a 2＋b 2取到最大值37. 12．C ∵xy ≤? ?? ??x ＋y 22 ， ∴3x ＋3y ＋8＝2xy ≤?x ＋y ?2 2 ， ∴?x ＋y ?22－3(x ＋y )－8≥0，解得x ＋y ≥8， ∵(x ＋y )2－a (x ＋y )＋16≥0恒成立， 即a ≤x ＋y ＋16 x ＋y ， 又x ＋y ＋16 x ＋y ≥10.∴只需a ≤10，故选C. 解析：∵a >0，x >0，∴9x ＋a 2 x ≥2 9x ·a 2x ＝6a .当且仅当9x ＝a 2 x ，即3x ＝a 时取等号，要使9x ＋a 2x ≥a ＋1成立，只要6a ≥a ＋1，即a ≥1 5 .∴a 的取值范围是 ???? ?? 15，＋∞. 14.[5,6] 解析：w ＝ 4x ＋2y －16x －3＝4?x －3?＋2y －4x －3＝4＋2×y －2x －3，设k ＝y －2 x －3 . 则k 的几何意义是区域内的点到定点D (3,2)的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图： 由图象得AD 的斜率最小，BD 的斜率最大， 其中A ? ???? 0，12，B (1,0)， 此时k AD ＝12－20－3＝12，此时w 最小为w ＝4＋2×1 2 ＝4＋1＝5， k BD ＝ 0－2 1－3 ＝1，此时w 最大为w ＝4＋2×1＝6， 故5≤w ≤6. 15．6 解析：画出可行域如图所示，其中z ＝x ＋y 取得最小值时的整点为(0,1)，取得最大值时的整点为(0,4)，(1,3)(2,2)(3,1)及(4,0)共5个整点．故可确定5＋1＝6条不同的直线． 16．18 解析：由2x ＋8y －xy ＝0得2y ＋8 x ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )? ?? ??2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y x ≥18. 当且仅当2x 2＝8y 2，即x ＝2y 时，等号成立． 17．证明：证法一：∵a ，b ，c 为不等正数，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝ 1 bc ＋ 1 ca ＋ 1ab < 1 b ＋1 c 2＋1 c ＋ 1a 2＋1 a ＋ 1 b 2＝1a ＋1b ＋1c .故原不等式成立． 证法二：∵a ，b ，c 为不等正数，且 abc ＝1，∴1 a ＋1 b ＋1 c ＝bc ＋ca ＋ab ＝ bc ＋ca 2＋ ca ＋ab 2 ＋ ab ＋bc 2 >abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .故原不等式成 立． 18．解：∵0 x ＋1 <1， ∴???? ? x ＋1>0，?x －1?2 ∴0 故不等式的解集为{x |0 x ＋2x ≥2 2 x ·2x ＝4， 当且仅当2 x ＝2x ，即x ＝1时，等号成立， ∴f (x )的最小值为4，此时对应的x 的值为1. (2)∵0＜x ＜1 3， ∴1－3x ＞0. y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13·? ????3x ＋1－3x 22＝1 12，当且仅当3x ＝1－3x ，∴x ＝1 6 时，等号成立， ∴y ＝x (1－3x )的最大值为 112
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