鲁教版七年级数学上第二章轴对称 全章导学案
鲁教版七年级数学上第二章轴对称2.1轴对称现象导学案
【学习目标】
1.理解轴对称图形和两个图形成轴对称的含义;能找出对称图形的对称轴,并能作出轴对称图形.
2.通过观察、操作的过程认识轴对称图形,并能用剪刀剪出简单的轴对称图形,感悟对称轴,会画对称轴;在认识、制作和欣赏对称图形的过程中,感受物体和图形的对称美.
【学习过程】
一、复习
1.下面这些图形同学们熟悉吗?它们有什么特征?
2.面对生活中这些美丽的图片,你是否强烈地感受到美就在我们身边?
这是一种怎样的美呢?请你谈谈你的感想.
二、探索新知，合作探究
（一）自学指导
1.请你想一想:将上图中的每一个图形沿某条直线对折,直线两旁的部分能完全重合吗?
2.我们能不能给具有这样特征的图形起一个名称呢?
如果一个平面图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
3.观察下图中的图形,哪些图形是轴对称图形?如果是轴对称图形,请找出它的对称轴.
（二）合作探究
1.做一做:将一张纸对折后,用笔尖在纸上扎出如图所示
的图形,将纸打开后铺平,观察所得到的图形,是轴对称图
形吗?你还能用这种方法得到其他的轴对称图形吗?与同
伴进行交流.
2.议一议:观察下图中的每组图案,你发现了什么?
对于两个平面图形,如果沿一条直线折叠后能够完全重合,那么称这两个图形成轴对称,这条直线叫做这两个图形的对称轴.
（三）[例题]下列四组图片中有哪几组图形成轴对称?
小组讨论自学指导中出现疑问的地方,组织学生思考如何判断是轴对称图形还是图形成对称轴.
（四）归纳小结
（五）当堂训练
1.镜子里是他的像的是( )
2.下列图形中不是轴对称图形的是(填序号).
3.下列图形中,不是轴对称图形的是()
4.如下字体的四个汉字中,是轴对称图形的是()
5.(2019东营)下列图形中,是轴对称图形的是()
6.观察下列各组图形,其中成轴对称的为()
(A)②④ (B)②③④
(C)①②④(D)①②③④
7.下列各组图形中,其中成轴对称的是()
【基础训练】
1.下列图形中,不是轴对称图形的是( )
2.(2020广饶期中)下列是轴对称图形的是( )
3.下面哪个选项的右边图形与左边图形成轴对称( B )
4.下列“数字图形”中,是轴对称图形的数字有( )
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
5.下列轴对称图形中,对称轴条数最多的是( )
6.下列图标是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的,其中是轴对称图形的是(填序号).
7.在艺术字中,有些字母是轴对称图形,下面的5个字母中,是轴对称图形的有个.
8.如图所示,它们都是对称图形,请观察并指出哪些是轴对称图形,哪些图形成轴对称.
【综合训练】
9.下面各选项中右边图形与左边图形成轴对称的是( )
10.下列图形中的五边形ABCDE都是正五边形,则四个图形中是轴对称图形的有( )
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
11.如图中的各图形:其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为( )
(A)13 (B)11 (C)10 (D)8
12.画出下列各图形的对称轴.
(1) (2) (3)
13.如图是由三个小正方形组成的图形,请你在图中补画一个小正方形,使补画后的图形为轴对称图形(画三种不同的方案).
【提高训练】
14.(核心素养—直观想象)如图是4×4正方形网格,其中已有3个小方格涂成了黑色.现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形使其成为轴对称图形,这样的白色小方格有个.
15.小慧学习了轴对称以后,忽然想起了过去做过的一道题:有一组数排列成如图方阵,试计算这组数的和.小慧想:方阵就像正方形,正方形是轴对称图形,能不能利用轴对称的思想来解决方阵的计算问题呢?于是,她动手试了试,竟得到了非常巧妙的方法.请你试一试,找一找她用的方法.
鲁教版七年级数学上第二章轴对称2.2探索轴对称的性质导学案
【学习目标】
1.归纳两个图形成轴对称的性质;通过两个图形成轴对称的学习,提高学生的观察辨析图形的能力和画图能力.
2.经历探索成轴对称的性质的过程,体验数学探究学习的方法;经历图形欣赏与相关数学思考、信息技术与数学学科整合的活动过程.
【学习过程】
一、复习
1.思考:观察下列各种图形,判断是不是轴对称图形,能找出对称轴吗?
二、探索新知，合作探究
（一）自学指导
1.如图,将一张矩形纸对折,然后用笔尖扎出“14”这个数字,将纸打开后铺平.
(1)上图中,两个“14”有什么关系?
(2)在上面扎字的过程中,点E与点E'重合,点F与点F'重合.设折痕所在直线为l,连接点E 与点E'的线段与l有什么关系?连接点F与点F'的线段呢?
(3)线段AB与线段A'B'有什么关系?线段CD与线段C'D'呢?
(4)∠1与∠2有什么关系?∠3与∠4呢?说说你的理由.
（二）合作探究
1.做一做:观察如图所示的轴对称图形,回答下列问题,
(1)找出它的对称轴及其成轴对称的两个部分;
(2)连接点A与点A'的线段与对称轴有什么关系?连接点B与点B'的线段呢?
(3)线段AD与线段A'D'有什么关系?线段BC与线段B'C'呢?为什么?
(4)∠1与∠2有什么关系?∠3与∠4呢?说说你的理由?
综合以上问题,你能得到什么结论?
2.轴对称的基本性质:
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等.
3.[例题]如图是一个图案的一半,其中的虚线是这个图案的对称轴,画出这个图案的另一半
（三）当堂训练
1.轴对称图形沿对称轴对折后,对称轴两旁的部分可以.
2.如果两个图形关于某条直线对称,那么对应点所连的线段被垂直平分.
3.若直角三角形是轴对称图形,则它的三个内角的度数分别为.
4.如图,△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,其中A,A'是对称点.若AA'=6 cm,则AA' MN,且A'D= cm.
5.在四边形ABCD中,∠C=90°,点E在BC上,点F在CD上,将△EFC沿EF折叠,得到△MEF,求∠1+∠2的度数.
6.如图,正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′.下列判断错误的是( )
7.如图,△ABC和△A′B′C′关于直线l对称,下列结论:
①△ABC≌△A′B′C′;
②∠BAC′=∠B′AC;
③l垂直平分CC′;
④直线BC和B′C′的交点不一定在l上.
正确的有( )
(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个
8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB边上,将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC 边上的点E处.若∠A=26°,则∠CDE=
9.如图,画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A′B′C′.
10.如图,在方格纸中给出了一个图案的一半,其中的虚线是这个图案的对称轴.在方格纸中画出该图案的另一半.
1.下列说法不正确的是( )
(A)两个关于某直线对称的图形一定全等
(B)轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴
(C)对称图形的对称点一定在对称轴的两侧
(D)平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称
2.(2020莱州期中)如图,直线MN是四边形AMBN的对称轴,点P是直线MN上的点.下列结论:
①AM=BM;②AP=BN;③∠MAP=∠MBP;④∠ANP=∠BNM,其中错误的是 .(填序号)
3.如图,在△ABC中,DE∥BC,∠B=55°,现将△ADE沿DE折叠,点A落在三角形所在平面内的点为A1,则∠BDA1的度数为 .
4.如图,△ABC与△DEF关于直线MN对称,其中∠C=90°,AC=8 cm,DE=10 cm,BC=6 cm.
(1)线段AD与MN的关系是什么?
(2)求∠F的度数;
(3)求△ABC的周长和△DEF的面积.
5.如图,△ABC的三个顶点都在格点上.
(1)请画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′;
(2)若BC=3,∠A=17°,则B′C′的长为多少?∠A′的度数为多少?
【综合训练】
6.如图,△ABC与△ADC关于AC所在的直线对称,∠BCA=35°,∠D=
80°,则∠BAD的度数为( )
(A)170°(B)150°(C)130°(D)110°
7.如图,△ABC的周长为6 cm,D,E分别是AB,AC上的点,将△ADE沿直线DE折叠,点A落在点A′处,且点A′在△ABC外部,则阴影部分图形的周长为 cm.
8.如图所示的2×4的正方形网格中,△ABC的顶点都在小正方形的格点上,这样的三角形称为格点三角形,在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有个.
9.如图,已知点O是∠APB内的一点,M,N分别是点O关于PA,PB的对称点,连接MN,与PA,PB 分别相交于点E,F,已知MN=6 cm.
(1)求△OEF的周长;
(2)连接PM,PN,若∠APB=α,求∠MPN的大小(用含α的代数式表示).
【提高训练】
10.(实际应用题)如图,在一条大的河流中有一形如三角形的小岛,岸与小岛有一桥相连.现准备在小岛的三边上各设立一个水质取样点.水利部门在岸边设立了一个观测站,每天有专人从观测站步行去三个取样点取样,然后带回去化验.请问,三个取样点应分别设在什么位置,才能使得每天取样所用时间最短(假设速度一定)?
鲁教版七年级数学上第二章轴对称2.3.1线段的垂直平分线的性质导学案
【学习目标】
1.了解线段垂直平分线的有关性质;掌握尺规作线段垂直平分线;应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题.
2.通过实践操作与思考的有机结合,帮助我们认识简单的轴对称图形.经历探索简单图形的轴对称性,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念
【学习过程】
一、复习
1.什么样的图形叫做轴对称图形?
二、探索新知，合作探究
（一）自学指导
1.你能说出线段AB的一条对称轴吗?这条对称轴与线段存在着什么关系?
（二）合作探究
1.做一做:按下面步骤做:
（1）用准备的线段AB,对折AB,使得点A,B重合,折痕与AB的交点为O.
（2）在折痕上任取一点C,沿CA将纸折叠.
（3）把纸展开,得到折痕CA和CB.
2.观察自己手中的图形,回答下列问题:
(1)CO与AB有什么样的位置关系?
(2)AO与OB相等吗?CA与CB呢?能说明你的理由吗?
在折痕上另取一点,再试一试,你又有什么发现?
3.[例1]已知:线段AB,画出它的垂直平分线.
4.结论:
（三）当堂训练
1.如图所示,A,B表示两个村庄,要在河边选取一个取水口C,使得C到A,B两村的距离相等,取水口C应在何处?
2.(2020莱州期末)如图,在△ABC中,BC=8,线段AB的垂直平分线交BC于点D,线段AC的垂直平分线交BC于点E,则△ADE的周长等于( )
(A)8 (B)4 (C)12 (D)16
3.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,BC于E,D两点,EC=4,△ABC的周长为23,则△ABD的周长为.
4.如图,△ABC中,AB=AC=6,BC=4.5,分别以A,B为圆心,4为半径画弧交于两点,过这两点的直线交AC于点D,连接BD,则△BCD的周长是.
5.(2020济宁附中期中)如图,在△ABC中.
(1)用尺规作出边AB的垂直平分线MN(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)的图形中,设MN交AB于点E,交BC于点D,连接AD,若AE=4,△ACD的周长为20,求△ABC的周长.
6.如图,在旷野上,一个人骑着马从点A到点B处,半路上他必须在河边饮一次马,他应该怎么选择饮水点P,才能使所走的路AP+PB最短?(假定河岸是直线)
7.如图,直线l是一条河,P,Q是两个村庄,欲在l上的某处修建一个水泵站,向P,Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的是()
【基础训练】
1.根据如图中尺规作图的痕迹,可判断AD 一定为三角形的( )
(A) 角平分线
(B)中线 (C)高线 (D)都有可能
2.如图,在△AEF 中,尺规作图如下:分别以点E,点F 为圆心,大于
2
1
EF 的长为半径作弧,两弧相交于G,H 两点,作直线GH,交EF 于点O,连接AO,则下列结论正确的是( ) (A)AO 平分∠EAF (B)AO 垂直平分EF (C)GH 垂直平分EF (D)GH 平分AF
3.(2020莱州期中)如图,在△ABC 中,AC=6,BC=3,边AB 的垂直平分线交AC 于点D,则△BDC 的周长等于( )
(A)8 (B)9 (C)10 (D)11
4.如图,AD ⊥BE,BD=DE,点E 在AC 的垂直平分线上,若AB=6 cm,BD=3 cm,则DC 的长为( )
(A)3 cm (B)6 cm (C)9 cm (D)12 cm
5.如图,在△ABC 中,DE 是AC 的垂直平分线,AE=8,△ABD 的周长是30,则△ABC 的周长是( )
(A)30 (B)38 (C)40 (D)46
第5题图
6.如图,在△ABC 中,AB=AC,MN 是AB 的垂直平分线.
(1)若AB+BC=10 cm,求△BNC的周长;
(2)若△BNC的周长为20 cm,BC=8 cm,求AB的长.
【综合训练】
7.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,△ABC的周长为19 cm,△ABD的周长为13 cm,则AE的长为( )
(A)3 cm (B)6 cm (C)12 cm (D)16 cm
8.如图所示,表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )
(A)1处(B)2处(C)3处(D)4处
9.如图,在△ABC中,BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为.
10.如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水.
(1)若要使厂部到A,B村的距离相等,则应选择在哪建厂?(要求:尺规作图,保留作图痕迹,写出必要的文字说明)
(2)若要使厂部到A,B两村的水管最短,应建在什么地方?
①②
【提高训练】
11.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是( )
(A)AB (B)DE (C)BD (D)AF
鲁教版七年级数学上第二章轴对称2.3.2简单的轴对称图形-角平分线的性质导学案【学习目标】
1.了解角平分线的有关性质;掌握尺规作角平分线;应用角平分线的性质解决一些实际问题.
2.在探索作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中,发展几何直觉;了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用.
【学习过程】
一、自学指导
1.按以下步骤折纸:如图,
(1)在一张纸上任意画一个角∠AOB,沿角的两边剪下,将这个角对折,使角的两边重合.
(2)在折痕(即角平分线)上任意找一点C.
(3)过点C折OA边的垂线,得到新的折痕CD,其中点D是折痕与OA的交点,即垂足.
(4)将纸打开,新的折痕与OB边交点为E.
二、探索新知，合作探究
1.问题1:角是轴对称图形吗?
2.问题2:在上述的操作过程中,你发现了哪些相等的线段?说明你的理由.在角平分线上再另找一点试一试,是否也有同样的发现?
3.角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
几何语言:如图,点P是∠AOB平分线上的任意一点,且PN⊥OB于N,PM⊥OA于M,则PM=PN.
3.[例2]利用直尺和圆规作∠AOB的平分线.
4.总结:(1)角是轴对称图形.
(2)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
【当堂训练】
1.如图,点P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AC于点E,已知PE=3,则点P到AB的距离是( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
2.如图所示,A,B 表示两个村庄,要在河边选取一个取水口C,使得C 到A,B 两村的距离相等,取水口C 应在何处?
3.在Rt △ABC 中,BD 是角平分线,DE ⊥AB,垂足为E,DE 与DC 相等吗?为什么?
4.如图,AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于点E,S △ABC=7,DE=2,AB=4,则AC 的长是
( )(A)3 (B)4 (C)6 (D)5
5. 如图,OP 平分∠MON,PA ⊥ON 于点A,点Q 是射线OM 上的一个动点,若PA=2,则PQ 的最小
值为 .
6.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线,CD=3,AB=10,则△ABD 的面积等于
( )(A)30 (B)24 (C)15 (D)10
7.(2019潍坊)如图,已知∠AOB,按照以下步骤作图:①以点O 为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交∠AOB 的两边于C,D 两点,连接CD;②分别以点C,D 为圆心,以大于线段OC 的长为半径作弧,两弧在∠AOB 内交于点E,连接CE,DE;③连接OE 交CD 于点M.下列结论中错误的是( )
(A)∠CEO=∠DEO (B)CM=MD (C)∠OCD=∠ECD （D ）OE CD S OCED ?=
2
1
四边形
8.(2019济宁)如图,点M 和点N 在∠AOB 内部.
(1)请你作出点P ,使点P 到点M 和点N 的距离相等,且到 ∠AOB 两边的距离也相等(保留作图痕迹,不写作法); (2)请说明作图理由.
【基础训练】
1.(2020济宁附中)如图,MQ 为∠NMP 的平分线,MP ⊥NP,QT ⊥MN,垂足分别为点P,T,下列结论不正确的是( )
(A)PQ MN S MNQ ?=
2
1
△ (B)∠MQT=∠MQP (C)MT=MP (D)∠NQT=∠MQT 2.如图,用直尺和圆规作一个角的平分线,是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质,由作图所得条件,判定三角形全等运用的方法是( )
(A)SSS (B)AAS (C)SAS (D)ASA
3.如图,OC 是∠AOB 的平分线,P 是OC 上一点,PD ⊥OA 于点D,PD=6,则点P 到边OB 的距离为( )
(A)5 (B)6 (C)3 (D)4
4.(2020广饶期中)如图,已知在△ABC 中,CD 是AB 边上的高,BE 平分∠ABC,交CD 于点E,BC=5,DE=2,那么△BCE 的面积为 .
5.(2020广饶期中)如图,AB ∥CD,以点A 为圆心,小于AC 长为半径作圆弧,分别交AB,AC 于E,F 两点,再分别以点E,F 为圆心,大于EF 2
1
的长为半径作圆弧,两条圆弧交于点P,作射线AP,交CD 于点M.
(1)若∠ACD=114°,求∠MAB 的度数;
(2)若CN ⊥AM,垂足为点N,求证:△ACN ≌△MCN.
【综合训练】
6.(2019烟台)已知∠AOB=60°,以点O 为圆心,以任意长为半径作弧,交OA,OB 于点M,N,分别以点M,N 为圆心,以大于
MN 2
1
的长度为半径作弧,两弧在∠AOB 内交于点P,以OP 为边作∠POC=15°,则∠BOC 的度数为( )
(A)15° (B)45° (C)15°或30°(D)15°或45°
7.(2019湖州)如图,已知在四边形A B C D中,∠B C D=90°,B D平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是( )
(A)24 (B)30 (C)36 (D)42
8.如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别为40,50,60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO= .
9.如图,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,E点恰为AB的中点.若DE=1 cm,DB=2 cm,求AC的长.
10.如图,在四边形ABCD中,AC为∠BAD的平分线,AB=AD,点E,F分别在AB,AD上,且AE=DF,请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD面积的一半.
【提高训练】
11.已知,如图所示,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,请说明DE与DF相等的理由.
鲁教版七年级数学上第二章轴对称2.3.3简单的轴对称图形-等要三角形的性质与判定【学习目标】
1.探索并了解等腰三角形的性质;知道等边三角形是特殊的等腰三角形,并掌握其性质;经历和探索含30°角的直角三角形的性质.
2.在探索轴对称性质的过程中,能够进行有条理地思考并进行简单地推理.
【学习过程】
一、自学指导
1.在生活中,我们经常能看到这样的建筑.
仔细观察这几张图片,它们的形状与什么相似呢?
二、合作探究
（一）等腰三角形
1.首先,什么样的三角形叫做等腰三角形呢?
2.在等腰三角形中,有这样几个重要的概念:
(1)相等的两条边都叫腰;另一边叫底边;
(2)两腰的夹角∠A叫顶角;
(3)腰与底边夹角∠B,∠C叫底角.
3.认识了等腰三角形之后,我们就来探索一下它所具有的性质.同学们各自画一个等腰三角形,并动手将各自手中的三角形标上A,B,C吧.
将等腰三角形ABC纸板沿直线对折,我们将对折的痕迹标上AD,下边请一位同学来回答一下,对折之后,有哪些量是重合的.
(1)结合我们之前学习的轴对称图形的意义,等腰三角形是轴对称图形吗?
结论：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).
等腰三角形一个顶角为70°,其他两个角为.
等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为.
等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为.
等腰三角形一个角为100°,它的另外两个角为.
(2)顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?
(3)底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?底边上的高所在的直线呢?
将问题(2)(3)结合,我们就得到了等腰三角形的第二个性质:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.(等腰三角形三线合一)
4.[例1]已知,如图,AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线,P是AD上任意一点.说明:∠ABP=∠ACP.
（二）在等腰三角形中,还有一类更特殊的三角形:等边三角形.
和等腰三角形不同的是,等边三角形的三边都相同,因此也称为正三角形.
1.由于等边三角形是特殊的等腰三角形,那么等边三角形肯定也是轴对称图形,那它的对称轴有几条呢?
2.同样的,等腰三角形所具有的三线合一的性质,等边三角形也具有,并且对于三条边来说,都具有这一性质.同时,它的三个角都是相等的,都为60°.
3.[例2]已知,如图,P,Q是△ABC边BC上两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度数.
（三）如图,将两个大小相同的含30°角的三角尺摆放在一起,所拼成的△ABD是什么三角形?你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?
你得到的结论是 .
[例3]如图,已知AD∥BC,BD是∠ABC的平分线,那么△ABD是等腰三角形吗?为什么?
（四）归纳小结
【当堂练习】
1.已知等腰三角形的一边长为5 cm,另一边长为6 cm,则它的周长为( )
(A)11 cm (B)17 cm (C)16 cm (D)16 cm或17 cm
2.已知直角三角形中30°角所对的直角边长为2 cm,则斜边的长为.
3.如果三角形的两个内角都是60°,那么这个三角形是三角形.
4.一个等腰三角形的底角是顶角的2倍,它的顶角是,底角是.
5.如图,已知∠A=∠B,DE∥CB,△ADE是等腰三角形吗?说明你的理由.
6.如图,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD,若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为.
7.(2020莱州期中)如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线,若AB=AC,∠CAD=25°,则∠ACE的度数是.
8.如图,△ABC是等边三角形,∠1=∠2=∠3,求∠BEC的度数.
9.如图,△ABC是等边三角形,D为AC边上的一点,且∠1=∠2,BD=CE.判断△ADE的形状,并说明理由.
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD为△ABC的角平分线,若AC=12,则CD的长为( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
11.如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC上的点,DE垂直平分AB,∠C=90°,∠BAC=15°.若BC=3 cm,则AE的长度为( )
(A)9 cm (B)6 cm (C)5 cm (D)4 cm
12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于点D,AB=4 cm,则∠BCD= ,BD= .
【基础训练】
1.若等腰三角形的顶角为100°,则它的底角度数为( )
(A)80° (B)50° (C)40° (D)20°
2.如图,在Rt△ABC中,∠A=40°,∠B=90°,AC的垂直平分线MN分别与AB,AC交于点D,E,则∠BCD的度数为( )
(A)10° (B)15°(C)40°(D)50°
3.如图,在△ABC中,∠B=∠C=60°,点D为AB边的中点,DE⊥BC于E,若BE=1,则AC的长为( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
4.(2019绥化)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A的度数为.
5.(2020济宁附中)如图,已知BD平分∠ABC,AD∥BC,且AC=AD.
(1)试说明:△ABD为等腰三角形;
(2)判断∠C与∠D的数量关系,并说明理由.
【综合训练】
6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,AD⊥AB,交BC于点D,AD=4,则BC的长为( C )
(A)8 (B)4 (C)12 (D)6
7.(2019武威)定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中,∠A=80°,则它的特征值k= .
8.如图,在△A B C中,点D在B C边上,B D=A D=A C,E为C D的中点.若∠CAE=16°,则∠B为度.
9.(2019重庆A卷)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数;(2)试说明:FB=FE.
【七年级数学下册】《不等式的性质》学案(无答案) 新人教版
《不等式的性质》学案 [学习目标] 1. 理解不等式的性质,掌握不等式的解法 2. 培养学生的数感，渗透数形结合的思想. [学习重点与难点] 重点:不等式的性质和解法. 难点:不等号方向的确定. [学习过程] 一.春耕（问题探知 发现规律） : 问题1 用”>””<” 填空并总结规律: 1)5>3 , 5+2 3+2, 5-2 3-2 2)-1<3, -1+2 3+2, -1-3 3-3 3)6>2, 6×5 2×5, 6×(-5) 2×(-5) 4)-2<3, (-2)×6 3×6, (-2)×(-6) 3×(-6) 由上面规律填空: (1)当不等式两边加上或减去同一个数(正数或负数)时,不等号的方向 ; (2)当不等式两边乘同一个正数时,不等号的方向 ;而乘同一个负数时,不等号的方向 . 不等式性质: (1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向 . (2)不等式两边乘(或除以)同一个 ,不等号的方向不变. (3)不等式来年改变乘(或除以)同一个 ,不等号的方向 二.夏耘（举例）: 例1 利用不等式的性质，填”>”,:<” (1)若a>b,则2a+1 2b+1; (2)若-1.25y<10,则y -8; (3)若a
－4，－2. 5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12 2． 判断 （1）∵a < b ∴ a －b < b －b （2）∵a < b ∴ 33b a < （3）∵a < b ∴ －2a < －2b （4）∵－2a > 0 ∴ a > 0 （5）∵－a < 0 ∴ a < 3 3．填空 （1）∵ 2a > 3a ∴ a 是 数 （2）∵ 23a a < ∴ a 是 数 （3）∵ax < a 且 x > 1 ∴ a 是 数 4．根据下列已知条件，说出a 与b 的不等关系，并说明是根据不等式哪一条性质。 （1）a －3 > b －3 （2） 33b a < （3）－4a > －4b 5．直接想出不等式的解集，并在数轴上表示出来： （1）x ＋3 > 6 （2）2x < 8 （3）x －2 > 0 （4）-4x －2 > x ＋3 四.冬藏 错题回顾
人教版七年级数学下册学案全册
七下数学全册导学案 课题：5.1.1 相交线 【学习目标】 1.了解两条直线相交所构成的角，理解并掌握对顶角、邻补角的概念和性质。 2.理解对顶角性质的推导过程，并会用这个性质进行简单的计算。 3.通过辨别对顶角与邻补角，培养识图的能力。 【学习重点】邻补角和对顶角的概念及对顶角相等的性质。 【学习难点】在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角。 【自主学习】 1.阅读课本P 1图片及文字，了解本章要学习哪些知识?应学会哪些数学方法?培养哪些良好习惯? , 2.准备一张纸片和一把剪刀，用剪刀将纸片剪开,观察剪纸过程,握紧把手时, 随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀两刀刃之间的角引发了什么变化? . 如果改变用力方向,将两个把手之间的角逐渐变大,剪刀两刀刃之间的角又发生什么了变化? . 3.如果把剪刀的构造看作是两条相交的直线, 剪纸过程就关系到两条相交直线所成的角 的问题, 阅读课本P 2内容,探讨两条相交线所成的角有哪些?各有什么特征? 【合作探究】 1.画直线AB 、CD 相交于点O,并说出图中4个角,两两相配共能组成几对角? 各对角的位 置关系如何?根据不同的位置怎么将它们分类? 例如: （1）∠AOC 和∠BOC 有一条公共边．．．．．OC ，它们的另一边互为 ，称这两个角互为 。用量角器量一量这两个角的度数，会发现它们的数量关系是 （2）∠AOC 和∠BOD （有或没有）公共边，但∠AOC 的两边分别是∠BOD 两边的 ，称这两个角互为 。用量角器量一量这两个角的度数，会发现它们的数量关系是 。 2.根据观察和度量完成下表: 两直线相交 所形成的角 分类 位置关系 数量关系 43 21O D C B A 3.用语言概括邻补角、对顶角概念. 的两个角叫邻补角。 的两个角叫对顶角。 4.探究对顶角性质. 在图1中,∠AOC 的邻补角有两个，是 和 ,根据“同角的补角相等”,可以得出 = ,而这两个角又是对顶角，由此得到对顶角性质:对顶角相等．．．．． . 注意：对顶角概念与对顶角性质不能混淆，对顶角的概念是确定两角的位置关系,对顶角 _O _D _C _B _A
七年级数学轴对称测试题
-- A B E C ' D C 22.5 图1 图2 图3 图5 图6 图4 轴对称测试题 一、选一选，牛刀初试露锋芒！(每小题３分，共30分) 1．下列图形中,轴对称图形的个数是( ) A ．４个? B.３个 C.2个 ? D.1个 2.下列分子结构模型平面图中，有一条对称轴的是( ） 3．如图1，将长方形ABCD 纸片沿对角线BD 折叠，使点C 落在C '处， BC '交AD 于E,若22.5DBC ∠=°，则在不添加任何辅助线的情况下， 则图中45?的角(虚线也视为角的边)的个数是( ） A.5个 ?? Ｂ．４个?? Ｃ．３个 Ｄ．2个 ４.下列说法中错误的是（ ） A ．两个关于某直线对称的图形一定能够完全重合 B.对称图形的对称点一定在对称轴的两侧 C.成轴对称的两个图形,其对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴 D ．平面上两个能够完全重合的图形不一定关于某直线对称 ５.如图2,△A ＯD 关于直线l 进行轴对称变换后得到△ＢO Ｃ,下列说法中不正确的是（ ). A ．∠ＤAO ＝∠C ＢＯ，∠ADO=∠ＢＣＯ B ．直线l 垂直平分AB 、CD Ｃ．△AO D 和△ＢO C 均是等腰三角形 Ｄ．A D ＝B Ｃ，ＯD=OC ６．将一个正方形纸片依次按图a ,图b 的方式对折，然后沿图c 中的虚线裁剪, 最后将图d 的纸再展开铺平，所看到的图案是( ）． a ｂ c ｄ 7．如图3,有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5ｃｍ,B Ｃ=１０cm ， △AB Ｃ折叠,使点Ｂ与点Ａ重合,折痕为DE ，则△ＡC Ｄ的周长 为( ) A.10 cm ? B.1２c ｍ? C.1５ｃｍ D.20cm 8.图4是小明在平面镜里看到的电子钟示数,这时的实际时间是( ) A.１2:0１ B.10:5１ Ｃ.10:21 D ．1５:1０ 9.把两个都有一个锐角为30°的一样大小的直角三角形拼成如图5所示 的图形，两条直角边在同一直线上.则图中等腰三角形有（ ）个． A ．1个 B.2个 C.３个 ? D ．4个 10.如图6,AB AC =，120BAC ∠=?，AB 的垂直平分线交B Ｃ于点D,那么DAC ∠ 的度数为（ ）. A.90? Ｂ.80? Ｃ．70? Ｄ．60? A B C D
鲁教版七年级数学上册期末测试题
2016年烟台市七年级上册期末测试题 数学试题 满分120分 考试时间90分钟 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1、请你找出下列图形中对称轴只有两条的是（ ） 2、如图，∠=?1100，C ∠=?70，则A ∠的大小是（ ） （A ）?10 （B ）?20 （C ）?30 （D ）?80 3、一次函数y kx b =+的图象如图所示，则方程kx b +=0的解为（ ） （A ）x =2 （B ）y =2 （C ）x =-1 （D ）y =-1 4、如图，ABC ?与A B C '''?关于直线l 对称，且A ∠=?98，C '∠=?48，则B ∠的度数为（ ） （A ）?54 （B ）?44 （C ）?34 （D ）?24 5、下列语句正确的是（ ） （A 2 （B ）-3时27的立方根 （C ）125216的立方根是±56 （D ）()-2 1的立方根是-1 6、下列说法中正确的是（ ） （A ）-8的立方根是2 （B 是一个无理数 （C ）函数y = x >-1 （D ）若点P （2，a ）和点Q （b ，-3）关于x 轴对称，则a b -的值为1 7、已知三组数据：○ 12，3，4；○23，4，5；○31 ，2 。分别以每组数据中的三个数为三角形（A ） （B ） （C ） （D ） （第3题图） B l A ' B ' C ' （第4题图）
的三边长，构成直角三角形的有（ ） （A ）○ 2 （B ）○1○2 （C ）○1○ 3 （D ）○2○3 8、如图所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图象应为（ ） 9、如图反应的过程是：小明从家去菜地浇水，又去青稞地除草，然后回家。如果菜地和青 稞地的距离为 akm ，小明在青稞地除草比在菜地浇水多用了min b ，则a ，b 的值分别为（ ） （A ）1，8 （B ）.05，12 （C ）1，12 （D ）.05，8 10、在Rt ABC ?中，A ∠=?30，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于D ，E 为垂足，连接CD ，若BD =1， 则AC 的长为（ ） （A ） （B ）2 （C ） （D ）4 二、填空题：（每小题3分，共24分） 11、实数a ，b 在数轴上的位置如图所示， =___________。 12、把直线y x =-2向上平移后得到直线AB ，如图所示， 直线AB 经过点（m ，n ），且m n +=26，则直线AB 的表达式为_____________________。 13、如图，在ABC ?中，AB cm =20，AC cm =12，点P 从点B 出发以每秒cm 3的速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒cm 2的速度向点C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当APQ ?是等腰三角形（AP AQ =）时，运动时间是__________秒。 14、 =?47，DAC ∠和ACF ∠的平分线交于点E ，则 AEC ∠=__________。 15、如图，是曾被哈弗大学选为入学考试的试题。请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律， （A ） （B ） （C ） （D ） ) （第9题图） （第10题图） （第12题图） （第13题图） （第14题图） A D E F C B
2018年新人教版七年级数学下册导学案全册
2018年新人教版 七年级数学下册 导学案
目录 第五章相交线与平行线........................................ 错误!未定义书签。 课题：相交线............................................. 错误!未定义书签。 课题：垂线............................................... 错误!未定义书签。 课题：同位角、内错角、同旁内角........................... 错误!未定义书签。 课题：平行线............................................. 错误!未定义书签。 课题：平行线的判定....................................... 错误!未定义书签。 课题：平行线的性质....................................... 错误!未定义书签。 课题：平行线的判定及性质习题课............................ 错误!未定义书签。 课题：命题、定理.......................................... 错误!未定义书签。 课题：平移................................................ 错误!未定义书签。 课题：相交线与平行线全章复习.............................. 错误!未定义书签。第六章实数.................................................. 错误!未定义书签。 课题：平方根（第1课时）................................. 错误!未定义书签。 课题：平方根（第2课时）................................. 错误!未定义书签。 课题：平方根（第3课时）................................. 错误!未定义书签。 课题：立方根（第1课时）................................. 错误!未定义书签。 课题：立方根（第2课时）................................. 错误!未定义书签。 课题：实数（第1课时）.................................. 错误!未定义书签。 课题：实数（第2课时）.................................. 错误!未定义书签。 课题：实数复习（一）..................................... 错误!未定义书签。 课题：实数复习（二）..................................... 错误!未定义书签。第七章平面直角坐标系........................................ 错误!未定义书签。 课题：有序数对........................................... 错误!未定义书签。
鲁教版七年级数学上下册试题及答案(新)
七年级数学试题 （时间：120分钟，满分120分） 一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选 项中，只有一个是正确的) 1、如图所示，将三角形绕直线l 旋转一周，可以得到图(E)所示的立体图形的是( ) l l l l l A ． B ． C ． D ． E 2、若x 是6的相反数，y 比x 的相等数小2，则x －y =( ) A ．4 Ｂ．8 Ｃ．-10 Ｄ．-2 3、某班共有学生x 人，其中女生占45%，那么男生人数是( ) A ．45%x Ｂ．(1-45%)x Ｃ．45% x Ｄ．145%x - 4、a 是一个三位数，b 是一个一位数，如果把b 放在a 的左边，那么所组成 的四位数是( ) A ．ba Ｂ．1000b+a Ｃ．10a+b Ｄ．b+a 5、若│a │=5，b=-2,那么│a+b │的值是( ) A ．7 Ｂ．3 Ｃ．-7或-3 Ｄ．＋7或＋3 6、下面四个图形折叠后能围成如图所示正方体的图形是（）
7、有一列数1a 2a 3a ……n a ，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个 数的差，若1a =2，则2007a 为( ) A ．-1 Ｂ．2 Ｃ． 1 2 Ｄ．2007 8．24x x k ++是一个完全平方式，k 的值为（ ） A ．2 B ． 4 C ．16 D ．-4 9．如右图，直线a 与直线b 互相平行，则｜x y -｜的值是（ ） A ．20 B ．80 C ．120 D ．180 10．如右图，直线EO ⊥BC 于点O ，∠BOC =3∠1，OD 平分 ∠AOC ，则∠2的度数是（ ） A ．30° B ．40° C ．60° D ．以上结果都不正确 11．表格列出了一项实验的统计数据，表示皮球从高度d 落下时弹跳高度b 与下落高d 的关系，试问下面的哪个式子能表示这种关系（单位cm ）（ ） d 50 80 100 150 b 25 40 50 75 A ．2b d = B ．2b d = C ．25b d =+ D ．2 d b = 12．下列图象中，哪个图象能大致刻画在太阳光的照射下，太阳能热水器里面的水的温度与时间的关系（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 二、填空题(直接填写最后结果，本题共8个小题，每小题3分，共24分) 13、某地气温从－1C 下降3C 后为＿＿＿C 14、已知4m a 3b 与－32a n b 是同类项，则－m n =＿＿＿ 15、绝对值大于1而小于5的所有整数的和是＿＿＿ 16、若x +22y +5的值是7，则代数式3x +62y +4的值是＿＿＿ 17、做拉面时，拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面的草图所示：这样捏合到第＿＿＿次后可以拉出128根面条。
(完整版)北师大版七年级下册数学-生活中的轴对称
第五章生活中的轴对称 1．轴对称现象 2．探索轴对称的性质 3．简单的轴对称图形 4. 利用轴对称进行设计 轴对称现象 总结：如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能_________，那么这个图形叫做________________。这条直线叫___________. 说明： 1）轴对称图形是一个图形； 2）对折； 3）重合。 1. 下面这些我们熟悉的几何图形中，是轴对称图形是（） （1）正方体（2）长方体（3）平行四边形（4）等腰梯形（5）直角梯形（6）圆 A（1）（2）（4）（6） B（1）（2）（3）（5） C（1）（2）（3）（4） D以上均是 2. 圆是轴对称图形，它的对称轴有（） A 1条 B 2条 C 4条 D无数条 3. 下列图形有两条对称轴的是（） A 线段 B 射线 C 直线 D 角 4.下列图中的轴对称图形有：，若是请画出其对称轴。 （1）（2） (4) (5) （6）（8）（9） 探索轴对称的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被________垂直平分，__________相等，____________相等。 例1如图是一个图案的一半，其中的虚线是这个图案的对称轴，画出这个图案的另一半。
2如图，把一张长方形的纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在 //,D C 的位置上，E / D 与BC 交于G ，若∠EFG=55o ，求∠1度数. 3.如图所示：∠A=90o ，E 为BC 上的一点，A 点和E 点关于BD 对称，B 点和C 点关于DE 对称，求 ∠ABC 和∠C 的度数。 4. 如图，已知封闭折线ABCD 与///// A B C D A 关于直线MN 对称则 AD= _， ∠ADC= BC= ， / B B // // 被 MN 垂直平分的线段：______________ _____________________________________ 5. △ABC 与△DEF 关于直线l 成轴对称 ①请写出其中相等的线段； ②如果△ABC 的面积为6cm,且DE=3cm ，求△ABC 中AB 边上的高h 。 简单的轴对称图形 1.下列各种图形，判断是不是轴对称图形, 能找出对称轴吗？
新人教版七年级数学下册全册学案(共133页)
课题：5.1.1 相交线 【学习目标】 1.了解两条直线相交所构成的角，理解并掌握对顶角、邻补角的概念和性质。 2.理解对顶角性质的推导过程，并会用这个性质进行简单的计算。 3.通过辨别对顶角与邻补角，培养识图的能力。 【学习重点】邻补角和对顶角的概念及对顶角相等的性质。 【学习难点】在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角。 【自主学习】 1.阅读课本P 1图片及文字，了解本章要学习哪些知识?应学会哪些数学方法?培养哪些良好习惯? , 2.准备一张纸片和一把剪刀，用剪刀将纸片剪开,观察剪纸过程,握紧把手时, 随着两个 把手之间的角逐渐变小,剪刀两刀刃之间的角引发了什么变化? . 如果改变用力方向,将两个把手之间的角逐渐变大,剪刀两刀刃之间的角又发生什么了变化? . 3.如果把剪刀的构造看作是两条相交的直线, 剪纸过程就关系到两条相交直线所成的角 的问题, 阅读课本P 2内容,探讨两条相交线所成的角有哪些?各有什么特征? 【合作探究】 1.画直线AB 、CD 相交于点O,并说出图中4个角,两两相配共能组成几对角? 各对角的位 置关系如何?根据不同的位置怎么将它们分类? 例如: （1）∠AOC 和∠BOC 有一条公共边．．．．．OC ，它们的另一边互为 ，称这两个角互 为 。用量角器量一量这两个角的度数，会发现它们的数量关系是 （2）∠AOC 和∠BOD （有或没有）公共边，但∠AOC 的两边分别是∠BOD 两边的 ，称这两个角互为 。用量角器量一量这两个角的度数，会发现它们的数量关系是 。 2.根据观察和度量完成下表: 两直线相交 所形成的角 分类 位置关系 数量关系 43 21O D C B A 3.用语言概括邻补角、对顶角概念. 的两个角叫邻补角。 的两个角叫对顶角。 4.探究对顶角性质. 在图1中,∠AOC 的邻补角有两个，是 和 ,根据“同角的补角相等”,可以得出 = ,而这两个角又是对顶角，由此得到对顶角性质:对顶角相等．．．．． . 注意：对顶角概念与对顶角性质不能混淆，对顶角的概念是确定两角的位置关系,对顶角 _O _D _C _B _A
2019-2020学年鲁教版七年级上数学期末试卷(1)(加精)
期末试卷（1） 一．选择题（共12小题） 1．下列图形中，为轴对称图形的是（） A．B．C．D． 2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=105°，∠C′=30°，则∠B=（） A．25°B．45°C．30°D．20° 3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6cm，则△DBE的周长是（） A．6 cm B．7 cmC．8 cm D．9 cm 4．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（） A．4，5，6 B．5，7，12 C．1，1，D．1，，3 5．在实数﹣，，π，中，是无理数的是（） A．﹣B．C．πD． 6．下列计算，正确的是（） A．﹣（﹣）=﹣B．|﹣2|=﹣C．=2D．（）﹣1=2 7．如图是某游乐城的平面示意图，并用（6，﹣1）表示球幕电影的位置，那么坐标原点表示的位置是（）
A．太空秋千B．梦幻艺馆C．海底世界D．激光战车 8．无论m为何值，点A（m，3﹣2m）不可能在（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 9．下列函数：①y=πx；②y=2x﹣1；③y=；④y=﹣3x；⑤y=x2﹣1中，是一次函数的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y 与x之间函数关系的图象是（） A．B．C．D． 11．以下列各组长度的线段为边，能组成三角形的是（） A．3cm，4cm，8cm B．5cm，5cm，11cm C．12cm，5cm，6cm D．8cm，6cm，4cm 12．如图，AE⊥BC于E，BF⊥AC于F，CD⊥AB于D，则△ABC中AC边上的高是哪条垂线段（） A．BF B．CD C．AE D．AF 二．填空题（共4小题）
七年级数学下册--《轴对称图形的典型例题》
轴对称图形典型例题 例1 如下图，已知，PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，且PB ＝PC ，D 是AP 上一点． 求证：∠BDP ＝∠CDP ． 证明：∵ PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，且PB ＝PC ， ∴ ∠P AB ＝∠P AC （到角两边距离相等的点在这个角平分线上）， ∵ ∠APB ＋∠P AB ＝90°，∠APC ＋∠P AC ＝90°， ∴ ∠APB ＝∠APC ， 在△PDB 和△PDC 中， ?????=∠=∠= PD PD APC APB PC PB .， ， ∴ △PDB ≌△PDC （SAS ）， ∴ ∠BDP ＝∠CDP ． （图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等） 注 利用角平分线定理的逆定理，可以通过距离相等直接得到角相等，而不用再证明两个三角形全等． 例2 已知如下图（1），在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD ＝CD ，BD 平分∠ABC ．求证：∠A ＋∠C ＝180°． （1） 证法一：过D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC 于F ， ∵ BD 平分∠ABC ，∴ DE ＝DF ， 在Rt △EAD 和Rt △FCD 中， ???==.DF DE DC AD ，
（角平分线是常见的对称轴，因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明．） ∴ Rt △EAD ≌Rt △FCD （HL ）， ∴ ∠C ＝∠EAD ， ∵ ∠EAD ＋∠BAD ＝180°， ∴ ∠A ＋∠C ＝180°． 证法二：如下图（2），在BC 上截取BE ＝AB ，连结DE ，证明△ABD ≌△EBD 可得． （2） 证法三：如下图（3），延长BA 到E ，使BE ＝BC ，连结ED ，以下同证法二． （3） 注 本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法． 例3 已知，如下图，AD 为△ABC 的中线，且DE 平分∠BDA 交AB 于E ，DF 平分∠ADC 交AC 于F ． 求证：BE ＋CF ＞EF ． 证法一：在DA 截取DN ＝DB ，连结NE 、NF ，则DN ＝DC ，在△BDE 和△NDE 中， ?????=∠=∠=.DE DE NDE BDE ND BD ， ， （遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题） ∴ △BDE ≌△NDE （SAS ）， ∴ BE ＝NE （全等三角形对应边相等），
鲁教版七年级数学上册复习知识点总结
21D C B A D C B A 鲁教版初二上数学知识点梳理 第一章 三角形 ⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. 三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形用符号表示为△，三角形的边可用边所对的角C 的小写字母c 表示，可用b 表示，可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接； （2）三角形是一个封闭的图形； （3）△是三角形的符号标记，单独的△没有意义． ⒉ 三角形的分类： (1)按边分类： (2)按角分类： ⒊ 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1是△的上的中线. 212. 注意：①三角形的中线是线段； ②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形． （2）三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1是△的∠的平分线. 2.∠1=∠2=12∠. 注意：①三角形的角平分线是线段； ②三角形三条角平分线全在三角形的内部； 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 _C _B _A
D C B A ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线． （3）三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1是△的上的高线. 2⊥于D. 3.∠∠90°. 注意：①三角形的高是线段； ②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外； ③三角形三条高所在直线交于一点． 如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上 . 4．三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短； （2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边． 5. 三角形的角与角之间的关系： (1)三角形三个内角的和等于180 ;（三角形的内角和定理） (2) 直角三角形的两个锐角互余. 6．三角形的稳定性： 三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性． 注意：（1）三角形具有稳定性； （2）四边形没有稳定性. 7．三角形全等： 全等形：能够完全重合的图形叫做全等形. 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合到一起.重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等. 图5 图6 图7 图8
新人教版七年级数学下册导学案及参考答案
新人教版七年级数学（下册）第五章导学案及参考答案 第五章相交线与平行线 课题：5.1.1相交线 【学习目标】：在具体情境中了解邻补角、对顶角,能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角,理解对顶角相等,并能运用它解决一些问题。 【学习重点】：邻补角、对顶角的概念,对顶角性质与应用。 【学习难点】：理解对顶角相等的性质的探索。 【导学指导】 一、知识链接 1.读一读,看一看 学生欣赏图片,阅读其中的文字. 师生共同总结:我们生活的世界中,蕴涵着大量的相交线和平行线.本章要研究相交线所成的角和它的特征,相交线的一种特殊形式即垂直,垂线的性质,研究平行线的性质和平行的判定以及图形的平移问题. 2．观察剪刀剪布的过程,引入两条相交直线所成的角 教师出示一块布片和一把剪刀,表演剪刀剪布过程,提出问题:剪布时,用力握紧把手,引发了什么变化?进而使什么也发生了变化? 学生观察、思考、回答,得出结论: 二、自主探究 1.学生画直线AB、CD相交于点O,并说出图中4个角,两两相配共能组成几对角?各对角的位置关系如何?根据不同的位置怎么将它们分类? 学生思考并在小组内交流,全班交流. 教师再提问:如果改变∠AOC的大小,会改变它与其它角的位置关系和数量关系吗? 3.邻补角、对顶角概念 邻补角的定义是： 对顶角角的定义是： 5.对顶角性质. (1)学生说一说在学习对顶角概念后,结果实际操作获得直观体验发现了什么?并说明理由。 对顶角性质: （2）学生自学例题
O D C B A 例:如图,直线a,b 相交,∠1=40°,求∠2,∠3,∠4的度数. 【课堂练习】： 1.课本P3练习 2.课本P8习题1 【要点归纳】：邻补角、对顶角的概念及性质： 【拓展训练】 1. 如图1,直线AB 、CD 、EF 相交于点O,∠BOE 的对顶角是_______,∠COF 的邻补角是________； 若∠AOC:∠AOE=2:3,∠EOD=130°,则∠BOC=_________. (1)(2) 2.如图2,直线AB 、CD 相交于点O,∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°,则∠EOF=________。 3.两条直线相交,如果它们所成的一对对顶角互补,那么它的所成的各角的度数是多少? 【总结反思】： 课题：5.1.2垂线(1) 【学习目标】：了解垂直概念,能说出垂线的性质,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线. 【学习重点】：两条直线互相垂直的概念、性质和画法. 【学习难点】：推理能力和表达能力的培养 【导学指导】 一、温故知新 1．如图∠1=60°，那么∠2、∠3、∠4的度数 2.∠1=90°，那么∠2、∠3、∠4的度数 3.学生观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边,方格纸的横线和竖线……,思考这些给大家什么印象? 二、自主探究 （一）垂直定义 1．出示相交线的模型,学生观察思考:固定木条a,转动木条,当b 的位置变化 时,a 、b 所成的角a 是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a 、b 所成的四个角有什么特殊关系? 结论:当b 的位置变化时,角a 从锐角变为钝角,其中∠a 是_____角是特殊情况；其特殊之处还在于:当∠a 是_____角时,它的邻补角,对顶角都是_____角,即a 、b 所成的四个角都是_____角,都_____。 2.垂直定义 两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____角时，我们称这两条直线__________其中一条直线是另一条的_____，他们的交点叫做_____。 3．表示方法： 垂直用符号“_____”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB 垂直于直线CD ，垂足为O”， 则记为__________________，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图. 4.垂直应用： ∵∠AOD=90°（） ∴AB ⊥CD （） ∵AB ⊥CD （） ∴∠AOD=90°（） 找一找：在你身边，你还能发现“垂直”吗？ 5．判断以下两条直线是否垂直: ①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角; ②两条直线相交所成的四个角相等; b b a
七年级数学下册 轴对称现象习题
5.1 轴对称现象（含答案） 一．选择题：(四个选项中只有一个是正确的，选出正确选项填在题目的括号内) 1．下列交通标志是轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2.在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中,属于轴对称图形的是( ) A ． B ． C ． D ． 3．下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．下图所示的图案中，是轴对称图形的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．①④ 5.下列图形中,右边图形与左边图形成轴对称的是( ) A ． B ． C ． D ． 6.如图,关于虚线成轴对称的有( )个 A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4 ① ② ③ ④
7．下列图案中，是轴对称图形且只有两条对称轴的是（ ） A ． B ． C ． D ． 8.在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形,下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是( ) A ． B ． C ． D ． 9．下面的图形中，左边的图形与右边的图形成轴对称的是（ ） A ． B ． C ． D ． 10．下面的图形中，左边的图形与右边的图形成轴对称的是（ ） A ． B ． C ． D ． 二．填空题：（把正确答案填在题目的横线上） 11.下列图标中，是轴对称图形的是_________________；(填序号) 12．下面四个艺术字中，是轴对称图形的有__________（只填序号）． 13．如图是44 正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选 出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有______个； ① ② ③ ④
七年级数学轴对称测验卷
（第3题） C B A 第2题 M P D O C B A x 27? 117? A C F E D 七年级数学轴对称测验卷 学校 班别 姓名 学号 一、耐心填一填,你一定专门棒(每题3分,共30分) 1．下列图形中，轴对称图形有 （填编号） 2. 如图，OM 平分∠AOB ，点P 在OM 上，PC ⊥OA 垂足为C ，PD ⊥OB 垂足为D ； 若PC= 3.2㎝，则PD= cm 3. 如图，在△ABC 中,若AB=BC, ∠B=90°,则∠A= ,∠C= 4．如图，在△ABC 中,若BC=AC, ∠A=50°, 则∠C= 5.等腰三角形的周长为24cm, 底边长为6cm,则腰长是 cm. 6.等腰三角形一内角为70°,则该三角形另外两个内角分别为 7.在△ABC 中, AB=BC,BD 是△ABC 的角平分线，∠ABD=60°, 则∠C= . 8.如图,两个三角形关于某直线对称,则x= ° 第7题 第8题
9． 10.画出下列轴对称图形的所有对称轴。 二、精心选一选,你一定能行(每题3分,共24分) 1.下列图形中有许多条对称轴的是( ) (A)直角 (B)等腰三角形 (C)圆 (D)半圆 2.下列图形中不一定是轴对称图形的是( ) (A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)长方形 (D)圆 3.等腰三角形的两边长为3cm,5cm,则它的周长为( ) (A)8cm (B)11cm (C)13cm (D)11cm或13cm 4.若满足( )则△ABC是等腰三角形. (A) ∠A=50°, ∠B=70° (B) ∠A=70°, ∠B=40° (C) ∠A=50°, ∠B=90° (D) ∠A=80°, ∠B=60° 5.如图2所示是一张画有小白兔的卡片，卡片正对一面镜子，这张卡片在镜子里的影像是下列各图中的（）． 图2 A B C D
鲁教版初中数学七年级上册
鲁教版初中数学七年级上册·第一章生活中的轴对称 ·1.轴对称现象 ·2.简单的轴对称图形 ·3.探索轴对称的性质 ·4.利用轴对称设计图案 ·5.镶边与剪纸 ·第二章勾股定理 ·1.探索勾股定理 ·2.勾股数 ·3.勾股定理的应用举例 ·第三章实数 ·1.无理数 ·2.平方根 ·3.立方根 ·4.方根的估算 ·5.用计算器开方 ·6.实数 ·第四章概率的初步认识 ·1.可能性的大小 ·2.认识概率 ·3.简单的概率计算
·第五章平面直角坐标系 ·1.确定位置 ·2.平面直角坐标系 ·3.平面直角坐标系中的图形 ·第六章一次函数 ·1.函数 ·2.一次函数 ·3.一次函数图象 ·4.一次函数图象的应用 ·第七章二元一次方程组 ·1.二元一次方程组 ·2.解二元一次方程组 ·3.二元一次方程组的应用 ·4.二元一次方程组与一次函数 第一章生活中的轴对称 一、轴对称现象 1.轴对称图形:(1)如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫轴对称图形。这条直线叫对称轴。(注意:对称轴是一条直线,不是线段,也不是射线)。 (2)轴对称图形至少有一条对称轴,最多可达无数条。 例:①圆的对称轴是它的直径( × ) 直径是线段,而对称轴是直线(应说圆的对称轴是过圆心的直线或直径所在的直线); ②角的对称轴是它的角平分线( × ) 角平分线是射线而不是直线(应说角的对称轴是角平分线所在的直线); ③正方形的对角线是正方形的对称轴( × ) 对角线也是线段而不是直线。 2.轴对称: (1)对于两个图形，如果沿一条直线折叠后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。(成轴对称的两图形本身可以不是轴对称图形)。
鲁教版七年级数学上册《轴对称现象》教案
《轴对称现象》教案 一、知识目标 通过丰富的图形，使学生初步认识轴对称图形，知道轴对称图形的含义，能识别轴对称图形，找出轴对称图形的对称轴，并能设计简单的轴对称图形. 二、能力目标 培养学生的发散思维能力；培养学生的创新意识和创新能力；培养学生实践能力和分析问题、解决问题的能力. 三、情感目标 培养学生勇于探索创新的精神；增强学生的自主性和合作精神；增强学生学习兴趣.四、教学重点 认识轴对称，能识别轴对称图形. 五、教学难点 区别轴对称和轴对称图形.能画出它们的对称轴. 六、教学过程 一、由生活实例引入课题 中外的建筑，从古代的宫殿到近代的一般住房，绝大部分是对称，体现出一种对称美.在生活中，对称现象比比皆是，这节课，一起来认识《轴对称现象》. 二、设情境，激发兴趣 1、欣赏生活中的轴对称现象. 在生活中，许多事物与图形紧密联系在一起，今天老师给大家带来一些生活中的图案，首先请大家来欣赏. 2、请同学们认真观察这些图形有什么共同特征？并用自己的语言来描述. (使学生通过丰富的生活实例，欣赏并体会轴对称图形，发展学生的审美能力、鉴赏能力.) 3、还能举出日常生活中具有对称特征的例子吗？并与同桌交流. (让学生从自己的生活经验出发，举出符合对称特征的物体，并进行交流，体会轴对称现象在现实生活中的广泛运用.) 三、动手操作，互相交流. 1、剪纸实验 (1)准备一张纸；(2)对折纸；(3)用笔在纸上画出如图所示的图案(或者发挥你的想象画出其它你认为美丽的图案)用剪刀沿边线剪开；(4)把纸打开铺平，观察所得的图案，位于折痕
两侧的部分有什么关系？ 2、印墨迹实验 (1)取一张纸；(2)在纸的一侧上滴一滴墨水，将纸迅速对折、压平；(3)将纸打开铺平，观察所得到的图案，位于折痕两侧的墨迹图案彼此有什么联系？ 3、观察图形，获取发现 向学生展示几组图案，请同学们仔细观察，并相互交流. 4、轴对称图形与轴对称的联系与区别. (先让学生判别两组图片是轴对称图形还是轴对称，使学生形象的区分轴对称图形与轴对称，再让学生说说它们两者之间的联系与区别.) 四、巩固练习 1、想一想 (1)在图中，0～9十个数字中，哪些是轴对称图形？ 2、慧眼识“对称轴” (让学生尽可能多的画出图中各图形的对称轴，并进行小组讨论.) 3、区分轴对称图形与轴对称 4、找规律 5、课外延伸，激发求知欲望 星期天莲花山公园的草坪上，许多大人小孩在放风筝，各种各样形状的风筝都有，有蝴蝶形、老鹰形、蜻蜓形、金鱼形、蜈蚣形，这些基本上都是轴对称图形，你知道为什么吗？ 七、课堂小结 活动内容：师生共同交流，总结本节收获——从实际到理论. 活动目的：鼓励学生自己动手，提高获取知识的能力，加强同学们之间的团队合作意识和精神. 实际教学效果：教学相长，共同进步，提高了同学们的学习能动性，也再次认识到教师在教学中的“导和授”的作用. 八、课后作业 课本习题1、2、3、4
鲁教版七年级数学上册 期末达标测试卷【名校试卷word精编版+详细解答】
鲁教版七年级数学上册期末达标测试卷 一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列图形不是轴对称图形的是() 2．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是() A．60°B．50°C．40°D．30° 3．下列各数为无理数的是() ①－3.14159；②2.5；③2π；④0.9；⑤11 5 A．①②③B．②③④C．①④⑤D．③④ 4．下列各等式中，正确的是() A．－（－3）2＝－3 B．±32＝3 C．(－3)2＝－3 D.32＝±3 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形有() A．1对B．2对C．3对D．4对 6．四根小棒的长分别是5，9，12，13，从中选择三根小棒首尾相接，搭成边长如下的四个三角形，其中是直角三角形的是() A．5，9，12 B．5，9，13 C．5，12，13 D．9，12，13
7．已知点P (0，m )在y 轴的负半轴上，则点M (－m ，－m ＋1)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．若式子k －1＋(k －1)0有意义，则一次函数y ＝(1－k )x ＋k －1的图象可能是 ( ) 9．已知???－ax ＋y ＝b ，cx ＋y ＝d 的解为???x ＝1，y ＝2， 则直线y ＝ax ＋b 与y ＝－cx ＋d 的交点坐标为( ) A ．(1，2) B ．(－1，2) C ．(1，－2) D ．(－1，－2) 10．一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯，桶与杯子的形状 都是圆柱形，桶口的半径是杯口半径的2倍，小亮决定做个实验：把塑料桶和玻璃杯看成一个容器，对准杯口均匀注水，注水过程中杯子始终竖直放置，则下列能反映容器最高水位h 与注水时间t 之间关系的大致图象是( ) 二、填空题(每题3分，共24分) 11．如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，且AD ＝AE ，不添加新的线段和字 母，要使△ABE ≌△ACD ，需添加的一个条件是：______________．(只写一个条件即可)