专题16+数列求和的方法规律-决胜高考数学之破解高考命题陷阱+Word版含解析
一．高考命题类型 1.倒序求合法 2.裂项求和法 3.错位相减求和 4.分组求和 5.分奇偶数讨论求和 6.利用数列周期性求和 7.含有绝对值的数列求和
二．命题陷阱及命题陷阱破解措施 1.倒序求和 例1. 设()22
x
f x =
+，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值是________．
【答案】32
【方法规律总结】：倒序相加法求和，不仅应用在等差数列中，而且在函数以及组合中也有应用。等差数列中主要利用等差数列性质：若()
*,,,,m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a +=+；函数中主要利用对称中心性质：若()f x 关于(),m n 对称，则()()22f x f m x n +-=；组合中中主要利用组合数性质：
n m n m m C C -=
练习1.已知()11sin 22f x x ?
?=
+- ???，数列{}n a 满足()()12101n n a f f f f f n n n -??
????=+++++ ? ? ???????
，
则2017a =__________．
【答案】1009
【解析】因为sin y x =的图象关于原点对称， ()1122f x sin x ?
?=
+- ??
?的图象由sin y x =向上平移12个单位，向右平移
1
2
个单位，
故答案为1009. 练习 2.已知函数12f x ??+ ???为奇函数， ()()1g x f x =+，若2017n n a g ??
= ???
，则数列{}n a 的前2016项
和为( )
【答案】
【解析】∵函数12f x ??
+
???
为奇函数图象关于原点对称， ∴函数()f x 的图象关于点(1
2
,0)对称， ∴函数()()1g x f x =+的图象关于点(1
2
,1)对称，
∴()()12g x g x +-=， ∵2017n n a g ??
=
???
，
∴数列的前项之和为
12320152016
2016
20172017201720172017
g g g g g
??????????
+++?++=
? ? ? ? ?
??????????
，故选：。
练习3. 已知函数()32
331
248
f x x x x
=-++，则
2016
1
2017
k
k
f
=
??
?
??
∑的值为 _____．
【答案】
2.裂项求和
例2. 数列{}n a的前n项和为n S，若()
1
1
n
a
n n
=
+
，则
5
S等于（）
1
6
5
6
1
30
【答案】
【解析】
()
111
11
n
a
n n n n
==-
++
5
1111111115
1
2233445566
S
∴=-+-+-+-+-=
选
练习1.数列
1
1
n n
??
??
++
??
的前项的和为（）
111
-111
-11
【答案】
【解析】()()
1
1
111
n n
n n
n n n n n n
+-
==+
+++++-
故数列
1
n n
?
++
?
的前10项的和为
10
2132 (1110111)
S=
选。
练习2.在等差数列{}n a中，35711
6,8
a a a a
++==，则数列
34
1
·
n n
a a
++
??
??
??
的前n项和为（）1
2
n
n
+
+2
n
n+1
n
n+
2
1
n
n+
【答案】
练习3. 已知数列{}n a与{}n b的前n项和分别为n S，n T，且0
n
a>，2*
63,
n n n
S a a n N
=+∈，
()()
1
2
2121
n
n n
a
n a a
b
+
=
--
，若*,n
n N k T
?∈>恒成立，则k的最小值是( )
1
7
1
49
49
8
441
【答案】B
【解析】当1
n=时，2
111
63
a a a
=+，解得
1
3
a=或
1
a=.
由0
n
a>得
1
3
a=.由2
63
n n n
S a a
=+，得2
111
63
n n n
S a a
+++
=+.
两式相减得22
111
633
n n n n n
a a a a a
+++
=-+-.
所以
11
()(3)0
n n n n
a a a a
++
+--=.
因为0
n
a>，所以
11
0,3
n n n n
a a a a
++
+>-=.
即数列{}n a是以3为首项，3为公差的等差数列，所以()
3313
n
a n n
=+-=.
所以()()()()
1
1
1
28111
78181
8181
2121
n
n n
a n
n n n
n n
a a
b
+
+
+
??
===-
?
--
--
--??
.
所以
22311
11111111111
7818181818181778149 n n n n
T
++
????
=-+-++-=-< ? ?
-------
????
.
要使*,n
n N k T
?∈>恒成立，只需
1
49
k≥.
故选.
练习4.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若12a =且12n n S S +=，设2log n n b a =，则
1223
20172018
111
b b b b b b +++
的值是（ ）
40352018 4033
2017
2017
2018 2016
2017
【答案】
1223
20172018111111
1114033
112223
2016201720172017
b b b b b b +++
=+-+-+
+
-=-=. 故选B. 练习5.定义
12n
n
p p p ++
+为n 个正数12,,
,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为
1
21n +，又14
n n a b +=，则
122320152016
111
b b b b b b +++
=（ ）
2013
2014
2014
2015
2015
2016
1
2015
【答案】
练习6.数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++
，则122017
111···a a a +++等于（ ）
20162017 4032
2017
2017
2018
4034
2018
【答案】D
【解析】由题意可得： 11n n a a n +-=+，则：
1213211,2,23,
,n n a a a a a a n -=-=-=-=，
以上各式相加可得： ()12
n n n a +=
，则：
11121n a n n ??=- ?+??
， 12
201711
11111
1403421223201720182018
a a a ????????+++
=?-+-+
+-=
? ? ??????????? 练习7.设数列{}n a 满足122,6a a ==，且2122n n n a a a ++-+=，若[]
x 表示不超过x 的最大整数，则1
2201720172017
2017a a a ??
+++
=?
???
( )
【答案】
解得(1)n a n n =+， ∴
1111
n a n n =-+， ∴
121111111111122311n a a a n n n ??????++=-+-+-=- ? ? ?++????
??
， ∴
12
2017
20172017
2017a a a +++2017
2018 则1
2201720172017
2017a a a ??
+++
?
???
120162018?
?+????
．
故答案为：．
练习8. 已知幂函数()a
f x x =的图象过点()4,2，令()()
1
1n a f n f n =
++（*n N ∈），记数列{}n a 的前
n 项和为n S ，则2018S =（ ）
20181+ 20181-
20191+ 20191-
【答案】
【解析】函数()a
f x x =的图象过点()4,2，
可得42a
=,解得12
a =
，
()
1
2f x x
=，
则()()11
111n a n n f n f n n n
=
==+-++++，
则201821322019201820191S =-+-++-=-.
故选：.
练习9. 已知数列{}n a 的首项为9，且()2
1122n n a a a n --=+≥，若1
11
2n n n b a a +=
+
+，则数列{}n b 的前n 项和n S =__________． 【答案】
2119101
n -- 练习10.设数列{}n a 的前项为n S ，点,n S n n
?? ??
?
， ()
*
n N ∈均在函数32y x =-的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式。 （2）设1
3
n n n b a a +=
?， n T 为数列{}n b 的前项和.
【答案】（1）*65n a n n N =-∈（2）n 3T 61
n
n =
+ 【解析】（1）∵点,
n S n n
??
??
?
在函数的图象上，
232,32n
n S n S n n n
∴
=-=-即 ∴111a S ==
当()
()()2
2
12,32312165n n n n a S S n n n n n -??≥=-=-----=-??
时
*65
n a n n N ∴=-∈
（2）()()133********
6561n n n b a a n n n n +??
=
==- ??-+-+??
123n n T b b b b =++++
11111111
121771313196561n n ??????????=
-+-+-++- ? ? ? ???-+??????
????
111261n ??=
- ?
+??361n
n =+
练习11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5645,60S S ==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足()1*n n n b b a n N +-=∈，且13b =，求1n b ??
?
???
的前n 项和n T . 【答案】(1) 23n a n =+ (2) 22
2
352,4128
n n n n
b n n T n n +=+=++ 【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ， 66515a s s =-=，所以6151515{ 51045
a a d S a d =+==+=，
解得15,2,23n a d a n ===+。
练习12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5645,60S S ==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足()1*n n n b b a n N +-=∈，且13b =，求1
n b ??
?
???
的前n 项和n T . 【答案】(1) 23n a n =+ (2) 22
2
352,4128
n n n n
b n n T n n +=+=++ 3.错位相减求和
例3.已知数列{}n a 的首项12
3a =
， 121n n n
a a a +=+， 1,2,3,n =…．
（1）证明：数列11n a ??
-?
???
是等比数列； （2）数列n n a ??
????
的前n 项和n S ．
【答案】（1）证明见解析；（2）
2
2
n n +. 【解析】（1）
121n n n a a a +=
+， ∴
111
111222n n n n
a a a a ++==+?， ∴
1111112n n a a +??-=- ???，又12
3a =， ∴ 11112a -=，
∴数列11n a ??-?
???
是以为12首项，1
2为公比的等比数列．
（2）由（1）知
1111111222n n n a -+-=?=，即11
12
n n a =+， ∴
2n n n n n a =+．设23123222n T =+++ (2)
n n
+， ①
则23112222n T =
++ (1122)
n
n n n
+-++，②
由①-②得2111111111112211222
2222212
n n n n n n n n n n T +++??- ???
=
+++-=-=---，
∴ 11222
n n n n
T -=--．又123+++…()12n n n ++=．
∴数列n n a ??????
的前n 项和 ()2124222222n n n n n n n n n S +++++=-+
==． 练习1.已知数列{}n a ， {}n b ， n S 为数列{}n a 的前n 项和， 214a b =， 22n n S a =-，
()211n n nb n b n n +-+=+（*n N ∈）
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明n b n ??
?
???
为等差数列； （3）若数列{}n c 的通项公式为,2{ 4
n n
n n n
a b n c a b n -
=为奇数，为偶数，令n T 为{}n c 的前n 项的和，求2n T . 【答案】（1）2n
n a =（2）见解析（3）27127?499
n
n n T -=
+
（3）令212n n n p c c -=+
()()(
)()2
2
21
222121?22?241?241?42
4
n n
n n n n n n ----=-
+
=-=-
()()()0122123123474114414{ 43474114454414n n n n n T n T n n +=?+?+?++-?=?+?+?++-?+-? ①②
①-②，得()0
1
2
1233?44?44?44?441?4n n n T n --=+++
+--
()2164?43341?414n n n T n --=+---
27127?499
n n n T -=
+ 练习2.已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11?n n a a +?
???
??
的前n 项和为21n
n +. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()12n a
n n b a =+?，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）21n -；（2）
()1
43149
n n ++-?.
（2）由（1）知24
22
4,n n n b n n -=?=?所以121424......4,n n T n =?+?++? 所以()2
3
1
41424 (144)
,n
n n T n n +=?+?++-?+?
两式相减，得121
344......44n n n T n +-=+++-?
(
)1
141
4134
4
4,14
33
n n n n n ++--=
-?=
?-- 所以()1
14314
3144.999
n n n n n T +++-?-=?+= 练习3. 已知等差数列{}n a 中， 2465,22a a a =+=，数列{}n b 中， ()113,212n n b b b n -==+≥. （1）分别求数列{}{},n n a b 的通项公式；
（2）定义[]()x x x =+， []
x 是x 的整数部分， ()x 是x 的小数部分，且()01x ≤<.记数列{}n c 满足
1n n n a c b ??
= ?+??
，求数列{}n c 的前n 项和.
【答案】(1) 21,n a n =+ 1
21n n b +=-;(2) 152522
n n n S ++=
-. 解析：（1）121,21n n n a n b b -=+=+， ()1121n n b b -+=+，∴{}1n b +是首项为4 ，公比为2的等比数列，
∴112n n b ++=，∴1
21n n b +=-.
（2）依题意，当1n ≥时， ()()
()1
01
221122121n
n n n C C n n +=+≥+=+>+，∴1
21
2n n n c ++=
， 所以2341
35721
2222n n n S ++=
++++
， 令345213572122222
n n n S ++=++++， 两式相减，得34512
2113357
221321215252422222442222
n n n n n n n n n S +++++++=++++
+
-=+--=- 故1525
22
n n n S ++=-.
4.分组求和
例4. 已知数列{}n a 满足0n a ≠， 11a =， ()122n n n n a a a +-=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列35n a n n ??
+-?
???
的前n 项和n S . 【答案】(Ⅰ) 1
2n n a n -=?；(Ⅱ) 237212
n
n n n
S -=+
-. 【解析】试题分析：
(Ⅰ)结合递推关系可得n n a b n
=
是以1为首项，公比为2的等比数列，据此可得通项公式为1
2n n a n -=?. (Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论有1
35235n n a n n n
-+-=+-，分钟求和可得237212n n n n S -=+
-. 试题解析：
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
135235n n
a n n n
-+-=+-， 故()()()
1123152325235n n n S n -=+?-++?-+???++?-
()
()0112223125n n n -=++???++++???+- 237212
n
n n -=+-.
练习1.数列1111
4,8,16,32
24816
，……的前n 项和为（ ）
1221n n +---
2223n n +---
1221n n +-+- 11221n n +----
【答案】
【解析】分组求和：
(
)
1211
14121222,2231212
12
n
n n n n n n n a S ++-??-
?
-??=+
=+
=---- 。
本题选择选项.
练习2.数列1
11123248
，，，的前n 项和为n S =（ ）
21
n n
-
()11
12
2
n n n +-
+
12
n n
- 【答案】
故选 ．
练习3. 已知数列{a n }的通项公式是2
21sin π2n n a n +??
=? ???
，则1232018a a a a +++
+＝( )
A.
201720182? B. 201920182? C. 201720172? D. 20182018
2
?
【答案】B 【解析】
1232018a a a a ++++=223222123420172018123420172018-+-++
-+=++++
++
()
20181201820182019
2
2
+?=
=
,选B.
5.分奇偶数讨论求和
【中】6.已知函数()22,{ ,n n f n n n =-为奇数
为偶数
，且()()1n a f n f n =++，则1238a a a a +++?+= ( )
2017-
2018- 2017
【答案】
【解析】当为奇数时，
为偶数，则()2
2121n a n n n =-+=--，所以
()135737111536a a a a +++=-+++=-，
当为偶数时，
为奇数，则()2
2121n a n n n =-++=+
246859131744a a a a +++=+++=，
所以1288a a a ++
+=.
练习1. 已知在各项为正的数列{}n a 中， 11a =， 22a =， ()
*212log log n n a a n n N ++=∈，则
10101220172a a a ++
-=__________．
【答案】
【解析】因为212log log n n a a n ++=,所以1
1122222n n n n n n n n a a a a a a +++++=?=?= ,即数列{}n a 隔项成
等比,所以()
1008
10091010
1010122017212122
231212
a a a --++-=+-=---
练习 2. 已知函数()22,{ ,n n f n n n =-为奇数
为偶数
，且()()1n a f n f n =++，则1232017a a a a +++
+等于
（ ）
A. -2014
B. 2014
C. 2019
D. -2019 【答案】D
【解析】若n 是奇数，则22
1121n a f n f n n n n =++=-+=--（）（）（），构成等差数列，
则
1337a a =-=-，，公
差
73734d =---=-+=-（），
则奇数项的和
()10091008
100934100920192
S ?=-?+
?-=-?，
若n 是偶数，则22
1121n a f n f n n n n =++=-++=+（）（）（）， 则2459a a ==，，公差954d =-=， 则
前1008个偶数项和
10081007 10085
410082019
2
S
?
=?+?=?，
则
1232017
10092019100820192019
a a a a
+++?+-?+?=-
═，
故选D．
练习3. 已知数列{}n a的前n项和为n S，且11
a=,
1
2
n n n
S a a
+
=（*
n N
∈），若()
1
21
1n
n
n n
n
b
a a
+
+
=-,
则数列{}n b的前n项和n T=_______________.
【答案】
()1
1
1
n
n
-
-+
+
或
2
,
1
{
,
1
n
n
n
n
n
n
+
-
+
-
+
为奇数，
为偶数
当n为偶数时，
1
1
1
n
T
n
=-+
+
，当n为奇数时，
1
1
1
n
T
n
=--
+
，综上所述
()1
1
1
n
n
T
n
-
=-+
+
,故填
()1
1
1
n
n
-
-+
+
或
2
,
1
{
,
1
n
n
n
n
n
n
+
-
+
-
+
为奇数，
为偶数
.
点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误
练习4. 设数列{}n a满足：①11
a=；②所有项*N
n
a∈；③
121
1
n n
a a a a
+
=<
设集合{}*
|,N
m n
A n a m m
=≤∈，将集合
m
A中的元素的最大值记为
m
b．换句话说，
m
b是
数列{}n a中满足不等式n a m
≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b为数列{}n a的
伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．
（1）若数列{}n a 的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列{}n a ；
（2）设1
3n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前100之和；
（3）若数列{}n a 的前n 项和231
2
2
n S n n c =
-+（其中c 常数）
，试求数列{}n a 的伴随数列{}n b 前m 项和m T ．
【答案】（1）1,4,7（2） 见解析（3）()()
()
()()
*
*
123231,6
{
33,6
m m m m t m t t N T m m m t t N ++=-=-∈=+=∈或
试题解析：（1）1,4,7．
（2）由1
3n n a m -=≤，得()
*31log n m m N ≤+∈
∴ 当*
12,m m N ≤≤∈时， 121b b == 当*
38,m m N ≤≤∈时， 3482b b b ==???== 当*
926,m m N ≤≤∈时， 910263b b b ==???== 当*
2780,m m N ≤≤∈时， 2728804b b b ==???== 当*
81100,m m N ≤≤∈时， 81821005b b b ==???==
∴121001226318454520384b b b ++???+=?+?+?+?+?= （3）∵1111a S c ==+= ∴ 0c = 当2n ≥时， 132n n n a S S n -=-=- ∴ ()
*32n a n n N =-∈
由32n a n m =-≤得： ()
*2
3
m n m N +≤
∈ ∵使得n a m
≤成立的n 的最大值为m b ，
∴()*
123456323131,2,,t t t b b b b b b b b b t t N --======???===∈
当(
)*
32m t t N
=-∈时： ()()()()21131
31122
26
m
t t t T
t t m m +--=?
?-+==++
当(
)*
31m t t N
=-∈时： ()()()()21131
312122
26
m
t t t T
t t m m +-+=?
?-+==++
当()*3m t t N =∈时： ()
()2
311
33226
m t t t T t m m ++=??==+
∴()()
()
()()
*
*
123231,6
{
33,6
m m m m t m t t N T m m m t t N ++=-=-∈=+=∈或
练习5. 已知数列{}n a 满足： 10a =， (
)
2
1111n n a a +=++- ()
*n N ∈.
（1）求n a ； （2）若()
()
*21
11
n
n n n b n N a n +=-∈++，记12n n S b b b =++???+.求2n S .
【答案】（1）2
1n a n =-（2）2n S =
221
n
n -+ 试题解析： （1）)
2
1111n n a a +=
+- 11n a +?+ )
2
11n a =
+ 1111n n a a ++=+
∴ {}1n
a +是公差为1的等差数列
1n a +=()1111a n n +-?=
21n a n ∴=-.
（2）由（1）知()
()2111n
n n b n n +=-+ ()1
111n n n ??=-+ ?+??
21111111111
12233445221n S n n ∴=--++--++???++
+， 11212121
n
n n -=-+=
++. 6.利用数列周期性求和
例1.数列{}n a 的通项2
2cos sin 44n n n a n ππ??=- ??
?
，其前n 项和为n S ，则40S 为 10 15 20 25
【答案】
7.含有绝对值的数列求和
例1.已知数列{}n a 中，148,2a a ==，且满足2120n n n a a a ++-+= （1）求{}n a 的通项公式 （2）设123n n S a a a a =+++
+，求n S .
【答案】(1) sin sin A C ?最大为3
4. (2) 229,5{ 940,5
n n n n S n n n -+≤=++>
【解析】（1）∵22n n n a a a ++=， ∴数列{}n a 是等差数列 由148,2a a ==知2d =- ∴()821210n a n n =--=-+