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人教版八年级数学分式知识点及典型例题

分式的知识点及典型例题分析

1、分式的定义：

一般地,如果Ａ，Ｂ表示两个整数，并且B 中含有字母,那么式子

叫做分式，A 为分子，Ｂ为分母。例：下列式子中,y x +15、８a 2

b 、－239a 、y x b a --25、4322b a -、2－a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、

y x +3、m

a 1

+中分式的个数为( ）（A) 2 (Ｂ） 3 （C) 4 （D) 5 练习题：（1）下列式子中,是分式的有 .

⑴275x x -+； ⑵ 123

x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹22

2xy x y +. (2）下列式子，哪些是分式？

5a -； 234x +;3

y y ； 78x π

+；2x xy x y +-;145b -+.

2、分式有,无意义，总有意义:

①使分式有意义:令分母≠0按解方程的方法去求解（0B ≠); ②使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；(0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0(??

?≠=0

B A ）

④分式值为正或大于0:分子分母同号(???>>00B A 或?

??<<00

B A ）

⑤分式值为负或小于0:分子分母异号（??

?<>00B A 或???><0

B A ）

⑥分式值为1：分子分母值相等（Ａ＝B)

⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（Ａ+Ｂ=0）注意：（12

+x ≠0）

例1:当ｘ时,分式51

-x 有意义; 例２:分式x

x -+212中,当____=x 时,分式没有意义

例3:当x 时,分式

112-x 有意义。例4:当ｘ时,分式1

2+x x

有意义例5:x ，y 满足关系时,分式

x y

-+无意义；例6:无论x 取什么数时,总是有意义的分式是( )

Ａ．

122+x x B.12+x x C.1

33+x x

D ．25x x -

例7：使分式2

+x x

有意义的x 的取值范围为（ ) A ．2≠x B.2-≠x Ｃ.2->x D ．2

例８:要是分式)

3)(1(2

-+-x x x 没有意义，则ｘ的值为（） A. 2 B.-1或-3 C. -1

D.３同步练习题:

３、分式的值为零：

使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意:当分子等于０使,看看是否使分母=0了，如果使分母=0了,那么要舍去。

例１:当ｘ时,分式1

21+-a a

的值为0 例2:当x 时,分式112+-x x 的值为0

例３:如果分式2

2+-a a 的值为为零,则a 的值为( ) A ． 2± Ｂ.2 C. 2- D ．以

上全不对

例4：能使分式1

22--x x

x 的值为零的所有x 的值是（ )

A 0=x Ｂ 1=x C 0=x 或1=x D 0=x 或1±=x

例5：要使分式6

22+--x x x 的值为０,则x 的值为（ )A.3或-3 ?B.3 C.－3 D ２

例6:若

01=+a

,则a 是（ )A.正数Ｂ.负数 C.零 D.任意有理数 4、分式的基本性质的应用：

分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式,分式的值不变。

例１:

aby a xy = ； z y z y z y x +=++2

)(3)(6 ;如果75

)13(7)13(5=++a a 成立，则a 的取值范围是＿_______; 例2:)(1

332

a a

b )

b a

b --

=+-

例3：如果把分式

a b

a ++2中的a 和

b 都扩大10倍，那么分式的值( ) A 、扩大10倍 B 、缩小10倍Ｃ、是原来的20倍 D 、不变例４：如果把分式

x x

+10中的x ，ｙ都扩大10倍，则分式的值（） A.扩大100倍 B.扩大10倍 C.不变 D.缩小到原来的

1 例5:如果把分式

x xy

+中的ｘ和y 都扩大2倍,即分式的值( ) A 、扩大2倍； B 、扩大4倍; Ｃ、不变；Ｄ缩小2倍例6：如果把分式

x y

x +-中的x 和ｙ都扩大2倍，即分式的值( ) A 、扩大2倍; B 、扩大4倍; Ｃ、不变; D 缩小2倍例7:如果把分式

x -中的x 和y 都扩大2倍,即分式的值（ ) A 、扩大２倍； B 、扩大4倍; C 、不变；Ｄ缩小2

1倍例8：若把分式

x 23+的ｘ、y 同时缩小12倍，则分式的值( ?）Ａ．扩大12倍 B ．缩小1２倍?Ｃ．不变

?D.缩小6倍

例9:若x 、y 的值均扩大为原来的２倍,则下列分式的值保持不变的是( )

A 、y x 23

B 、223y x

C 、y x 232

D 、2

323y

x 例1０:根据分式的基本性质,分式

a a

--可变形为（） A b a a -- Ｂ b

a a + C

b a a -- D b a a +-

例11：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，

=---05

.0012

.02.0x x ； C

B C A B A ??=

C B C A B A ÷÷=

()0≠C

例1２:不改变分式的值,使分子、分母最高次项的系数为正数， 2

11x x x

-+--

= 。

5、分式的约分及最简分式：

①约分的概念:把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 ②分式约分的依据：分式的基本性质．

③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式. ④约分的结果:最简分式（分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式）

约分主要分为两类：第一类:分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。

第二类：分子分母是多项式的,把分子分母能因式分解的都要进行因式分解,再去找共同的因式约去。例1:下列式子(１）

y x y x y x -=--122;(２)c

a b

a a c a

b --=

--；（3）1-=--b a a b ;(4)y x y x y x y x +-=--+-中正确的是( )A 、１个 B 、２个 C 、 3 个Ｄ、４个

例2:下列约分正确的是( ）

A 、3

26x x x =; Ｂ、

0=++y x y x ; C 、x xy x y x 12=++； D 、2

14222=y x xy 例３：下列式子正确的是( ) A

022=++y x y x B ．1-=-+-y a y a Ｃ.x z y x z x y -+=+- D.0=+--=+--a

c d c a d c a d c

例4：下列运算正确的是( )

A 、a a a b a b =--+

B 、241

x x ÷= C 、22a a b b = Ｄ、

1112m m m -= 例5：下列式子正确的是（）

A.22a b a b = Ｂ．0=++b a b a Ｃ.1-=-+-b a b a Ｄ.b

a b

a b a b a +-=+-232.03.01.0

例6：化简2

293m m m --的结果是（ )A 、3+m m B 、3

+-m m

C 、3-m m

D 、m m -3 例７：约分:=

-2

64xy y

x ；932--x x = ；()xy xy 132=; ()y x y x y

x 536.031

51+=-+。例８：约分：

44a a a -++= ;

=y x xy 2164 ;=++)()

(b a b b a a ；

=--2

)(y x y x =-+2

x ay

;=++-16

816

2x x x

;

=+-6

2x x

23314___________21a bc a bc -= 29__________3m m -=+=b a ab

205＿_＿_＿_＿＿__=+--9

2x x x __＿＿______。例9:分式

3a 2a 2++，2

a b a --,)b a (12a 4-,2x 1

-中,最简分式有( ) A.1个 B.2个Ｃ．３个 D ．４个

6、分式的乘,除,乘方:

分式的乘法:乘法法测：

b a ·d

c ＝bd

ac ．分式的除法：除法法则:b a ÷d c =b a ·c d ＝bc

分式的乘方：求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(

a )n

.分式的乘方,是把分子、分母各自乘方.用式子表示为:(b

a )n =n n

b a (n 为正整数）

例题:

计算：(1)7

6239251526y

x x x -? (2)13410431005612516a x a y x ÷ (３)a a a 1?÷ 计算：（4)24222a

ab a b a ab a b a --?+- （5)425

522

2--?+-x x x x （６)2144122++÷++-a a a a a 计算：（7）3

346y

x y x -? (８）a b ab 2362÷- （9）()2xy xy x x y -?- 计算:(１0） 2

2221106532x y

x y y x ÷? (11) 22213(1)69x x x x x x x -+÷-?+++（１2) ()

22121441a a a a a a -+÷+?++- 计算:（１3）1112421222-÷+--?+-a a a a a a （14）()633446222-+-÷--÷+--a a a

a a a a 求值题：(1）已知：43=y x ，求xy

x y xy y xy x y x -+÷

+--22

22222的值。 (２）已知：x y y x 39-=+,求2

x y x +-的值。

(3）已知：311=-y x ，求y

xy x y xy x ---+2232的值。例题：

计算:（１）232()3y x = (2)5

2??? ??-b a = （3)3

2323???

?-x y = 计算:(4）3

222???

???????? ??a b ＝ (５）()43

22ab a b b a -÷?

???

??-???? ??- (6）2

2221111??

??-+-???? ??-÷--a a a a a a a

求值题:(1）已知:

32z

y x == 求2

22z y x xz yz xy ++++的值。（２)已知:0325102

=-++-y x x 求y

xy x

x 222++的值。

例题：计算y

x x x y x y x +?+÷+2

)(的结果是( )A y x x +22 B y x +2

C y 1

D y

+11

例题：化简x y x x 1?÷

的结果是( ）A. １ B. xy C. x

D . y x

计算：(１)422448223-+?++-x x x x x x ；（2）12211222+-÷-+-x x x x x (3)(ａ2

－1)·22221a a a +-+÷122

a a +-

7、分式的通分及最简公分母：

通分:主要分为两类：第一类：分母是单项式;第二类：分母是多项式(要先把分母因式分解）分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型;“四、六”型等三种类型。 “二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。例如：

22--+x x

x 最简公分母就是()()22-+x x 。 “二、四”型:指其一个分母完全包括另一个分母,最简公分母就是其一的那个分母。

例如：

222

--+x x x 最简公分母就是[][]()2242

-+=-x x x “四、六”型：指几个分母之间有相同的因式,同时也有独特的因式,最简公分母要有独特的;相同的都要有。

例如:

()()

22-+-x x x x 最简公分母是：()22-x x

这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联系。例1:分式

m n m n m --+2

,1,12

2的最简公分母是（ ) A ．))((2

n m n m -+ Ｂ.2

)(n m - C ．)()(2

n m n m -+ D ．2

2n m -

例２:对分式

x ，23x y ,14xy

通分时, 最简公分母是( ) A.２4ｘ2y

B.１２x ２y 2

Ｃ.24x ｙ２

Ｄ．１2x y ２

例3:下面各分式：221x x x -+,22x y x y +-,11x x --+，22

x y x y

+-，其中最简分式有（）个。 A. 4 ?

?B ． 3 ??

Ｃ． 2 ?

?D ．１

例4：分式

412

-a ，42-a a 的最简公分母是 . 例5:分式ａ与1

的最简公分母为＿_＿__＿_＿__＿_____;

例6:分式xy

x y x +--2

221

,1的最简公分母为。

８、分式的加减：

分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。 1、同分母分式不用通分,分母不变，分子相加减。

2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。

通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解,考虑什么类型,继续通分。分类:第一类：是分式之间的加减，第二类:是整式与分式的加减。

例１：m

m 22-＝例2:141322222--+-+a a a a =

例3：

x y x

y x y -+-＝例4:2

2222222y x x x y y y x y x ---+-+＝

计算：（１）41

33m m m -+++ (2）a b b b a a -+- (３） 2

222)

()(a b b b a a --- (4) 2253a b ab +-22

35a b ab -－228a b

ab +.

例5:化简1x +12x +1

3x 等于（ ) A ．12x B ．32x C.116x D ．5

例6:c a b c a b +- 例７:22142

a a a -

-- 例8:x x

x x ---3)

3(32

例9：

x x x x x x 13632+-+-- 例10:

2a a a ++--224a a -- 例11:11--+a a a 例12:

x x x --- 练习题：（1)

22a b ab b a b -++ (２） x

x x x +-+-+-21

44212

(３） 2129a -+23a -. (4) b a b -a b 2++ （5) 2x y

x y y x

---- 例13：计算1

1--+a a a 的结果是（ )A 11-a B 11

--a C 112---a a a D 1-a

例14:请先化简：

1224

x x ---,然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值. 例15:已知：0342

=-+x x 求4

42122++--+x x x x x 的值。

9、分式的混合运算:

例1:4

421642++-÷-x x

x x 例2:34121311222+++-?-+-+x x x x x x x 例３:2

22)2222(x x x x x x x -?-+-+- 例4:1342+???

? ??+-x x x

例5：1

111-÷??? ??

--x x x 例6:2

2224421y xy x y x y x y x ++-÷+-- 例72

2112(

)2y

x y x y x xy y -÷-+-+ 例8： x

x x x x

x x 1

1212

÷??? ??+---+ 例9: x x x x x x x x 4

4122(

22-÷+----+

练习题：

10、分式求值问题:

例1：已知x 为整数,且

23x ++23x -+22189

x x +-为整数，求所有符合条件的ｘ值的和. 例２：已知x ＝2，y =

12,求222424()()x y x y ??-??+-??÷11x y x y ??+ ?+-??

的值．例３:已知实数ｘ满足4ｘ2

-4ｘ+ｌ＝O,则代数式2x+

的值为__＿＿____．例4：已知实数a 满足a 2

＋2a -8=０，求3

21311222+++-?

-+-+a a a a a a a 的值. 例5:若13x x

+= 求12

42++x x x 的值是( )．A.81 B ．101 C ．21 D.41

例6:已知

113x y -=，求代数式21422x xy y

x xy y

----的值例7:先化简，再对a 取一个合适的数,代入求值22

1369

324

a a a a a a a +--+-÷-+-．练习题:

(1）168422+--x x x x ，其中x=5. （2)16

822-+-a a a ,其中a ＝5 (3)2222b ab a ab a +++,其中a=－3，

ｂ=2

（4)21

44122++÷

++-a a a a a ;其中ａ＝85；（５)x

x x x x x x x 4)44122(22-÷+----+，其中x= -１（6）先化简,再求值:

324x x --÷（x +2-5

x -).其中x ＝－2.

（7)3,3

,1)()2(

222222-==+--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中 (8)先化简,2

1x x x -??+÷ ???

，再选择一个你喜欢的数代入求值.

11、分式其他类型试题：

例１：观察下面一列有规律的数：32,83，154,245,356，48

，……．根据其规律可知第ｎ个数应是_＿＿(n 为正整数)

例2：观察下面一列分式:2345124816

,,,,,...,x x x x x

--根据你的发现，它的第8项是 ,第ｎ项是。

例3:按图示的程序计算，若开始输入的n 值为4,则最后输出的结果m 是 ( ) A １0 Ｂ 20 C ５5 D ５0

例4：当x=_＿＿_＿__时,分式x -51与x

3210-互为相反数. 例5：在正数范围内定义一种运算☆,其规则为a ☆b =b a 11+，根据这个规则x ☆2

)1(=+x 的解为

( ）Ａ.32=x ?Ｂ.1=x ? Ｃ.3

-=x 或1 D.32=x 或1-

例６:已知

)4(422+++=+x C Bx x A x x ,则___________,_____,===C B A ；

例７: 已知37(1)(2)12

y A B

y y y y +=+----,则( )

Ａ.10,13A B =-= ?B ．10,13A B == Ｃ.10,13A B ==- D.10,13A B =-=-

例８：已知y x 32=,求2

22y

x y y x xy --+的值; 例９：设mn n m =-,则

n m 11-的值是( ） A ．mn

B.0

C.1

D.1-

例10：请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式,并化简该分式

x 2

－4ｘy ＋4ｙ2

x 2

－4y 2

ｘ-2ｙ

例11：先填空后计算: ①

111+-n n = 。2111+-+n n = 。31

21+-

+n n ＝。（3分)

②（本小题4分)计算：

)

2008)(2007(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++++++++++n n n n n n n n

解:)

2008)(2007(1

)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++++++++++n n n n n n n n

１2、化为一元一次的分式方程：

（1）分式方程:含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

(2）解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母)，把分式方程转化为整式方程。解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时,最简公分母有可能为0,这样就产生了增根,因此分式方程一定要验根。

（3)解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简; (2)方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程；（3)解整式方程；（4)验根.

例1:如果分式121

+-x x 的值为－1,则x 的值是；例2：要使2

415--x x 与的值相等,则x =___＿____＿_。例3：当m=＿＿_＿_时，方程21

mx m x

+-=2的根为12.

例4:如果方程

1(2

=-x a 的解是x=5,则a= 。

例5:(1)

132+=x x (２) 13132=-+--x

x x 例６:解方程:2

416222-+=--+-x x x x x 例７:已知：关于ｘ的方程x x x a --=-+34

31无解，求a 的值。例８:已知关于x 的方程

-=-+x a

x 的根是正数，求a 的取值范围。例9：若分式21+x 与3

--x x 的2倍互为相反数，则所列方程为_______＿_____________＿_____;

例１０：当m 为何值时间？关于x 的方程2

122---+=--x x x x x x m 的解为负数？

例11:解关于x 的方程)0(2≠-=+-a a

b x a

x b

例1２:解关于x 的方程：

)0(2112

2≠-=--+++a b

a a

b a x b a x 例１3:当a 为何值时,

)

1)(2(21221+-+=+----x x a

x x x x x 的解是负数? 例14:先化简,再求值:22

2)(222

--+++-?-y x x y x y x y x x ,其中x,y 满足方程组???-=-=+2

32y x y x 例15知关于x 的方程

)

1)(2(121-+=--+-x x m x x x x 的解为负值，求ｍ的取值范围。练习题: (1）

412-=-x x (2)

0)1(213=-+--x x x x (3）X X X

+--=-15

13112

(4）625+-=-x x x x (5）2

63524245--+=--x x x x （6)11112-=-x x （7） x x x --=+-21321 (8)21212339x x x -=+-- （9) 311

223=-+-x

x 1３、分式方程的增根问题:

(1)增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0,二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

（2)分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；否则,这个解不是原分式方程的解。例1：分式方程

3-x x +1=3

-x m 有增根，则ｍ= 例2:当k 的值等于时，关于ｘ的方程

423--=+-x x

x k 不会产生增根; 例3：若解关于x 的分式方程23

4222+=

-+-x x mx x 会产生增根,求ｍ的值。

例4:m 取时,方程

323-=--x m x x 会产生增根; 例5：若关于x 的分式方程3

232

-=--x m x x 无解,则m 的值为__＿___＿＿＿＿。例6：当k 取什么值时?分式方程

0111

x k x x x x +-=--+有增根. 例7:若方程4

41-=--x m

x x 有增根，则m 的值是（）A.4 B ．３Ｃ．-3 D ．1

例8:若方程

2(2)

a x x x x =+--有增根,则增根可能为（ ) Ａ、0 Ｂ、2 C 、0或2 D 、1

１４、分式的求值问题:

例1:已知31=b a ,分式

a b

a 52-+的值为 ; 例2:若a

b ＝1,则11

11++

+b a 的值为。例3:已知13a a -= ,那么2

21a a

+=＿_＿_＿__＿＿ ;

例4:已知

311=-y x ，则y xy x y xy x ---+55的值为（）Ａ 27- B 27 C 72 D 7

例5：已知y x 32=，求2

22y x y y x xy --

+的值; 例６:如果b a

=２，则2

222b a b ab a ++-=

例7:已知2+x a 与2-x b 的和等于4

42-x x

,则ａ= , ｂ＝。例8：若0≠-=y x xy ,则分式=-x

y 1

1（）A 、xy 1 B 、x y - C 、１ D 、－1

例9:有一道题“先化简,再求值：22

241

244

x x x x x -+÷+--（），其中x =”小玲做题时把“x =

错抄成了“x =

,但她的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事?

例10:有这样一道数学题：“己知:ａ＝20０5,求代数式a(1+a

1)-11

2--a a 的值”,王东在计算时错把“ａ=2

０05”抄成了“a=2０5０”，但他的计算结果仍然正确，请你说说这是怎么回事。

例11:有这样一道题:“计算：222211

1x x x x x x x

-+-÷--+的值,其中2007x =”，某同学把2007x =错抄成

2008x =，但它的结果与正确答案相同,你说这是怎么回事?

例题：已知31

=+x

x ，求12

42++x x x 的值。

1５、分式的应用题:

（1)列方程应用题的步骤是什么？ (1)审;(2)设；(3)列；(4）解;(5)答.

（2）应用题有几种类型;基本公式是什么?基本上有四种:

ａ.行程问题：基本公式:路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． b.数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法． c ．工程问题: 基本公式:工作量＝工时×工效． d.顺水逆水问题: v

顺水

=ｖ静水＋v 水．ｖ逆水=ｖ静水-ｖ水．

工程问题：

例１:一项工程，甲需x 小时完成，乙需y 小时完成,则两人一起完成这项工程需要______ 小时。

例2:小明和小张两人练习电脑打字,小明每分钟比小张少打６个字，小明打120个字所用的时间和小张打1８0个字所用的时间相等。设小明打字速度为x 个／分钟，则列方程正确的是（ ) A

x x 1806120=+ B x x 1806120=- Ｃ 6180120+=x x D 6

180

120-=

x x 例3:某工程需要在规定日期内完成，如果甲工程队独做，恰好如期完成; 如果乙工作队独做,则超过规定日期3天,现在甲、乙两队合作２天,剩下的由乙队独做,恰好在规定日期完成,求规定日期.如果设规定日期为ｘ天,下面所列方程中错误的是( ) A ．

213x x x +=+； B.233x x =+; C.1

122133x x x x -??+?+= ?

++??

; D.113x x x +=+ 例４:一件工程甲单独做a 小时完成，乙单独做b 小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（）.(A ）b a + (B)

b a 11+ (C)b a +1 （Ｄ）b

a ab

+ 例5：赵强同学借了一本书,共280页,要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21页

才能在借期内读完．他读了前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时,平均每天读x 页，则下列方程中，正确的是( ）

A 、

1421140140=-+x x B 、1421280280=++x x B 、1211010=++x x D 、1421

140

140=++x x

例6:某煤厂原计划x 天生产1２0吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，

列出方程为( ) A

31202120-=-x x B 32120120-+=x x C 31202120-=+x

x Ｄ 32120

120--=x x

例７:某工地调来72人参加挖土和运土工作，已知3人挖出的土１人恰好能全部运走,问怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工?要解决此问题，可设派x 人挖土．列方程①7213x x -=；②723

x -=;③372x x +=;④

372x

=-．

例８：八(1）、八(２）两班同学参加绿化祖国植树活动,已知八（1)班每小时比八（2)班多种２棵树,八（１)班种６6棵树所用时间与八（２）班种60棵树所用时间相同,求:八(1)、八（２)两班每小时各种几棵树？

例9:某一一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙独做就要超过日期３天，现在甲、乙两人合做2天，剩下的工程由乙独做,刚刚好在规定的日期完成，问规定日期是几天?

例10：服装厂接到加工7２0件衣服的订单,预计每天做48件，正好可以按时完成,后因客户要求提前5天交货,则每天应比原计划多做多少件?

例11：为加快西部大开发的步伐，决定新修一条公路,甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工，则刚好可以按期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成。现在甲、乙两队先共同施工4个月,剩下的由乙队单独施工，则也刚好可以按期完成。问师宗县原来规定修好这条公路需多长时间？

例12:某工程由甲、乙两队合做６天完成,厂家需付甲、乙两队共４350元;乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共４７50元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的

,厂家需付甲、丙两队共２750元。 (1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

（２)若工期要求不超过２0天完成全部工程,问可由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由。

价格价钱问题：

例1:“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游,面包车的租价为1８0元，出发时又增加了两名同学,结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设参加游览的同学共ｘ人,则所列方程为??(? ) Ａ.

32180180=+-x x B.31802180=-+x x C ．32180180=--x x D ．3180

2180=--x

x 例2:用价值１００元的甲种涂料与价值24０元的乙种涂料配制成一种新涂料，其每千克售价比甲种涂料每千克售价少3元，比乙种涂料每千克的售价多１元,求这种新涂料每千克的售价是多少元?若设这种新涂料每千克的售价为x 元，?则根据题意可列方程为___＿＿＿_＿.

例3：某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人１5０人,甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600元和1０00元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙同种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少?

例4：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4８００元,第二次捐款总额为5000元,第二次捐款人数比第一次捐款人数多２0人,而且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人进行捐款?

例５:随着I Ｔ技术的普及，越来越多的学校开设了微机课.某初中计划拿出７2万元购买电脑,由于团体购买,结果每台电脑的价格比计划降低了500元，因此实际支出了64万元.学校共买了多少台电脑？若每台电脑每天最多可使用4节课,这些电脑每天最多可供多少学生上微机课?(该校上微机课时规定为单人单机)

例６：光明中学两名教师带领若干名三好学生去参加夏令营活动,联系了甲、乙两家旅游公司，甲公司提供的优惠条件是:１名教师收行业统一规定的全票,其余的人按7.5折收费，乙公司则是：所有人全部按８折收费．经核算甲公司的优惠价比乙公司的优惠价便宜

,那么参加活动的学生人数是多少人?

例7:北京奥运“祥云”火炬20０８年５月7日在羊城传递，熊熊燃烧的奥运圣火将在羊城传递和平、友谊、进步的“和平之旅”,广州市民万众喜迎奥运。某商厦用8万元购进奥运纪念运动休闲衫，面市后供不应求，商厦又用1７.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的２倍,但单价贵了４元,商厦销售这种运动休闲衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售,很快售完,请问在这两笔生意中，商厦共赢利多少元？

顺水逆水问题：

例1：Ａ、B 两地相距４8千米,一艘轮船从A 地顺流航行至B 地,又立即从B 地逆流返回A 地，共用去９小时,已知水流速度为4千米/时,若设该轮船在静水中的速度为x 千米／时,则可列方程( ) ?A 、

9448448=-++x x B 、9448448=-++x x C 、9448=+x D 、94

496=-++x x

例2：一只船顺流航行９0km 与逆流航行60ｋm 所用的时间相等，若水流速度是2km/h,求船在静水中的速度，

设船在静水中速度为xkm/h,则可列方程( ）

A 、290+x =260-x

B 、290-x ＝260+x

C 、x 90+３＝x 60 Ｄ、x 60+３=x 90

例3:轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相同,已知水流速度是每小时3千米，求轮船在静水中的速度。

行程问题:

例1：在一段坡路,小明骑自行车上坡的速度为每小时V １千米，下坡时的速度为每小时V 2千米,则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（）

?Ａ、

221v v +千米Ｂ、2121v v v v +千米 C 、2

12v v v v +千米 D 、无法确定例2：甲、乙两人分别从两地同时出发,若相向而行,则a 小时相遇;若同向而行,则b 小时甲追上乙．那么甲

的速度是乙的速度的( ) A.

a b b +倍? Ｂ．b a b +倍? C ．b a b a +-倍 ? D ．b a

b a

-+倍

例3：八年级Ａ、Ｂ两班学生去距学校4.５千米的石湖公园游玩,Ａ班学生步行出发半小时后，B 班学生骑自行车开始出发，结果两班学生同时到达石湖公园,如果骑自行车的速度是步行速度的3倍,求步行和骑自行车的速度各是多少千米/小时？

例４：A 、B 两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A 地驶出３小时后,一辆小汽车也从Ａ地出发,它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B 地,求两车的速度。

例5：甲、乙两火车站相距12８０千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍,从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度。

数字问题：

例1：一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加1，则这个分数等于

,求这个分数. 例2：一个两位数,个位数字是2，如果把十位数字与个位数字对调,所得到的新的两位数与原来的两位数之比是7：4，求原来的两位数。

例3:一个分数的分母加上5，分子加上4,其结果仍是原来的分数，求这个分数。

例４:一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小2,个位上的数字加上8以后去除这个两位数时，所得到的商是2,求这个两位数。

16、公式变形问题:

例1:一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为U 像距为Ｖ,凸透镜的焦距为F ，且满足F

V U 1

11=+,则用U 、V 表示F 应是（ ) (Ａ）

UV V U + (B)V

U UV

+ （Ｃ）V U (D)U V

例２:已知公式

111

R R R =+（12R R ≠），则表示1R 的公式是（） A.212R R R RR -=

B.212RR R R R =- C ．1212()R R R R R += D.2

12RR R R R

=- 例3：一根蜡烛在凸透镜下成一实像,物距ｕ,像距v 和凸透镜的焦距f 满足关系式:

错误!+错误!=错误!. 若ｆ＝６厘米,v ＝8厘米,则物距ｕ= 厘米．例4:已知梯形面积,)(2

h b a S +=S 、ａ、ｂ、h 都大于零，下列变形错误是（ ) A ．b

a S

h +=

2 B. b h S a -=2 C.a h S b -=2 D ．)(2b a S h +=

例５：已知b

a a N

b a M ab ++

+=+++=

=11,1111,1,则Ｍ与Ｎ的关系为（ ) A.M >Ｎ B.M ＝N Ｃ.M <Ｎ D ．不能确定．