不等式的应用

一元一次不等式（组）的应用

【知识梳理】

1、列不等式(组)解应用题的一般步骤

（1）认真审题，理解题意，分清已知量与未知量（2）找出其中的不等量关系

（3）恰当设元（4）列不等式（组）（5）求解不等式（组）（6）检验作答

2、列不等式(组)解应用题与列方程(组)解应用题不同的是方程寻找的是等量关系，而不等式（组）寻找的是不等量关系，并且解不等式（组）的结果一般是一个解集，需从解集中找出符合题意的答案

3、不等式（组）的实际应用题主要考查学生的应用能力，通常通过不等式（组）解集，来确定最好工作途径、最佳设计方案、获得最大效益等，常以综合题出现

【重、难点高效突破】

◎考点一、构建不等式组，进行优化设计

1、直接构建

例1（2010年，怀化）5.12四川地震后，怀化市立即组织医护工作人员赶赴四川灾区参加伤员抢救工作．拟派30名医护人员，携带20件行李（药品、器械），租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，日夜兼程赶赴灾区．经了解，甲种汽车每辆最多能载4人和3件行李，乙种汽车每辆最多能载2人和8件行李．

（1）设租用甲种汽车x辆，请你设计所有可能的租车方案；

（2）如果甲、乙两种汽车的租车费用每辆分别为8000元、6000元，请你选择最省钱的租车方案．

2、与二元一次方程组结合构建

例2（2010年，扬州）某校师生积极为汶川地震灾区捐款，在得知灾区急需帐篷后，立即到当地的一家帐篷厂采购，帐篷有两种规格：可供3人居住的小帐篷，价格每顶160元；可供10人居住的大帐篷，价格每顶400元．学校花去捐款96000元，正好可供2300人临时居住．（1）求该校采购了多少顶3人小帐篷，多少顶10人大帐篷；

（2）学校现计划租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将这批帐篷紧急运往灾区，已知甲型卡车每辆可同时装运4顶小帐篷和11顶大帐篷，乙型卡车每辆可同时装运12顶小帐篷和7顶大帐篷．如何安排甲、乙两种卡车可一次性地将这批帐篷运往灾区？有哪几种方案？

练习：某仓库有30名管理员及面积相等的75间库房，准备存放服装、家电和建筑材料。如果存放

服装，每间库房每月可上交利润100元。并需管理员1

2

个；如果存放家电，每间库房每月可上

交利润60元，并需管理员1

4

个；如果存放建材，每间库房每月可上交利润45元，并需管理员

1

8

个。问怎样安排库房，才能使每间库房都堆满货物且管理员刚好够用的条件下，每月上交的利润最多？并求每月的最多利润。

◎考点二、一次函数与不等式“联姻”帮你设计方案

例3（南充市）某乒乓球训练馆准备购买10副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配x(x≥3)个乒乓球，已知A，B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元，现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折（按原价的90%付费）销售，而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球，若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：

（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A超市还是B超市买更合算？

（2）当x＝12时，请设计最省钱的购买方案.

例4（湘潭市）我市花石镇组织10辆汽车装运完A、B、C三种不同品质的湘莲共100吨到外地销售，按计划10辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种湘莲，根据下表提供的信息，解答以下问题：

每辆汽车运载量

（吨）

12

10

8

每吨湘莲获利（万

元）

3

4

2

（1）设装运A 种湘莲的车辆数为x ，装运B 种湘莲的车辆数为y ，求y 与x 之间的函数关系式； （2）如果装运每种湘莲的车辆数都不少于2辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；

（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值. ☆☆课堂变式训练

1、（长沙市）我市某乡A 、B 两村盛产柑桔，A 村有柑桔200吨，B 村有柑桔300吨.现将这些柑桔运到C 、D 两个冷藏仓库，已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可储存260吨；从A 村运往

C 、

D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 村运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A 村运往C 仓库的柑桔重量为x 吨，A ，B 两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为y A 元和

y B 元.

（1）请填写下表，并求出y A 、y B 与x 之间的函数关系式；

C D

总计 A x 吨

200吨 B

300吨 总计

240吨

260吨

500吨

（2）试讨论A ，B 两村中，哪个村的运费较少；

（3）考虑到B 村的经济承受能力，B 村的柑桔运费不得超过4830元.在这种情况下，请问怎样

收 地

运

地

调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值.

说明一次函数的重点内容之一就是利用一次函数图象的特征来解决解决实际应用问题，所以同学们一定要在应用上下功夫. ◎考点四、求解与不等式相关的其他问题

例6（西宁市）一枚均匀的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6.如果用小刚抛掷正方体骰子朝上的数字x，小强抛掷正方体骰子朝上的数字y来确定点P(x，y)，那么他们各抛掷一次所确定的点P落在已知直线y＝－2x+7图象上的概率是多少？

仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口按固定的速度检票。若开放一个检票口，则需30分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕；如果现在要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以后进站的旅客能够随到随检，至少要同时开放几个检票口？

变式训练（泰州市）已知关于x的不等式ax+3＞0（其中a≠0）.

（1）当a＝－2时，求此不等式的解，并在数轴上表示此不等式的解集；

（2）小明准备了十张形状、大小完全相同的不透明卡片，上面分别写有整数－10、－9、－8、－7、－6、－5、－4、－3、－2、－1，将这10张卡片写有整数的一面向下放在桌面上.从中任意

抽取一张，以卡片上的数作为不等式中的系数a，求使该不等式没有

．．正整数解的概率.

1、已知关于x 的不等式组?

?

?>->-010

x a x 的整数解共有3个，则a 的取值范围是

。

2、已知a=23+x ，b=3

2

+x ，且a>2>b ，则x 的取值是

3、（鄂州）为了更好治理洋澜湖水质，保护环境，市治污公司决定购买

10台污水处理设备．现有A B

，两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：

A 型

B 型

价格（万元/台） a

b

处理污水量（吨/

月）

240

200

经调查：购买一台A 型设备比购买一台B 型设备多2万元，购买2台A 型设备比购买3台B 型设备少6万元． （1）求a b ，的值．

（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案．

（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理洋澜湖的污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．

4．在举国上下众志成城，共同抗击非典的非常时期，某厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务。要求在8天之内（含8天）生产A型和B型两种型号的口罩共5万只，其中A型口罩不得少于1.8万只，该厂的生产能力是：若生产A型口罩每天能生产0.6万只，若生产B型口罩每天能生产0.8万只，已知生产一只A型口罩可获利0.5元，生产一只B型口罩可获利0.3元。设该厂在这次任务中生产了A型口罩x万只。问：

（1）该厂生产A型口罩可获利润_________万元，生产B型口罩可获利润_ _______万元；

（2）设该厂生产口罩的总利润是y万元，写出y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围

（3）如果你是该厂厂长：

①在完成任务的前提下,你如何安排生产A型和B型口罩的只数,使获得的总利润最大? 最大利润是多少?

②若要在最短时间内完成任务,你又如何来安排生产A型和B型口罩的只数?最短时间是多少?

5. （2011湖北黄石）今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约

用水，某校数学教师编造了一道应用题：

吨）

不大于10吨部分

1.5

大于10吨不大于m 吨部分（20≤m ≤

50） 2

大于m 吨部分

3 为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：

（1）若某用户六月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费；

（2）记该户六月份用水量为x 吨，缴纳水费y 元，试列出y 关于x 的函数式；

（3）若该用户六月份

用水量为40吨，缴纳消费y 元的取值范围为70≤y ≤90， 试求m 的取值范围。

【家庭作业】

1、已知：x+y=12(x ﹥0,y ﹥0)，求42+x +92+y 的最小值 （华罗庚杯竞赛题）

2、（盐城市）国家为了关心广大农民群众，增强农民抵御大病风险的能力，积极推行农村医疗保险制度.某市根据本地的实际情况，制定了纳入医疗保险的农民医疗费用报销规定，享受医保的农民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费用，年终到医保中心报销.医疗费的报销比例标准如下表：

费用范围

500元以下

超过500元且不超过10000

超过10000元的部分

报销比例标准不予报销70% 80%

（1）设某农民一年的实际医疗费为x元（500＜x≤10000），按标准报销的金额为y元，试求y与x的函数关系式；

（2）若某农民一年内自付医疗费为2600元（自付医疗费＝实际医疗费－按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？

（3）若某农民一年内自付医疗费不少于4100元，则该农民当年实际医疗费至少为多少元？

趣味题.（2010，成都模拟）在五环图案内，分别填写五个数a、b、c、d、e，如图，其中a、b、c是三个连续偶数（a＜b＜c），d、e是两个连续奇数（d＜e＝，且满足a+b+c=d+e，例如。请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入右图：

一元一次不等式应用题(超经典)

一元一次不等式（组） 一、知识导航图 一元一次不等式(组)的应用 一元一次不等式(组)的解法一元一次不等式(组)解集的含义一元一次不等式(组)的概念 不等式的性质 一元一次不等式和一元一次不等式组 二、课标要求 三、知识梳理 1.判断不等式是否成立 判断不等式是否成立,关键是分析判定不等号的变化,变化的依据是不等式的性质,特别注意的是,不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时,要改变不等号方向;反之,若不等式的不等号方向发生改变,则说明不等式两边同乘以(或除以)了一个负数.因此,在判断不等式成立与否或由不等式变形求某些字母的围时, 要认真观察不等式的形式与不等号方向. 2.解一元一次不等式(组) 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤大致相同,应注意的是,不等式两边所乘以(或除以)的数的正负,并根据不同情况灵活运用其性质,不等式组解集的确定方法:若a?? >? 的解集是x>b,即“大大取大”. (3) 00a b >??

(4)00a b ? 的解集是空集,即“大大小小取不了”. 一元一次不等式(组)常与分式、根式、一元二次方程、函数等知识相联系，解决综合性问题。 3.求不等式(组)的特殊解 不等式(组)的解往往是有无数多个,但其特殊解在某些围是有限的,如整数解、非负整数解,要求这些特殊解,首先是确定不等式(组)的解集, 然后再找到相应的答案.注意应用数形结合思想. 4.列不等式(组)解应用题 注意分析题目中的不等量关系,考查的热点是与实际生活密切相联的不等式(组)应用题. 四、题型例析 1．判断不等式是否成立例1 2．在数轴上表示不等式的解集例2 3．求字母的取值围例3 4．解不等式组例4 5．列不等式(组)解应用题例5 一元一次不等式(组) 【课前热身】 【知识点】 1．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质： （1）若a ＜b ，则a +c c b +； （2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或 c a c b ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a c b ）. 3．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 且系数 的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1. 4．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <） x a x b ??>? 的解集是x b >，即“大大取大”； x a x b >??

一元一次不等式的应用压轴题精选2

一元一次不等式应用题压轴题精选 一．解答题（共25小题） 1．“元旦”期间，某学校由4位教师和若干位学生组成的旅游团，到某风景区旅游．甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余人按7折优惠；乙旅行社的收费标准是：5人以上（含5人）可购团体票，游团体票按原价的8折优惠．这两家旅行社的全票价均为每人300元． （1）若有10位学生参加该旅游团，问选择哪家旅行社更省钱？ （2）设参加该旅游团的学生为x人，问人数在什么范围内时，选择乙旅行社更省钱？ 3．某城市的一种出租车起步价为10元（即行驶5千米以内都需付款10元车费），达到或超过5千米后，每增加1千米加价1.2元（不足1千米按1千米计算），现某人乘这种出租车有甲地到乙地，支付车费17.2元．求甲、乙两地的路程． 4．在车站开始检票时，有a（a＞0）各旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队等候检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30min才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10min便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；现在要求在5min内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，问至少要同时开放几个检票口？ 5．某工程队要招聘甲、乙两种工人150人，甲、乙两种工种的月工资分别为600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付工资最少？ 6．商场购进菜种商品100件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后将售价下降10%，降价后每件仍可以获利18元，又售出全部商品的25%

不等式的应用(带答案)

不等式（组）的实际应用 1.某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示 该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元。 (1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套? (2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍。若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套? 解答： (1)设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套， {1.5x+1.2y=660.15x+0.2y=9， 解得：{x=20y=30， 答：该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为20套，30套； (2)设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套， 1.5(20?a)+1.2(30+1.5a)?69， 解得：a?10， 答：A种设备购进数量至多减少10套。 2.2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁悬浮线正式开通运营，该线路连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将会给乘客带来美的享受。星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方。已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨。 (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨? (2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案? 解答： (1)设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨， {2x+3y=315x+6y=70， 解得{x=8y=5. 即一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨； (2)由题意可得， 设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为x辆、y辆， x+y=208x+5y?148y?2， 解得{x=18y=2或{x=17y=3或{x=16y=4， 故有三种派车方案， 第一种方案：大型运输车18辆，小型运输车2辆； 第二种方案：大型运输车17辆，小型运输车3辆； 第三种方案：大型运输车16辆，小型运输车4辆。

不等式及其应用

不等式的性质及其在中学中的应用 罗芳 摘要：中学数学学科的一个重要的内容便是不等式，它是比较大小的必备知识， 不等式还在其它学科中占有举足轻重的作用，比如物理中加速度大小的比较，化学反应中反应速率大小比较等等。在高考数学中不等式的知识也几乎可以渗透到高考的各个考点中，比如集合运算，比较大小，不等式的证明以及函数的最值问题等等。本文将从不等式的性质入手对结合高考中重点考查的不等式的数学思想的类型对其进行了归纳，体会不等式在中学考试中的应用。 关键词：不等式； 不等式的性质；均值不等式；应用 引言：现实世间和时常生活中，既有相等关系又存在着大量的不等关系， 当天平两端的砝码重量不同时，天平就会倾斜，这就是不等关系。2003年美国 发动伊拉克战争，其军事实力对比就是不等关系，有的不等关系可以用数学关 系式表示，这种不等关系就是不等式.研究不等式的性质和应用是一种很重要的 数学思想。 一、不等式的相关概念 作为表达同类量之间的大小关系的一种数学形式，不等式必须在定义了大 小关系的有序集合上研究。由于复数域没有定义大小，所以不等式中的数或字 母表示的数都是实数。 1、不等式：用不等号“≠<>≤≥,,,,”连接起来的式子称为不等式。 2、不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体。 4、解不等式：求不等式的解集的过程。 二、不等式的基本性质 双向性： 1、对称性：a b b a 2、可加性：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向 不变.用符号语言表示为：b a >, c 为整式c b c a ±>±?。 单向性：

生活中的一元一次不等式应用

生活中的一元一次不等式应用 山东张海生 一元一次不等式的在生活的应用十分广泛,涉及到社会生活和生产的方方面面, 为了更好的运用所学知识解决实际问题使学有所用，下面就以例题的形式一块和同学们欣赏一下，这也是培养我们实际能力的好机会． 一.学校决策问题 学校为购买计算器的学生联系了两家公司，两家公司的报价、质量和服务承诺都相同，且都表示对学生优惠：甲公司表示每个计算器按九折出售；乙公司表示购买１００个以上，按八折收费．请你为学校分析，应选择哪家公司较好． 解：设在学校集体购买的计算器为ｎ个， ①显然，当ｎ≤１００时，选择甲公司较好； ②当ｎ＞１００时，设每个计算器的价格为ｘ元， 那么，学校付给甲公司为：０．９ｘｎ元；付给乙公司为：１００ｘ＋０．８（ｎ－１００）ｘ元 当０．９ｘｎ＜１００ｘ＋０．８（ｎ－１００）ｘ时，ｎ＜２００； 当０．９ｘｎ＝１００ｘ＋０．８（ｎ－１００）ｘ时，ｎ＝２００； 当０．９ｘｎ＞１００ｘ＋０．８（ｎ－１００）ｘ时，ｎ＞２００． 所以，当学校购买的计算器在200个以内时，选择甲公司较好；当购买200个计算器时，两个公司都一样；当购买计算器在200个以上时，选择乙公司较好． 二、工程预算问题 爆破时导火索燃烧的速度是每秒钟0.9cm，点导火索的人需要跑到120m以外才安全，如果他跑的速度是每秒6m，那么这个导火索的长度应大于多少cm？ 解：设导火索的长度应大于xcm． x＞18

答：导火索的长度应大于18cm． 四、生活娱乐问题 小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的脚仍然着地.后来，小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果小宝和妈妈的脚着地.猜猜小宝的体重约有多少千克？（精确到1千克） 解:设小宝的体重是x千克，则妈妈的体重是2x千克. 由题意得,由此可以得出小宝的体重. 五、能源节约问题 水是人类宝贵的资源之一，我国水资源人均占有量远远低于世界平均水平．为节约用水，保护环境，学校于本学期初便制定了详细的用水计划．如果实际每天比计划多用一吨水，那么本学期的用水总量将会超过２３００吨；如果实际每天比计划节约一吨水，那么本学期的用水总量将会不足２１００吨．如果本学期在校时间按１１０天（２２周）计算，那么学校计划每天用水量应控制在什么范围？（结果保留４个有效数字） 解：设学校计划每天用水ｘ吨，依题意，得： １１０（ｘ＋１）＞２３００１１０（ｘ－１）＜２１００， 解这个不等式组，得２１９１１＜ｘ＜２２１１１， 所以１９．９１＜ｘ＜２０．０９． 答：学校计划每天用水量应控制在１９．９１吨至２０．０９吨之间． 六、企业预算问题 某市某童装企业今年五月份工人每人平均加工童装１５０套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的６０％．为了提高工人的劳动积极性，按时完成外商订货任务，企业计划从六月份进行工资改革，改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资２００元；另一部分每加工１套童装奖励若干元．⑴为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准４５０元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工１套童装企业至少应奖励多少元（精确到分）？ ⑵根据经营情况，企业决定每加工１套童装奖励５元．工人小张争取六月份工资不少于１２００元，问小张六月份至少加工多少套童装？ 解：⑴设企业每套童装至少奖励ｘ元，由题意，得：２００＋６０％?１５０ｘ≥４５０，解得：ｘ≥２７９≈２．７８． 因此，该企业每套至少应奖励２．７８元． ⑵设小张在六月份至少加工ｙ套，由题意，得：２００＋５ｙ≥１２００，解得ｙ≥２００． 答：小张在六月份至少加工２００套． 七、工程人力开发问题

不等式的综合应用(1)

不等式的综合应用（1） 一、基础梳理 1．运用不等式研究函数问题（单调性，最值等）. 2．运用不等式研究方程解的问题. 3．利用函数性质及方程理论研究不等式问题 二、双基自测：见优化探究66 三、例题讲解： 1、函数与不等式 ①设f （x ）是定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的奇函数且在（-∞，0）上为增函数. （1）若m ·n ＜0,m+n ≤0,求证：f （m ）+f （n ）≤0； （2）若f （1）=0,解关于x 的不等式f （2x -2x-2）＞0 ②.已知f （x ）=2x +bx+c （b,c 为常数），方程f （x ）=x 的两个实根为1x ，2x 且满足1x ＞0, 2x -1x ＞1 （1）求证：2b ＞2（b+2c ）； （2）设0＜t ＜1x ,比较f （t ）与1x 的大小 2、数列与不等式 对于函数f （x ），若存在0x ∈R ，使f （0x ）=0x 成立，则称0x 为f （x ）的不动点. 已知函数f （x ）= （b,c ∈N ）有且仅有两个不动点0，2， 且f （-2）＜21- . （1）求函数f （x ）的解析式； （2）已知各项均不为零的数列{an}满足4Sn ·f （ n a 1 ）=1,求数列通项an ； （3）如果数列{bn}满足1 b =4, n b +1=f （n b ），求证：当n ≥2时，恒有n b ＜3成立. ②已知数列{an}的前n 项和n s =n 2-2n -1，其中n ∈N* （1）求n s -2n a 的最大值； （2）记n b = n n a 2 ,数列{n b }的前n 项和为n T .证明：①1+n b ＜n b + 41 ②n T ＜ 81 n （n-1）. 四、作业：课时作业32 2x a bx c +-

基本不等式及其应用-沪教版必修1教案

基本不等式是每年的高考热点，主要考察命题的判定，不等式的证明以及求 最值问题。特别是求最值问题往往在基本不等式的使用条件上设置一些问题。 考 察学生恒等变形的能力，运用基本不等式的和与积转化作用的能力。 教学目标 1. 知识与技能 理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。 会运用基本不等式解决相关的问题。 2. 过程与方法 通过师生互动、学生主动的探究过程，让学生体会研究数学问题的基本思想 方法，学会学习，学会探究。 3. 情感态度与价值观 鼓励学生大胆探索，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步 养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。 重点：运用基本不等式求最值 难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件 教学过程： 一、 要点梳理 1、基本不等式 若a 、b € R,则a 2+b 2> 2ab,当且仅当a=b 时取“=” b 2（a 、b 同号） a 3、求最大值、最小值问题 (1) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且xy=p(定值)，那么当x=y 时，x+y 有 _______________ (2) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且x+y=s(定值)，那么当x=y 时，xy 有 _______________ 例题精讲 例1、若正数a 、b 满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围, 1 9 例2、已知x>0、y>0,且一 一 1，求x+y 的最小值 x y 2、 若 a 、b € R',则 常用变形形式： 宁,ab ，当且仅当a=b 时取 ■- ab 2 b 2 ——b a 0,b 0 ④ 2 b 2 2ab ab 2 a 2 b 2 2 概括为:

一元一次不等式(组)及其应用

课时6 一元一次不等式(组)及其应用 班级______ 姓名______ 【课前热身】 1.设a ＜b ，用不等号连接下列各题中的两式。 （1）a+c________b+c (2)-2a________-2b (3)a-b_________0 (4)m 2a________ m 2b (5)-ca_________-cb(c ＜0） 2.不等式－032>-x 的解是_______________ 3.一个一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如下图，则该不等式组的解集是 A ．13x -≤< B ． 13x -<≤ C ．1x ≥- D ． 3x < 4. 不等式组1 10320.x x ?+>???-? ， ≥的解集是（ ） A ．－ 3 1＜x ≤2 B ．－3＜x ≤2 C ．x ≥2 D ．x ＜－3 【考点链接】 1．用不等号表示 关系的式子叫不等式；使不等式成立的未知数的 ，叫做不等式的解；不等式的 的集合，叫做不等式的解集. 2．不等式的基本性质： （1）若a ＜b ，则a +c c b +； （2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或c a c b ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或 c a c b ）. 3．一元一次不等式：只含有 未知数，未知数的最高次数是 的不等式，称为一元 一次不等式；其解法与一元一次方程的解法类似. 4．不等式组中各个不等式的解集的 ，叫做不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <） x a x b ??>?的解集是_________； x a x b >?? ?的解集是_________.

一元一次不等式应用题汇总

不等式应用练习题 1、某商店第一天以每件10元的价格购进某商品15件,第二天又以12元的价格购进同种商品35件,然后以相同的价格卖出,如果销售这些商品时,至少要获得10%的利润,这种商品每件的售价应不低于多少元？ 3、甲乙两家超市以相同的价格出售同样的商品.为吸引顾客各自推出不同的优惠方案.甲超市累计购买商品超出500元之后.超出部分按原价八五折优惠.在乙超市累计购买商品超出300元之后.超出部分按原价九折优惠. （1）是用含x的代数式分别表示,顾客在两家超市购物所付的费用. （2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠,并说明你的理由. 4、按国家有关规定，个人发表文章、出版图书获得的稿费的纳税计算方法是：(1)稿费不高于4000元的不纳税； 国家规定个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：（1）稿费不高于800元的不拿税；（2）稿费高于800元而低于4000元的应缴纳超过800元那部分稿费的14％的税；（3）稿费等于或高于4000元的应缴纳全部稿费的11％的税。王老师获得一笔稿费，并交纳个人所得税不超过420元，问他这笔稿费最多是多少元？ 5、今秋，某市白玉村水果喜获丰收，果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货

车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨． （1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？ 6、某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． （1）该校初三年级共有多少人参加春游？ （2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案？ 7、某射击运动员在一次训练中，打靶10次的成绩为89环，已知前6次射击的成绩为50环，则他第七次射击时，击中的环数至少是______环． 8、某县出租车计费规则：2公里以3元,超过两公里部分另按每公里1.2元收费（不足1公里按1公里收费）,立同学从家出发坐出租车到新华书店购书,下车时付费9元,那么立家离书店最多有几公里? 9、甲从一个鱼摊上买了三条鱼,平均每条a元,又从另一个鱼摊买了两条鱼,平均每条b元,后来他又以每条a+b/2元的价格把鱼全部地卖给了乙,结果发现赔钱,你知道为什么吗?

人教版初一数学下册不等式的应用(1)[001]

不等式的应用（1） 李柳娇 一、教材分析 跟前面第三章“一元一次方程”和第八章“二元一次方程组”一样，本章“不等式与不等式组”安排了一些有代表性的实际问题作为知识的发生、发展的背景材料，实际问题贯穿全章，对不等式的概念及其应用的讨论，都是在建立和运用不等式这种数学模型的过程中进行的。 不等式式刻画不等关系的重要模型，本节安排了两个例题，重点说明如何根据实际问题列不等式，使学生经历建立一元一次不等式这样的数学模型，并应用它解决实际问题。 二、学情分析 学生有了列方程解决实际问题的基础，不难通过类比学习，把所学知识迁移到不等式的学习中，总结归纳出用不等式解决实际问题的几个步骤： （1）弄清题意； （2）设立未知数，并用未知数表示相应的量； （3）找出题中的不等关系（不等关系的给出一般以“少于”、“至多”、“至少”、“不大于”、“不少于”、“不超过”等等词语作为标志），列出不等式； （4）解不等式； （5）根据实际问题写出符合题意的解并作答。

虽然列方程与列不等式解决实际问题的步骤大致相同，但作为七年级的学生对于用不等式建立数学模型来解决实际问题，容易出现的认知困难主要是： 第一设立未知数时，一般不含表示“不等关系”的词语。 例如：教材第124页例2问明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少？设元时，设明年空气质量良好的天数比去年增加了x，并不出现“至少”这一词。假如设明年空气质量良好的天数比去年至少要增加x，则列不等式就不合理了。 第二需按题意作答。 例如：例1中，列出不等时，求解得5.36 x，回答时需考虑到大 于36.5的整数，明年空气质量良好的天数比去年至少要增加37。 第三找出问题中蕴含的不等关系，并会正确使用不等号列出不等式。 三、教学目标 （1）知识目标：帮助学生从实际问题中抽象出数学问题，根据数量关系建立一元一次不等式进行求解，体会数学模型的思想。 （2）能力目标：通过教学初步培养学生分析问题，解决实际问题，综合归纳整理的能力，以及理论联系实际的能力。 （3）情感目标：①培养学生敢于面对数学活动中的困难并有独立克服困难勇气；②鼓励学生积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解；③培养学生学数学、用数学、爱数学的情怀。

基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)

基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 .

(3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a，b∈R)． (4) b a ＋ a b ≥2(a，b同号且不为0)． (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2＋b2 2 (a，b∈R). （6） b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3＋b3＋c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a＋b＋c 3 ≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.

设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( ) 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42， 当且仅当a＝b＝3 2 时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0， 则ab的最大值为( ) 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2 .当且仅当a ＝1，b＝1 2 时等号成立.故选A.

基本不等式及其应用(优秀经典专题及答案详解)

专题7.3 基本不等式及其应用 学习目标 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)????a ＋b 22≤a 2＋b 2 2(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一 利用基本不等式求最值

【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5 的最大值为_______ 【答案】1 【解析】因为x ＜54 ，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋ 14x －5＝－????5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋ 14x －5 的最大值为1. 【方法技巧】 1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 【答案】6 【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤????x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 考点二 利用基本不等式解决实际问题 【典例2】 【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果

一元一次不等式应用题

第十讲不等式组应用题 一．选择题 1. 如图⑴所示，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体 A的质量m(g)的取值范围． 在数轴上：可表示为图⑵中的（） 2. 设“●”、“▲”、“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么●、 ▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排列为 A.■、●、▲。 B.■、▲、●。 C.▲、●、■。 D.▲、■、●。 3. 已知不等式组 x+8<4x-1 x>m ? ? ? 的解集为x＞3，则m的取值范围是（） A．m≥3 B．m=3 C. m＜3 D．m＜3 二．应用题： 应用题型一： 1. 某次“迎奥运”知识竞赛中共20道题，对于每一道题，答对了得10分，答错了或不答扣5分，选 手至少要答对（）道题，其得分才会不少于95分？ A．14 B．13 C．12 D．11 2. 一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中， 小明获得优秀(90分或 90分以上)则小明至少答对了______道题． 应用题型二： 例1：若干苹果分给几只猴子，若每只猴子分3个，则余8个；每只猴分5个，则最后一只猴分得的数不足5个，问共有多少只猴子？多少个苹果

练习： 1．若干学生分住宿舍，每间4人余20人；每间住8人有一间不空也不满，则宿舍有多少间？学生多少人？ 2．现有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4 人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满珠住宿生人数和宿舍间数． 题型三： 例1．已知利民服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80套，已知做一套M型号时装需A种布料0.6米，B种布料0.9米，做一套N型号时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，若设生产M型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装有几种方案？ 练习： ， 1.我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆． 1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来． 2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？

基本不等式及其应用

基本不等式及其应用 一、教学分析设计 【教材分析】 人教版普通高中课程标准试验教科书分不同的章节处理不等式问题。在必修5的第三章中，首先介绍了不等关系与不等式；然后是一元二次不等式及其解法，二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题；最后在第四节介绍基本不等式。在选修教材《不等式选讲》中对不等式与绝对值不等式、证明不等式的基本方法、柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式作了更详细的介绍。并在书中还安排章节复习了基本不等式，并将其推广到三元的形式。基本不等式从数学上凸显了沟通基础数学知识间的内在联系的可行性。 基本不等式的课程标准内容为：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题。教学要求为：了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算数平均数、几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最值问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值（说明：突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形）。《考试说明》中内容为：会用基本不等式解决简单的最值问题。通过对比分析，他们的共同都有“会用基本不等式解决简单的最值问题”。基本不等式与函数（包括三角函数）、数列、解析几何等内容均有丰富的联系，在《考试说明》中属于C及内容（含义：对该知识有实质性的理解并能与已有知识建立联系，掌握内容与形式的变化；相关技能已经形成，能用它来解决简单的相关问题）。 【学生分析】 从知识储备上看，高三学生已经基本掌握了不等式的简单性质和证明，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的数学模型，也具备一定的几何知识。 从思维特点看，学生了解了不等关系的数学模型是解决实际问题的重要工具，具备一定的归纳、猜想、演绎证明和抽象思维的水平。 【目标分析】 结果性目标： 1、能在具体的问题情景中，通过抽象概括、数学建模以及逻辑推理获得基本不等式； 2、掌握基本不等式应用的条件“一正二定三相等”，和基本不等式的常见变形； 3、会用基本不等式解决一些简单的实际问题。 体验性目标： 1、在解决实际问题的过程中，体验基本不等式的本质是求二元的最值问题； 2、在解决实际问题中，体验“形”与“数”间的关联。 重点：创设基本不等式使用的条件。 难点：基本不等式的简单应用，以及使用过程中定值的取得。 【核心问题分析】 核心问题：在学校文化厘清过程中，拟对一块空地实行打造，现对其规划如下：将这块空地建成一个广场，在广场中间建一个长方形文化长廊，在其正中间造一个长方形景观池，并利用长廊内部左下角的那颗古树打造一条直线型景观带。请同学们按照以下要求实行数据设计： 问题1：文化长廊的周长为480米，要求文化长廊所围成的长方形面积最大，应怎样设计其长和宽？ 问题2：已知景观池的容积为4800米，深为3米。已知景观池底每平米的造价是150元，池壁每平方米的造价是120元，问怎样设计，使造价最低，最低造价是多少？ 问题3：设文化长廊为ABCD，现在长廊ABCD的左下角点E处有颗古树，且点E距左边AB和下边AD的D距离各为20米、10米，为保护古树，现经过古树E建造一直线型的景观带

不等式的应用

不等式的应用 一、课标要求 通过由一元一次不等式,一元一次不等式的解集.?解不等式的概念来类推学习一元一次不等式组,一元一次不等式组的解集,解不等式组这些概念,?发展学生的类比推理能力. 二、知识疏理 1.温故知新 1．不等式有下列三个重要性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向________； （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向_________； （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向________．2．解一元一次不等式与解一元一次方程基本相同，只是在化系数为1时注意不等式性质的运用 2.确定不等式组的解集时应区分以下四种情况： （1）同大取大； （2）同小取小； （3）大于小的，小于大的，取公共部分； （4）大于大的，小于小的，无解． 3．列不等式解应用题的基本方法与列一元一次方程解应用题的方法基本相同． 2.教材解读 1、苹果的进价是每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗．为避免亏本，商家把售 价应该至少定为每千克元． 2、“五·四”青年节，市团委组织部分中学的团员去西山植树．某校九年级（3）班团支部 领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有棵． 3、甲乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每付定价20元，乒乓球每盒定价5元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一付球拍赠一盒乒乓球；乙店：按定价的9折优惠某校需购球拍4付，乒乓球x盒（x≥4）． （1）若去甲店购买，应付款元； （2）若去乙店购买，应付款元； （3）若该校买20盒乒乓球，去店买合算； （4）若该校买30盒乒乓球，去店买合算； （5）购买盒乒乓球，去两家店购买的价格是相同的 三.典型例题解析 1、有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5 万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若使总收入不低于15.6万，则最多只能安排多少人种甲种蔬菜？

几个重要不等式及其应用

几个重要不等式及其应用 一、几个重要不等式 以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。 1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式 设12,,,n a a a L 是非负实数，则12n a a a n +++≥L 2、柯西（Cauchy ）不等式 设,(1,2,)i i a b R i n ∈=L ，则2 22111.n n n i i i i i i i a b a b ===?????? ≥ ??? ??????? ∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使 ,1,2,,.i i b a i n λ==L 变形（Ⅰ）：设+ ∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===??? ??≥n i i n i i n i i i b a b a 1 2 112；等号成立当且仅当存在R λ∈， 使,1,2,,.i i b a i n λ==L 变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===??? ??≥n i i i n i i n i i i b a a b a 1 2 11。等号成立当且仅当n b b b ===Λ21 3．排序不等式 设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121?≤?≤≤≤?≤≤是n ,,2,1?的一个排列，则 n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ΛΛΛ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当 n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21。（用调整法证明）. 4．琴生（Jensen ）不等式 若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈Λ* ()n N ∈有 ()()()12121 ( ).n n x x x f f x f x f x n n +++≤+++??? ?L L 等号当且仅当n x x x ===Λ21时取得。（用归纳法证明） 二、进一步的结论 运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到 的效果。 1. 幂均值不等式 设0>>βα，),,2,1(n i R a i Λ=∈+ ，则

基本不等式的应用(适合高二 必修五)

基本不等式的应用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

应用题-一元一次不等式的应用

一元一次不等式应用题集锦 1、把价格为每千克20元的甲种糖果8千克和价格为每千克18元的乙种糖果若干千克混合， 要使总价不超过400元，且糖果不少于15千克，所混合的乙种糖果最多是多少？最少是多少？ 2、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8 人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。 3、某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生,买了若干本课外读物准备送给他们.如果 每人送3本,则还余8本;如果前面每人送5本,最后一人得到的课外读物不足3本. 设该校买了m本课外读物,有x名学生获奖,请解答下列问题: (1)用含x的代数式表示m; (2)求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数. 4、(2001荆门市)有10名菜农,每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩,已知甲种蔬菜 每亩可收入0.5万元,乙种蔬菜每亩可收入0.8万元,若要使总收入不低于15.6万元,则应该如何安排人员？ 5、(2001陕西)出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内需付10元车费),达到或 超过5km后,每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计),现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程大约是多少? 6、(2002重庆市)韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为 中国队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少3辆车，若全部安排乘A队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满，则A队有出租车（） A.11辆 B.10辆 C.9辆 D.8辆 7、(2001荆州)在双休日,某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园,公司 先派一个人去了解船只的租金情况,这个人看到的租金价格表如下: 那么,怎样设计租船方案才能使所付租金最少?(严禁超载)