概率统计(1)(1)
考试试卷
（考试时间：１２０分钟）
科目：概率论与数理统计 适用专业：全校各专业
查表数据： 9772.0)00.2(=Φ975.0)96.1(=Φ95.0)645.1(=Φ952.0)66.1(=Φ
一、填空题、)8163('=?'
１、已知
31)(=A P ，41)(=A B P ，61
)(=
B A P ，则=?)(B A P ２、设A ,B 相互独立，且
91
)(=
B A P ，)()(B A P B A P =，则()P A = ３、已知X 的概率密度为2
)1(1)(--=x e
x f π，则=)(X D
４、已知)9,0(~N X ,)4,0(~N Y ,相关系数25.0-=XY ρ，则ov(,)C X Y =
５、样本
4321,,,X X X X 取自于总体)1,0(N ，则统计量∑=4
1
2
i i
X 服从
６、设总体
)5.1,(~2
μN X ,现从总体中抽取容量为9的样本,其样本均值12.34x =,则μ的置信度为05.0=α的置信区间为
二、 )01('某厂生产的一类产品中90%是正品，其余为废品。用某种方法进行
质量检查时，误认正品为废品的概率为2.0，而误认废品为正品的概率为3.0。求检验结果为正品的一种产品确实是正品的概率。
三、
)51('设连续型随机变量X 的概率密度函数为：
(1),
01()0,
Ax x x f x -≤≤?=?
?其它 试求：① 系数A . ② X 的分布函数. ③ {0.10.5}P X <<
四、)01('袋中装有2只白球及3只黑球，现从中摸球两次，每次摸一只，进行有放回的摸球,定义下列随机变量:
???=第一次摸出黑球第一次摸出白球,0,1X ??
?=第二次摸出黑球第二次摸出白球,0,1Y
求),(Y X 的联合分布律及边缘分布律，写出计算过程，最后结果用下面表格表示：
五、)01('设随机变量X 的概率密度函数为：
22
()x f x x -=-∞<<+∞
,
求Y X =的概率密度.
六、)21('有48道单项选择题，每个题中有4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的。规定选择正确得1分，选择错误得0分。假设无知者对于每一个题都是从4个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，问他的得分X 服从何种分布？并用中心极限定理计算他的得分能够超过18分的概率。
七、)01('设总体X 的概率密度为
??
?<<=-其它;010;)(1x x x f θθ其中0>θ是未知数，n X X X ,,21是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，求θ的矩法
估计量和极大似然估计量。
八、)01('乙方要接收甲方的一批货物手机充电器，要考察的指标是其输出电压
X ，已知总体)2,(~2
μN X ，合同规定μ应为5（伏特），取05.0=α。现在抽样得16个样本值，算出4x =（伏特）。 现在：甲方认为μ就是5（伏特），因为抽样总是有随机误差，应接受这批产
品；
而乙方认为x 与5（伏特）相差太大，无法接受这批产品。 请你用所学知识作出判决。
九、(7)'设随机变量X 和Y 独立，都在区间[]1,3上服从均匀分布；引进事件{},{}A X a B Y a =≤=>。 （1）已知
7
()9P A B ?=
，求常数a ；
（2）求1
X 的数学期望。
试卷一答案：
一、填空题：(每空3分,共18分)
1、3/4
2、2/3
3、1/2
4、-1.5
5、)4(2
χ6、[11.36 13.32]
二、(共10分)
解: P(A)=0.75 …………………………………………… (5分)
P(B|A)=0.72/0.75=24/25=0.96 …………………
….(5分)
三、(共15分)
解: A=6 ……………………………………………………(5分)
??
?
??≤<≤-<=x x x x x x F 111
0230
0)(3
2……………………………(5分)
472.0}5.01.0{=< 四、(共10分 五、(共10分) }{}{)(y X P y Y P y F y ≤=≤=………………………………… … (2分) 当0≤y 时，0)(=y F y ………………………………………(2分) 当0>y 时 ，)()(}{)(y y y X y P y F y -Φ-Φ=≤≤-=………… (3分) ?? ?>≤=0 ) (200 )(y x y y f Y ?…………………………………………. (3分) 六、(共12分) )4/1,48(~B X …………………………………………(5分) P{S>18}= )00.2(1}3 12 18312{ Φ-=->-S P =1-0.9772=0.0 228…. (7分) 七、(共10分) 矩法估计量： x x -=1?θ ……………………………….(5分) 极大似然估计为: ∑=- =n i i x n 1 ln ?θ………………………………(5分) 八、(共10分) 0H ：5=μ 1H ：5≠μ……………………………………………(3分) 拒绝域： 2 α σ μ u n X >- ……………………………………………(3分) 2 -=u 2 α u u >拒绝0H ……………………………………………(4分) 九、 125/3,7/3a a ==……………………………………………(3分) 1()ln 32E X = ……………………………………………(4分) 湖南城市学院考试试卷 （考试时间：１２０分钟） 科目：概率论与数理统计 适用专业： 附表：,0.9394)(1.55,95.0)645.1(,975.0)96.1(,8413.0)1.0(=Φ=Φ=Φ=Φ .9214.0)414.1(,5.0)0(=Φ=Φ 一．填空题：（每空3分，共18分） 1. 设事件A 与B 相互独立，5.0)(=B P ，7 .0)(=B A P ，则 =)|(B A P . 2．设随机变量X 的概率密度为| |)(x ke x f -=，+∞<<∞-x ，则=k . 3．若 () 2 ,2~σN X ，且{}3.042=< 4．已知随机变量)1(~πX （泊松分布），)2.0,25(~B Y ，且X 与Y 相互独立，则()=+-432Y X D . 5．若样本 921,,,X X X 取自总体 ),(2 σμN ，X ，2S 分别代表样本均值和样本方差，则S )X 3(μ－ 服从 分布. 6．设n X X X ,,,21 是总体 ()θ,0~U X 的一个样本，X a =θ ?是参数θ的无偏估计，则=a . 二．（11分）某电镀车间据以往的资料表明，当电流稳定时优质品率为60%，当电流波动时优质品率 为20%，通常电流稳定的概率为0.8.某日从这些产品中任取一件进行检验，求： （1）取出的这件产品不是优质品的概率； （2）若已知取出的不是优质品，问该日电流稳定的概率是多少？ 三．（11分）袋子中装有5只白球，3只黑球，从中任取一只，如果是黑球则不放回，而从袋中重新 取一只球，直到取出白球为止.以X 表示直到取出白球为止时所需的取球次数.求： （1）X 的分布律；（2）分布函数)(x F ；（3）{}31<≤X P .（注：本题答案用最简分数表示） 四．（11分） 设随机变量)1,0(~N X ，求2 X Y =的概率密度. 五．（11分）设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均 匀分布，Y 的概率密度为 ??? ??≤>=-0,00 ,21)(2y y e y f y Y ， 求：（1）求X 和Y 的联合概率密度； （2）设关于a 的二次方程为022 =++Y Xa a ，求此方程有实根的概率. 六．（11分）在次品率为 61的一大批产品中，任意抽取360件产品，利用中 心极限定理计算抽取的 产品中次品件数在50与70之间的概率. 七．（11分）设总体X 的概率密度为 ?? ?<<+=其它,010,)1()(x x x f θθ， n 21X X X ，，， 是来自总体X 的 一个样本，求未知参数θ的矩估计量和极大似然估计量. 八．（10分）某种零件的长度服从正态分布，方差21.12 =σ.现从零件堆中随机抽取6件，测得长度 （单位：毫米）为: 32.46 31.54 30.10 29.76 31.67 31.23 问：当显著性水平为05.0=α时，能否认为这批零件的平均长度为32.50 毫米？ 九．（6分）游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分 钟、25分钟和55分钟从底层 起行。假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层候梯处，且X 在)60,0(内均匀分布，求该游客等候 时间的数学期望. 一、填空题（3分?6＝18分） 1、0.6， 2、21， 3、0.2， 4、40， 5、)8(t ， 6、2 二、令{}质品取出的这件产品不是优=A ，{}电流稳定=1B ，{} 电流波动＝2B ，则1B 、2B 是一划分，且8.0)(1=B P ，2.0)(2=B P ，4.0)|(1=B A P ，8.0)|(2=B A P .（2分） 则（1）由全概率公式有 48 .08.02.04.08.0)|()()(2 1 =?+?==∑=i i i B A P B P A P （7分） （2）由B a y e s 公式有 667 .032 48.04.08.0)()|()()|(111≈=?== A P B A P B P A B P （11分） 三、（1）由题知，X 所有可能的取值为1，2，3，4，且 {}851==X P {}56155832=?==X P {}5657233=??==X P {}5611172834=???==X P 故所求的分布律为 （5 分） （2）由概率的有限可加性，得分布 函数为 ?? ??? ????=156 55282550)(x F 4433 2211≥<≤<≤<≤ }{}{}28252131==+==<≤X P X P X P （11分）四、由)1,0(~N X 知 ) (21)(2 2 R x e x f x X ∈= - π （2分） 又 {}{} y X P y Y P y F Y ≤=≤=2 )(，故 当0≤y 时：0)(0)(=?=y f y F Y Y （5分） 当0>y 时：{ } )()()(y F y F y X y P y F X X Y --=≤≤- = [] )()(2 1)()(y f y f y y F y f X X Y Y -+= '=?2 2 121y e y - - = π （10分） 即 ?????≤>=--00021 )(2 21y y e y y f y Y π （11分） 五、（1）由)1,0(~U X 知： ?? ?=,0,1)(x f X 其他1 0< 其他0,10,0, 2 1)()(),(>< Y X （4分） （2）由于2 2044X Y Y X ≤?≥-?＝. 故方程有实根的概率为 { }dx e dx dy e dxdy y x f X Y P x y x x y ??? ??--≤-=== ≤1021 2 2)1()2 1(),(2 2 2 （7分） []1448 .0)0()1(21212112 1 1 02 2 2≈Φ-Φ-=-=-=- -? ?ππ πdx e dx e x x （11分） 六、令X 表示抽取的产品中次品的件数，则)61,360(~B X ， 则6061360)(=?=X E ， 506561360)(=??=X D ，由中心极限定理有 （6分） {}) 2()2(50607050605060507050-Φ-Φ≈??? ???-<-<-=< 8428.01)2(2=-Φ= （11分） 七、（1）由题有 21 )1()1()(11 10 ++= +=?+=+??θθθθθθdx x xdx x X E 令∑===n i i X n X X E 11)(得θ的矩估计量为 X X --=112?θ （5 分） （2）似然函数为 θ θθθθ)()1()1()()(211 1 n n i n i n i i x x x x x f L +=+==∏∏== ∑=++=n i i x n L 1ln )1ln()(ln θθθ. 似然方程为 0 ln 1)(ln 1=++=∑=n i i x n d L d θθθ 解得θ的极大似然估计量为 ∑=--=n i i X n 1ln 1?θ （11分） 八、要检验的假设为 50.32:0=μH 50.32:1≠μH ， 检验统计量为 ) 1,0(~50 .32N n X U σ-= （4分） 拒绝域为 2αu u ≥， 计算统计值得 13.31=x ， 05 .36 1.150.3213.3150 .32-=-= -= n x u σ （8分） 查表知 96.1025.0==u u α，执行统计判决 96.105.3αu u =>=，故拒绝0H ， 即认为这批零件的平均长度不足32.50mm . （10分） 九、因为 ?? ?<<=其他,0600,601)(x x f . 令游客等候时间为Y ，则 ???? ?? ?+----=56055255X X X X Y 6055552525550<<≤<≤<≤ .11606560556025605)(6055552525550=-+-+-+-=????dx x dx x dx x dx x Y E （6分） 湖南城市学院考试试卷 （考试时间：１２０分钟） 科目：概率论与数理统计 适用专业： 一．单项选择题(每小题3分，满分15分) 1.设A 和B 为两随机事件，且A B ?，则下列式子正确的是 【 】 (A ) )()(A P B A P = (B ))()(A P AB P = (C ) )()(B P A B P = (D ))()()(A P B P A B P -=- 2.以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 表示 【 】 (A )甲种产品滞销，乙种产品畅销 (B )甲乙两种产品均畅销 (C )甲种产品滞销 (D )甲种产品滞销或者乙种产品畅销 3.设随机变量X 的数学期望a X E =)(， b X E =)(2 ，c 为一常数，则=)(cX D 【 】 (A )c (a －b 2) (B )c (b －a 2) (C )c 2(b －a 2) (D )c 2(a －b 2) 4.设X 和Y 为两个随机变量，已知0),cov(=Y X ，则必有 【 】 (A )X 和Y 相互独立 (B ))()()(Y D X D XY D = (C ))()()(Y E X E XY E = (D )以上都不对 5.设样本n X X X ,,,21 来自正态总体 ),0(2 σN ，以下的统计量可以作为2σ的无偏估计量的 是 【 】 (A )∑=n i i X n 121 (B )∑=-n i i X n 12 11 (C )∑=n i i X n 11 (D ) ∑=-n i i X n 111 二．填空题(每空3分，满分15分) 1.设A 、B 、C 为三个事件，则事件“A 发生，B 与C 不发生”可以表示成 . 2.设A 、B 为两相互独立的事件，6.0)(=B A P ，4.0)(=A P ，则=)(B P . 3.设随机变量X 的分布函数为 ?? ?<≥-=-000 1)(x x e x F x , 则}1{≤X P = . 4.已知随机变量Y X ,的方差分别为49)(=X D ，64)(=Y D ，它们的相关系数8.0=XY ρ， 则=+)(Y X D ，=-)(Y X D . 三．(12分) 设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为0.01和0.02，现从由A 和B 的产品 分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于A 生产的概率是多少？ 四．(12分) 设连续型随机变量X 的概率密度函数为 ?? ?<<=.0 ,10)(2其它x Ax x f 求（1）A ； （2）X 的分布函数)(x F ； （3）)3.01.0(≤ 五．（10分）设随机变量X 在)2,1(上服从均匀分布，试求随机变量2 X Y =的数学期望) (Y E 和方差)(Y D . ),(Y X (1)求的边缘分布律； (2)判断X 与Y 是否独立？ 七．（12分）在每次试验中，事件A 发生的概率是0.4，利用切比雪夫不等式估计在1000次 试验中，事件A 发生的次数在300至500之间的概率. 八．（12分）设总体X 具有概率密度 ?? ?<<=-其它0 1 0)(1 x x x f θθ）0(>θ. (1)求θ的矩估计； (2)求θ的极大似然估计. 一．单项选择题(每小题3分，满分15分) 1. A ； 2. D ； 3. C ； 4. C ； 5. B . 二．填空题(每空3分，满分15分) 1. A B C ； 2. 31 ； 3. 1 1--e ；4. 202.6；23.4. 三．A ={取到的产品是由A 厂提供的}； B ={取到的产品是由B 厂提供的}； C ={取到的是次品}. (1分) 则B A ,是样本空间的一个划分. %60)(=A P , %40)(=B P , 01.0)(=A C P , 02.0)(=B C P . (5分) 由全概率公式 %4.102.0%4001.0%60)()()()()(=?+?=+=B C P B P A C P A P C P . （9分） 由贝叶斯公式 73 %4.101.0%60)()|()()|(= ?== C P A C P A P C A P . （12分） 四． （1） 3)(1102A dx Ax dx x f = ==??+∞∞- ∴3=A （3分） （2） ?? ? ??≥<≤<==? ∞ -111 00 0)()(3 x x x x dt t f x F x （8分） （3） {}026.01.03.0)1.0()3.0(3.01.03 3=-=-=≤ ()?? ?<<=其他, 02x ,1 1x f （2分） ()37 )(2 1 222 = ===??+∞∞ -dx x dx x f x X E EY . (6分) ()531)()(21 4442= ===??+∞∞ -dx x dx x f x X E Y E . 4534 37531))(()()(2 2 2 = ??? ??-=-=Y E Y E Y D . （10分） 六． (2) 由表可知 2.0}1,1{===Y X P , （1分） 18.06.03.0}1{}1{=?===Y P X P , （3分） 于是}1{}1{}1,1{==≠==Y P X P Y X P ，根据独立性的定义可知X 与Y 不独立. （7分） 七．X 表示1000次试验中事件A 发生的次数, 则X ~ )4.0,1000 (b . （2分） 4004.01000)(=?=X E , 2406.04.01000)(=??=X D . （5分） 由切比雪夫不等式 {} 2) (1)(εεX D X E X P - ><-，可得 （9分） {} 976.0100240 1100400}500300{2=- ><-=< 八．（1）矩估计：1)(1 01+= =?-θθ θθdx x x X E ， （2分） 令x X E =)(，得x x -= ∧ 1θ. （5分） (2)极大似然估计： ∏=-=n i i x L 1 1 )(θθθ, （7分） ∑=-+=n i i x n L 1 ln )1(ln )(ln θθθ, （8分） 令 0ln )(ln 1=+=∑=n i i x n d L d θθθ, 得 ∑=- =n i i x n 1 ln θ . （12分） 湖南城市学院考试试卷 （考试时间：１２０分钟） 科目：概率论与数理统计 适用专业： 一、单项选择题（每小题2分，计20分） 1.在下列四个条件中，能使)()()(B P A P B A P -=-一定成立是（ ） A 、B A ? B 、A 、B 独立 C 、A 、B 互不相容 D 、A B ? 2.设在每次试验中，事件A 发生的概率为)10(< A 、n p B 、n q C 、n p -1 D 、n q -1 3.设C B A ,,三个事件两两独立，则C B A ,,相互独立的充分必要条件是（ ） A 、A 与BC 独立 B 、AB 与C A 独立 C 、AB 与BC 独立 D 、B A 与C A 独立 4.设随机变量ξ服从正态分布),(2 σμN ，则随σ的增大，概率 {}σμξ<-P A 、单调增大 B 、单调减小 C 、保持不变 D 、非单调变化 5.将一枚硬币重复掷n 次，以ξ和η分别表示正面向上和反面向上的次数，则ξ和η的相关系数等于 A 、-1 B 、0 C 、21 D 、1 6.设ξ与η是任意两个相互独立的连续随机变量，它们的概率密度分别为 )()(21x p x p 和，分布函数分别为)(1x F 和)(2x F ，则 （ ） A 、)()(21x p x p +必为某一随机变量的概率密度 B 、)()(21x p x p ?必为某一随机变量的概率密度 C 、)()(21x F x F +必有某一随机变量的分布函数 D 、)()(21x F x F ?必有某一随机变量的分布函数 7.设母体`ξ～)1,(μN ，其中μ为未知参数， n ξξξ 21,为来自母体ξ的一组字样，记 ∑==n i i 1 ξξ，则（ ）不是统计量 A 、ξ B 、∑=-n i i n 12 )(1ξξ C 、{}i n i ξ≤≤1min D 、∑=-n i i n 12)(1μξ 8.设n ξξξ 21,是来自正态母体ξ～),(2 σμN 的一组字样，∑==n i i n 11ξξ，∑=-=n i i n n S 12 2 )(1ξξ，则下列结论中，错误的是（ ） A 、μξ=E B 、 n D 2 σξ= C 、n σμξ-～)1,0(N D 、22 )1(σS n -～)1(2 -n x 9.设母体ξ～)1,(μN ， n ξξξ.,21 为来自母体ξ的一组子样，记 2113 231 ?ξξμ +=， 2124 341 ?ξξμ +=， 2132 12 1 ?ξξμ +=， 2115 352 ?ξξμ +=，在这四个μ的无偏估计量中，最 优效的是（ ） A 、1?μ B 、2?μ C 、3?μ D 、4?μ 10.在假设检验问题中，显著性水平α的意义是（ ） A 、原假设0H 成立，经检验不能拒绝0H 的概率 B 、原假设0H 成立，经检验拒绝0H 的概率 C 、原假设0H 不成立，经检验不能拒绝0H 的概率 D 、原假设0H 不成立，经检验拒绝0H 的概率 二、填充题（每空1分，计12分） 1.设C B A ,,为三个事件，则“C B A ,,中至少有一个发生”可表示为 。 2.设函数 ?? ?<≥-=-000,)(2x x be a x F x 为连续型随机变量ξ的分布函数，则=a =b 。 3.从1、2、3、4、5中任取3个数，设ξ为其中的最大者，则ξ的分布列为 ξ的分布函数=)(x F 。 4.设随机变量ξ的分布函数 ?? ?≤>-=-000,1)(x x e x F x λ )0(>λ， 则ξ的密度函数=)(x p =ξE ，又n ξξξ 21,为来自ξ的子样，则λ的矩估计量是 。 5.设{ }n ξ为一随机变量序列，ξ为一随机变量，若对任意0>ε，有 称{}n ξ依概率收敛于ξ，记作 )(∞→?→?n p n ξξ，依据这一概念，辛钦大数定律可记为 。 6.已知n ξξξ 21,为来自母体 ),(2 σμN 的一组子样，2σ已知，则μ的置信度为α-1的置信区间为 。 7.设母体ξ～),(2σμN ，2 ,σμ均为未知参数，n ξξξ 2 1,为来自母体ξ的一组子样，检验假设2 020:σσ=H , 2021:σσ≠H , 应构造 统计量。 三、在房间里有10个人，分别佩戴从1到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，试求下列事件的概率。 （1）A=“最小号码为6”（5分） （2）B=“不含号码4或6”（5分） 四、设二维随机变量（ηξ,）具有密度函数 ?? ?>>?=+-其它0 0,0),() (2y x e C y x p y x 试求1）常数C ； 2）)1(<+ηξP ； 3）ξ与η是否相互独立？为什么？（每小题4分，计12分） ηξ, 求（1）ξηρ； （2）)(ηξ-D （每小题6分，计12分） 六、有一批种子，其中良种占61 ，从中任取180粒，问能以0.99的概率保证其中良种 的比例与61 相差多少？995.0)48.2(;99.0)33.2(=Φ=Φ 七、设母体ξ具有概率函数.0,2,1,0,! );(>==-λλλλ x e x x f x n ξ ξξ 21,为来自母体ξ的子样。 （1）求λ的极大似然估计量λ? ，并证明它是无偏的；（6分） （2）证明∑=--==n i i n n S 12212)(1?ξξλ是λ的无偏估计；（4分） （3）设 .10≤≤α证明 2 1 3 ?)1(??λαλαλ-+=也是λ 的无偏估计。（4分） 题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 3.统计与概率 第1课时统计与概率（1） 【教学内容】 统计表。 【教学目标】 使学生进一步认识统计的意义，进一步认识统计表，掌握整理数据、编制统计表的方法，学会进行简单统计。 【重点难点】 让学生系统掌握统计的基础知识和基本技能。 【教学准备】 多媒体课件。 【情景导入】 1.揭示课题 提问：在小学阶段，我们学过哪些统计知识？为什么要做统计工作？ 2.引入课题 在日常生活和生产实践中，经常需要对一些数据进行分析、比较，这样就需要进行统计。在进行统计时，又经常要用统计表、统计图，并且常常进行平均数的计算。今天我们开始复习简单的统计，这节课先复习如何设计调查表，并进行调查统计。 【整理归纳】 收集数据，制作统计表。 教师：我们班要和希望小学六（2）班建立“手拉手”班级，你想向“手拉手”的同学介绍哪些情况？ 学生可能回答： （1）身高、体重 （2）姓名、性别 （3）兴趣爱好 为了清楚记录你的情况，同学们设计了一个个人情况调查表。 课件展示： 为了帮助和分析全班的数据，同学们又设计了一种统计表。 六（2）班学生最喜欢的学科统计表 组织学生完善调查表，怎样调查？怎样记录数据?调查中要注意什么问题？ 组织学生议一议，相互交流。 指名学生汇报，再集体评议。 组织学生在全班范围内以小组形式展开调查，先由每个小组整理数据，再由每个小组向全班汇报。 填好统计表。 【课堂作业】 教材第96页例3。 【课堂小结】 通过本节课的学习，你有什么收获？ 【课后作业】 完成练习册中本课时的练习。 第1课时统计与概率（1） （1）统计表 （2）统计图：折线统计图条形统计图扇形统计图 利用身边熟悉的例子复习回顾，目的是调动学生的好奇心和积极性，让学生感悟到数学源于生活用于生活，体现了数学的应用价值，从而激发了学生的探究欲望。 历年高考新课标Ⅰ卷试题分类汇编—概率与统计 1、(2012年第19题)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。 （Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式。 （Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 (i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； (ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率。 2、(2013年第3题) 从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ B ） （A ）错误!未找到引用源。 （B ）错误!未找到引用源。 （C ）1 4 错误!未找到引用源。（D ） 16 3、(2013年第19题) 为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A 药，B 药）的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h ），试验的观测结果如下： 服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 （1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ （2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？ 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 第1章 事件与概率 2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =Y Y ； (3)C AB ?；(4)BC A ?. 3、试把n A A A Y ΛY Y 21表示成n 个两两互不相容事件的和． 6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ； （2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C Λ； （3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边； （2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。 11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码Λ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。 2019年高考专题：概率与统计 1．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70， 则其与该校学生人数之比为70÷ 100=0.7．故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A ．8号学生 B ．200号学生 C ．616号学生 D ．815号学生 【解析】由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，解得1 5 n = ，不合题意；若200610n =+，解得19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ） A ． 2 3 B ． 35 C ．25 D ． 1 5 【解析】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ， 则从这5只中任取3只的所有取法有 {,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B b c A ，{,,},{,,},{,,}b c B b A B c A B ， 共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,,},{,,}b c A b c B ，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为 63 105 =，故选B ． 一、填空题 1．已知()0.8,()0.5,P A P A B ==且事件A 与B 相互独立，则()P B = 0.375 ． 2．若二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为 18 .012.012.008.01 11 1 b a X Y --，且X 与Y 相互 独立，则=a 0.2 ；=b 0.3 . 3．已知随机变量~(0,2)X U ，则2()[()] D X E X = 13 ． 4．已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞平均数是7300，均方差是700。设X 表示每毫升白细胞数，利用切比雪夫不等式估计{52009400}P X <<89 ≥ . 5．设123,,X X X 是总体X 的样本，11231?()4X aX X μ =++，21231?()6 bX X X μ=++是总体均值的两个无偏估计，则a = 2 ，b = 4 ． 二、单项选择题 1．甲、乙、丙三人独立地译一密码，他们每人译出密码的概率分别是0.5，0.6，0.7，则密码被译出的概率为 （ A ） A. 0.94 B. 0.92 C. 0.95 D. 0.90 2．某人打靶的命中率为0.8，现独立射击5次，则5次中有2次命中的概率为（ D ） A. 20.8 B. 230.80.2? C. 22 0.85 ? D. 22350.80.2C ?? 3.设随机变量Y X 和独立同分布，则),,(~2σμN X （ B ） A. )2,2(~22σμN X B. )5,(~22σμN Y X - C. )3,3(~22σμN Y X + D. )5,3(~22σμN Y X - 4．对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =?，则（ B ）. A. ()()()D XY D X D Y =? B.()()()D X Y D X D Y +=+ C.X 和Y 独立 D.X 和Y 不独立 5．设 ()2~,X N μσ，其中μ已知，2σ未知，123 ,,X X X 为其样本， 下列各项不是 统计量的是（ A ）. 作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . 2011 （19）（本小题满分12分） 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： （Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； （Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率） 解： （Ⅰ）由实验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为228 =0.3 100 + ，所 以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。 由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为3210 0.42 100 + =，所以 用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42 （Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[)[)[] 90,94,94,102,102,110 的频率分别为0.04，,054,0.42，因此 P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即X 的分布列为 X 的数学期望值EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 2012 18．（本小题满分12分） 某花店每天以5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． （Ⅰ）若花店一天购进16朵玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式； （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． 【解析】（1）当16n ≥时，16(105)80y =?-= 当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=- 得：1080(15) ()80 (16)n n y n N n -≤?=∈? ≥? （2）（i ） X 可取60，70，80 (60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ====== X 的分布列为 600.1700.2800.776EX =?+?+?= 222160.160.240.744DX =?+?+?= （ii ）购进17枝时，当天的利润为 2010―2011―2概率统计试题及答案 一、选择题（每题3分，共30分） 1．已知4 1)()()(= ==C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率______. 31) (A 83)(B 157)(C 5 2 )(D 2．设A 、B 、C 为3个事件．运算关系C B A 表示事件______. (A ) A 、B 、C 至少有一个发生 (B ) A 、B 、C 中不多于—个发生 (C ) A ，B ，C 不多于两个发生 (D ) A ，月，C 中至少有两个发生 3．设X 的分布律为),2,1(2}{ ===k k X P k λ，则=λ__________． 0)(>λA 的任意实数 3)(=λB 3 1 )(= λC 1)(=λD 4．设X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为)(x f ，则)(x f 必满足______． (A ) 1)(0≤≤x f (B ) 单调不减 (C ) 1)(=? ∞+∞ -dx x f (D ) 1)(lim =+∞ →x f x 5．对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著性水平α=0.05下接受 00:μμ=H ，那么在显著性水平 α=0.01下，下列结论正确的是______． (A ) 必接受0H (B )可能接受也可能拒绝0H (C ) 必拒绝0H (D )不接受，也不拒绝0H 6．设随机变量X 和Y 服从相同的正态分布)1,0(N ，以下结论成立的是______． (A ) 对任意正整数k ，有)()(k k Y E X E = (B ) Y X +服从正态分布)2,0(N (C ) 随机变量),(Y X 服从二维正态分布 概率统计考试试卷及答案 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P . 2. 设随机变量X 的分布函数)(,)(+∞<<-∞+= -x e A x F x 1,则___=A 3. 已知,)|(,)|(,)(21 31 41 ===B A P A B P A P 则_____)(=?B A P 4. 已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数___)(=y f Y 5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2σ==DY DX 则____)(=-Y X D 42 二、 计算下列各题(每小题8分，共40分） 1. 设随机变量X 的概率密度为?? ???≤>=-000 x x e x f x ,,)( 已知Y=2X,求E(Y), D(Y). 2. 两封信随机地投入标号为I,II,III,IV 的四个邮筒，求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 3. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0,1)上服从均匀分布，Y 的概率密度为 ?? ? ??≤>=-000212y y e y f y Y ,,)( 求含有a 的二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。 4. 假设91X X ,, 是来自总体 ) ,(~220N X 的简单随机样本，求系数a,b,c 使 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2χ分布，并求其自由 度。 5. 某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X 服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值μ的置信区间(9610502.,./==ααz ) 第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解 （1）}, 100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级 人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y) 0 实用标准 7 、近五年全国卷分类汇编——概率统计(教师版） 一、概率与排列组合 1 、（2013 全国 1 卷.理 3 ）为了解某地区的中小考生视力情况，拟从该地区的中小考生中抽取部分考生进 行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段考生的视力情况有较大差异，而男女生视力 情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是() A 、简单随机抽样B、按性别分层抽样错误!未找到引用源。C、按学段分层抽样 D 、系统抽样 解析：不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照学段分层抽样.故选 C 2 ．（2014全国1卷.理5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有 同学参加公益活动的概率为（） 1 3 C、5 7 A 、B、 8 D 、 8 8 8 解析： 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有24 16 种， 周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有C41 A21 8 种；②每天2 人有C42 6 种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为8 6 7 位同学都在周六或周日参加16 ；或间接解法： 4 8 16 2 7 公益活动有 2 种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 16 故选 D 8 3 、（ 2015 全国 1 卷.理 4 ）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮 投中的概率为0.6 ，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A 、 0.648 B、 0.432 C、 0.36 D 、 0.312 解析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C32 0.62 0.4 0.63 =0.648 故选 A 4. （2016 全国 1 卷 .理 4 ）某公司的班车在7:00 ， 8:00 ， 8:30 发车，小明在7:50 至 8:30 之间到达发车 站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（） 1 1 C、2 3 A 、B、 3 D 、 3 2 4 解析：如图所示，画出时间轴： 7:30 7:40 7:50 8:00 8:10 8:20 8:30 A C D B 小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或 DB 时，才能保证他 等车的时间不超过10 分钟，根据几何概型，所求概率 10 10 1 P ．故选 B． 40 2 5 ．（ 2017 全国 1 卷 .理 2 ）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 （） <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 6．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 7．设A 、B 、C 为三个事件，已知()()0.6,0.4P B A P C AB ==，则()P BC A =（ ） .A .B .C .D 8．设A ，B 是两个随机事件，且0 概率统计高考题 1.[2016.全国卷3.T5] 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I,N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ） A. 158 B. 81 C. 151 D. 30 1 2.[2016.全国卷2.T8] 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） A. 710 B. 58 C.38 D.310 3.[2015.全国卷1.T4] 如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为( ) A. 103 B.15 C.110 D.1 20 4.[201 5.全国卷2.T3]根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是（ ） A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 5.[2013.全国卷1.T3]从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） A. 12 B.13 C.14 D.1 6 6.[2012.全国卷.T3]在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ） A. -1 B.0 C. 1 2 D. 1 7.[2011.全国卷.T6]有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A. 13 B. 12 C.23 D.34 8.[2014.全国卷1.T13] 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年 概率统计试卷 A 一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分） 1、设P(A) =, P(B) = , P() = ，若事件A与B互不相容，则 = . 2、设在一次试验中，事件A发生的概率为，现进行n次重复试验，则事件A至少发生一次的概率为 . 3、已知P() = , P(B) = , P() = ，则P()= . 4、设随机变量的分布函数为则= . 5、设随机变量~，则P{}= . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分） 1、设P(A|B) = P(B|A)=,, 则( )一定成立. (A) A与B独立，且. (B) A与B独立，且. (C) A与B不独立，且. (D) A与B不独立，且. 2、下列函数中，（）可以作为连续型随机变量的概率密度. (A) (B) (C) (D) 3、设X为一随机变量，若D(10) =10，则D() = ( ). (A) . (B) 1. (C) 10. (D) 100. 4、设随机变量服从正态分布，是来自的样本， 为样本均值，已知，则有（）. (A) . (B) . (C) . (D) . 5、在假设检验中，显著性水平的意义是（）. (A)原假设成立，经检验不能拒绝的概率. (B)原假设不成立，经检验被拒绝的概率. (C) 原假设成立，经检验被拒绝的概率. (D)原假设不成立，经检验不能拒绝的概率. 三、10片药片中有5片是安慰剂， (1)从中任取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率. (2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率. (本题10分) 四、以表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），的分布函数是 求下述概率： （1）{至多3分钟}. （2）{3分钟至4分钟之间}. (本题10分) 五、设随机变量(,Y)的概率密度为 (1) 求边缘概率密度. 2011-2018全国卷概率统计(理)大题专项训练 （2011全国卷Ⅰ&Ⅱ）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方） 做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A 配方的频数分布表 B 配方的频数分布表 （Ⅰ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率； （Ⅱ）已知用B 配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t 的关系式为 2(94)2(94102)4(102),t （2012全国卷Ⅰ&Ⅱ）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理 （1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位： ）的函数解析式； 枝，n N 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 ①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差； ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由 （2013全国卷Ⅰ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为1 2 ，且各件产品是否 为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率； (2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望 概率论与数理统计期末试卷 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B) 取到1只白球 (C) 没有取到白球(D) 至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A) 随机事件(B) 必然事件 (C) 不可能事件(D) 样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B) 与不互斥 (C) (D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C) (D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D) 0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3 (B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。 (A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) –P (C) ≤1 (C) P (A) + P (B) –P (C) ≥1 (D) P (A) + P (B) ≤P (C) 三、计算与应用题（每小题8分，共64分） 1. 袋中装有5个白球，3个黑球。从中一次任取两个。 求取到的两个球颜色不同的概率。 2. 10把钥匙有3把能把门锁打开。今任取两把。 求能打开门的概率。 3. 一间宿舍住有6位同学， 求他们中有4个人的生日在同一个月份概率。 4. 50个产品中有46个合格品与4个次品，从中一次抽取3个， 求至少取到一个次品的概率。概率统计试题和答案
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