四川省双流中学2020-2021学年高二下学期复学考试数学(理)试题

四川省双流中学2020-2021学年高二下学期复学考试数学（理）

试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设函数y =A ，函数2y x =-的定义域为B ，则A B =( )

A ．()1,2

B ．(]1,2

C ．[]2,0-

D ．[]22-,

2．复数11i

z i

+=-，则||z =( )

A ．1

B ．2

C

D ．3．命题“[1,2]x ?∈-，使2210x x +-<”的否定为( ) A ．2[1,2],210x x x ?∈-+-≥

B ．2[1,2],210x x x ?∈-+-≥

C ．(,1)(2,)x ?∈-∞-?+∞，2210x x ++≥

D ．(,1)(2,)x ?∈-∞-?+∞，

2210x x +-≥

4．设,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线

sin 0x A a y c ?+?+=与sin sin 0b x y B C ?-?+=位置关系是（ ）

A ．平行

B ．重合

C ．垂直

D ．相交但不垂直

5．已知a b ，是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且a α?，

b β?，a ∥β，b ∥α，则“a 与b 为异面直线”是 “α∥β”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．双流中学开展的“综合素质评价”引起了业界广泛关注，学校为此要求每班必须推出至少两个经典的报告予奖励，高二年级某班要从4个中选出3个，其中必含有甲的概率是( ) A ．

3

4

B ．

23

C ．

14

D ．

13

7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9

B ．12

C ．15-

D ．18-

8．已知平面α，β的法向量分别为()2,3,a λ=和()4,,2b μ=-（其中,R λμ∈），若//αβ，则λμ+的值为（ ）

A ．5

2

-

B ．-5

C ．

52

D ．5

9．ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若tan tan a b

a b A B

+=+，则角C =（ ） A ．

6

π B ．

4

π C ．

3

π D ．

2

π 10．已知点(4,4)A 在抛物线C ：22y px =上，O 为坐标原点，点P 是抛物线C 准线上一动点，则PA PO +的最小值为（ ）

A B ．C D ．11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且1

AM 3

=

，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线11A D 的距离的平方与点P 到点M 的距离的平方的差为

1，在以AB 、AD 为坐标轴的平面直角坐标系中，动点P 的轨迹是（ ）

A ．圆

B ．抛物线

C ．双曲线

D ．直线

12．已知14m <<，12,F F 为曲线22

:144x y C m +=-的左、右焦点，点P 为曲线C 与

曲线2

2

:11

E y x m -=-，在第一象限的交点,直线l 为曲线C 在点P 处的切线，若

12F PF △的内心为点M ，直线1F M 与直线l 交于N 点，则点N 横坐标为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

二、填空题

13．椭圆2

2

:12y C x +=经过2:2x x y y

?''=??

=?变换后所得曲线'C 的焦点坐标为____________.

14．关于x 的方程240(17)x x m m -+=-≤≤有两个正实根的概率是____________. 15．在极坐标系中，曲线(sin cos )a ρθθ-=与曲线4sin ρθ=-相交于A B ，两点，若

||AB =，则实数a 的值为____________.

16．已知椭圆方程为223(0)x y λλ+=>，、、A B C 是椭圆上的任意三点（异于椭圆

顶点），若存在锐角θ，使cos sin OC OA OB θθ=+ （O 为坐标原点）则直线OA

OB ，的斜率乘积为____________.

三、解答题

17．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图如下．

（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值．

18．在等比数列{a n }中，a n >0 (n ∈N )，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2. (1) 求数列{a n }的通项公式；

(2) 设2log n n b a =，数列{b n }的前n 项和为S n ，当

12

+++

12

n

S S S n

最大时，求n 的值. 19．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小；

（2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．

20．如图：在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD .PA AB BC ===1AD CD ==，120ADC ∠=.点M 是AC 与BD 的交点，点N 在线段PB 上且

1

4

PN PB =

.

（1）证明：MN ∥平面PDC ；

（2）求直线MN 与平面PAC 所成角的正弦值； （3）求二面角A PC D --的正切值.

21．已知抛物线()2

:20C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，若点P 在C 上，点E 在l

上，且PEF 是周长为12的正三角形． （1）求C 的方程；

（2）过点F 的直线与抛物线相交于,A B 两点，抛物线在点A 处的切线与l 交于点N ，求ABN 面积的最小值.

22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

曲线1C ：4cos ,0,2πρθθ??

=∈????

，2C ：cos 3ρθ=. （1）求1C 与2C 的交点的极坐标； （2）设点Q 在1C 上，2

5

O O Q P =，求动点P 的极坐标方程.

参考答案

1．D 【分析】

求出集合A 、B ，再利用交集的定义计算即可. 【详解】

由已知，240x -≥，解得22x -≤≤，故[2,2]A =-，又B R =， 所以A B =[]22-,

. 故选：D 【点睛】

本题考查集合间的交集运算，涉及到求函数的定义域，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 2．A 【分析】

分子分母同乘以分母的共轭复数即可得到复数z ，进一步得到复数的模. 【详解】

21i (1i)2i

i 1i (1i)(1+i)2

z ++====--，所以|1|z =.

故选：A 【点睛】

本题考查复数的除法运算以及求复数的模，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 3．B 【分析】

,()x M p x ?∈的否定为,()x M p x ?∈?.

【详解】

根据全称命题的否定是特称命题，知[1,2]x ?∈-，使2210x x +-<的否定为

2[1,2],210x x x ?∈-+-≥.

故选：B 【点睛】

本题考查含有一个量词的命题的否定，做此类题要注意两个方面的变换：1.量词，2.结论.是一道容易题. 4．C 【解析】

,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，

则直线sin 0x A a y c ?+?+=斜率为：sin A

a -， sin sin 0

b x y B C ?-?+=的斜率为：sin b

B

，

∵sin sin A b a B

-=﹣1，∴两条直线垂直．

故选C ． 5．A 【分析】

根据面面平行的判定定理分析即可. 【详解】

过b 作平面γ，使平面γ

平面l α

，由线面平行的性质定理可得l ∥b ，因为a 与b 为

异面直线，所以l 与a 必然相交，（否则有l ∥a ，l ∥b 得到a ∥b ，与a 与b 是异面直线 矛盾），所以由面面平行的判定定理知α∥β；反过来若α∥β，则a 与b 不一定为异面直

线，可能a ∥b ，故“a 与b 为异面直线”是 “α∥β”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】

本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到面面平行的判定定理，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题. 6．A 【分析】

利用古典概型的概率计算公式计算即可. 【详解】

由题意，高二年级某班要从4个中选出3个共有3

4C 种不同的结果，其中必含甲共有2

3C 种

不同结果，由古典概型的概率计算公式可得，所求事件的概率为23343

4

C C =.

故选：A 【点睛】

本题考查古典概型的概率计算，考查学生的运算求解能力，是一道容易题. 7．A 【分析】

由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案. 【详解】

设公差为d ，则1123,

87

80,2a d a d +=-??

??+=??解得17,2,a d =-??=? 9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.

故选：A. 【点睛】

本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题. 8．D 【分析】

根据平面平行得到//a b ，故()()2,3,4,,2k λμ=-，计算得到答案. 【详解】

//αβ，则//a b ，故()()2,3,4,,2k λμ=-，即2432k

k k

μλ=??

=??=-?

，解得61μλ=??=-?.

故5λμ+=. 故选：D . 【点睛】

本题考查了法向量的平行问题，意在考查学生的计算能力. 9．D 【分析】

利用正弦定理边化角，化切为弦，整理求出A B +值，即可求出结果. 【详解】

tan tan a b a b A B

+=+，sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos A B

A B A B

A B A B

+=+=+，

sin cos sin cos A A B B -=-+，平方得

2sin cos 2sin cos ,sin 22sin 2A A B B A B -=-∴=， 22(0,2),22A B A B π∈∴=、或22A B π+=， ,A B ∴=或2

A B π

+=

，

若,A B =则sin cos ,tan 1,(0,)A A A A π∴=∴=∈

,4

2

A B C π

π

∴==

∴=

，

若2

A B π

+=，则2

C π

=

.

故选:D 【点睛】

本题考查正弦定理边角互化，考查同角间的平方关系和三角函数值与角的关系，属于中档题. 10．D 【分析】

根据点(4,4)A 在抛物线C ：2

2y px =上,可求得2p =，可得准线方程1x =-，取(2,0)B -，

则||||||||PA PO PA PB +=+||AB ≥即可得到. 【详解】

因为点(4,4)A 在抛物线C ：2

2y px =上，

所以168p =，所以2p =，所以2

4y x =，准线为：1x =-

取(2,0)B -，则||||||||PA PO PA PB +=+||AB ≥== 当且仅当,,A P B 三点共线时取得等号. 故选：D. 【点睛】

本题考查了抛物线方程，抛物线的准线方程的应用，考查了抛物线线中的最值，属于中档题. 11．B 【分析】

结合正方体的图像，作PQ AD ⊥，Q 为垂足，过点Q 作11QR D A ⊥，求出点P 到直线11A D 的距离，以及P 到点M 的距离，即可得出结果. 【详解】

如图所示：正方体1111ABCD A B C D -中，作PQ AD ⊥，Q 为垂足，则PQ ⊥面11ADD A ，过点Q 作11QR D A ⊥，

则11D A ⊥面PQR ，PR 即为点P 到直线11A D 的距离，

由题意可得222PR PQ RQ 1-==． 又已知22PR PM 1-=，PM PQ ∴=，即P 到点M 的距离等于P 到AD 的距离，根据抛物线的定义可得，点P 的轨迹是抛物线， 故选B ．

【点睛】

本题主要考查立体几何中的轨迹问题，熟记圆锥曲线的定义即可，属于常考题型. 12．B 【分析】

利用椭圆的性质及定义可得

1

1121222FQ F E F P PQ c EF F P PR c RF ?=?+=+?+=+22222a c RF RF a c =+?=-即可得到答案.

【详解】

如图，由椭圆的性质可知，PN 为12F PF ∠外角的角平分线，以N 为圆 心作圆与12,PF PF ，x 轴分别相切于,,Q R E ，所以

1

1121222FQ F E F P PQ c EF F P PR c RF =?+=+?+=+ ()1222222222F P PR RF c RF a c RF RF a c ?++=+?=+?=-，

所以2EF a c =-，E x a =，2E N a x x ===. 故选：B

【点睛】

本题考查双曲线、椭圆的标准方程的概念，并由标准方程能求出焦半距，也考查椭圆、双曲线的定义的灵活运用，是一道有一定难度的题. 13．()0,2± 【分析】

2222x x x x y y y y ??

=??=????

?=??=??'''

?

'?代入22

12y x +=中即可得到变换后的曲线方程，进一步可得焦点坐标. 【详解】

由2222x x x x y y y y ??=??=?????=??=??'''

?

'?，代入22

12y x +=得

'2'2148x y +=. ∴变换后所得曲线'C 的焦点坐标为()0,2±.

故答案为：()0,2± 【点睛】

本题考查曲线的伸缩变换，要注意哪个是变换前的坐标，哪个是变换后的坐标，“谁代谁”，是一道容易题. 14．

1

2

【分析】

先求出240x x m -+=有两个正实根时m 的范围，再利用几何概型的概率计算公式可得到答案. 【详解】

由22404(0)x x m m x x x -+=?=-+>，数形结合可知，y m =与24(0)y x x x =-+>

有两个不同交点，则(0,4)m ∈，而17m -≤≤，所以方程2

40(17)x x m m -+=-≤≤有

两个正实根的概率为

401

7(1)2

-=--.

故答案为：

12

【点睛】

本题考查几何概型的概率计算，涉及到一元二次方程根的分布，是一道容易题. 15

．2-±【分析】

将直线和圆的极坐标方程化为普通方程，再利用圆心到直线的距离为1即可得到答案. 【详解】

因为(sin cos )0a x y a ρθθ-=?-+=，

又曲线22222

4sin 4sin 40(2)4x y y x y ρθρρθ=-?=-?++=?++=，

又AB =，∴圆心()0,2-到直线的距离为1，即

12a =

?=-±

故答案为：2- 【点睛】

本题考查直线和圆的极坐标与普通方程的互化以及直线与圆的位置关系，涉及到点到直线的距离公式，是一道容易题. 16．1

3

- 【分析】

设(,)OC x y =，()11,OA x y =，()22,OB x y =，由cos sin OC OA OB θθ=+得

1212cos sin cos sin x x x y y y θθ

θθ=+??

=+?

，注意到、、A B C 在椭圆上，代入椭圆方程化简即可. 【详解】

设(,)OC x y =，()11,OA x y =，()22,OB x y =，由cos sin OC OA OB θθ=+得

1212cos sin cos sin x x x y y y θθ

θθ=+??

=+?

，而点、、A B C 在椭圆上， ()()2

2

1212cos sin 3cos sin x x y y θθθθλ∴+++=

()()

()22222

21

12212123cos 3sin 3sin 2x

y x y x x y y θθθλ+++++=，

()2212121212cos sin 3sin 230x x y y x x y y λθλθθλ+++=?+=，

12121

3

OA OB y y k k x x ∴=

?=-. 故答案为：13

- 【点睛】

本题考查向量的坐标表示，斜率公式，涉及到倍角公式等知识，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.

17．（1）0.9；（2）0.085a =，0.125b =． 【分析】

（1）由频数分布表得，课外阅读时间不少于12小时的共有10（名），即可求解样本中学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；

（2）由频数分布表得，课外阅读时间落在[4，6）的人数为17，则频率是17

100

=0.17，进而可计算频率分布直方图中,a b 的值. 【详解】

（1）由频数分布表得，100名学生课外阅读时间不少于12小时的共有6+2+2=10（名）， 所以样本中学生该周课外阅读时间少于12小时的频率P=1–

10

100

=0.9； 则从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率是0.9； （2）由频数分布表得，课外阅读时间落在[4，6）的人数为17，则频率是

17

100

=0.17， 所以由频率分布直方图得，a=

频率

组距

=0.085， 同理可得，b=25

1002

?=0.125．

【点睛】

本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记在频率分布直方图中，各小长方形

的面积表示相应各组的频率，所以所有小长方形的面积的和等于1，且每个小矩形的高度为

频率

组距

是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 18．(1) 25－n (2) 8或9 【解析】 【分析】

（1）根据等比数列的性质可知a 1a 5=a 32，a 2a 8=a 52化简a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8=25得到a 3+a 5=5，又因为a 3与a 5的等比中项为2，联立求得a 3与a 5的值，求出公比和首项即可得到数列的通项公式；（2）把a n 代入到b n =2log n a 中得到b n 的通项公式，即可得到前n 项和的通项s n ；把s n 代入得到n s n ，讨论求出n s

n

各项和的最大值时n 的取值． 【详解】

解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a ＋2a 3a 5＋a ＝25， 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5. 又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)， ∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1.

∴q ＝，a 1＝16，∴a n ＝16×n －1＝25－n .

(2)b n ＝log 2a n ＝5－n ， ∴b n ＋1－b n ＝－1，

∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝，

∴＝，

∴当n ≤8时， >0； 当n ＝9时，＝0； 当n >9时， <0.

∴当n ＝8或9时，＋＋＋…＋最大. 【点睛】

考查学生灵活运用等比数列等比中项性质的能力，掌握等比数列的通项公式，会进行数列的

求和的公式. 19．（1）（2）5

7

【解析】

试题分析：（1）根据二倍角公式

,三角形内角和

,所以

,整理为关于

的二次方程，解得角的大小；（2）根据三角形的面

积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道,然后根据余弦定理再求，最后根据

证得定理分别求得和.

试题解析：（1）由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， 解得cos A ＝

或cos A ＝－2(舍去)．

因为0

.

（2）由S ＝bcsin A ＝bc×＝bc ＝5，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.

由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝. 从而由正弦定理得sin B sin C ＝

sin A×sin A ＝

sin 2A ＝

×＝

.

考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.

【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现时，就要考虑一个条件，

,

,这样就做到了有效的消

元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式,灵活

使用其中的一个.

20．（1）证明见解析；（2）14；（3. 【分析】

（1）

推导出AC =在正三角形ABC 中，

31

,22

BM DM ==，从而

112

13422

DM BD ==+． 进而//MN PD ，由此能证明MN ∥平面PDC ；

（2）分别以,,AB AD AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系，求出MN 与平面PAC 的法向量n ，

进而利用向量的夹角公式可求出直线MN 与平面PAC 所成角的正弦值； （3）求出面APC 与面PCD 的法向量，进而利用向量的夹角公式可求出二面角A PC D --的平面角的余弦值，再转化为正切值即可. 【详解】

证明：（1）∵在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD

.PA AB BC ===

1AD CD ==，120ADC ∠=.点M 是AC 与BD 的交点，

AC ∴=

∴在正三角形ABC

中，3

2

BM ==， 在ACD ?中，∵M 是AC 中点，DM AC ⊥，

AD CD ∴=，又120ADC ∠=，

12

DM ∴==， 11

2

134

22

DM BD ∴

==+， ∵点N 在线段PB 上且1

4

PN PB =

， //MN PD ∴，

MN ?平面PDC ，PD ?平面PDC ，

∴MN ∥平面PDC ． （2）

90,BAD BAC CAD AB AD ?∠=∠+∠=∴⊥，

分别以,,AB AD AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系，

33

,0,(0,0,0),,,0

24

B C A P N M

??∴??

????????

，()

0,1,0

D，

33

(0,0,3),,,0

2

AP AC

??

== ?

?

??

，

设平面PAC的法向量(,,)

n x y z

=，

则

30

33

22

n AP

z

n AC x y

??==

?

?

?=+=

?

?

，取x(3,1,0)

n =-，

3

0,,

44

MN

?

=-

??

，

设直线MN与平面PAC所成角为θ，

则

3

||1

4

sin

4

||||36

2

MN n

MN n

θ

?

===

?，

故直线MN与平面PAC所成角的正弦值为

1

4

；

（3）由（2

）可知，()

3,1,0

DB=-为平面APC的法向量，

33

(,,3),

(0,1,

22

PC PD

=-=，

设平面PCD的法向量为(,,)

n x y z

=，

则00n PC n PD ??=??=?

，即3

022

x y y +=??-=?

， 令3z =-

，解得(3,3,n =-， 设二面角A PC D --的平面角为θ

，则cos |||3

|n DB n

DB θ=

=

?=

tan θ∴=

= 故二面角A PC D --. 【点睛】

本题考查线面平行的证明，考查线面角和面面角的求法，考查运算求解能力，是中档题．

21．（1）2

4x y =；（2）4.

【分析】

（1）由PEF 是周长为12的等边三角形知其边长为4，根据抛物线的定义知PE l ⊥，设准线l 与y 轴交于D ，则PE DF ∥，在Rt DEF ?中求得DF p =．

（2）首先分析出直线AB 的斜率存在，设直线l 的方程为：1y kx =+，代入抛物线方程得

2440x kx --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4x x k x x +==-.利用导数的几何意

义求得A 点处切线方程为21124x x y x =?-.令1y =-，可得2

11111

14222

x y x k x x --=

=?=, 从而得点(2,1)N k -,求出N 到直线AB 的距离d ，最后可表示出面积ABN S ?，再由不等式的性质求得最小值． 【详解】

（1）由PEF 是周长为12的等边三角形，得=4PE PF EF ==，

又由抛物线的定义可得PE l ⊥.

设准线l 与y 轴交于D ，则PE DF ∥，从而60PEF EFD ?∠=∠= 在Rt EDF 中，1

cos 422

DF EF EFD =?∠=?=，即2p =. 所以抛物线C 的方程为2

4x y =.

（2）依题意可知，直线AB 的斜率存在，故设直线AB 的方程为：1y kx =+，

联立24,1,

x y y kx ?=?=+?消去y 可得，2440x kx --=.

设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4x x k x x +==-.

所以12AB x =-

=

=()241k =+.

由24

x y =，得2x y '

=，

所以过A 点的切线方程为()1

112

x y y x x -=

-， 又2

114

x y =，

所以切线方程可化为2

1124x x y x =?-.

令1y =-，可得2

11111

14222

x y x k x x -

-=

=?=,

所以点(2,1)N k -,

所以点N 到直线AB

的距离d =

所以1

42

ABN S AB d =

?=△，当0k =时，等号成立 所以ABN 面积的最小值为4. 【点睛】

本题考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性.设而不求思想是解决直线与圆锥曲线关系问题的最基本最常用的方法． 22．（1

）6π?

?

??

?

；

（2）0,2π??

????

. 【分析】 （1）联立cos 3

4cos ρθρθ

=??

=?解方程组即可；

（2）设(,)P ρθ，()00,Q ρθ，由25O O Q P =可得002

,5

ρρθθ==，代入004cos ,ρθ=即可. 【详解】 联立cos 34cos ρθρθ

=??

=?

得，cos θ=，因为02πθ≤<，

所以,6π

θρ=

=

6π?

? ??

?.

（2）设(,)P ρθ，()00,Q ρθ，则0004cos ,0,

2πρθθ??

=∈????

， 由25O O Q P =，得00

25ρρ

θθ?

=??

?=?，所以24cos ,0,52πρθθ??=∈????，