概率公式大全
第一章随机事件和概率
（ 1）排列组从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
合公式从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
加法原理（两种方法均能完成此事）： m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种（ 2）加法和方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）： m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种
方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（ 3）一些常重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）
见排列
顺序问题
（ 4）随机试如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在验和随机事进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
件试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下
性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
（ 5）基本事这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
件、样本空间基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
和事件一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，?表示事件，它们是的子集。
为必然事件， ? 为不可能事件。
（6）事件的关系与运算不可能事件（ ? ）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必
然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系：
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（ A 发生必有事件 B 发生）：
如果同时有，，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B： A=B 。
A 、
B 中至少有一个发生的事件： A B，或者 A+B 。
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B ，也可表示为 A-AB 或者，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
A 、
B 同时发生： A B ，或者 AB 。A B=? ，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件
A 与事件
B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率： A(BC)=(AB)C A ∪ (B∪ C)=(A ∪ B) ∪ C
分配率： (AB) ∪ C=(A ∪ C)∩ (B∪ C) (A ∪ B) ∩ C=(AC)∪ (BC)
德摩根率：，
设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数 P(A) ，若满足下列三个条（ 7）
概率的件：
公理化定义1° 0 ≤ P(A)，≤1
2° P( Ω)=1
3°对于两两互不相容的事件，，? 有
常称为可列（完全）可加性。
则称 P(A) 为事件的概率。
1°，
（ 8）古典概
2°。
型设任一事件，它是由组成的，则有
P(A)= =
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中
（ 9）几何概的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对
型任一事件 A ，
。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。
（10）加法公 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
式当 P(AB) ＝ 0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)
（11）减法公 P(A-B)=P(A)-P(AB)
当 B A 时， P(A-B)=P(A)-P(B)
式
当 A=Ω时， P( )=1- P(B)
定义设A、B是两个事件，且P(A)>0 ，则称为事件A发生条件下，事件（12）条件概的条件概率，记为。
率条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω/B)=1 P( /A)=1 -P(B/A)
B 发生
乘法公式：
（13）乘法公
更一般地，对事件A1 ， A2 ，?An ，若 P(A1A2?An -1)>0 ，则有
式
????。①两
个事件的独立性
设事件、满足，则称事件、是相互独立的。
若事件、相互独立，且，则有
若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。
必然事件和不可能事件? 与任何事件都相互独立。
（14）独立性 ? 与任何事件都互斥。②多
个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B) ；P(BC)=P(B)P(C) ； P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A 、 B、 C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
设事件满足
（15）全概公 1°两两互不相容，，
2°，
式
则有
。
（16）贝叶斯设事件，，?，及满足
公式 1°， ， ?， 两两互不相容， >0， 1， 2， ? ， ，
2°， ， 则
， i=1 ， 2，?n 。 此公式即为贝叶斯公式。
，（ ， ，? ， ），通常叫先验概率。 ，（ ， ，? ， ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 ―因果 ‖的概率规律，并作出了 ―由果朔因 ‖的推断。
我们作了 次试验，且满足
u
每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生；
u
次试验是重复进行的，即
发生的概率每次均一样；
（17）伯努利
u
每次试验是独立的，即每次试验
发生与否与其他次试验
发生与否是互不影
响的。
概型
重伯努利试验。
这种试验称为伯努利概型，或称为
用 表示每次试验 发生的概率，则
发生的概率为
，用 表示 重伯努利试验中
出
现 次的概率，
， 。
第二章 随机变量及其分布
（1）离散型 设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,
?)且取各个值的概率，即事件
随机变量的 (X=Xk) 的概率为 分布律
P(X=xk)=pk ， k=1,2, ?，
则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给
出： 。
显然分布律应满足下列条件：
（1），，（2）。
（2）连续型 设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数
，对任意实数 ，有
随机变量的 ，
分布密度
则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
密度函数具有下面 4 个性质：
1° 。 2° 。
（3）离散与
连续型随机 积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起变量的关系 的作用相类似。
（ 4）分布函 设 为随机变量， 是任意实数，则函数 数
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。 可以得到 X 落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（ 的概率。
分布函数具有如下性质： 1° ；
2° 是单调不减的函数，即
时，有 ；
3°， ；
4° ，即
是右连续的；
–∞， x] 内
5° 。
对于离散型随机变量，；
对于连续型随机变量，。
（5）八大分 0-1 分布P(X=1)=p, P(X=0)=q
布
二项分布在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生的次数
是随机变量，设为，则可能取值为。
，其中，
则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。
当时，，，这就是（ 0-1）分布，所以（ 0-1）分布是二项分布
的特例。
泊松分布设随机变量的分布律为
，，，
则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者 P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ， n→∞）。
超几何分布
随机变量 X 服从参数为 n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M) 。
几何分布，其中 p≥0， q=1-p 。
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为G(p) 。
均匀分布设随机变量的值只落在 [a，b]内，其密度函数在 [a，b]上为常数，
即
a≤ x≤b
其他，
则称随机变量在 [a， b]上服从均匀分布，记为X~U(a ， b)。
分布函数为
a≤ x≤b
0，x 1，x>b。 当 a≤x1 。 指数分布, 0,, 其中，则称随机变量X 服从参数为的指数分布。 X的分布函数为 , x<0 。 记住积分公式： 正态分布设随机变量的密度函数为 ，， 服从参数为、的正态分布或 其中、为常数，则称随机变量 高斯（ Gauss）分布，记为。 具有如下性质： 1°的图形是关于对称的； 2°当时，为最大值； 若，则的分布函数为 。。 参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数 记为 ，， 分布函数为 。 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 Φ(-x)＝ 1-Φ (x)且Φ (0)＝。 如果~，则~。 。 （6）分位数下分位表：； 上分位表：。 （7）函数分离散型已知的分布列为 布， 的分布列（互不相等）如下： ， 若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。 连续型先利用 X 的概率密度fX(x) 写出 Y 的分布函数FY(y) ＝P(g(X) ≤y)， 再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y) 。 第三章二维随机变量及其分布 （1）联合分离散型如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可 布列个有序对（ x,y ），则称为离散型随机量。 设 =（ X ，Y ）的所有可能取值为，且事件{ = }的概率 为pij,, 称 为=（ X ， Y ）的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。 联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： Y y1y2?yj? X x1p11p12?p1j? x2p21p22?p2j? xi pi1?? 这里 pij 具有下面两个性质： （1） pij ≥0（i,j=1,2, ?）； （2） 连续型对于二维随机向量，如果存在非负函数，使对任意一 个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D={(X,Y)|a 则称为连续型随机向量；并称f(x,y) 为 =（ X， Y）的 分布密度或称为X 和 Y 的联合分布密度。 分布密度 f(x,y) 具有下面两个性质： （1）f(x,y)≥0; （2） （2）二维随 机变量的本 质 （3）联合分设（ X， Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数 布函数 称为二维随机向量（X ，Y ）的分布函数，或称为随机变量X 和 Y 的联合分布 函数。 分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件的概率为函数值的一个实值函数。分布函数 F(x,y) 具有以下的基本性质： （ 1） （ 2） F（ x,y ）分别对 x 和 y 是非减的，即 当 x2>x1 时，有 F（ x2,y）≥F(x1,y);当 y2>y1 时，有 F(x,y2)≥F(x,y1); （3） F（ x,y ）分别对 x 和 y 是右连续的，即 （4） （5）对于 . （4）离散 型与连续型 的关系 （5）边缘分离散型X 的边缘分布为 布； Y的边缘分布为 。 连续型X 的边缘分布密度为 Y 的边缘分布密度为 （6）条件分离散型在已知X=xi的条件下，Y 取值的条件分布为 布 在已知Y=yj的条件下，X 取值的条件分布为 连续型在已知Y=y的条件下，X 的条件分布密度为 ； 在已知X=x的条件下，Y 的条件分布密度为 F(X,Y)=FX(x)FY(y) （7）独立性一般型 离散型 有零不独立 连续型f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形 二维正态分布 ＝0 随机变量的函数若 X1,X2, ?Xm,Xm+1,?Xn相互独立，h,g 为连续函 数，则： h（X1 ，X2, ? Xm）和 g（ Xm+1,? Xn ）相互独立。 特例：若 X 与 Y 独立，则： h（X ）和 g（ Y）独立。 例如：若 X 与 Y 独立，则： 3X+1 和 5Y-2 独立。 （8）二维均设随机向量（X ， Y ）的分布密度函数为 匀分布 其中 SD 为区域 D 的面积，则称（ X ，Y ）服从 D 上的均匀分布，记为（ X ，Y ）～ U（D）。 例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。 y 1 D1 O1x 图 3.1 y D2 1 1 O 2 x 图3.2 y D3 d c O a b x 图3.3 （9）二维正设随机向量（ X ， Y ）的分布密度函数为 态分布 其中是 5 个参数，则称（ X ， Y）服从二维正态分布，记 为（ X，Y）～ N（ 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布， 即 X～N（ 但是若 X ～ N（， (X ， Y) 未必是二维正态分布。 （ 10 ）函数 Z=X+Y根据定义计算： 分布对于连续型， fZ(z) ＝ 两个独立的正态分布的和仍为正态分布（）。 n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 ， Z=max,min(X1,X2,? Xn)若相互独立，其分布函数分别为，则 Z=max,min(X1,X2, ? Xn)的分布函数为： 分布设 n 个随机变量相互独立，且服从标准正态分布，可 以证明它们的平方和 的分布密度为 我们称随机变量W 服从自由度为n 的分布，记为 W～，其中 它是随机变 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数， 量分布中的一个重要参数。 分布满足可加性：设 则 t 分布设 X，Y是两个相互独立的随机变量，且 可以证明函数 的概率密度为 我们称随机变量T 服从自由度为n 的 t分布，记为T ～ t(n)。 F 分布设，且X 与Y 独立，可以证明的概率密度函数为 n1，第二个自 我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 由度为 n2 的 F 分布，记为F～ f(n1, n2). 第四章随机变量的数字特征 （1）一离散型连续型 维随机期望设 X 是离散型随机变量，其分布设 X 是连续型随机变量，其概率密 变量的期望就是平均值律为 P( )＝ pk， k=1,2,?,n，度为 f(x) ， 数字特 征（要求绝对收敛）（要求绝对收敛） 函数的期望Y=g(X)Y=g(X) 方差 D(X)=E[X-E(X)]2， 标准差 ， 矩①对于正整数 k，称随机变量 X 的①对于正整数 k，称随机变量 X 的 k k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点次幂的数学期望为X 的 k 阶原点矩， 矩，记为 vk, 即记为 vk, 即 ν k=E(Xk)= , k=1,2,?.ν k=E(Xk)= ②对于正整数 k，称随机变量 X 与 k=1,2, ?. E（ X ）差的 k 次幂的数学期望为②对于正整数 k，称随机变量 X 与 E X 的 k 阶中心矩，记为，即（ X ）差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶中心矩，记为，即 = ， k=1,2, ?. = k=1,2, ?. 切比雪夫不等式设随机变量 X 具有数学期望 E（ X ） =μ，方差 D（ X ） =σ2，则对于任 意正数ε，有下列切比雪夫不等式 切比雪夫不等式给出了在未知X 的分布的情况下，对概率 的一种估计，它在理论上有重要意义。 （2）期（1）E(C)=C 望的性（2）E(CX)=CE(X) 质（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y) ， （4）E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件： X 和 Y 独立； 充要条件： X 和 Y 不相关。 （3）方（1）D(C)=0 ； E(C)=C 差的性（2）D(aX)=a2D(X) ； E(aX)=aE(X) 质（3）D(aX+b)= a2D(X) ； E(aX+b)=aE(X)+b （4）D(X)=E(X2)-E2(X) （5）D(X±Y)=D(X)+D(Y) ，充分条件： X 和 Y 独立； 充要条件： X 和 Y 不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))] ，无条件成立。 而 E(X+Y)=E(X)+E(Y) ，无条件成立。 （4）常期望方差 见分布0-1 分布p 的期望二项分布np 和方差泊松分布 几何分布 超几何分布 均匀分布 指数分布 正态分布 n2n t 分布0(n>2) （5）二期望 维随机 变量的函数的期望＝＝ 数字特 征方差 协方差对于随机变量X 与 Y，称它们的二阶混合中心矩为 X与Y的协方差 或相关矩，记为，即 相关系数与记号相对应， 对于随机变量X X 与 与 Y 的方差 D（ X）与 D（ Y ）也可分别记为 Y，如果 D （X ） >0, D(Y)>0 ，则称 与。 为 X 与Y 的相关系数，记作（有时可简记为）。 | |≤1，当| |=1 时，称X 与 Y完全相关： 完全相关 而当时，称X与Y不相关。 以下五个命题是等价的： ① ； ②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵 混合矩对于随机变量 原点矩，记为X 与 Y ，如果有存在，则称之为 ；k+l 阶混合中心矩记为： X 与Y 的k+l阶混合 （6）协 (i)方差的 (ii)性质(iii) cov (X, Y)=cov (Y, X); cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); (iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). （7）独（i ）若随机变量X 与 Y 相互独立，则；反之不真。 立和不（ii ）若（X，Y）～N（）， 相关则 X 与 Y 相互独立的充要条件是X 和 Y 不相关。 第五章大数定律和中心极限定理 （1）大数定律切比雪设随机变量X1 ， X2 ，?相互独立，均具有有限方差，且被同 夫大数一常数 C 所界： D （Xi ） 定律 特殊情形：若X1 ，X2 ，?具有相同的数学期望E（ XI ）=μ， 则上式成为 伯努利设μ是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数， p 是事件 A 在每次 大数定试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有 律 伯努利大数定律说明，当试验次数 n 很大时，事件 A 发生的频 率与概率有较大判别的可能性很小，即 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 辛钦大设 X1 ，X2 ，?， Xn ，?是相互独立同分布的随机变量序列， 数定律且 E（Xn ）=μ，则对于任意的正数ε有 （2）中心极限定理列维－设随机变量 X1 ， X2 ，?相互独立，服从同一分布，且具有相 林德伯同的数学期望和方差：，则随机变量 格定理 的分布函数Fn(x) 对任意的实数x，有 此定理也称为独立同分布的中心极限定理。 棣莫弗设随机变量为具有参数n, p(0 －拉普数 x,有 拉斯定 理 （3）二项定理若当，则 超几何分布的极限分布为二项分布。 （4）泊松定理若当，则 其中 k=0 ，1， 2，?， n，?。 二项分布的极限分布为泊松分布。 第六章样本及抽样分布 （ 1 ）数理统总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全 计的基本概体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随 念机变量（或随机向量）。 个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。 样本我们把从总体中抽取的部分样品称为样本。样本中所含的样品 数称为样本容量，一般用n 表示。在一般情况下，总是把样本 看成是 n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样 的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，表示 n 个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，表示 n 个具体 的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。 样本函数和统设为总体的一个样本，称 计量（） 为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知 参数，则称（）为一个统计量。 常见统计量及样本均值 其性质样本方差 样本标准差 样本 k 阶原点矩 样本 k 阶中心矩 ，， ，, 其中，为二阶中心矩。 （ 2 ）正态总正态分布设为来自正态总体的一个样本，则样本函数体下的四 大 分布t 分布设为来自正态总体的一个样本，则样本函数 其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。 设为来自正态总体的一个样本，则样本函数 其中表示自由度为n-1 的分布。 F 分布设为来自正态总体的一个样本，而为来自正态总体的一个 样本，则样本函数 其中 表示第一自由度为，第二自由度为的F分布。 （3 ）正态总与独立。 体下分布的 性质 第七章参数估计 （1）点估矩估计设总体X的分布中包含有未知数，则其分布函数可以表成它的k 计点矩中也包含了未知参数，即。又设为总体X的n个样本值，本的 k 阶原点矩为阶原其样 这样，我们按照―当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本 矩原则建立方程，即有 ‖的 由上面的m 个方程中，解出的m 个未知参数即为参数（）的矩估计 量。 若为的矩估计，为连续函数，则为的矩估计。 极大似然当总体 X 为连续型随机变量时，设其分布密度为，其中为未知参数。 估计又设为总体的一个样本，称 为样本的似然函数，简记为Ln. 当总体 X 为离型随机变量时，设其分布律为，则称 为样本的似然函数。 若似然函数在处取到最大值，则称分别为的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。 若为的极大似然估计，为单调函数，则为的极大似然估计。 （2）估计无偏性设为未知参数的估计量。若 E （）=，则称为的无偏估计量。 量的评选E（） =E（ X ）， E（ S2）=D （X ） 标准有效性设和是未知参数的两个无偏估计量。若，则称有效。 一致性设是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有 则称为的一致估计量（或相合估计量）。 若为的无偏估计，且则为的一致估计。 只要总体的E(X) 和 D(X) 存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相 应总体的一致估计量。 （3）区间置信区间设总体 X 含有一个待估的未知参数。如果我们从样本出发，找出两个估计和置信度统计量与，使得区间以的概率包含这个待估参数，即 那么称区间为的置信区间，为该区间的置信度（或置信水平）。单正 态总设为总体的一个样本，在置信度为下，我们来确定的置信区间体的期望 具体步骤如下： 。和方差的（ i ）选择样本函数； 区间估计（ ii ）由置信度，查表找分位数； （ iii ）导出置信区间。 已知方差，估计均值 未知方差，估计均值 方差的区间估计 （ iii ）导出的置信区间 第八章基本思想假设检验 假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会 发生的，即小概率原理。 为了检验一个假设H0 是否成立。我们先假定H0 是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0 是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称 H0 是相容的。与H0 相对的假设称为备择假设，用H1 表示。 这里所说的小概率事件就是事件，其概率就是检验水平α，通常我们取α=0.05，有时也取 0.01 或 0.10。 基本步骤假设检验的基本步骤如下： (i)提出零假设H0； (ii)选择统计量 K ； (iii)对于检验水平α查表找分位数λ； (iv)由样本值计算统计量之值 K ； 两类错误将进行比较，作出判断：当时否定H0，否则认为H0 相容。 第一类错误当 H0 为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的 检验法则，应当否定H0 。这时，我们把客观上H0 成立判为 H0 为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为―以真 当假‖的错误或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即 P{ 否定 H0|H0 为真 }=； (ii) 查表找分位数 （ iii ）导出置信区间 （ i）选择样本函数 (ii) 查表找分位数 （ iii ）导出置信区间 （ i）选择样本函数 （ ii ）查表找分位数 （ i）选择样本函数 此处的α恰好为检验水平。 第二类错误当 H1 为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的 检验法则，应当接受 H0 。这时，我们把客观上 H0。不成立判为 H0 成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为―以假当 真‖的错误或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即 P{ 接受 H0|H1 为真 }=。 两类错误的关系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量 n 一定时，变小，则变大；相反地，变小，则变大。取定要 想使变小，则必须增加样本容量。 在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给 定显著性水平α。α大小的选取应根据实际情况而定。当 我们宁可―以假为真‖、而不愿―以真当假‖时，则应把α 取得很小，如 0.01，甚至 0.001。反之，则应把α取得大些。单正态总体均值和方差的假设检验 条件零假设统计量对应样本 否定域函数分布 已知N （ 0，1）未知 未知 公式整理 1．随机事件及其概率 A A A 吸收律： A A A A (AB) A A(AB)A A B AB A( AB) 反演律：A B A B AB A B n n n n A i A i A i A i i 1i 1i 1i1 2．概率的定义及其计算 P( A)1P( A) 若 A B P(B A)P( B)P( A) 对任意两个事件 A, B,有P(B A) P(B)P( AB) 加法公式：对任意两个事件A, B,有 P( A B)P( A) P(B)P( AB) P( A B)P( A) P( B) n n n ( 1) n 1 P( A1 A2 A n ) 3．P( A i )P( A i )P( A i A j )P( A i A j A k ) i 1i 1 1 i j n 1 i j k n 条件概率P B A P( AB) P( A) 乘法公式 P( AB)P( A)P B A(P(A)0) P( A1 A2A n ) P( A1 )P A2 A1P A n A 1 A 2 A n 1全概率公式 (P(A1A2A n 1 ) 0) n n P( A) i1P( AB i ) i 1 P( B i ) P( A B i ) Bayes 公式 P( B k A)P( AB k )P(B k ) P( A B k ) P( A)n P( B i ) P(A B i ) i 1 4．随机变量及其分布 分布函数计算 P( a X b) P( X b) P(X a) F (b) F (a) 5．离散型随机变量 (1)0–1 分布 P( X k ) p k (1 p)1 k , k0,1 (2)二项分布 B( n, p) 若P ( A ) = p P( X k ) C n k p k (1 p) n k , k 0,1,, n * Possion 定理 lim np n n l i mC n k p n k (1 p n ) n k k 有 e n k! k 0,1,2, (3) Poisson 分布 P( ) k P( X k ) e , k 0,1,2, k! 6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 U (a, b) 1 , a x b 0, 其他 0, x a F ( x) , b a 1 (2) 指数分布 E( ) f ( x) F ( x) e x , x 0 0, 其他 0, x 0 1 e x , x 0 (3) 正态分布 N( , 2) 1 ( x )2 2 2 f ( x) e 2 1 x ( t )2 2 F ( x) e 2 d t 2 * N (0,1) — 标准正态分布 x 2 (x) 1 e 2 x x 2 1 t 2 x x (x) e 2 dt 2 7.多维随机变量及其分布 二维随机变量 ( X ,Y )的分布函数 F ( x, y) xy f (u,v)dvdu 边缘分布函数与边缘密度函数 x F X ( x) f (u, v) dvdu f X ( x) f ( x,v)dv y F Y ( y) f (u, v) dudv f Y ( y) f (u, y)du 8. 连续型二维随机变量 (1) 区域 G 上的均匀分布， U ( G ) 1 ( x, y) G f ( x, y) , A 0, 其他 (2) 二维正态分布 ( x 1 )2 2 ( x 1 )( y 2 ) 1 2 1 2 1 2 ) 2 2(1 2 ) ( y f ( x, y) 1 e 2 1 2 1 2 x , y 2 2 9. 二维随机变量的 条件分布 f ( x, y) f X ( x) f Y X ( y x) f X ( x) 0 f Y ( y) f X Y (x y) f X ( x) f ( x, y)dy f Y ( y) f ( x, y)dx f X Y (x y) f ( x, y) f Y ( y) f Y X ( y x) f ( x, y) f X ( x) f Y ( y) 0 f X Y ( x y) f Y ( y)dy f Y X ( y x) f X (x)dx f Y X ( y x) f X (x) f Y ( y) f X Y ( x y) f Y ( y) f X ( x) 10. 随机变量的数字特征 数学期望 E( X ) x k p k k 1 E( X ) xf (x)dx 随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 E( X k ) X 的 k 阶绝对原点矩 E (| X |k ) X 的 k 阶中心矩 E(( X E( X ))k ) X 的 方差 E((X E(X ))2) D(X ) X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 E( X k Y l ) X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 E (X E( X )) k (Y E(Y))l X ,Y 的 二阶混合原点矩 E(XY ) X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 E (X E(X ))(Y E(Y)) X ,Y 的相关系数 E ( X E( X ))(Y E(Y)) D(X) D(Y) XY X 的方差 D (X ) = E ((X - E(X))2) D(X) E(X 2) E 2(X) 协方差 cov( X ,Y) E ( X E( X ))(Y E(Y)) E(XY) E(X)E(Y) 相关系数 XY 1 D(X Y) D(X ) D(Y) cov( X ,Y ) D( X ) D(Y) 1 ( t )2 x 2 F ( x) 2 e 2 d t * N (0,1) — 标准正态分布 1 x 2 (x) 2 x e 2 1 t 2 (x) x x 2 e 2 dt 7.多维随机变量及其分布 二维随机变量 ( X ,Y )的分布函数 F ( x, y) xy f (u,v)dvdu 边缘分布函数与边缘密度函数 F X ( x) x f (u, v) dvdu f X ( x) f ( x,v)dv F Y ( y) y f (u, v) dudv f Y ( y) f (u, y)du 8. 连续型二维随机变量 (1) 区域 G 上的均匀分布， U ( G ) 1 , ( x, y) G f ( x, y)A 0, 其他 (2) 二维正态分布 f ( x, y) 1 e 2 1 2 1 2 x , y ( x 1 )2 ( x 1 )( y 2 ) 1 2 2 1 2 1 2 ) 2 2(1 2 ) ( y 2 2 9. 二维随机变量的 条件分布 f ( x, y) f X ( x) f Y X ( y x) f X ( x) 0 f Y ( y) f X Y (x y) f Y ( y) 0 f X ( x) f ( x, y)dy f X Y ( x y) f Y ( y)dy