二次函数线段最值问题
次函数线段最值问题
—几何类
“最短距离”经典问题汇总
一、 “两点之间线段最短”.
【基本问题】在直线I 上找一点P ，使得其到直线异侧两点A 、B 的距离之和最小，如图所示?作点 A （或B ）关于直线I 的对称点，再连接另一点与对称点，与I 的交点即为P 点.
【变式1】直线爪I 2交于O ，P 是两直线间的一点，在直线11、12上分别找一点 A 、B ，使得PAB 的周长最短?如图所示，作P 点关于h 、J 的对称点P 、P 2，连 接PP ，与h 、J 分别交于A 、B 两点，即为所求.
【变式2】直线l i 、I 2交于O ，A 、B 是两直线间的两点，从点A 出发，先到I i 上 一点P ，再从P 点到I 2上一点Q ，再回至U B 点，求作P 、Q 两点，使AP PQ QB 最小?如图所示，作A 、B 两点分别关于直线h 、I 2的对称点A 、B ：连接AB 分 别交I i 、12于P 、Q ，即为所求.
【变式3】从A 点出发，先到直线I 上的一点P ，再在I 上移动一段固定的距离PQ ，再回到点B ， 求作P 点使移动的距离最短， 轴交于点C,顶点为D. E （1, 2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别 交于F 、G.
在直线EF 上求一点H ,使A CDH 的周长最小，并求出最小周长； 【探究2】已知在平面直角坐标xOy 系抛物线y x 2 2x 3与x 轴交于
A 、
B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点
C 。若一个动点 P 自点C 出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线 的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点C .求使点P 运动 的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长.
【探究3】 已知在平面直角坐标xOy 系抛物线y x 2 2x 3与x 轴
交于A B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ,在 线段
BC 上是否存在一点P ，使得B 、C 两点到直线AP 的距 离之和最
大？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说 明理由。
【探究4】已知在平面直角坐标xOy 系抛物线y x 2 2x 3与x 轴交于A B 两点
（点A 在点B 的左 侧），与y 轴交于点C 。若一个动点P 自OC
的中点M 出发，先到达x 轴上某点（设为点E ）， 再到达抛物线
的对称轴上某点（设为点 F ），最后运动到点C .求使点P 运动
的总路径最 短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的
如图所示?先将A 点向右平移到A ，点，使AA 等于PQ 的长，作点B 关 于I 的对称点B ，,连接AB ,与直线I 的交点即为Q 点，将Q 点向左平移线段PQ 的长，即得到P 点.
【变式4】下面这个题与对称无关，但涉及到了平移的内容，与【变式 4】的作 法有点类似，因此放在这里，共享一下.
A 、
B 是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为d 的河上垂直建一座桥，使得从 A 村庄经过桥到B 村庄
所走的路程最短.如图所示，将点 A 向垂直于河岸的方向 向下平移距离d ，到A ，点，连接AB 交河岸于Q 点，过Q 点作PQ 垂直于河岸，交 河岸的另一端为P ，即为所求.
【变式5】在直线I 上找一点P ，使得其到直线异侧两点 A 、B 的距离之差的绝对 值最大，如图所示.作点A 交点即为P 点.
二、 “垂线段最短”. 例题探究： 【探究1】 如图，抛物线y
（或B ） 关于直线I 的对称点，再连接另一点与对称点, 'P A'
d
Q 卄 B 其延长线与I 的 x 4与x 轴的两个交点分别为 A （-4, 0）、B （2, 0），与y
2 F O B x
长.
【探究5】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y ?x 6与x轴、y轴的交点分别为A、B，将OBA 4对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C .设过A、B、C三点的抛物线y 1x2
6的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，请求出QA QO的
取值范围. ％
【探究6】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y x2 6x 8 6
经过A （2，0）、B （4, 0）两点，直线y J 2 ‘
2 』
交y轴于点C,且过点D（8,m）.将抛物线和
y x 6x 8左右平移，记平移后点A的对应点为2.
A'，点B的对应点为B'，当四边形A'B'DC的周长■
最小时，求抛物线的解析式及此时四边形A'B'DC 一… ........ .. .............. ...
周长的最小值.
【探究7】已知：抛物线y x2 2x 3与x轴交于A、B
两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ,顶_[2|-
点为D.直线I过点C,且I // x轴,E为I上一个动点，EF 1
丄x轴于F.求使DE+EF+B的和为最小值的E、F两■ ----
点的坐标，并直接写出DE+EF+B的最小值. .1.