人教版高中数学选修21第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线(教师版)【个性化辅导含答案】范文文稿

抛物线

__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1. 了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 1．抛物线的定义

(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ?l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．

(2)其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质

图形

标准方程

y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2

＝－2py (p >0)

p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 性

质

顶点 O (0，0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 焦点 F ? ????p 2，0 F ? ????－p 2，0 F ? ??

??0，p 2

F ? ??

??0，－p 2

离心率 e ＝1

准线方程 x ＝－p 2

x ＝p 2

y ＝－p 2

y ＝p 2

范围

x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R

开口方向

向右 向左

向上

向下

例1：过点(0，－2)的直线与抛物线y 2

＝8x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB|等于( )

A ．217

B .17

C ．215

D .15

【解析】设直线方程为y ＝kx －2，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)．

由?

????

y ＝kx －2，y 2

＝8x ，得k 2x 2

－4(k ＋2)x ＋4＝0.

∵直线与抛物线交于A 、B 两点， ∴Δ＝16(k ＋2)2

－16k 2

>0，即k>－1. 又x 1＋x 22

＝

2k ＋2

k

2

＝2，∴k ＝2或k ＝－1(舍去)．

∴|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋22

·x 1＋x 2

2

－4x 1x 2＝542

－4

＝215.

【答案】C

练习1：已知点P 是抛物线y 2

＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )

A.

172

B ．3

C. 5

D.92

【答案】A

练习2：F 是抛物线y 2

＝2x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．

【答案】

52

类型二 抛物线的标准方程和几何性质

例2：已知抛物线C ：y 2

＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )

A .4

5

B .35

C ．－35

D ．－45

【解析】由?

??

??

y 2

＝4x ，y ＝2x －4得x 2

－5x ＋4＝0，

∴x ＝1或x ＝4.不妨设A(4,4)，B(1，－2)，则|FA →|＝5，|FB →|＝2，FA →·FB →

＝(3,4)·(0，－2)＝－8，

∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|＝－85×2＝－4

5.故选D .

【答案】D

练习1：已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2

＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )

A ．－43

B ．－1

C ．－34

D ．－12

【答案】Ｃ

练习2： 如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a

＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a

＝________．

【答案】12类型三 抛物线焦点弦的性质

例3：已知直线y ＝k(x ＋2)(k>0)与抛物线C ：y 2

＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k 等于( )

A .13

B .

23

C .23

D .

22

3

【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，

由?

????

y ＝k x ＋2y 2

＝8x 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2

＝0，

∴x 1x 2＝4，① 根据抛物线的定义得，

|FA|＝x 1＋p

2＝x 1＋2，|FB|＝x 2＋2，

∵|FA|＝2|FB|，∴x 1＝2x 2＋2，② 由①②得x 2＝1，

∴B(1,22)，代入y ＝k(x ＋2)得k ＝22

3，选D .

【答案】D

练习1：过抛物线y 2

＝2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.

【解析】直线y ＝x －p 2

，故???

??

y ＝x －p 2y 2＝2px ，

∴x 2

－3px ＋p

2

4

＝0，

|AB|＝8＝x 1＋x 2＋p ，∴4p ＝8，p ＝2. 【答案】2

类型四 直线与抛物线的位置关系 例4：

如图所示，O 为坐标原点，过点P(2,0)，且斜率为k 的直线l 交抛物线y 2

＝2x 于M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)两点．

(1)写出直线l 的方程； (2)求x 1x 2与y 1y 2的值； (3)求证：OM ⊥ON

【解析】(1)直线l 的方程为y ＝k(x －2)(k ≠0)．①

(2)由①及y 2

＝2x ，消去y 可得 k 2x 2

－2(2k 2

＋1)x ＋4k 2

＝0.②

点M ，N 的横坐标x 1与x 2是②的两个根， 由韦达定理，得x 1x 2＝4k

2

k

2＝4.

由y 2

1＝2x 1，y 2

2＝2x 2，得(y 1y 2)2

＝4x 1x 2＝4×4＝16， 由图可知y 1y 2<0，所以y 1y 2＝－4.

(3)证明：设OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2，

则k 1＝y 1x 1，k 2＝y 2

x 2

.

由(2)知，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4， ∴k 1k 2＝y 1y 2

x 1x 2

＝－1.∴OM ⊥ON. 【答案】(1)直线l 的方程为y ＝k(x －2)(k ≠0)．①

(2)由①及y 2

＝2x ，消去y 可得 k 2x 2

－2(2k 2

＋1)x ＋4k 2

＝0.②

点M ，N 的横坐标x 1与x 2是②的两个根， 由韦达定理，得x 1x 2＝4k

2

k

2＝4.

由y 2

1＝2x 1，y 2

2＝2x 2，得(y 1y 2)2

＝4x 1x 2＝4×4＝16， 由图可知y 1y 2<0，所以y 1y 2＝－4.

(3)证明：设OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1＝y 1x 1，k 2＝y 2

x 2

.

由(2)知，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4， ∴k 1k 2＝y 1y 2

x 1x 2

＝－1.∴OM ⊥ON.

练习１ 设直线l 与抛物线2

4y x =相交于A ，B 两点，与圆()()2

2250x y r r -+=>相切于点

M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）

Ａ．()13， B ．()14， C ．()23， D ．()24，

【答案】Ｄ

练习2：抛物线C ：x 2

＝8y 与直线y ＝2x －2相交于A ，B 两点，点P 是抛物线C 上异于A ，B 的一点，若直线PA ，PB 分别与直线y ＝2相交于点Q ，R ，O 为坐标原点，则OP →·OQ →

＝________．

【答案】20

1. 已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>> 的一条渐近线过点(3，且双曲线的一个焦点在

抛物线2

7y x = 的准线上，则双曲线的方程为( )

Ａ．

22

12128

x y -= Ｂ．

22

12821x y -= Ｃ．

22

134x y -= Ｄ．

22

143

x y -= 【答案】Ｄ

2. 如图，设抛物线2

4y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，

其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ?与ACF ?的面积之比是（ ）

A.

11

BF AF -- B.

2

2

11

BF AF -- C.

11

BF AF ++ D.

2

2

11

BF AF ++

【答案】A.

3. 已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2

＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )

A.12

B.23

C.34

D.43

【答案】D

4. 抛物线2

2y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_________ 【答案】ｐ＝２ 5. 曲线y ＝e

－5x

＋2在点(0，3)处的切线方程为________．

【答案】y ＝－5x ＋3

6.已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；

(2)是否存在正数m ，对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有FA →·FB →

<0?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)由已知得：曲线C 上的点到点F(1,0)与到x ＝－1的距离相等，∴曲线C 是以F(1,0)为焦点的抛物线，

设y 2

＝2px(p>0)，

∵p 2

＝1，∴p ＝2，∴方程为：y 2

＝4x(x>0)． (2)假设存在M(m,0)(m>0)． 当直线l 斜率不存在时，l ：x ＝m ， 设交点A(m,2m)，B(m ，－2m)， FA →＝(m －1,2m)，FB →

＝(m －1，－2m)， ∴FA →·FB →＝m 2

－6m ＋1<0， ∴3－22

当直线l 斜率存在时，l ：y ＝k(x －m)(k ≠0)，

设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，?

??

??

y 2

＝4x

y ＝k x －m

∴ky 2

－4y －4km ＝0，∴Δ＝16＋16k 2

m>0恒成立， y 1＋y 2＝4

k

，y 1y 2＝－4m ，

又y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2

－2y 1y 2＝16k 2＋8m ，

∵FA →·FB →＝(y 2

1

4－1)·(y 2

24－1)＋y 1y 2

＝

y 1y 2

2

16

－14

(y 21＋y 22)＋y 1y 2＋12 ＝m 2－14(16k 2＋8m)－4m ＋12

＝m 2

－6m ＋1－4k

2<0，

即：4k 2>m 2

－6m ＋1对?k ≠0恒成立，

又4k 2>0，∴m 2

－6m ＋1<0恒成立， ∴3－22

综上，m 的取值范围是：3－22

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基础巩固（1）

1.抛物线x 2

＝12

y 的焦点坐标为( )

A.? ??

??12，0 B.? ??

??0，12 C.? ??

??18，0 D.? ??

??0，18 【答案】D

2.已知抛物线y 2

＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2

＋y 2

－4x －5＝0相切，则p 的值为( ) A ．2 B ．1

C.12

D.14

【答案】A

3．点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2

的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2

B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2

C ．y ＝－36x 2

D ．y ＝112x 2或y ＝－136

x

2

【答案】D

4．已知抛物线y 2

＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 24－y 2

5＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴

的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则A 点的横坐标为( )

A ．2 2

B ．3

C ．2 3

D ．4

【答案】B

5．已知P 是抛物线y 2

＝2x 上动点，A ? ??

??72，4，若点P 到y 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为

d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )

A ．4 B.9

2

C ．5

D.112

【答案】B

6. 已知抛物线C ：y 2

＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →

＝4FQ →

，则|QF |＝( )

A.72 B ．3

C.52

D ．2

【答案】B

7. 设F 为抛物线C ：y 2

＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )

A.334

B.938

C.

6332 D.94

【答案】D

能力提升（2）

8．若抛物线y 2

＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2

－y 2

＝1的左顶点，则p ＝________． 【答案】2

9．已知一条过点P (2，1)的直线与抛物线y 2

＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线

AB 的方程为________．

【答案】x-y-1=0

10．已知抛物线y 2

＝2px (p ＞0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →

＝0，则1

k AB ＋

1

k BC ＋

1

k CA

＝________．

【答案】0

11. 如图1-4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2

＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则b

a

＝________．

图1-4

【答案】

12.已知动点P(x ，y)(y ≥0)到定点F(0,1)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，记点P 的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C 的方程；

(2)设圆M过点A(0,2)，且圆心M(a，b)在曲线C上，若圆M与x轴的交点分别为E(x1,0)、G(x2,0)，求线段EG的长度．

【答案】(1)依题意知，曲线C是以F(0,1)为焦点，y＝－1为准线的抛物线．

∵焦点到准线的距离p＝2，

∴曲线C方程是x2＝4y.

(2)∵圆M

∴其方程为(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋(b－2)2

令y＝0得：x2－2ax＋4b－4＝0.

则x1＋x2＝2a，x1·x2＝4b－4.

∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2＝(2a)2－4(4b－4)＝4a2－16b＋16.

又∵点M(a，b)在抛物线x2＝4y上，∴a2＝4b，

∴(x1－x2)2＝16，即|x1－x2|＝4.

∴线段EG的长度是4.