齐次线性方程组解的结构(精)培训资料
齐次线性方程组解的
结构(精)
精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 齐次线性方程组解的结构
在学习齐次线性方程组解的结构之前，我们先来学习一下概念：向量空间. 线性方程组的向量表示
设有齐次线性方程组 ，记：,， 则方程组可写成向量形式： Ax=0.
若为此方程组的解，则称为该方程组的解向量. 定义：若S 为此线性方程组的全体解向量的集合，可以证明有：
（1）若
，则；（2）若，则
. 所以集合S 是一个向量空间， 我们称S 为该齐次线性方程组的解空间.
对于齐次线性方程组，其向量方程形式为：Ax=0，
它的解向量可用通式表示为：
，(其右端的都是解向量：若取k 1=1，其余的k
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r
齐次和非齐次线性方程组的解法
线性方程组解的结构(解法) 一、齐次线性方程组的解法 【定义】r(A)= r 线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r 直接法解线性方程组 实习题目： 仿照三对角方程组的追赶法解五对角方程组，其中系数矩阵为A,右端向量为：r。将A分解为LU。其中L为下三角，U为单位上三角。A为7*7阶的矩阵，其中对角元为4 5 6 7 8 9 10。上下次三角对角线元素为1 2 3 4 5 6 ；上下第二条对角线元素为1 2 3 4 5;右端项为：1 2 3 4 5 6 7. 要求：输出系数矩阵A，右端向量r,下三角矩阵L，单位上三角矩阵U,下三角矩阵Ly=b 的解向量y,单位上三角方程组Ux=y的解（即最终的解向量。保留七位小数。 实现方法：通过MATLAB编程实现。建立MATLAB脚本文件。 首先通仿照三对角方程组的追赶法得到五对角矩阵的实现算法。 然后又MATLAB编程实现。 实验结果（MATLAB截图）： 结果分析： 通过提供的计算数据得到最终的解向量x及中间过程产生的下三角矩阵L，单位上三角矩阵U,下三角矩阵Ly=b 的解向量y。 同时为了确保算法的正确性，我还通过MATLAB的左除运算检验得使用此算法的计算结果正确。 这里由于是用MATLAB，最终结果为分数形式，考虑到精确解一般比近似解更好，因此未化成七位小数形式。 算法实现分析： 首先计算L和U的元素。由于已知L和U的特定形式（及除了对角线和上下次对角线和上下第二条对角线外，其余为0。故通过矩阵的乘法即可得到LU中元素的计算公式。（具体算法见MATLAB程序） 算法优劣点： 1.解此题时看上去要用较多的存储单元，但实际上只需存储系数矩阵A的不为0的元素。 2.A分解为LU计算完成后，后续计算x和y的“追赶过程”运算量一般来说计算量比较小。 3.此题也可用之前的LU算法求解。但此处算法与一般的LU分解的解线性方程组的算法，相比计算量小了不少。 4.对于此处特定的对称的系数矩阵A，算法还可以进一步优化。 5.由于我在此算法中A.L U的各对角值均用一个列向量表示，一个缺点在于输出A，L,U时要重新组成矩阵形式。不过优点在于减少了存储单元。 6.另一缺点是，未能将结果封装成一个文件。 后附MATLAB代码： c=[4,5,6,7,8,9,10];d=[1,2,3,4,5,6,0];b=[0,1,2,3,4,5,6];e=[1,2,3,4,5,0,0];a=[0,0,1,2,3,4,5]; r=[1 2 3 4 5 6 7]; w=zeros(7,1);x=zeros(7,1);y=zeros(7,1);m=zeros(7,1);n=zeros(7,1);h=zeros(7,1); w(1)=c(1);m(1)=d(1)/c(1);n(1)=e(1)/c(1); h(2)=b(2);w(2)=c(2)-h(2)*m(1);m(2)=(d(2)-b(2)*n(1))/w(2);n(2)=e(2)/w(2); for k=3:5 h(k)=b(k)-a(k)*m(k-2); w(k)=c(k)-a(k)*n(k-2)-h(k)*m(k-1); m(k)=(d(k)-h(k)*n(k-1))/w(k); n(k)=e(k)/w(k); end h(6)=b(6)-a(6)*m(4); w(6)=c(6)-a(6)*n(4)-h(6)*m(5); m(6)=(d(6)-h(6)*n(5))/w(6); h(7)=b(7)-a(7)*m(5); w(7)=c(7)-a(7)*n(5)-h(7)*m(6); y(1)=r(1)/w(1);y(2)=(r(2)-h(2)*y(1))/w(2); for k=3:7 y(k)=(r(k)-a(k)*y(k-2)-h(k)*y(k-1))/w(k); end x(7)=y(7); x(6)=y(6)-x(7)*m(6); 非齐次线性方程组解得结构得进一步讨论摘要:本文通过矩阵得初等变换及非齐次线性方程组得解得有关性质进一步讨论了非齐次线性方程组得解得结构问题,虽然非齐次线性方程组得解向量得全体不能构成向量空间,也没有基础解系,但我们找到了类似齐次线性方程组得基础解系得解向量组,这个解向量组线性无关。并且得任意一个解都可以由这个解向量组线性表示、最后,给出了非齐次线性方程组有全非零解得充要条件,并给出了相应例题。 关键字:非零解,基础解系,线性无关,初等变换 引言 非其次线性方程组(Ⅰ) 得矩阵形式为。取,得到其次线性方程组称为非其次线性方程组得导出组。我们知道非其次线性方程组得解有以下得一些性质: （1）若就是非其次线性方程组得一个解,就是其导出组得一个解,则也就是得一个解。 证明:因为就是非其次线性方程组得一个解,所以有,同理有,则由。所以就是非其次线性方程组得解。 （2）若就是非其次线性方程组得两个解,则就是其导出组得解 证明:由,,所以有,故为其导出组得解。 ２。定理 (非其次线性方程组解得结构定理)若就是非其次线性方程组得一个解,就是其导出组得通解,则就是非其次线性方程组得通解。 证明:由性质(1)可知加上其导出组得一个解仍就是非其次线性方程组得一个解,所以只需证明,非其次线性方程组得任意一个解,一定就是与其导出组某一个解得与,取 由性质(2)可知,就是导出组得一个解,于就是得到,即非其次线性方程组得任意一个解与其导出组得某一个解得与。 由上面这个定理我们可以知道,一个其次线性方程组得解得全体可以用基础解系来表示。因此,根据定理我们可以用导出组得基础解系来表示出一般方程组得一般解,如果就是方程组(Ⅰ)得一个特解,就是其导出组得一个基础解系,那么(Ⅰ)得任一个解都可以表示成: 3。由上面2得证明过程,我们可以知道其次线性方程组得全部解可由基础解系线性表示出(其基础解系含有个解向量),即为任意实数。那么,当非其次线性方程组有解时,则至多有多少个线性无关得解向量?得全部解又如何表示? 定理 若其次线性方程组得基础解系为,当非其次线性方程组有解时,则它至多且一定有个线性无关得解向量,得通解可以表示为为满足关系式,得任意实数。 证明:(ⅰ)若就是非其次线性方程组得解,则为非零解向量,那么向量组,线性无关(否则可由线性表示,与就是得解矛盾)。那么,易证都就是得解,并且线性无关。这说明至少有个线性无关得解向量。 下面再证至多有个线性无关得解向量。 反证:若有个线性无关得解向量,那么易证均为得解,并且线性无关。这样具有线性无关得解向量矛盾,所以,至多且一定有个线性无关得解向量。 (ⅱ)对于得任意一个解,一定可以表示成它得一个特解与其导出组得基础解系得线性组合,即为任意常数 那么 习题 3.1 1. 求下列方阵的秩： (1)??? ?? ??--340313021201;(2)????? ??----174034301320;(3)??????? ? ?---------12433023221453334 311 ;(4)??????? ??------34732038234202173132. 2. 求下列方阵的逆矩阵： (1) ?? ? ?? ? ?323513123； (2) ????? ?? ??-----1210232112201023. 3. 解下列矩阵方程 (1) 设 ???? ? ??--=????? ??--=1322 31,113122214B A ,求X 使B AX =; (2) 设 ??? ? ??-=? ???? ??---=132 321,433312120B A ,求X 使B XA =； （3） ?? ??? ??-=????? ??-=????? ??-=112510324, 123011113,1120111111C B A ,求X 使C AXB =. 4. 求下列行列式 （1）? ? ? ??? ??????71 1 0251020214214 ；（2）????????????-260523211213 141 2；（3）?? ? ???????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4） ????????????---d c b a 100110011001. 5. 判断下列线性方程组解的情况，如果有唯一解，则求出解. ???????=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(432143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x x ? ? ???????=+=++=++=++=+;15,065,065,065,165)2(545434323212 1x x x x x x x x x x x x x (3) ? ?? ??=-++=-+-=-+-;3222, 2353, 132432143214321x x x x x x x x x x x x (4) ?????=---=--+=+++.034,0222,022432143214321x x x x x x x x x x x x 习题 3.2 1. 用回代法解上三角形线性方程组 （1）??? ????==+-=-+=++;63,3,6333,8484443432321x x x x x x x x x （2）?? ???? ?-=-=+--=+--=-+.63,1032,92,9244343242 1x x x x x x x x x 2. 用回代法解下三角形线性方程组 非齐次线性方程组解的结构的进一步讨论 摘要：本文通过矩阵的初等变换及非齐次线性方程组的解的有关性质进一步讨论了非齐次线性方程组的解的结构问题，虽然非齐次线性方程组的解向量的全体不能构成向量空间，也没有基础解系，但我们找到了类似齐次线性方程组的基础解系的解向量组，这个解向量组线性无关。并且的任意一个解都可以由这个解向量组线性表示。最后，给出了非齐次线性方程组有全非零解的充要条件，并给出了相应例题。 关键字：非零解，基础解系，线性无关，初等变换 引言 非其次线性方程组???????=+++=+++=+++n n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112 222222********* （Ⅰ） 的矩阵形式为B AX =.取0=B ,得到其次线性方程组0=AX 称为非其次线性方程组B AX =的导出组。我们知道非其次线性方程组B AX =的解有以下的一些性质： （1） 若1u 是非其次线性方程组B AX =的一个解，1v 是其导出组0=AX 的一个解，则 11v u +也是0=AX 的一个解。 证明：因为1u 是非其次线性方程组B AX =的一个解，所以有B Au =1，同理有01=Av ，则由()B B Av Au v u A =+=+=+01111.所以11v u +是非其次线性方程组B AX =的解。 （2） 若21,v v 是非其次线性方程组的两个解，则21v v -是其导出组的解 证明：由B Av =1,B Av =2,所以有()02121=-=-=-B B Av Av v v A ,故21v v -为其导出组的解。 2.定理 （非其次线性方程组解的结构定理）若1v 是非其次线性方程组B AX =的一个解，v 是其导出组的通解，则11v v u +=是非其次线性方程组的通解。 证明：由性质（1）可知1u 加上其导出组的一个解仍是非其次线性方程组的一个解，所以只需证明，非其次线性方程组的任意一个解* v ，一定是1u 与其导出组某一个解1v 的和，取 1*1u v v -= 由性质（2）可知，1v 是导出组的一个解，于是得到11* v u v +=，即非其次线性方程组的任意一个解与其导出组的某一个解的和。 由上面这个定理我们可以知道，一个其次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表 ***学院数学分析课程论文 线性方程组解的判定与解的结构 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名******* 年级 2009级 学号200906034*** 指导教师 ** 2011年6月 线性方程组解的判定与解的结构 姓名****** （重庆三峡学院数学与计算机科学学院09级数本？班） 摘 要：线性方程组是否有解，用系数矩阵和增广矩阵的秩来刻画．在方程组有解且有 多个解的情况下，解的结构就是了解解与解之间的关系． 关键词：矩阵； 秩； 线性方程组； 解 引言 通过系数矩阵和增广矩阵的秩是否相同来给出判定线性方程组的解的判别条件．在了解了线性方程组的判别条件之后，我们进一步讨论解的结构．对于齐次线性方程组，解的线性组合还是方程组的解．在线性方程组有无穷个解时可用有限多个解表示出来．另外以下还涉及到线性方程组通解的表达方式． 1 基本性质 下面我们分析一个线性方程组的问题，导出线性方程组有解的判别条件． 对于线性方程组 1111221121122222 1122n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++???+=??++???+=???????++???+=? (1) 引入向量 112111s αααα??????=?????????，122222s αααα??????=?????????，…12n n n sn αααα??????=????????? ，12s b b b β?? ?? ??=??????? ?? 方程（1）可以表示为 1122n n x x x αααβ++???+= 性质 线性方程组⑴有解的充分必要条件为向量β可以表成向量组α1,α2,…，αn 的线性组合. 定理1 线性方程组⑴有解的充分必要条件为它的系数矩阵 齐次和非齐次线性方程组的解法精编日 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 线性方程组的解法 注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点，但是同学们学得时候要系统，要全面，要完整。下面是解线性方程组各种情况的标准格式，请同学们以此为准，进行练习。 一、齐次线性方程组的解法 定理齐次线性方程组一定有解： (1) 若齐次线性方程组() =，则只有零解； r A n (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是() r A n <.（注：当=时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 m n A=.） 注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于() -. n r A 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。 由上面的定理可知，若m是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1）当m n <时，() ≤<，此时齐次线性方 r A m n 程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解； （2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0 A=； （3）当m n A≠，故齐次线=且() =时，此时系数矩阵的行列式0 r A n 性方程组只有零解； （4）当m n >时，此时()r A n ≤，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“m n ≤”. 例 解线性方程组12 341 23412341 2 3 4 2350,320,4360,2470. x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??++-=? ?+-+=??-+-=? 解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵 显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====. 解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式： 231531 2132704 13 6 1247 A --= =≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====. 例 解线性方程组123 451 2 3452 34512 3 4 5 0,3230,2260,54330. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=??+++-=??+++=??+++-=? 解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵 可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 134523 4 55,226. x x x x x x x x =++??=---?（其中3x ，4x ，5x 为自由未知 量） 令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-，于是得到原方程组的一个基础解系为 线性方程组解的结构 11111221n n b a x a x a x =++???+ 22112222n n b a x a x a x =++???+ 33113223n n b a x a x a x =++???+ ………………………………… 1122n n n nn n b a x a x a x =++???+ 表示从变量12 ,n x x x ???到变量12,n b b b ???的线性变换，其中ij a 是常数。确 定了线性变换，它的系数所构成的矩阵（系数矩阵）也就确定，线性变换根矩阵是一一对应的关系。 上式可以表示为以向量x 为未知元的向量方程： Ax=b 线性方程组如果是有解的，称它是相容的，否则称为不相容。 一、 定理4：N 元线性方程组Ax=b （1) 无解的充要条件是R(A) （2) 若R(A)=R(B)，则进一步把B 化成最简型，而对于齐次线性 方程组，则把系数矩阵A 化成最简型。 （3) 设R(A)=R(B)=r ，把行最简型中r 个非0行的非0首个元素所对应的未知数取做非自由未知数，其他的元素取做自由未知数。带入原方程，就可以得到一个关于自由为未知量的表达式。 三、 齐次线性方程组求解步骤：Ax=0 （1) 根据R(A)与n (变量个数)来判断解的结构： A. R(A) 第三章 解线性方程组的直接法 3.1 引言 许多科学技术问题要归结为解含有多个未知量x 1, x 2, …, x n 的线性方程组。例如，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，三次样条函数问题，解非线性方程组的问题，用差分法或有限元法解常微分方程、偏微分方程的边值等，最后都归结为求解线性代数方程组。关于线性方程组的数值解法一般有两类：直接法和迭代法。 1. 直接法 直接法就是经过有限步算术运算，可求得线性方程组精确解的方法（假设计算过程中没有舍 入误差）。但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。本章将阐述这类算法中最基本的高斯消去法及其某些变形。 2. 迭代法 迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，迭代法需要的计算机存储 单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变，这些都是迭代法的优点；但是存在收敛性和收敛速度的问题。迭代法适用于解大型的稀疏矩阵方程组。 为了讨论线性方程组的数值解法，需要复习一些基本的矩阵代数知识。 3.1.1 向量和矩阵 用n m ?R 表示全部n m ?实矩阵的向量空间，n m C ?表示全部n m ?复矩阵的向量空间。 此实数排成的矩形表，称为m 行n 列矩阵。 ?????? ? ??=?∈n n x x x M 21x R x x 称为n 维列向量 矩阵A 也可以写成 其中 a i 为A 的第i 列。同理 其中T i b 为A 的第i 行。 矩阵的基本运算： （1） 矩阵加法 )( ,n m n m R C ,R B ,R A B A C ???∈∈∈+=+=n m ij ij ij b a c . （2） 矩阵与标量的乘法 ij j a ci αα== ,A C 计算方法（C语言版）实验报告 实验三：解线性方程组的直接法（一） （第三章） 一、实验目的： 1.用程序验证消元法和三角分解法。 2.掌握直接求解线性方程组的常用算法：列主元高斯消元法、LU分解法等。 3.记录运行结果，回答问题，完成实验报告。 二、实验条件： Microsoft Visual C++ C-Free 三、实验内容及运行结果： （一）、用列主元高斯消元法求解线性方程组： x+y-z=1 -x+y-z=1 -x-y-z=3 1.源程序： #include 数学与计算科学学院实验报告 实验项目名称直接法解线性方程组 所属课程名称数值方法A 实验类型验证型 实验日期 2014.11.28 班级信计12- 学号201253100 姓名 成绩 一、实验概述： 【实验目的】 1.掌握用C语言编程实现追赶法求解三对角线性方程组； 2.掌握运用高斯列主元消去法解线性方程组； 3.加深对解线性方程组的直接法——高斯列主消元法和LU分解法的构造过程的理解； 4.熟悉并掌握各种方法的适用对象及优缺点，学会针对不同问题选择不同方法； 5.培养使用电子计算机进行科学计算和解决问题的能力。 【实验原理】 1.追赶法原理 2.高斯列主元消去法 【实验环境】 1.硬件环境 2.软件环境 （1） （2）VC++ 6.0 二、实验内容： 【实验过程】（实验步骤） 1.实验步骤 1）深入了解解题过程并依次写出解题算法； 2）依照算法用C语言编写解题程序； 3）上机时将写好的程序输入到VC++中并调试运行得出方程的解； 4）比较几种方法之间的联系与区别。 2.1追赶法 根据以上的实验原理，在VC++编辑框中输入源程序： 2-1-12-1A -12-1-12-1-12????????=???????? 10000f ????????=???????? 由原理可知：b[1]=2,c[1]=-1,f[1]=1 a[2]=-1,b[2]=2,c[2]=-1,f[2]=0 a[3]=-1,b[3]=2,c[3]=-1,f[3]=0 a[4]=-1,b[4]=2,c[4]=-1,f[4]=0 a[5]=-1,b[5]=2 ,f[5]=0 将上述系数逐个输入运行框， 并经过多次调试运行，最终运行出结果如下： 解线性方程组的直接方法实验报告 解线性方程组的直接方法实验报告 1.实验目的： 1、通过该课题的实验，体会模块化结构程序设计方法的优点； 2、运用所学的计算方法，解决各类线性方程组的直接算法； 3、提高分析和解决问题的能力，做到学以致用； 4、通过三对角形线性方程组的解法，体会稀疏线性方程组解法的特点。 2.实验过程： 实验代码： #include "stdio.h" #include "math.h" #include using namespace std; //Gauss法 void lzy(double **a,double *b,int n) { int i,j,k; double l,x[10],temp; for(k=0;k a[k][j]=a[i][j]; a[i][j]=temp; } temp=b[k]; b[k]=b[i]; b[i]=temp; } for(i=k+1;i 齐次和非齐次线性方程组 的解法日 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 线性方程组的解法 注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点，但是同学们学得时候要系统，要全面，要完整。下面是解线性方程组各种情况的标准格式，请同学们以此为准，进行练习。 一、齐次线性方程组的解法 定理 齐次线性方程组一定有解： (1) 若齐次线性方程组()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.（注：当m n =时， 齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.） 注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。 由上面的定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1）当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解； （2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 0A =； （3）当m n =且()r A n =时，此时系数矩阵的行列式0A ≠，故齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，此时()r A n ≤，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“m n ≤”. 例 解线性方程组12 341 23412341 2 3 4 2350,320,4360,2470. x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??++-=? ?+-+=??-+-=? 本科毕业论文(设计)开题报告题目：线性方程组解的结构研究 二级学院：数学与财经学院 专业：数学与应用数学 班级： 学号： 学生姓名： 指导教师： 2013年 11 月 10 日 学院本科毕业论文（设计）开题报告 题目线性方程组解的结构 二级学院数学与财经学院 班级开题日期 专业数学与应用数学 姓名学号指导教师 1、选题目的和意义 线性方程组在解决应用问题中起着重要的作用,是一个极其重要的数学工具.线性方程组的求解过程通常与向量相联系,而空间又可以用向量来表示,向量又与我们日常生活的许多事例相关,所以,我们生活中遇到的许多无法快捷解出的难题中的很大一部分都可以通过与向量相联系，运用向量方程组的求解进而解决一些复杂的难题。而在方程组的求解中,线性方程组是方程组中的最基本的方程组,所以,线性方程组的求解是十分重要的,故归纳和总结出求解线性方程组的方法就显得尤其必要，对线性方程组解的结构研究具有重要意义。 2、国内外研究现状 国内外都对方程组的解的结构的求解过程做出了详尽的分析，但是很少有人对线性方程组下的齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的过程放在一起做具体的分析，比较和概括，所以本文将对线性方程组下的齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的求解过程做详尽的分析，从中我们可以看到两者在求解过程中的联系与区别，最后将两者解集间的区别与相互间关系作一个系统的归纳，便于理解和记忆。 3、研究的主要内容： 线性方程组解的结构研究包括两方面的内容，齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解法。而非齐次线性方程组的解法与齐次线性方程组的解法相联系，所以，本文通过递进的形式先研究齐次线性方程的解法，再研究非齐次线性方程的解法。即通过齐次线性方程组解的表示及解集的结构,对非齐次线性方程组解的表示及解集的结构进行讨论和分析,给出了有无穷多解的非齐次线性方程组的解集.然后通过矩阵初等变化及秩等，运用齐次线性方程组的求解方法等来求解非齐次线性方程组。 齐次线性方程组的基础解系及其应用 齐次线性方程组一般表示成AX=0的形式，其主要结论有： （1）齐次线性方程组AX=0一定有解，解惟一的含义是只有零解，有非零解的含义是解不惟一（当然有无穷多解）。有非零解的充要条件是R(A) 线性方程组的解法 注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点，但是同学们学得时候要系统，要全面，要完整。下面是解线性方程组各种情况的标准格式，请同学们以此为准，进行练习。 一、齐次线性方程组的解法 定理齐次线性方程组一定有解： (1) 若齐次线性方程组() =，则只有零解； r A n (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是() <.（注：当 r A n A=.）=时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0 m n 注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于() -. n r A 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。 由上面的定理可知，若m是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n是未知量的个数，则有：（1）当m n <时，() ≤<，此时齐次线性方程组 r A m n 一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解； （2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0 A=； （3）当m n A≠，故齐次线=且() =时，此时系数矩阵的行列式0 r A n 性方程组只有零解； （4）当m n >时，此时()r A n ≤，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“m n ≤”. 例 解线性方程组1 2 341 23412341 2 3 4 2350,320,4360,2470. x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??++-=? ?+-+=??-+-=? 解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵 显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====. 解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判 断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：2 31531 2132704 13 6 1247 A --= =≠---，知 方程组仅有零解，即12340x x x x ====. 例 解线性方程组12 3 451 2 3452 34512 3 4 5 0,3230,2260,54330. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=??+++-=??+++=??+++-=? 解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵 可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 134523 4 55,226. x x x x x x x x =++?? =---?（其中3x ，4x ，5x 为自由未知量） 令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-，于是得到原方程组的一个基础解系为齐次和非齐次线性方程组的解法
直接法解线性方程组
非齐次线性方程组
第三章 解线性方程组的直接方法
非齐次线性方程组
线性方程组解的判定与解的结构
齐次和非齐次线性方程组的解法精编日
线性方程组解的结构
解线性方程组直接法
实验三：解线性方程组的直接法(一)
直接法解线性方程组
解线性方程组的直接方法实验报告.doc
齐次和非齐次线性方程组的解法日
开题报告(线性方程组解的结构
齐次线性方程组的基础解系存在定理及其应用
齐次和非齐次线性方程组的解法