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高三数学高考数列求和(裂项及错位)

考点十二数列求和（裂项及错位）

[真题1] (2009山东卷)等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值；（11）当b=2时，记1()4n n

n b n N a +

∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .

[命题探究] 创新是高考命题的要求,《考试大纲》提出命题要“创设比较新颖的问题情境”，同时，“在知识的交汇点处设计命题”是近年来高考命题的一种趋势。本题将数列的递推关系式以点在函数图像上的方式给出，体现了这种命题理念，也渗透了数列是定义在正整数集上的函数观念。第（2）问中对b 的赋值，旨在使问题变得简捷，也使设置的数列求和问题降低难度，达成“不求在细节上人为地设置障碍，而是在大方向上考查考生的数学能力”的命题指导思想。

[命题探源] 本题在设置等比数列的递推关系时，以点(,)n n S 在函数(0x y b r b =+>的图像上的方式给出，这种命题方式与2008年福建一道文科有相似之处：“已知｛a n ｝是正数组成的数列，a 1=1

1n a +）（n ∈N *）在函数y =x 2+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛b n ｝满足b 1=1,b n +1=b n +2n a ，求证：b n ·b n +2＜b 2

n +1.”本题中增加了对参数r 的求解，因此，如何正确求出r 的值，成为本题的解题思考点，这恰好需要对递推

关系式{

11,(1)

,(2)

n n n S n a S S n -==-≥的正确理解（理角题目的条件：数列{n a }是等比数列，则11S a =满足数列递推式）。第（2）问求数列{}n b 的前n 项和n T ，

所用的方法是错位相减法，也是课本中推导等比数列前n 项和公式时所用的方法。高考复习历来提倡回归课本，理解教材，例题的求解方法、公式的推导方法，都需要我们在回归课本中积累知识，提炼方法，形成能力。 [知识链接] 数列求和的几种常见题型与求解方法

（1）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

①

111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k

=-++； ③

)(1

)0(1

n k n k k k

n n -+=

>++ **④

1(1)(1)1k k k k k k k k k -

++--.

（2）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.

设{a n }是等差数列，且公差为d,{b n }是等比数列，且公比为q,记S n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n

n n n n n n n b a b a b a b a b a b a S ++++++=----1122332211... ①

=n qS 1112233221...+-----++++++n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a ② =-n S q )1(+11b a 11232)...(+---+++++n n n n n b a b b b b b d

（3）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

（4）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.

《规范解答》

广东省汕头市高三数学复习系列等差数列、等比数列的性质及应用新人教A 版

一．课题：等差数列、等比数列的性质及应用

二．教学目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力．三．教学重点：等差（比）数列的性质的应用．四．教学过程：（一）主要知识：

有关等差、等比数列的结论

1．等差数列{}n a 的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S -- 仍为等差数列． 2．等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+ 3．等比数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a ?=?

4．等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S -- 仍为等比数列． 5．两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列．

6．两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ?、??????n n b a 、?

???n b 1仍为等比数列．

（二）主要方法：

1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n 项和公式的内在联系是解题的关键．

（三）例题分析：

例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有13 项；（2）已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,*n N ∈,354657281a a a a a a ++=，则46a a += 9 ．（3）等差数列前m 项和是30，前2m 项和是100，则它的前3m 项和是 210 ．

例2．若数列{}n a 成等差数列，且,()m n S n S m m n ==≠，求n m S +．解：（法一）基本量法（略）；

（法二）设2

n S An Bn =+，则2

(1)(2)

An Bn m

Am Bm n

?+=??

+=??

(1)(2)-得：22

()()n m A n m B m n -+-=-，m n ≠ ， ∴()1m n A B ++=-，

∴2

()()()n m S n m A n m B n m +=+++=-+．

例3．等差数列{}n a 中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，11a =，求其项数和中间项. 解：设数列的项数为21n +项，则121(1)()

772

n n a a S +++==奇，22()

662

n n a a S +=

=偶

∴

17766

S n S n

奇偶

，∴6n =，∴数列的项数为13，中间项为第7项，且711a =．

说明：

（1）在项数为21n +项的等差数列{}n a 中，2+1=(+1),=,=(2+1)n S n a S na S n a 奇中偶中中；（2）在项数为2n 项的等差数列{}n a 中2+11=,=,=()n n n n n S na S na S n a a +++1奇偶．

例4．数列{}n a 是首项为1000，公比为

110

的等比数列，数列{b }n 满足

121(lg lg lg )k k b a a a k

+++ *

()k N ∈，

（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '．

解：（1）由题意：410n n a -=，∴lg 4n a n =-，

∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列， ∴12(1)lg lg lg 32

k k k a a a k -+++=-

，∴1(1)7[3]2

n n n n b n n

--=

由1

00n n b b +≥??≤?，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==

（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <，

∴当7n ≤时，2

12731132()2

n n n S b b b n n n -+

'=+++==-

当7n >时，

12789n n S b b b b b b '=+++---- 2

7121132()214

n S b b b n n =-+++=

∴22113

(7)44

11321(7)44

n n n n S n n n ?-+≤??'=??-+>??．

例5*．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{b }n 的前n 项和，对任意自然数n ，有232

n n a +=-，41213n n T S n -=，（1）求数列{b }n 的通项公式；（2）

设集合*{|2,}n A x x a n N ==∈，

{|4,}n B y y b n N ==∈．若等差数列{}n c 任一项1,n c A B c ∈ 是A B 中的最大数，且10265125c -<<-，求{}n c 的通项公式．

解：（1）当*

2,n n N ≥∈时：1

14121341213(1)n n n n T S n

T S n ---=??-=-?，

两式相减得：41213n n b a -=，∴1334

n n b a =+534

n =--

，又1174

b =-

也适合上式，

∴数列{b }n 的通项公式为n b 534

n =--

．

（2）对任意*n N ∈，223,41252(61)3n n a n b n n =--=--=-+-，∴B A ?，∴A B B = ∵1c 是A B 中的最大数，∴1c 17=-，设等差数列{}n c 的公差为d ，则10179c d =-+， ∴265179125d -<-+<-，即527

129

d -<<-，又4n b 是一个以12-为公差的等差数列，

∴*12()d k k N =-∈，∴24d =-，∴724n c n =-．

（四）巩固练习：

1．若数列{}n a （N n ∈*）是等差数列，则有数列12n

n a a a b n

+++= （N n ∈*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列n {c }是等比数列，

且n c >0（N n ∈*），则有n d

=N n ∈*）也是等比数列．

2．设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意*

n N ∈，都有

71427

n n

S n T n +=

+ ，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是

．

说明：2121

n n n

n a S b T --=

．

经典研材料裂项相消法求和大全

开一数学组教研材料（裂项相消法求和之再研究）张明刚一项拆成两项，消掉中间所有项，剩下首尾对称项基本类型： 1.形如 )1 1(1)(1k n n k k n n +-=+型。如1n n ＋1＝1n －1n ＋1； 2.形如a n ＝ 1 2n －1 2n ＋1 ＝ )1 21121(21+--n n 型； 3.)1 21 121(211)12)(12()2(2+--+=+-= n n n n n a n 4.]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++= n n n n n n n a n 5.n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2 )1(1 1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++= -则 6.形如a n ＝n ＋1 n 2 n ＋22型． 7.形如a n ＝ 4n 4n －1 4 n ＋1 －1＝13?? ? ??---+1411411n n 型；＝ 2n －（n －1）n （n －1）·2n ＝1（n －1）2n － 1－1 n · 2n . 9.形如a n ＝ ( ) n k n k k n n -+= ++1 1 型；1 )1(1 +++= n n n n a n 10. ( ) b a b a b a --= +1 1 11.()!!1!n n n n -+=? 12.m n m n m n C C C -=+-11 13.()21≥-=-n S S a n n n 14.1) tan(tan tan tan tan ---= βαβ αβα 15.利用两角差的正切公式进行裂项把两角差的正切公式进行恒等变形，例如 β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(+-= - 可以另一方面，利用()[]k k k k k k tan )1tan(1tan )1tan(1tan 1tan ?+--+= -+=，得

数列求和-裂项法

数列求和 ------裂项相消法引例：教材P47 什么是裂项相消法？什么时候使用？思考1：变式：思考2：在裂项的过程中，是怎样把项裂开的？关键是什么？怎样相互抵消的？ 1.???? 求数列的前n 项和.11111,,,,,13243546n(n +2)222222224142434 2.,,,,,.41142143141n n n ?????-?-?-?- 求数列的前项和222235721 3..(12)(23)(34)[(1)]n n S n n +=++++???+ 求和∑求和：k n n k+1k k=12 4.S =(2-1)(2-1)2n n a a =若数列{}，,可以用裂项相消法求数列前n 项和？11n(n +)

小结：什么是裂项相消法？什么时候使用裂项相消法？在使用的过程当中应当注意什么？裂项相消法运用的数学思想是什么？你是否有新的感受呢？请用一句话总结一下前面的内容。思维拓展：思考3：裂项相消法最大的成功--实现了消项，运用错位相减法也是消项，是不是可以考虑用裂项法相消法可以求等比数列的和吗？可以求{}g 等差等比的和吗？试试看。在等比数列{}(1)n a q 1中，试一试：用裂项相消法练习： 2*1122:{},().(1) 1111(2) .(1)(1)(1)3n n n n n a n S n n n N a n a a a a a a =+∈+++<+++ 例题数列的前项和为求；证明：对一切正整数，有2335721.2222n n n S +=++++ 求和211111-=++++L n n S a a q a q a q 211111-=++++L n n n qS a q a q a q a q 1(1)1-=-n n a q S q 11 (1)-=-n n q S a a q 121321* {},,,,,2.(){}(21)3()(){}.n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n b n N b n T a -----?=∈ 已知数列满足：是首项、公差均为的等差数列 Ⅰ求数列的通项公式； Ⅱ令，求数列的前项和

裂项相消法求和附答案

裂项相消法利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。（1）若是{a n }等差数列，则)11.(111 1++-=n n n n a a d a a ,)11.(21122n ++-=n n n a a d a a （2）11 111+-=+n n n n ）（（3）)1 1 (1 )(1k n n k k n n +-=+ （4）)121 121 (21 12)121 +--=+-n n n n ）（（（5）] )2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n （6）n n n n -+=++111 （7）)(1 1n k n k k n n -+=++ 1.已知数列的前n 项和为，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和为． [解析] (1) ……………① 时, ……………②

①②得: 即……………………………………3分在①中令, 有, 即，……………………………………5分故对 2.已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+8．（Ⅰ）求公差d的值；（Ⅱ）若a1=1，设T n是数列{}的前n项和，求使不等式T n≥对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值； [解析]（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d， ∵ S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得：4d=8，解得d=2．……………………………………………………………………4分（Ⅱ）由a1=1，d=2，得a n=2n-1，…………………………………………5分 ∴ =．…………………………………………6分 ∴ T n= = =≥，…………………………………………8分又∵ 不等式T n≥对所有的n∈N*恒成立， ∴ ≥，…………………………………………10分化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6． ∴ m的最大正整数值为6．……………………………………………………12分 3.)已知各项均不相同的等差数列{a n}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.

数列中裂项求和的几种常见模型

数列中裂项求和的几种常见模型数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。模型一：数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，且),3,2,1(0,0 =≠≠n a d n ，则 )1 1(111 1++-=n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x = 的图像经过坐标原点，其导函数为 '()62f x x =-，数列{}n a 的前 n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x = 的图像上。（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1 1 n n n b a a += ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20 n m T <对所有n N * ∈都成立的最小正整数 m ；（2006年湖北省数学高考理科试题）解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2 +bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2 －2x. 又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x = 的图像上，所以n S ＝3n 2 －2n. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[])1(2)132---n n （＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12 －2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+= n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)1 61 561( 21+--n n ，

数列经典例题(裂项相消法)

数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为, 15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101 100 2．数列, )1(1 += n n a n 其前n 项之和为,109 则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且6 22 321 9,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设, log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足0 2)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令, )1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1 2,4224 +==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足,,2 1 1*221 1N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26 ,7753 =+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ；

数列经典例题(裂项相消法)20392

数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101100 2．数列,)1(1+=n n a n 其前n 项之和为,10 9 则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且622 3219,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1 { n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足02)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12,4224+==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足 ,,2 1 1*2211N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(1 1*2 N n a b n n ∈-= 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 7．在数列}{n a 中n n a n a a 2 11)11(2,1,+==+． (Ⅰ)求}{n a 的通项公式；

数列求和7种方法(方法全_例子多)

一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝

裂项相消法求和(公开课)学案

姓名：___________ 班级：_____________ 数列求和（1）—— 裂项相消法目标： 1 理解裂项相消法思想。 2 使用裂项相消法解决特殊数列求和问题。 3 在自学与探究中体验数学方法的形成过程。一、复习巩固 1 公式求和法： 2 倒序相加法：二、自学讨论学习以下例题，完成填空。（限时8分钟）思考与讨论：什么数列可用裂项相消法求和？如何裂项？你有好的方法吗？如何相消？你能发现其中的规律吗？利用裂项相消法求和的一般步骤是什么？例一：n n S n n a 求已知,) 1(1 += 解：1 1 1)1(1+-=+= n n n n a n Θ n n n a a a a a S +++++=∴-1321Λ ) 1(1)1(1431321211++-++?+?+?= n n n n Λ )1 11()111( )4131()3121()211(+-+--++-+-+-=n n n n Λ 1111+= +-=n n n 1 += ∴n n S n 裂项相消法求和的一般步骤： _____________ ____________ _____________ ____________ 裂项： ○ 1你能证明1 1 1)1(1+-=+n n n n 吗？ ○ 2猜想：()2 1 +n n =_____________________ 验证： =+-2 11n n ___________________ 结论： =+) 2(1 n n ____________________ ○ 3一般地； () k n n +1 =________________ 相消：怎么消？哪些项是不能消去的？

高二经典裂项相消法求和大全

1 裂项相消法求和基本类型：一项拆成两项，消掉中间所有项，剩下首尾对称项（相邻、间隔相消） 1.如1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ； 2.形如a n ＝1 (2n －1)(2n ＋1)＝)121121(21+--n n 型； 3.)1 21 121(211)12)(12()2(2+--+=+-= n n n n n a n 4.]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++= n n n n n n n a n 5.n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121 )1()1(221)1(21+-=+-?=? +-+=?++= -则 6.形如a n ＝n ＋1n 2(n ＋2)2 型．=___________________ 7.形如a n ＝4n (4n －1)(4n ＋1 －1)＝13?? ? ??---+1411411n n 型； 8. n ＋1n （n －1）·2n ＝2n －（n －1）n （n －1）·2n ＝1（n －1）2 n －1－1 n ·2n . 9.形如a n ＝ ( ) n k n k k n n -+= ++1 1型； 1 )1(1 +++= n n n n a n =_____________________ 10. ( ) b a b a b a --= +1 1 11.()21≥-=-n S S a n n n 12.1) tan(tan tan tan tan ---= βαβ αβα 13.利用两角差的正切公式进行裂项把两角差的正切公式进行恒等变形，例如 β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(+-= - 可以利用 ()[]k k k k k k tan )1tan(1tan )1tan(1tan 1tan ?+--+= -+=，得,11 tan tan )1tan(tan )1tan(--+= ?+k k k k 14 利用对数的运算性质进行裂项对数运算有性质 N M N M a log log log -=，有些试题则可以构造这种形式进行裂项 .

数列求通项公式求和裂项法-错位相减法-分组求和法

数列求通项及求和 1.数列{}n a 的前n 项和n s ，且满足1a =1，121+=+n n s a ，（* N n ∈）求{}n a 的通项公式 2. 数列{}n a 的前n 项和n s ，且满足1a =1，35-=n n s a ，（* N n ∈）求{}n a 的通项公式 3. 数列{}n a 的前n 项和n s ，且满足1a =1，n n a s 3 21-=，（* N n ∈）（1）{}n n a a 21-+为等比数列；（2）求证? ?? ???n n a 2为等差数列（3）求{}n a 的通项公式 4. 数列{}n a 的前n 项n s ，且满足1a =1，n n s a 31=+，（* N n ∈）求{}n a 的通项公式 5. 数列{}n a 的前n 项n s ，且满足1a =1，n n s a 3 11=+，（* N n ∈）求{}n a 的通项公式 6. 数列{}n a 的前n 项n s ，且满足1a =1，241+=+n n a s ，（* N n ∈）求{}n a 的通项公式 7.数列{}n a 的前n 项n s ，且满足1a =1，3431=++n n s a ，（*N n ∈）求{}n a 的通项公式 8. 数列{}n a 的前n 项n s ，且满足12+=n n a s ，（* N n ∈）求{}n a 的通项公式 9. 数列{}n a 的前n 项n s ，且满足,0>n a ()()216 1 ++=n n n a a s （*N n ∈）求{}n a 的通项 10. 数列{}n a 的前n 项n s ，且满足()1212+=+n n n a a s ，（* N n ∈）求{}n a 的通项公式 11.数列{}n a 的前n 项n s ，且满足,0>n a ，2 22+=n n a s ，（* N n ∈）求{}n a 的通项公式 12. 数列{}n a 的前n 项n s ，且满足,9 2 1=a 1-=n n n s s a ，,2≥n 求{}n a 的通项公式 13. 数列{}n a 的前n 项n s ，且满足,11=a n n s n n a 21+=+，（* N n ∈）求{}n a 的通项公式 14. 数列{}n a 的前n 项n s ，且满足,0≠n a 12 1 +=n n n a a s ，求{}n a 的通项公式例1、已知数列{a n }的通项公式为a n =1 2-n +3n ，求这个数列的前n 项和例2、求下列数列的前n 项和：

七.裂项相消法求和

七、裂项相消法求和基本方法： 1. 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 2. 常见的裂项方法(其中n 为正整数) ) k 为非零常数111) k k n n k 2141 n 21111 41 22121 n n n 1 (1)(2) n n n 111 2(1) (1)(2)n n n n 1n n k 11 ()n k n k n n k 1log 1 a n 0,1a a 11 log (1)log a a a n n n 一、典型例题 1. 已知数列n b n N 是递增的等比数列，且135b b ，134b b ，若2log 3n n a b ，且1 1 n n n c a a ，求数列n c 的前n 项和n S . 2. 已知数列n a 是等比数列，且14a ，358a a a ，令111 n n n n a b a a ，求数列n b 的前n 项和n T . 二、课堂练习 1. 已知数列n a 的前n 项和为n S ，且满足2*12,n n S a n n n N ，求证： … 1 2 11134 n S S S . 2. 已知等比数列n a 的前n 项和为n S ，12a ，*0n a n N ，66S a 是44S a 和55S a 的等差中项. （1）求数列n a 的通项公式；（2）设1212 log n n b a ，数列 1 2n n b b 的前n 项和为n T ，求n T . 三、课后作业 1. , ,, ,1 22 31 n n 的前n 项和. 2. 已知数列n a 的通项为1 lg n n a n ，若其前n 项和为2n S ，求n 的值. 3. 设212 n b n n ，记数列n b 的前n 项和为n T ，求使24 25 n T 成立的n 的最大值.

数列求和裂项法错位相减法分组求和法

数列求和裂项法错位相减法分组求和法 Modified by JEEP on December 26th, 2020.

数列求和的三种特殊求法例1、已知数列{a n }的通项公式为a n =12-n +3n ，求这个数列的前n 项和例2、求下列数列的前n 项和：（1）211，412，813，……n n 21+，…… （2）1，211+，3211 ++…… n +??+++3211 …… （3）5，55，555．……，55……5，……（4）,,，……，……5，…… 例3、已知数列的的通项，求数列的前n 项和：（1） )1(1+= n n a n （2）) 2(1 +=n n b n （3）{a n }满足a n = 1 1++n n ，求S n （4）求和：+?+?= 5 34 3122 2 n S ……+) 12)(12()2(2 +-n n n （5）求和) 2)(1(1 43213211+++??+??+??=n n n S n 例4、求数列 ,,,3,2,32n na a a a （a 为常数）的前n 项和n S 。练习：求和：21，223，325，……n n 2 1 2-，…… 知识演练： 1. （2009年广东第4题）已知等比数列}{n a 满足 )3(2,,2,1,02525≥=?=>-n a a n a n n n 且，则当1≥n 时，=+++-1221212log log log n a a a A ．)12(-n n B ．2)1(+n C ．2n D ．2)1(-n 2. （2010年山东第18题）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n = 2 11 n a -(n ∈N * )，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 3. （2005年湖北第19题）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且 .)(,112211b a a b b a =-= （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n 小结：数列求和的方法分组求和，裂项相消（分式、根式），错位相减（差比数列）数列求和的思维策略：从通项入手，寻找数列特点

数列求和(1)--裂项相消法

数列求和（1） --裂项相消法的应用教学内容：从每年的广东高考题可以看到，数列不管是从选择、填空和解答题中都是必考题型，并且数列考点有：数列几何性质的应用、数列的通项公式、数列求和问题。这三类问题是高考的必考点，更是热点。对于数列求和问题又是重点中的重点，本节课我们就数列求和中的裂项相消法做重点学习。教学重难点：对于裂项相消法的基本形式和基本题型熟练掌握和应用，要识别清裂项相消法和其它求和方法的区别，真正会识别裂项相消法的本质面目，且灵活运用进行解题，达到高考要求。一、基础练习： 1.在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =( ) A.7 B.15 C.20 D.25 答案 B 2．在数列{a n }中，a n ＝1n n ＋1 ，若{a n }的前n 项和为2 013 2 014 ，则项数n 为( )． A ．2 011 B ．2 012 C ．2 013 D ．2 014 答案 C 3．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列? ???????? ?1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________. 答案 n n ＋1 对于数列求和问题要稳扎稳打。二、基本题型讲解和运用

总结：（1）中式子的变形方向很重要，这种形式在数列和函数问题中都是很常见，要学会。（2）中的裂项求和很是常规，要熟练。练习：

（2）中的1/Sn变形为裂项相消很重要，所以要认清裂项相消的真面目。对于Tn的范围求解，完全是借助和式和数列的单调性完成。

数列求和错位相减法,裂项相消法后附答案

一、解答题 1．已知等差数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，，求数列的前项和．【详解】（Ⅰ），∴ ，∴ 则， . （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， , -（（）（） = = ∴ 2．已知数列的前n项和为，且，，求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【详解】，，，即，，两式相减，得，即，又，，即数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以；设，则，，，两式相减，得：．【点睛】本题考查数列的递推关系，通项公式，前n项和，错位相减法，利用错位相减法是解决本题的关键，属于中档题．

3．已知等差数列的前项和为，满足.数列的前项和为，满足. （1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和. 【答案】（1）,；（2）. 【解析】【分析】（1）根据题意，求得，然后求得公差，即可求出数列的通项，再利用求得的通项公式；（2）先求出的通项，然后利用数列求和中错位相减求和. 【详解】解：（1）由，得，解得. 由，解得或. 若，则，所以.所以，故不合题意，舍去. 所以等差数列的公差，故. 数列对任意正整数，满足. 当时，，解得；当时，，所以. 所以是以首项，公比的等比数列，故数列的通项公式为. （2）由（1）知，所以，① 所以，② ①-②，得

，所以. 4．已知数列的首项，且满足求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；记，求数列的前项和为．【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】由，得，由此可判断为等差数列，可求，进而得到; 求出，利用错位相减法可求．【详解】由，得，又，为等差数列，首项为1，公差为2，，．，，，得，，．【点睛】 5．已知等差数列的前项的和为，，. （1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和，求使得恒成立时的最小正整数. 【分析】（1）先设设等差数列的公差为，由，列出方程组求出首项和公差即可；（2）由(1)先求出，再由裂项相消法求数列的前项和即可. 【详解】

裂项法求数列的和

裂项法求数列的和【内容提要】笔者在多年的教学中遇到裂项法求和的题型,加以总结,供师生们参考.裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即 )()1(n f n f a n -+=，然后累加时抵消中间的许多项。【关键词】裂项法求数列的和等差数列 1等差数列积的倒数和已知等差数列{}n a 首项1a ，公差d 。求和：= n s ++322111a a a a …+ 1 1 +n n a a 解： 11+n n a a =n n a a -+11（111+-n n a a ）=d 1（1 1 1+- n n a a ） = n s d 1（+-+-32211111a a a a …+111+-n n a a ）=d 1（1 11 1+-n a a ）其中nd a a n +=+11 求和：（1）= n s +?+?321211…+)1(1 +?n n (2) = n s +?+?741411…+) 13()23(1 +?-n n 2．含二次根式的数列和已知正项等差数列{}n a 首项1a ，公差d 。求和：2 11a a s n += + 3 21a a ++… + 1 1++n n a a 。解： 1 1 ++n n a a =) )((111n n n n n n a a a a a a -+-+++= d 1 （n n a a -+1）。 = n s d 1(+-+-2312…+ n n a a -+1)= d 1()11-+n a 其中nd a a n +=+11 求和：= n s +++ +3 212 11…+ 1 1++n n 3．含对数的数列和

数列求和的“裂项相消法”讲解

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 对于本题通项公式类型的数列，采用的“求前n项和”的方法叫“裂项相消法”——就是把通项拆分成“两项的差”的形式，使得恰好在求和时能够“抵消”多数的项而剩余少数几项。很多题目要善于进行这种“拆分” 请看几例：（1）本题： ()() 22 11 1 11 n n n n n a n n n n ++ === - ++-+ （变形过程中用了“分子有理化”技巧）得 122334111 11 11111 n n n n S n ++ =++++==+ ----- … 【往下自己求吧！答案C 】（2）求和 1111 122334(1) n S n n =++++ ???+ …

解：通项公式：()()()11 11111 n n n a n n n n n n +-= = =-+++ 所以 111111*********n S n n ????????=- +-+-++- ? ? ? ?+???????? … 111 1 n n n =-+= + （3）求和 1111 377111115(41)(43) n S n n = ++++ ???-+… 解：()() ()()()()43411 111141434414344143n n n a n n n n n n +--?? = = =- ?-+-+-+?? 得 1111 377111115(41)(43) n S n n = ++++???-+ (11111111) 143771111154143n n ??????????= -+-+-++- ? ? ? ???-+?????????? … 1114343n ??= - ?+?? () 343n n = + （4）求和 1111 132435(2) n S n n = ++++ ???+… ()()()21111122222n n n a n n n n n n +-??= ==- ?+++?? ()()()() 11111111 13243546572112n S n n n n n n = ++++++++?????--++… 1111111111111112132435462112n n n n n n ????????????????=-+-+-+-++-+-+- ? ? ? ? ? ? ???--++???????????????? …

数列中的裂项法求和举例

数列中的裂项法求和举例杨恒运江苏省扬中高级中学（212200）数列中的求和问题是一个基本问题，应该根据通项公式的形式确定用什么方法求数列的前 n 项和。裂项法求和的是数列求和中一种常用方法，应用非常广泛,下面就举例说明之。 1. 求通项公式例1 已知数列｛n a ｝满足： 121321,,n n a a a a a a a ---- 是首项为1公比为 13 的等比数列，求通项n a 由于121321n n n a a a a a a a a -+-+-++-= 很容易求出通项1 13n n a -?? = ? ?? 2. 求等差数列前 n 项和例2 在数列{}n a 中,若21n n a n n s =+，求前项和学生在求和中，数列中的基本元素及求和公式都会搞错，若用裂项法就很容易求出其前n 项和略解:显然22 (1)n a n n =+- 122 22 22 2 2 2 1 (2 1)(3 2)(1) (1)12(1)n n n s a a a n n n n n a a n d =+++=-+-+++-=+-=+=+- 则一般地，若等差数列 ()() 1 122 12 11() 3(21)22 d 3 = n +12231122 =n a (1)2 n n a d n a d d n a d n a d d s n a d n n n d =+-= ++- ????-+- ? ???? ?? ??∴= +-+- ?? ??? +-则 3．求等比数列前n 项和对于等比数列前n 项和的推导及记忆应用都是一个难点，若用裂项法的思想，就可以化繁为简

高中数学复习_数列求和_裂项相消法

裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 1、特别是对于? ?????+1n n a a c ，其中{}n a 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用 1+n n a a c =??? ? ??-+111n n a a d c ，其中()n n a a d -=+1 2、常见拆项：1 11)1(1+-=+n n n n )1 21121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ]) 2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n !)!1(!n n n n -+=? )! 1(1!1)!1(+-=+n n n n 例1 求数列1{ }(1)n n +的前n 和n S ．例2 求数列1{ }(2) n n +的前n 和n S ．

例3 求数列1{ }(1)(2)n n n ++的前n 和n S ．例4 求数列 ???++???++,11,,321,211n n 的前n 项和. 例5：求数列 311?，421?，531?，…，) 2(1+n n ，…的前n 项和S 例6、求和) 12)(12()2(5343122 22+-++?+?=n n n S n

一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1) (2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111()n n k a a f n +=-=∑ 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)12 (1)(1)1 n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则

数列求和--裂项相消法

1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()() *21n n S n a n N =+∈．（1）求{}n a 的通项公式；（2）令()()1422n n n b a a += ++，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =，636S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2142 n n b a n =+-（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T . 3．在数列{}n a 中，1114,340n n a a a +=-+=．（1）证明：数列{}2n a -是等比数列．（2）设()() 1(1)3131n n n n n a b +-=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的*,n n N m T ∈≥恒成立，求m 的取值范围．

4．正项数列{}n a 的前项和n S 满足：242n n n S a a =+，()*n ∈N ，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()22 1 2n n n b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*n ∈N 都有 564 n T < . 5．已知等差数列{}n a 中，13212a a +=，12421a a a +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：121112123 n S S S n +++<+++. 6．已知数列{}n a 满足15a =，2123n n a a n +=+-. （1）求证：数列{}22n a n n --为等比数列；（2）若数列{}n b 满足2n n n b a =-，求12111n n T b b b =++???+.

裂项相消法求和之再研究(例题有答案,习题无答案)

裂项相消法求和之再研究撰写人：刘小明一、多项式数列求和。（1）用裂项相消法求等差数列前n 项和。即形如n a an b =+的数列求前n 项和此类型可设22()[(1)(1)]n a An Bn A n B n an b =+--+-=+左边化简对应系数相等求出A,B 。 123222()0(42)()(93)(42)()[(1)(1)] n n S a a a a A B A B A B A B A B An Bn A n B n An Bn =+++=+-++-+++-++++--+-=+ 则例1：已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，求它的前n 项和n S 。 2222 222222 123()[(1)(1)]21 2=21 22110 (1)12132(1)n n n n n a An Bn A n B n n a An B A n A A B A B a n n S a a a a n n n =+--+-=-=+--==??∴???-=-=??∴=--∴=+++=+-+-++--= 解：令则有（2）用裂项相消法求多项式数列前n 项和。即形如121210m m n m m a b n b n b n b ----=++++ 的数列求前n 项和。此类型可111111()[(1)(1)(1)]m m m m n m m m m a c n c n c n c n c n c n ----=+++--+-++- 设 121210m m m m b n b n b n b ----=++++ 上边化简对应系数相等得到一个含有m 元一次方程组。说明：解这个方程组采用代入法，不难求。系数化简可以用二项式定理，这里不解释。解出12,,,m c c c 。再裂项相消法用易知111m m n m m S c n c n c n --=+++ 例2：已知数列{}n a 的通项公式为3n a n =，求它的前n 项和n S 。 432432322323 [(1)(1)(1)(1)] (4641)(331)(21)4(63)(432)() 14411630243200n a An Bn Cn Dn A n B n C n D n A n n n B n n C n D An A B n A B C n A B C D n A A A B B A B C C A B C D =+++--+-+-+-=-+-+-++-+=+-++-++-+-+===??-+==?∴??-+=??-+-+=?解：设（） 140D ???????=???=?

数列求和7种方法(方法全-例子多)

数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=3 2 （利用常用公式）

＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8 - n ，即n ＝8时，501)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = . 解：原式= 答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(75314 3 2 -+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1 4 3 2 --+???+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=--