全国大联考 数学
绝密★启用前
2016年第二次全国大联考【新课标I 卷】
理科数学试卷
考试时间：120分钟；满分150分
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设集合{
}
2
60,A x x x x =--<∈R ，{}
||3,B y y x x A ==-∈，则A B I 等于（ ） A ．{}
03x x << B ．{}10x x -<< C ．{}20x x -<< D ．{}
33x x -<< 2．命题p ：0x ?∈R ，不等式00cos 10x
x e +-<成立，则p 的否定为（ ）
A ．0x ?∈R ，不等式00cos 10x
x e +-≥成立 B ．x ?∈R ，不等式cos 10x x e +-<成立 C ．x ?∈R ，不等式cos 10x x e +-≥成立 D ．x ?∈R ，不等式cos 10x x e +->成立
3．在复平面内复数)0z b =>，则复数z bi -在复平面上对应的点在
（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九 章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈 一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺， 问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（ ）
A ．1998立方尺
B ．2012立方尺
C ．2112立方尺
D ．2324立方尺 5．cos54cos 66cos 6?+?-?=（ ） A ．0 B ．
13 C ．1
2
D ．1 6．已知双曲线22
221(0)x y a b a b
=>>－与两条平行直线1l ：y x a =+与2l ：y x a =-相交所得
的平行四边形的面积为26b ，则双曲线的离心率为（ ）
A B C D ．2 7．如图，已知在等腰梯形ABCD 中，AB CD P ，45BAD ∠=?，,,E F G 分别是,,AB BC CD
的中点，若EF u u u r 在AG u u u r ，则||AB
CD
=u u u r
u u u r （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．如图所示，函数()sin()(0,||)2
f x x π
ω?ω?=+><
离y 轴最近的零点与最大值均在抛物线
231
122
y x x =-++上，则()f x ＝（ ）
A．
1
()sin()
63
f x x
π
=+B．
1
(
)sin(
)
23
f x x
π
=+
C．()sin()
23
f x x
ππ
=+ D．()sin()
26
f x x
ππ
=+
第7题图第8题图第9题图
9．某程序框图如图所示，若输出
4
3
S=，则判断框中M为（）
A．7
k<？ B．6
k≤？ C．8
k≤？ D．8
k<？
10．已知5
()
a bx
-的展开式中第4项的系数与含4x的系数分别为80
-与80，则5
()
a bx
-展开式所有项系数之和为（）
A．1
-B．1 C．32 D．64
11．如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的
三视图，其体积为
1623
93
π
+，则圆锥的母线长为（）
A．22B．23 C．4 D．23
+
12．已知关于x的方程22ln20
x a x ax
--=有唯一解，则实数a的
值为（）
A．1 B．
1
2
C．
1
3
D．
1
4
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知函数3
()()
x
x
a
f x e x
e
=+为偶函数，则实数a=___________．
14．已知F是抛物线24
y x
=的焦点，过该抛物线上一点M作准线的垂线，垂足为N，若
4
||
3
MF=，则NMF
∠=___________．
15．已知实数x、y满足
220
y
x y
x y
≥
?
?
+≤
?
?++≤
?
，则
2
13
log()
12
y
z
x
-
=+
-
的取值范围是___________．16．如图，已知点D在ABC
?的BC边上，且90
DAC
∠=?，
6
cos
3
C=，6
AB=，6
BD=，则sin
AD BAD
∠=__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，0n a >，且1
(3)6
n n n S a a =+． （1）求数列的通项公式；
（2）设1
(1)(2)
n n n b a a =-+，12n n T b b b =+++L ，求证：16n T <．
18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱） 中，11,2BC CC AC ===，=90ABC ∠?． （1）求证：平面1ABC ⊥平面11A B C ；
（2）设D 为AC 的中点，求平面1ABC 与平面1C D B 所成锐角的 余弦值．
19．（本题满分12分）广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性， 是精神文明建设成果的一个重要指标和象征．2015年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开 展状况进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：[20,30） ，[30,40），[40,50），[50,60），[60,70），[70,80] 后得到如图所示的频率分布直图．问：
（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在[40,70）的人数；
（2）求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的值；
（3）若从年龄在[20,40）中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者年龄在[30,40）中的人数x 的分布列及 其数学期望．
20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点到直线320x y -+=的
距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为10． （1）求椭圆C 的方程；
（2）在x 轴上是否存在一点Q ，使得过Q 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，且满足22
11
QA QB
+ 为定值？若存在，请求出定值，并求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）已知函数2()21(f x ax bx e =++为自然对数的底数)． （1）若2
1
=a ，求函数()()x F x f x e =的单调区间；
（2）若a e b 21--=，方程()x f x e =在)1,0(内有解，求实数a 的取值范围．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合．若曲线C 的极坐
标方程为6cos 2sin ρθθ=+，直线l
的参数方程为12x y ?=??=+??（t 为参数）．
（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；
（2）设点(1,2)Q ，直线l 与曲线C 交于,A B ，求||||QA QB g 的值．
2016安徽省高三百校大联考（全国Ⅰ卷）
理科数学参考答案
（1）D 解析：{}|1A y y =>-Q ，{}|12B x x =-<<，A B A ∴=U ，故选D. （2）A 解析：i i)(1i)1i i =1i 22a a a a ------=+Q
（，11
1022
a a -+∴++=，解得1a =-.
（3）B 解析：根据题意可知函数f(x)为R 上的奇函数且为减函数，A 为偶函数，B 符合题意，C 为偶函数，D 为增函数，故选B. （4）B 解析：
201616120161
16100010020161622
S S a a a a d ++-=-==，1.10d =
（5）B 解析：224,62
b
e b +==
=，双曲线的渐近线方程为x ±3y ＝0，d 1d 2＝
|x ＋3y |2×|x －3y |2＝32． （6）C 解析：103)22cos(
cos 2=
++απ
α，23
cos 2sin cos 10
ααα-=，
2
212tan 33tan 20tan 70
1tan 10
αααα-=?+-=+，解得()1tan 73α=-或舍. （7）D 解析：由三视图可知几何体的表面积为
23
82378.
πππ??+???=
（8）C 解析：设矩形长为x ，宽为y ，则x a ＝a －y a ，y ＝a －x ，
S 矩形＝xy ＝x (a －x )≤
(x ＋a －x 2)2＝a
2
4
，其概率的最
大值为(S 矩形)max S △＝1
2
，故选C ．
（9）D 解析：由程序框图可得1
2,1,31,52
a n a n a n ==→=
=→=-= 1
2,7,92
a n a n →==→==→???∴a 的取值是以3为周期而变化的，∴2,2017a n =
=，故选D.
（10）A
解析：可行域如图所示，由图可得当y z =
+与22(2)4x y -+=的下面部分相切时，z 取得最小值，此时有2，解得z =-，故选A.
（11）C 解析：由题意得,23232--
=+±a a 解得1a =，∴()2sin()3
f x x π=-. 0
x z =
+
∵()()124,f x f x ?=-∴11221252,2,,66
x k x k k Z k Z π
π
ππ=-
+=
+∈∈，
∴12122|||2()|3x x k k ππ+=++，∴12x x +的最小值为2
3
π，故选C.
（12）C 解析：'2
()360f x x bx =-=，则f(x)的极值点为0,2b ，根据题意可知(0)0,f >再结合条件可得
(2)0f b =，即34a b =，()0f x ∴=可转化为323340x bx b -+=.∵2x b =是方程的一个根，∴可解得另一个
根为b -.∵0b >，∴12||3b x x -=.又∵142a <<，34a b =，∴112b <<，∴123
||3b 32
x x <-=<. （13）21-或 解析： ∵5551
1()()()()a a a y x x y x x y x y y
++
=+++,2233235510()20C a C a a a a ∴+=+=，∵0a ≠， 220a a ∴+-=，解得2a =-或1.
（14）3 解析：由已知可得2||
a b
b ?=r r
r ，即4a b ?=r r .
∵||a b -=r r 2225a a b b -?+=r r r r ，解得|| 3.a =r （15
解析：不妨设点A 00(,)x y 在第一象限，过A 向准线作垂线，垂足为D ，则根据抛物线定义可得03|||AF |x 2AD ==+，3FB FA =u u u r u u u r Q ，AD 平行x 轴，则可得2||23AD p ==，012
x ∴=，代入C 方程可得203y =，所以点A
到原点的距离d =
=
（16
解析：设内角A ，B ，C 的对边分别为,a b c ，
，则由题意可得6,4c a ==， 根据余弦定理可得2
2
2
24cos ,b AD AD ADC =+-
∠222(624cos ,AD AD ADB =+-∠ ∵ADB ADC π∠=-∠
，∴222(6b)28b AD +=+，
即2
AD ==
，
当b =时，AD 取最小
值，根据余弦定理可求
得cos ACB ∠=
，∴sin ACB ∠=ABC ?
的面积142S =??= （17）解：（Ⅰ）由121n n S S n +-=-可得11n n a S n +=+-，则当2n ≥时，11(1)n n a S n -=+--， 两式相减得121n n a a +=-，∴
11
21
n n a a +-=-，
由1a =3可得23a =，则当2n ≥时，211222n n n a ---=?=，即121n n a -=+，----------5分
∵1a 不满足121n n a -=+，∴1
3,1
21,2n n n a n -=?
=?
+≥?.------------------6分 （Ⅱ）当2n ≥时，
11111
212
n n n a --=<+，------------------8分111123111()11111111414
22().13233232
12
n n n n a a a a ---??-????∴++++<+++=+=-<-L L ----------------12分
（18）解：（Ⅰ）2?2列联表
∴22
50(1031027)9.98 6.63520303713
K ??-?=≈>???，
∴有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异. ---------5分 （Ⅱ）X 的所有可能取值为0,1,2,3.
22
342255369
(0),101050
C C P X C C ==?=?=
11221123341422225555663412
(1),1010101025C C C C C C P X C C C C ==?+?=?+?=
2011211
23234412222
555516643
(2),1010101010C C C C C C C P X C C C C ==?+?=?+?= 2011
234122
55
(3)C C C C P X C C ==?∴X 的分布列为
∴1233025525EX =+++=（19）解：（Ⅰ）∵ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，O 为AC 与BD 的交点，∴O 为BD 的中点，
又BDF ?为等边三角形，∴BD OF ⊥，