五种点的对称点的规律

五种点的对称点的规律

确定图形的位置及描述图形的变化规律都需要求点的坐标，对这类基本题型，有的同学由于对点的坐标概念理解不清，单凭直觉来思维，往往导致误解，现总结五种点的对称点的规律，记住此规律，可使解题省时准确。

一、点关于x 轴的对称点

如图1，P （a ，b ）关于x 轴的对称点为P ′，则|PA|=|P ′A|，∴P ′（a ，-b ） 规律：点P 关于x 轴的对称点P ′的坐标是P 的，横坐标不变，纵坐标互为相反数

二、点关于y 轴的对称点

如图2，P （a ，b ）关于y 轴的对称点为P ′，则|PB|=|P ′B|，∴P ′（-a ，b ） 规律：点P 关于

y 轴的对称点P ′的坐标是P

的横坐标互为相反数，纵坐标不变。

三、点关于原点的对称点

如图3，P （a ，b ）关于原点的对称点为P ′，则|OP|=|OP ′|，作PA ⊥x 轴于A ，作P ′B ⊥x 轴于B ，有∠PAO=∠P ′BO=Rt ∠，∠POA=∠P ′

OB ，故△POA ≌△P ′OB ，∴|PA|=|P ’B|，|OA|=|OB|，∴P ′（-a ，-b ）

规律：点P 关于原点的对称点P ′的坐标是P 的横、纵坐标的相反数。

四、点关于一、三象限角平分线的对称点

如图4，l 为一、三象限的角平分线，P （a ，b ）关于l 的对称点为P ′，则|PC|=|P ′C|，易证Rt △PCO ≌Rt △P ′OC

∴OP=OP ′，∠COP=∠COP ′

作PA ⊥x 轴于A ，作P ′B ⊥y 轴于B ，易证

图2 b ） ，b ） x

∵l 平分一、三象限

∴∠COA=∠COB ，所以∠POA=∠P ′OB

Rt △POA ≌Rt △P ′OB ，所以|PA|=|P ′B|，|OA|=|OB|

∴P ′（b ，a ）

规律：点P 关于一、三象限的角平分线的对称点P ′的坐标是P 的纵、横坐标。

五、点关于二、四象限角平分线的对称点

如图5，l 是二、四象限的角平分线，P （a

证Rt △PCO ≌Rt △P ′CO ∴|OP|=|OP ′|，∠POC=∠P ′OC

作PA ⊥x 轴于A ，作P ′B ⊥y 轴于B

又∵l 为二、四象限的角平分线

∴∠AOC=∠BOC

∴∠POA=∠P ′OB

又∵|OP|=|P ′O| ∴Rt △PAO ≌Rt △P ′BO ∴|OA|=|OB|，|PA|=|P ′B|

∴P ′（-b ，-a ）

规律：点P 关于二、四象限

的角平分线的对称点P ′的 坐标是P 的纵、横坐标的相反数。

下面举例用以上规律解题

例1 在平面直角坐标系中，将点A （1，2）的横坐标乘以-1，纵坐标不变，得到点A ’，则点A 与A ’点的关系是（）

A 关于x 轴对称

B 关于y 轴对称

C 关于原点对称

D 将点A 向x 轴负方向平移一个单位得点A ’

解：将1乘以-1得-1，所以A ’（-1，2）。由规律二知选B 。

例2 在平面直角坐标系中，点（-3，2）关于原点对称的点是（）

A （2，-3）

B （-3，-2）

C （3，2）

D （3-2）

解：由规律三知选B 。

x 图5