圆与圆的位置关系
精心整理第三讲直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系
第一部分知识梳理
一.直线与圆的位置关系
1.直线与圆的三种位置关系
如图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，得出直线和圆的三种位置关系：
（1）直线l和⊙O相离?d r
>
此时：直线和圆没有公共点．
（2）直线l和⊙O相切?d r
=
.
（1）如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线.
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
（3）经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线.
证明直线是圆的切线的两种情况:
（1）当不能说明直线与圆是否有公共点时，应当用“圆心到直线的距离等于半径
长”来判定直线与圆相切.
（2）当已知直线与圆有公共点时，应当用判定定理，即“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，简单地说，就是“联半径，证垂直”.
二.圆与圆的位置关系
1.圆与圆的五种位置关系
在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、
（
（
（
（
（
2.
注：当两圆相切时分为两种情况：外切和内切.
3.相交两圆的性质
相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．
注：当两圆相交时分为两种情况：圆心在公共弦的同侧和圆心在公共弦的两侧. 第二部分例题精讲
例1如图，已知Rt ABC
?中，∠C=90°，AC=3，BC=4
（1）圆心为点C、半径长R为2的圆与直线AB有怎样的位置关系？
（2）圆心为点C、半径长R为4的圆与直线AB有怎样的位置关系？
（3）如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，求⊙C的半径R的取值范围.
. 已知Rt ABC
?中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，以B为圆心作⊙B.
（1）若⊙B与斜边AC只有唯一一个公共点，求⊙B的半径长R的取值范围.
（2）若⊙B与斜边AC没有公共点，求⊙B的半径长R的取值范围.
例2已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且
求证：直线AB是⊙O的切线．
出题意图：考查切线的判定定理.
解析：欲证AB是⊙O的切线,由于AB过圆上点C,若连结OC,则AB过半径OC的外端,只需证明OC⊥AB即可.
答案：
∵
∴
∴
∴
例3
BC=5
y
∵⊙A、⊙B、⊙C两两外切，
∴AB＝x＋y，BC＝y＋z，CA＝z＋x.
根据题意，得关于x、y、z的方程组
??
?
??=+=+=+653x z z y y x 解得
??
?
??===142z y x
∴⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径长分别为2厘米、1厘米、4厘米. 针对训练3
如图，⊙O 的半径为5厘米，点P 是⊙O 外一点，OP=8厘米. 求：例4. ∴∴1
已知1和2O 相交于122别交1O 于点C 、D. 求证：AC BD =
例5如图，1O 与2O 内切于点P ，经过1O 上点Q 的切线与2O 相交于A 、B 两点，直线PQ 交2O 于点R.
求证：RA RB =
出题意图：考查相切两圆的性质.
解析：利用相切两圆的性质：两圆相切，连心线过切点.本题中过两个圆心作一条直线，则这条之间直线必过点P ，然后利用圆中的相关知识即可解答. 2O 内切于点
∴经过点P
∴1O 相切与点
5
1O 与2O 外切于点，经过1O 上点2O 相交于PQ 2O 于点R. 例6上，1O 、2O 外切于点P.1O 与2O 与AC AB 相离. （1（2）设O 的半径长为
定义域.
出题意图：考查圆与圆位置关系的综合应用
解析：利用等腰三角形的性质和圆与圆的位置关系，可推导出第一问的结论，再结合锐角三角比的知识推出函数解析式，在考虑定义域的时候要考虑到相关动点的临界位置问题，这是个难点，需要多加注意.
答案：
解：（1）联结1O D
1O 与AB 相切于点D
DP ∴∥AC
（2）联结2O E ，则2O E AC ⊥，作AH BC ⊥于H. 当1O 与AC 当2O 与AB 在?（1（2.
1. A.B.C.D.过直径的端点且与该直径垂直的直线.
2.已知O 的直径等于12cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，则直线l 与O 的交点个数为（）
A.0B.1C.2D.无法确定
3.
1O 的半径为3厘米，2O 的半径为2厘米，圆心距12O O =5厘米，这两圆的位置关系是（）
A.内含
B.内切
C.相交
D.外切
4.已知两圆的直径分别为6cm 和10cm ，当两圆外切时，它们的圆心距d 的大小是（） A.8d cm = B.48cm d cm << C.8d cm > D.4d cm =
5.已知线段AB=3cm ，
A 的半径为4cm ，若A 与
B 相切，则B 的半径为cm.
6.如图，AB 与O 相切于点C ，OA=OB ，若O 的直径为8cm ，AB=10cm ，那么OA 的长是 cm.
7.设与O 的位置关
系是.
8.9.1O 、2O 的半径长分别是，如果1O 与2O 内含，那么圆心距d 的取值范围为.
10.11.已知1O 和2O 的半径为方程和2O 的位置关系.
12.求证：以AB 为直径的与CD 相切.
13.如图，OA=OB=8，OA ⊥OB ，以O 为圆心、OA 为半径作AB ，2O 与以OA 为直径的1O 相切于点E ，与AB 相切于F ，与OB 相切于D ，求2O 的半径长.
14.如图，已知A 是1O 、2O 的一个交点，点P 是12O O 的中点.过点A 的直线MN 垂直于PA ，交1O 、2O 于M 、N.
求证：AM=AN.
15.已知1O 和2O 相交于A 、B 两点，公共弦与连心线12O O 相交于点G ，若AB=48，1O 的半径130r =，2O 的半径240r =. 求12AO O ?的面积. 提高训练题（B ）
1.，则直线与O 的位置关系是（）
A.2.已知
A.相交3.r 、d 4.1O 和2O 的圆心距径为5.Rt D 为圆心、（1（26.A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，求tan ∠EAB 的值.
7.如图，点D 在O ⊙的直径AB 的延长线上，点C 在O ⊙上，AC CD =，30D ∠=°. （1）求证：CD 是O ⊙的切线；
（2）若O ⊙的半径为3，求BC 的长．（结果保留π）
8.如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=8，以AC 为直径作O ，以B 为圆心，
4为半径作B . 求证：O 与B 相外切.
9.如图，已知O 与A 交于B 、C 两点，A 在O 上，AD 是O 的直径，AD 交BC 于M ，AE 是O 的弦，AE 交BC 于N.若AM=4cm ，AN=6cm ，AE=24cm ，求O 的半径. 10.如图，AB 为半圆O 的直径，P 是AB 延长线上一点，将线段PA 绕点P 旋转到与半圆O （1（2（31.BC 2.C 、D ，弦3.在90，AC=3OC=x ，
?的面积为y.求y 与x 之间的函数关系式.
4.在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM x ∥轴（如图7所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线b x y +=（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ． （1）求b 的值和点D 的坐标；
（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的⊙P与⊙O外切，求⊙O的半径．
x
1.（
2.
3.（
4.
案.
5.
6.（
（2
基础训练题（A）
1.C
2.C
3.D
4.A
5.1cm或7cm
7.相切 8.内切
9.02cm d cm ≤< 10.4
11.两圆内含.（提示：算出半径之和和半径之差的绝对值，然后与圆心距比较即可） 12.
13.14.1.D 2.A 3.4.4
5.6.tan 7.（18.9.18cm(提示：由于△AMN ∽△AED ，列出比例式，从而可以求出AD 的长，即可算出答案)
10.（1）证明略（2）
1（3）3
5
综合迁移题（C ）
1.
4
3
(提示：两圆外切圆心距等于半径之和，矩形的两边和对角线都为两个圆的半径之和，因此可通过勾股定理求出a 、b 的关系)
2.EB 与圆O 2相切，证明过程略
3.2273215
(0)501082
y x x x =-
++<<（提示：BEC ABC AED BDC S S S S ????=--） 4.（1）D （3，4）
（2）符合条件的点P 有三个,分别是（5，0），（6，0），（25
,06
）.
（3）当P （5，0）时，⊙O 的半径为5-当P （6，0）时，⊙O 的半径为1 当
《直线与圆、圆与圆的位置关系》专题(学生版)
《直线与圆、圆与圆的位置关系》专题 2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名 1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d ) 2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|) (1)圆的切线方程常用结论 ①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. ②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长 弦心距d 、弦长l 的一半1 2l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋????12l 2. 1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离
2．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是() A．相交B．内切 C．外切D．内含 3．已知直线l：y＝k(x＋3)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝() A．0 B. 3 C. 3 3或0 D.3或0 4．已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为2的切线方程为________．5．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________. 考点一直线与圆的位置关系 考法(一)直线与圆的位置关系的判断 [典例]直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是() A．相交B．相切 C．相离D．不确定 [解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． [提醒]上述方法中最常用的是几何法．
中考数学专题复习 圆与圆的位置关系
专题 圆与圆的位置关系 【阅读与思考】 两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.圆与圆相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质. 解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有： 1.相交两圆作公共弦或连心线； 2.相切两圆作过切点的公切线或连心线； 3.有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形. 熟悉以下基本图形和以上基本结论 . 【例题与求解】 【例1】 如图，大圆⊙O 的直径a AB cm ，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形3241O O O O 的面积为________cm 2 . （全国初中数学竞赛试题） 解题思路：易证四边形3241O O O O 为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长. B 【例2】 如图，圆心为A ，B ，C 的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切.若⊙A ，⊙B ，
⊙C 的半径分别为a ，b ，c （b a c <<<0），则a ，b ，c 一定满足的关系式为（ ） A .c a b +=2 B .c a b +=2 C . b a c 1 11+= D . b a c 111+= （天津市竞赛试题） 解题思路：从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径与分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线. 【例3】 如图，已知两圆内切于点P ，大圆的弦AB 切小圆于点C ，PC 的延长线交大圆于点D .求证： （1）∠APD =∠BPD ； （2）CB AC PC PB PA ?+=?2. （天津市中考试题） 解题思路：对于（1），作出相应辅助线；对于（2），应化简待证式的右边，不妨从AC ·BC =PC ·CD 入手. P B C D A 【例4】 如图⊙O 1和⊙O 2相交于点A 及B 处，⊙O 1的圆心落在⊙O 2的圆周上，⊙O 1的弦AC 与⊙O 2交于点D .求证：O 1D ⊥BC . （全俄中学生九年级竞赛试题） 解题思路：连接AB ，O 1B ，O 1C ，显然△O 1BC 为等腰三角形，若证O 1D ⊥BC ，只需证明O 1D 平分∠B O 1C .充分运用与圆相关的角. 【例5】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =1,AB =2，DC =22，点P 在边BC 上
高中数学-圆与圆的位置关系教案
圆与圆的位置关系教案 【教学目标】 1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 2．通过圆与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想． 3．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯． 【教学重难点】 教学重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 教学难点：用坐标法判断两圆的位置关系． 【教学过程】 ㈠复习导入、展示目标 问题：如何利用代数与几何方法判别直线与圆的位置关系？ 前面我们运用直线与圆的方程，研究了直线与圆的位置关系，这节课我们用圆的方程，讨论圆与圆的位置关系． ㈡检查预习、交流展示 1.圆与圆的位置关系有哪几种呢？ 2．如何判断圆与圆之间的位置关系呢？ ㈢合作探究、精讲精练 探究一：用圆的方程怎样判断圆与圆之间的位置关系？ 例1.已知圆 C 1：01322 2 =++++y x y x ，圆C 2 ： 02342 2 =++++y x y x ，是 判断圆C 1 与圆C 2 的位置关系. 解析：方法一，判断圆与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据连心线的长与两半径长的和或两半径长的差的绝对值的大小关系，判断圆与圆的位置关系. 解:(法一) 圆C 1 的方程配方,得4 923)1(2 2 = +?? ? ??++y x . 圆心的坐标是??? ??- -23,1,半径长2 3 1 =r . 圆C 2 的方程配方,得4 1723)2(2 2 = +? ? ? ??++y x .
圆心的坐标是?? ? ??--23,2,半径长 2 172= r . 连心线的距离为1, 217321+= +r r ,2 3 1721-=-r r . 因为 2 17 312317+<<-, 所以两圆相交. (法二) 方程 01322 2 =++++y x y x 与02342 2 =++++ y x y x 相减,得 2 1 = x 把2 1= x 代入01322 2=++++y x y x ,得 011242 =++y y 因为根的判别式016144>-=?,所以方程011242 =++y y 有两个实数根,因此两 圆相交. 点评:巩固用方程判断圆与圆位置关系的两种方法. 变式2 2 2 2 (1)(2)(2)1(2)(5)16x y x y ++-=-+-=与的位置关系 解：根据题意得，两圆的半径分别为1214r r ==和，两圆的圆心距 5.d == 因为 12d r r =+，所以两圆外切． ㈣反馈测试 导学案当堂检测 ㈤总结反思、共同提高 判断两圆的位置关系的方法: (1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定； (2)依据连心线的长与两半径长的和12r r +或两半径的差的绝对值的大小关系． 【板书设计】 一．圆与圆的位置关系 （1）相离，无交点 （2）外切，一个交点 （3）相交，两个交点；
中考试题专题之圆与圆的位置关系试题及答案
20XX 年中考试题专题之 23-圆与圆的位置关系试题及答案 一．选择 1. （20XX 年泸州）已知⊙ O 1与⊙ O 2的半径分别为 5cm 和 3cm ，圆心距 020=7cm ，则两圆 的位 置关系为 A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 2. （20XX 年滨州 ）已知两圆半径分别为 2 和 3，圆心距为 d ，若两圆没有公共点，则下列结 论正确的是（ ） A ． 0 d 1 B ． d5 C ． 0 d 1或 d 5 D ． 0≤ d 1或 d 5 3.（ 20XX 年台州市 ） 大圆半径为 6，小圆半径为 3，两圆圆心距为 10，则这两圆的位置 系为（ ） A ．外离 B ．外切 Ｃ． 相交 D ．内含 4.（ 2009 桂林百色）右图是一张卡通图，图中两圆的位置关系（ ） A ．相交 B ．外离 C ．内切 D ．内含 5．若两圆的半径分别是 1cm 和 5cm ，圆心距为 6cm ，则这两圆的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 6（ 20XX 年衢州）外切两圆的圆心距是 7，其中一圆的半径是 4，则另一圆的半径是 A ．11 B ．7 C ． 4 D ． 3 7.（ 20XX 年舟山）外切两圆的圆心距是 7，其中一圆的半径是 4，则另一圆的半径是 A ．11 B ．7 C ． 4 D ． 3 8. .（20XX 年益阳市）已知⊙ O 1和⊙ O 2的半径分别为 1和 4，如果两圆的位置关系为相交， 那 么圆心距 O 1O 2 的取值范围在数轴上表示正确的是 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 A ． B ． C ． D ． 10.. （2009肇庆） 10．若⊙O 1与⊙O 2相切，且 O 1O 2 5 ， ⊙ O 1的半径 r 1 2，则⊙O 2的 半径 r 2 是（ ） B ． 5 9. （ 20XX 年宜宾）若两圆的半径分别是 A. 内切 B. 相交 C.外切 2cm 和 3cm,圆心距为 5cm ，则这两个圆的位置关 D. 外离 C ． 7 系是
圆与圆的位置关系
精心整理第三讲直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 第一部分知识梳理 一.直线与圆的位置关系 1.直线与圆的三种位置关系
如图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，得出直线和圆的三种位置关系： （1）直线l和⊙O相离?d r > 此时：直线和圆没有公共点． （2）直线l和⊙O相切?d r = . （1）如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线. 证明直线是圆的切线的两种情况: （1）当不能说明直线与圆是否有公共点时，应当用“圆心到直线的距离等于半径
长”来判定直线与圆相切. （2）当已知直线与圆有公共点时，应当用判定定理，即“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，简单地说，就是“联半径，证垂直”. 二.圆与圆的位置关系 1.圆与圆的五种位置关系 在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、 （ （ （ （ （ 2. 注：当两圆相切时分为两种情况：外切和内切. 3.相交两圆的性质 相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦． 注：当两圆相交时分为两种情况：圆心在公共弦的同侧和圆心在公共弦的两侧. 第二部分例题精讲
例1如图，已知Rt ABC ?中，∠C=90°，AC=3，BC=4 （1）圆心为点C、半径长R为2的圆与直线AB有怎样的位置关系？ （2）圆心为点C、半径长R为4的圆与直线AB有怎样的位置关系？ （3）如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，求⊙C的半径R的取值范围. . 已知Rt ABC ?中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，以B为圆心作⊙B. （1）若⊙B与斜边AC只有唯一一个公共点，求⊙B的半径长R的取值范围. （2）若⊙B与斜边AC没有公共点，求⊙B的半径长R的取值范围. 例2已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且
数学：4.2.2《圆与圆的位置关系》教案(新人教A必修2)
4..2.2圆与圆的位置关系 教学目的：让学生掌握用解方程组法或求圆心之间距离与两圆半径之和、两圆半径之 差之间的关系判断圆与圆的位置关系。 教学重点：圆与圆位置关系的判断。 教学难点：圆与圆位置关系的判断。 教学过程 一、复习提问 初中学过圆与圆有几种位置关系？怎样用数量关系表示圆与圆的位置关系？ 设两圆半径为r 1，r 2，圆心距为d ，关系如下表（用数轴也可以表示）。 外离 外切 相交 内切 内含 d ＞r 1＋r 2 d ＞r 1＋r 2 r 1－r 2＜d ＜r 1＋r 2 d ＝r 1－r 2 d ＜r 1＋r 2 二、新课 例3、已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x －4y －2＝0，试判 断圆C 1与圆C 2的关系。 解法一：圆C 1与圆C 2的方程联立，得到方程组： ①－②，得：x ＋2y －1＝0， 即y ＝21x 代入①，并整理，得： x 2－2x －3＝0 此方程的判别式：△＝16＞0 方程有两个不同的实数根，所以两圆有两个公共点，解上述方程，可求得两个交
点坐标。 解法二：把圆C1化成标准方程：（x＋1）2＋（y＋4）2＝25， 圆心为点（－1，－4），半径为5 圆C2化成标准方程：（x－2）2＋（y－2）2＝10， 圆心为点（2,2），半径为10 两圆的连心线长（圆心距）为： 2 2)2 - + -＝35 - (- 4 1 ( )2 两圆半径之和：r1＋r2＝5＋10 两圆半径之差：r1－r2＝5－10 因为5－10＜35＜5＋10，即r1－r2＜35＜r1＋r2 所以，两圆相交，有两个公共点 解答此题之前，也可以根据圆心和半径画出两个圆的草图，看两圆有无交点，对解题有一定的帮助。 练习：P141 作业：P1444、5、6、7
圆的方程与专题复习(直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题)
圆的方程与专题复习（直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题） 知识梳理 浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平 圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。 一、有关圆的基础知识要点归纳 1． 圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点即为圆心，定长为半径. 2． 圆的标准方程 ① 圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得()()()022 2 >=-+-r r b y a x ， 其中圆心坐标为()b a ,，半径为r ；当0,0==b a 时，即圆心在原点时圆的标准方程为 2 2 2 r y x =+； ② 圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。 3． 圆的一般方程 ①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得， 02 2 =++++F Ey Dx y x ( ) 042 2>-+F E D ； ② 圆的一般方程的特点：（1）22,y x 项系数相等且不为0；（2）没有xy 这样的二次项 ③ 二元二次方程02 2=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件是 0≠=C A 且0=B ； 二元二次方程02 2=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是0 ≠=C A 且0=B 且0422>-+AF E D 4． 圆的参数方程 圆的参数方程是由中间变量θ将变量y x ,联系起来的一个方程. ① 圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程是：θθ θ(sin cos ?? ?==r y r x 为参数）； ② 圆心在()b a ,，半径为r 的圆的参数方程是：θθθ (sin cos ? ??+=+=r b y r a x 为参数）； 5． 确定圆方程的条件 圆的标准方程、圆的一般方程及参数方程都有三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。如已知条件中涉及圆心与半径有关等条件，一般设圆的标准方程，即列出r b a ,,的方程组，求出r b a ,,的值，也可根据圆的特点直接求出圆心()b a ,，半径r 。当圆心位置不能确定时，往往选择圆的一般方程形式，由已知条件列出F E D ,,的三个方程，显然前者解的是三元二次方程组，后者解的是三元一次方程组，在运算上显然设一般式比标准式要简单。 6． 点与圆的位置关系 设圆()()2 2 2 :r b y a x C =-+-，点()00,y x M 到圆心的距离为d ，则有：
人教新课标版数学高一必修二练习 4.2.2圆与圆的位置关系
第四章 4.2 4.2.2 一、选择题 1．圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为() A．相交B．外切 C．内切D．外离 [答案] C [解析]由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，则d＝|C1C2|＝2，∴d ＝|r1－r2|.∴两圆内切． 2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是() A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25 C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25 [答案] B [解析]设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25. 3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是() A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0 C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 [答案] B [解析]利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b ＋5＝0. 4．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r＝() A．5 B．4 C．3 D．2 2 [答案] C [解析]设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，
高考理科数学专题：直线与圆、圆与圆的位置关系(含答案和解析)
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． d
初中数学专题复习圆与圆的位置关系(一)
第39讲 圆与圆的位置关系（一） [复习目标] 使学生了解圆与圆之间的5种位置关系，掌握两圆位置关系的判定方法，了解两圆公切线的有关概念，掌握两圆相交、相切的有关性质，并会应用于解题． [知识要点] 1．两圆的5种位置关系及判定方法． 2．相交、相切两圆的性质； 1） 相切两圆的连心线必过切点，相切两圆有公切线； 2） 相交两圆的连心线必垂直平分公共弦． 注：常见的辅助线是①画相切两圆的公切线②画公共弦和连心线。 [典型例题解析] 例1 选择、填空题： 1） 已知两圆的半径满足方程02222=+-x x ，圆心距为2，则两圆的位置关系为（ ） A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．外离 2）如果两圆相（内）切，一个圆的半径为3，两圆的圆心距为4，则另一个圆的半径为 1 或7 ． 3）相交两圆半径分别为一无二次方程0170272=+-x x 的两根，它们的公共弦长16，则它们的圆心距为 21或9 ． 4）如两圆共有三条公切线，那么这两个圆的位置关系为（ ） A ．外离 B ．相交 C ．外切 D ．内切 5）已知两圆半径分别为12和4，外公切线长是15，则两圆的位置关系为 ，外公切线与连心线夹角的正弦值为 ． 例2 如图，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，且O 1在⊙O 2上，过点A 的直线CD 分别与 ⊙O 1和⊙O 2交于点C ，D ，过点B 的直线EF 分别与⊙O 1和⊙O 2交于点E ，F ，⊙O 2的弦O 1D 交AB 于P. 1） 求证：CE ∥DF ； 2） 求证：D O P O OG 112?=. 思路 1）画公共弦AB ，证∠E+∠F=180°; 2）证ΔAO 1P ∽ΔAO 1 D 得D O P O OG 112?=. 小结 添公共弦AB 对解题起到了桥梁和关键得作用，是两圆相交中常见得辅助线． 思考 1）如何证G 是ΔABD 得内心？2）若PG=1，GD=2，求⊙O 1得半径？ 例3 如图，⊙O 1和⊙O 2内切于A ，⊙O 2得弦BC 切⊙O 1于D ，AD 得延长线交⊙O 2于M ，连结 AB ，AC 分别交⊙O 1于E ，F ，连结EF ． A B C E F D O 1 O 2 P G
沪科初中数学九下《《圆和圆的位置关系》教案沪科版
26.7 圆与圆的位置关系 教案 一、教学目标 1、知识与技能 （1）理解圆与圆的位置的种类； （2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长； （3）会用连心线长判断两圆的位置关系． 2、过程与方法 设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离； （2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交； （4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切； （5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含； 3、情态与价值观 让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想． 二、教学重点、难点： 重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系． 三、教学设想 问 题 设计意图 师生活动 1．初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？ 结合学生已有知识以验，启发学生思考，激发学生学习兴趣． 教师引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互相交流． 2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？ 引导学生明确两圆的位置关系，并发现判断和 解决两圆的位置 教师引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解 题的方法． 问 题 设计意图 师生活动
关系的方法． 学生观察图形并思考，发表自己的解题方法． 3．例3 你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？你从中发现了什么？ 培养学生 “数形结合”的意 识． 教师应该关注并发现有多少 学生利用“图形”求，对这些学生 应该给予表扬．同时强调，解析几 何是一门数与形结合的学科． 4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系．如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？ 进一步培养 学生解决问题、分 析问题的能力． 利用判别式 来探求两圆的位 置关系． 师：启发学生利用图形的特 征，用代数的方法来解决几何问题． 生：观察图形，并通过思考， 指出两圆的交点，可以转化为两个 圆的方程联立方程组后是否有实数 根，进而利用判别式求解． 5．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗？ 进一步激发 学生探求新知的 精神，培养学生 师：指导学生利用两个圆的圆 心坐标、半径长、连心线长的关系 来判别两个圆的位置． 生：互相探讨、交流，寻找解 决问题的方法，并能通过图形的直 观性，利用平面直角坐标系的两点 间距离公式寻求解题的途径． 6．如何判断两个圆的位置关系呢？ 从具体到一 般地总结判断两 个圆的位置关系 的一般方法． 师：对于两个圆的方程，我们 应当如何判断它们的位置关系呢？ 引导学生讨论、交流，说出各 自的想法，并进行分析、评价，补 充完善判断两个圆的位置关系的方 法． 7．阅读例3的两种解法，解决书上的练习题． 巩固方法， 并培养学生解决 问题的能力． 师：指导学生完成练习题． 生：阅读教科书的例3，并完 成书上的练习题． 问题设计意图师生活动
专题复习：直线与圆、圆与圆的位置关系
第六讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、学习目标 1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 二、疑 难 辨 析 1．关于直线与圆的位置关系 (1)直线x ＋y ＝1与圆x 2＋y 2 ＝12 相切．( ) (2)直线x －y ＋2＝0与圆x 2 ＋y 2 ＝1相离．( ) 2．关于圆与圆的位置关系 (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( ) 3．关于圆的切线与公共弦． (1)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2 .( ) (2)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2 外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2 .( ) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( ) 三、典例分析 例1(1)[20122安徽卷] 若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2 ＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3] C ．[－3,1] D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) (2)[20122湖北卷] 过点P (1,1)的直线，将圆形区域{}x ，y |x 2＋y 2 ≤4分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．y －1＝0 C ．x －y ＝0 D ．x ＋3y －4＝0 例2 (1)[20122福建卷] 直线x ＋3y －2＝0与圆x 2 ＋y 2 ＝4相交于A ，B 两点，则弦AB
专题15 点的轨迹、直线与圆、圆与圆的位置关系(解析版)
专题15 点的轨迹、直线与圆、圆与圆的位置关系 一、知识点精讲 （一）点的轨迹 在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于r；同时，到定点的距离等于r的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长r 的点的轨迹. 我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思： （1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件； （2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上. 下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹. 从上面对圆的讨论，可以得出： ①到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆. 我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹： ②和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线. 由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹： ③到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线. （二）直线与圆、圆与圆的位置关系判定 (1)设有直线l和圆心为O且半径为r的圆，怎样判断直线l和圆O的位置关系？ 如图：不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离d r时，直线和圆相离，如圆O与直线1l；当圆心到直线的距离d r时，直线和圆相切，如圆O与直线2l；当圆心到直线的距离d r时，直线和圆
圆与圆的位置关系
金湖二中高二数学教学案 主备：王吉明 审核：沈厚清 第16课时 §2.2.3 圆与圆的位置关系 教学目标 1．掌握圆与圆的位置关系的代数与几何判别方法； 教学过程： （一）课前准备 （自学课本P104～105） 1．直线与圆的位置关系 ， ， 2.圆与圆的位置关系有哪些？如何判断？ 第一步： 第二步： 3．圆1O ：224210x y x y +-++=，圆2O ：2244x y x y ++-的圆心分别为 圆心距12O O 为 ，它们的半径分别为 ，则两圆的位置关系是 （二）例题剖析 例1：判断下列两圆的位置关系： （1）1)3()2(22=-++y x 与16)5()2(2 2=-+-y x ； （2）07622=-++x y x 与027622=-++y y x ． 61
62 例2：求过点)60( ，A 且与圆01010:22=+++y x y x C 切于原点的圆的方程． 例3：求经过点M(2,-2),且与圆2260x y x +-=与224x y +=交点的圆的方程 （三）课堂练习 1．圆m y x =+22与圆0118622=--++y x y x 相交，求实数m 的取值范围 2．圆053:221=+-+y x y x C 与圆042:2 22=--++y x y x C 的公共弦所在直线方 程为 ． 3．已知以)34( -，C 为圆心的圆与圆122=+y x 相切，则圆C 的方程 4．两圆224210x y x y +-++=与2244x y x y ++-10-=的公切线有 条. （四）归纳总结 1．两圆位置关系的判断方法；两圆位置关系与公切线的条数之间的关系。 2．两圆相交时的公共弦的求法，过两圆公共点的圆的求法。 （五）教学反思
201x版中考数学专题复习 专题六 圆(24)第2课时 与圆有关的位置关系学案
2019版中考数学专题复习专题六圆（24）第2课时与圆 有关的位置关系学案 【学习目标】 1．探索并了解点与圆的位置关系；了解直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系及三角形内切圆的概念，会判断图形的位置关系． 2．掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线． 3．探索并证明切线长定理，会利用它进行证明和相关计算． 【重点难点】 重点：点、直线和圆与圆之间的位置关系；掌握切线的判定定理、性质定理． 难点：理解切线的性质定理和判定定理.. 【知识回顾】 1．点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，那么： (1)d
直线和圆的位置关系 例1已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是( ) . A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交 切线的性质与判定 例2如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠ACP的度数为( ) . A．30°B．45°C．60°D．67.5° 例3如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C． (1)若AB＝2，∠P＝30°，求AP的长； (2)若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
苏科9上教案 5.6圆和圆的位置关系(1)
5.6圆和圆的位置关系（1） 备课时间: 主备人: 一、学习目标 知识目标：了解圆与圆之间的几种位置关系；了解两圆外切、内切与两圆圆心距d 、半径R 和r 的数量关系的联系． 能力目标：经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力；通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力． 情感与价值观目标：通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维． 二、知识准备 学生在理解圆的意义和理解直线和圆的位置关系的基础上，引导生理解掌握圆和圆的几种位置关系。学生充分预习。 预习检测 1.圆与圆的位置关系有——————————————. 2.如果两圆的半径分别为R 、r,圆心距为d,则 两圆外离 ________________两圆外切 ________________ 两圆相交 ________________两圆内切 ________________ 两圆内含 ________________ 3.如果两圆的半径为5、9，圆心距为3，那么两圆的位置关系是 （ ） A 外离 B 相切 C 相交 D 内含 4．⊙O 和⊙O`相内切，若OO`=3，⊙O 的半径为7，则⊙O` 的半径为 （ ） A 4 B 6 C 0 D 以上都不对 三、学习内容 学生可在理解点和圆、圆和圆的位置关系的基础上，类比出圆和圆的五种位置关系。师生互动，合作探究。 学生可利用两张透明纸上操作探究出五种位置关系 再通过例题巩固其几种位置关系还可引申： 已知图中各圆两两相切，⊙O 的半径为2R ，⊙O 1、⊙O 2的半径为R ，求⊙O 3的半径． 分析：根据两圆相外切连心线的长为两半径之和，如果设⊙O 3的半径为r ，则O 1O 3=O 2O 3＝R+r ，连接OO 3就有OO 3⊙O 1O 2，所以OO 2O 3构成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O 3的半径r. 四、知识梳理 1．圆和圆的五种位置关系是———————————————————————————————————————————————————————————————； 2．探讨圆和圆的五种位置关系圆心距d 与R 和r 之间的关系。 ?? ?
圆与圆的位置关系专题复习2
《圆和圆的位置关系》专题复习 一、教学目标： 1、通过本课的学习使学生对《圆和圆的位置关系》这一单元的相关知识有进一步的理解和认识； 2、结合实际问题的实验、讨论与分析设计，培养学生观察、动手、猜想以及运用所学的数学知识分析、解决实际问题的能力。 3、通过例题和练习的学习，使学生在分类、探究以及合作交流等方面有进一步的提高。 二、教学过程： （一）练习： 1、1999版的一元硬币的直径为26毫米，2002版的一角硬币的直径为20毫米。若上述一枚一元硬币和一枚一角硬币所在的两个圆有公共点，且这两个圆的圆心距为d毫米，则d的取值范围是。 2、⊙O1、⊙O2的半径分别为40mm和25mm，两圆相交于A、B两点。若AB=48mm，则O1O2= mm。 3、已知两圆的半径分别是7和4，圆心距是3，那么这两圆的公切线的条数是（） (A)1 (B)3 (C)1或3 (D)2或4 说明： （1）通过这三道习题的训练，使学生对《圆和圆的位置关系》这一单元的主要知识点有一个清晰的回顾与认识；同时使学生对数学分类讨论的思想有进一步的认识和提高。 （2）教师在处理这三道习题时应注意以下几点：首先由学生独立完成，教师巡视，尽可能发现学生解题中的错误；接着，请这类同学介绍他的解答过程，然后，请解答正确的学生来纠正，并要求说明算理，以达到全体同学共同提高；最后，教师对问题的正确解答加以总结、点评。 （二）、问题探究： 某企业技术员小张要用2个半径分别为R、r(R≥r)的钢球和一把刻度尺来测量一个口小内大的机器零件的内孔直径d（内孔是圆柱形且满足2R＜d≤2R+2r ，）你能帮他设计出测量方案吗？ 说明： （1）教师要求学生将事先准备的两个乒乓球（要求大小不一）、一把刻度尺和一个空易拉罐瓶分小组进行动手操作、观察，并要求学生在实验与操作的过程中思考：求内孔直径需测量哪些量的长度，以及操作的可行性。为下一步设计出测量方案做准备。此举意在培养学生的动手、观察、探究和分析问题的能力，同时也加强学生之间的合作交流。 （2）在学生做好上述实验和分析后，教师请某一小组的一名代表进行演示和说明，接着教师请有不同意见或不同方法的小组代表进行发言、交流，最后，教师加以点评和总结，为下面后面具体的解决问题埋下伏笔。
初三中考数学 圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系 一.选择题 1. （2014?贵州黔西南州, 第6题4分）已知两圆半径分别为3、5，圆心距为8，则这两圆的位置关系为（） A．外离B．内含C．相交D．外切 考点：圆与圆的位置关系． 分析：由⊙O1、⊙O2的半径分别是3、5，O1O2=8，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出⊙O1和⊙O2的位置关系． 解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是3、5，O1O2=8， 又∵3+5=8， ∴⊙O1和⊙O2的位置关系是外切． 故选D． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系． 2. (2014年广西钦州，第9题3分)如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，则∠ACO2的度数为（） A．60°B．45°C．30°D．20° 考点：相交两圆的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理 分析：利用等圆的性质进而得出△AO1O2是等边三角形，再利用圆周角定理得出∠ACO2的度数． 解答：解：连接O1O2，AO2， ∵等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1 于点C，
∴AO1=AO2=O1O2， ∴△AO1O2是等边三角形， ∴∠AO1O2=60°， ∴∠ACO2的度数为；30°． 故选；C． 点评：此题主要考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定和圆周角定理等知识，得出△AO1O2是等边三角形是解题关键． 3．（2014?青岛，第5题3分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和4，O1O2=5，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（） A．内含B．内切C．相交D．外切 考点：圆与圆的位置关系． 分析：由⊙O1、⊙O2的半径分别是2、4，O1O2=5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系． 解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是2、4， ∴半径和为：2+4=6，半径差为：4﹣2=2， ∵O1O2=5，2＜6＜6， ∴⊙O1与⊙O2的位置关系是：相交． 故选C． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r 的数量关系间的联系． 4. （2014?攀枝花，第7题3分）下列说法正确的是（） A．多边形的外角和与边数有关 B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系Revised on November 25, 2020
第三讲直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 第一部分知识梳理 一 .直线与圆的位置关系 1.直线与圆的三种位置关系 如图，设⊙O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d，得出直线和圆的三种位置关系： > （1）直线l和⊙O相离?d r
此时：直线和圆没有公共点． （2）直线l 和⊙O 相切 ?d r = 此时:直线和圆有唯一公共点，这时的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． （3）直线l 和⊙O 相交 ?0d r ≤< 此时:直线与圆有两个公共点，这时的直线叫做圆的割线． 2. 切线 的判定定 理 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的性质: （1）与圆只有一个公共点； （2）圆心到切线的距离等于半径； （3）圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的识别: （1）如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线. 证明直线是圆的切线的两种情况 : l l （1 （2 （3
（1）当不能说明直线与圆是否有公共点时，应当用“圆心到直线的距离等于半径长”来判定直线与圆相切. （2）当已知直线与圆有公共点时，应当用判定定理，即“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，简单地说，就是“联半径，证垂直”. 二. 圆与圆的位置关系 1. 圆与圆的五种位置关系 在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、内含. 圆心距：两圆圆心的距离叫做圆心距. 设两圆的圆心距为12O O d =，半径为0r R <<，则有： （1）外离：没有公共点 ，两圆外离? d R r >+ （2）外切：有唯一的公共点，两圆外切?d R r =+ （3）相交：有两个公共点， 两圆相交?R r d R r -<<+ （4）内切：有唯一的公共点，两圆内切?d R r =- （5）内含：没有公共点，两圆内含?0d R r ≤<- （1） （2） （3） （4） （5） 2. 相切两圆的性质 连心线：经过两个圆的圆心之间的直线. 相切两圆的性质：相切两圆的连心线经过切点. 注 ：当两圆相切时分为两种情况：外切和内切. 3.相交两圆的性质 相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．
专题23圆与圆的位置关系
专题23 圆与圆的位置关系 【阅读与思考】 两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系 .圆与圆 相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质 解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有： 1. 相交两圆作公共弦或连心线； 2. 相切两圆作过切点的公切线或连心线； 3. 有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形 熟悉以下基本图形和以上基本结论 ? 【例题与求解】 【例1】 如图，大圆O O 的直径AB^a cm ，分别以OA , OB 为直径作O O i 和O O 2，并在O O 与O O i 和O 。2的空隙间作两个等圆O O 3和O O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形 01040203的面积为 _______ cm 2 . （全国初中数学竞赛试题） 解题思路：易证四边形O 1O 4O 2O 3为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长 . 【例2】 如图，圆心为 A , B , C 的三个圆彼此相切，且均与直线 I 相切.若O A ,O B , B
oC 的半径分别为a , b , c （ 0
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