北师大版版高考数学一轮复习平面解析几何抛物线教学案理解析版

[考纲传真] １．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.２．理解数形结合思想.３．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．

１．抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l（l不过F ）的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F 叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线．

２．抛物线的标准方程与几何性质

标准y２＝２px（p>0）y２＝—２px

（p>0）

x２＝２py（p>0）

x２＝—２py

（p>0）

方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离

图形

顶点O（0,0）

对称轴y＝0x＝0

焦点F错误!F错误!F错误!F错误!

离心率e＝１

准线方程x＝—错误!x＝错误!y＝—错误!y＝错误!

范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R

焦半径

（其中

P（x0，

y0））

|PF|＝x0＋错误!|PF|＝—x0＋错误!|PF|＝y0＋错误!|PF|＝—y0＋错误!

１．y２＝ax（a≠0）的焦点坐标为错误!，准线方程为x＝—错误!.

２．设AB是过抛物线y２＝２px（p＞0）焦点F的弦，若A（x１，y１），

B（x２，y２），则

（１）x１x２＝错误!，y１y２＝—p２.

（２）弦长|AB|＝x１＋x２＋p＝错误!（α为弦AB的倾斜角）．

（３）以弦AB为直径的圆与准线相切．

（４）通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于２p，通径是过焦点最短的弦．

[基础自测]

１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（１）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．

（２）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．（）

（３）若一抛物线过点P（—２,３），则其标准方程可写为y２＝２px（p＞0）．（）

（４）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．（）

[答案] （１）×（２）×（３）×（４）×

２．抛物线y＝错误!x２的准线方程是（）

Ａ．y＝—１Ｂ．y＝—２

Ｃ．x＝—１Ｄ．x＝—２

A[∵y＝错误!x２，∴x２＝４y，∴准线方程为y＝—１．]

３．（教材改编）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P（—４，—２）的抛物线的标准方程是（）Ａ．y２＝—xＢ．x２＝—8y

Ｃ．y２＝—8x或x２＝—yＤ．y２＝—x或x２＝—8y

D[若焦点在y轴上，设抛物线方程为x２＝my，由题意可知１6＝—２m，∴m＝—8，即x２＝—8y.若焦点在x轴上，设抛物线方程为y２＝nx，由题意，得４＝—４n，∴n＝—１，

∴y２＝—x.

综上知，y２＝—x或x２＝—8y.故选Ｄ．]

４．（教材改编）若抛物线y＝４x２上的一点M到焦点的距离为１，则点M的纵坐标是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!

Ｃ．错误!Ｄ．0

B[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝—错误!，设M（x，y），则y＋错误!

＝１，∴y＝错误!.]

５．（教材改编）过抛物线y２＝４x的焦点的直线l交抛物线于P（x１，y１），Q（x２，y２）两点，如果x１＋x２＝6，则|PQ|等于________．

8 [|PQ|＝x１＋x２＋p＝6＋２＝8．]

抛物线的定义及应用

【例１】（１）已知F是抛物线y２＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝３，则线段AB的中点到y轴的距离为（）

Ａ．错误!Ｂ．１

Ｃ．错误!Ｄ．错误!

（２）已知抛物线y２＝２x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，A（３,２），则|PA|＋|PF|的最小值为________，取最小值时点P的坐标为________．

（１）C（２）错误!（２,２）[（１）如图所示，设抛物线的准线为l，

AB的中点为M，作AA１⊥l于A１，BB１⊥l于B１，MM１⊥l于M１，由抛物线的定

义知p＝错误!，|AA１|＋|BB１|＝|AF|＋|BF|＝３，则点M到y轴的距离为|MM１|—

错误!＝错误!（|AA１|＋|BB１|）—错误!＝错误!.故选Ｃ．

（２）将x＝３代入抛物线方程y２＝２x，得y＝±错误!.因为错误!＞２，所

以点A在抛物线内部，如图所示．

过点P作PQ⊥l于点Q，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|，

当PA⊥l，即A，P，Q三点共线时，|PA|＋|PQ|最小，

最小值为错误!，即|PA|＋|PF|的最小值为错误!，此时点P的纵坐标为２，代

入y２＝２x，得x＝２，所以所求点P的坐标为（２,２）．]

[规律方法] 应用抛物线定义的两个关键点

（１）由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．

（２）注意灵活运用抛物线上一点P（x0，y0）到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋错误!或|PF|＝|y0|＋错误!.

（２）（２0１7· 全国卷Ⅱ）已知F是抛物线C：y２＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y 轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.

（１）y２＝４x（２）6 [（１）设动圆的圆心坐标为（x，y），则圆心到点（１,0）的距离与到直线x＝—１的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y ２＝

４x.

（２）如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过

点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.

由题意知，F（２,0），|FO|＝|AO|＝２．

∵点M为FN的中点，PM∥OF，

∴|MP|＝错误!|FO|＝１．

又|BP|＝|AO|＝２，

∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝３．

由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝３，故|FN|＝２|MF|＝6．]

抛物线的标准方程及其性质

【例２】（１）如图所示，过抛物线y２＝２px（p＞0）的焦点F的直线依

次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝２|BF|，且|AF|＝４，则抛物线的方程

为（）

Ａ．y２＝8x

Ｂ．y２＝４x

Ｃ．y２＝２x

Ｄ．y２＝x

（２）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y２＝４x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为１２0°，那么|PF|＝________.

（１）B（２）４[（１）如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于

点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝２a，由定义得|BD|

＝a，故∠BCD＝３0° ，则在R t△ACE中，２|AE|＝|AC|，又|AF|＝４，∴|AC|＝４

＋３a，|AE|＝４，∴４＋３a＝8，从而得a＝错误!，∵AE∥FG，

∴错误!＝错误!，即错误!＝错误!，p＝２．∴抛物线的方程为y２＝４x.故选Ｂ．

（２）法一：抛物线y２＝４x的焦点为F（１,0），准线方程为x＝—１．因为直线AF的倾斜角为１２0°，所以∠AFO＝60°.又ta n 60°＝错误!，所以y A＝２错误!.因为PA⊥l，所以y P＝y A＝２错误!.将其代入y２＝４x，得x P＝３，所以|PF|＝|PA|＝３—（—１）＝４．

法二：抛物线y２＝４x的焦点为F（１,0），准线方程为x＝—１．因为PA⊥l，所以|PA|＝|PF|.又因为直线AF的倾斜角为１２0°，所以∠AFO＝60°，所以∠PAF＝60°，所以△PAF为等边三角形，所以|PF|＝|AF|＝错误!＝４．]

[规律方法] （１）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．

（２）在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．

２

△POF的面积为（）

Ａ．错误!Ｂ．错误!

Ｃ．２Ｄ．３

（２）设抛物线C：y２＝２px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝５，若以MF为直径的圆过点（0,２），则抛物线C的方程为（）

Ａ．y２＝４x或y２＝8xＢ．y２＝２x或y２＝8x

Ｃ．y２＝４x或y２＝１6xＤ．y２＝２x或y２＝１6x

（１）B（２）C[（１）抛物线y２＝４x的焦点为F（１,0），准线为直线x

＝—１．设点P（x，y），由抛物线的定义，得|PF|＝x＋１＝４，所以x＝３．把x

＝３代入y２＝４x，得y＝±２错误!，故△POF的面积S＝错误!×|OF|×|y|＝错误!×

１×２错误!＝错误!.故选Ｂ．

（２）如图所示，抛物线y２＝２px的焦点F坐标为错误!，准线方程为l：x＝

—错误!.由|MF|＝５，可得点M到准线的距离为５，则点M的横坐标为５—错误!，可设M错误!，则

MF 中点B 的坐标为B 错误!，∵以MF 为直径的圆过点A （0,２），∴|AB |＝错误!|MF |＝错误!，则有错误!

２

＋错误!２＝错误!２

，解得m ＝４，由点M 在抛物线上可得m ２＝４２＝２p 错误!，解得p ＝２或p ＝8，∴所求抛物线方程为y ２＝４x 或y ２＝１6x ，故选Ｃ．]

直线与抛物线的位置关系

【例３】 （２0１8·全国卷Ⅰ）设抛物线C ：y ２＝２x ，点A （２,0），B （—２,0），过点A 的直线

l 与C 交于M ，N 两点．

（１）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （２）证明：∠ABM ＝∠ABN .

[解] （１）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝２，可得点M 的坐标为（２,２）或（２，—２）． 所以直线BM 的方程为y ＝错误!x ＋１或y ＝—错误!x —１． （２）证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线， 所以∠ABM ＝∠ABN .

当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k （x —２）（k ≠0），

M （x １，y １），N （x ２，y ２），则x １>0，x ２>0．

由错误!得ky ２—２y —４k ＝0， 可知y １＋y ２＝错误!，y １y ２＝—４． 直线BM ，BN 的斜率之和为

k BM ＋k BN ＝错误!＋错误!＝错误!.１

将x １＝错误!＋２，x ２＝错误!＋２及y １＋y ２，y １y ２的表达式代入１式分子，可得

x ２y １＋x １y ２＋２（y １＋y ２）＝错误!＝错误!＝0．

所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN . 综上，∠ABM ＝∠ABN .

[规律方法] 解决直线与抛物线位置关系问题的三种常用方法

（１）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． （２）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x １＋x ２＋p ，若不过焦点，则必须用弦长公式．

（３）涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时，一般采用“设而不求，整体代入”的解法．

提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解．

２

条．

（２）（２0１9·临沂模拟）已知点A（m,４）（m＞0）在抛物线x２＝４y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l１和l２，且l１，l２与抛物线的另一个交点分别为B，Ｃ．

１求证：直线BC的斜率为定值；

２若抛物线上存在两点关于BC对称，求|BC|的取值范围．

（１）３[结合图形分析可知（图略），满足题意的直线共有３条：直线x＝0，过点（0,１）且平行于x轴的直线以及过点（0,１）且与抛物线相切的直线（非直线x＝0）．]

（２）[解] １证明：∵点A（m,４）在抛物线上，

∴１6＝m２，∴m＝±４，又m＞0，∴m＝４．

设B（x１，y１），C（x２，y２），

则k AB＋k AC＝错误!＋错误!＝错误!＝0，

∴x１＋x２＝—8．

∴k BC＝错误!＝错误!＝错误!＝—２，

∴直线BC的斜率为定值—２．

２设直线BC的方程为y＝—２x＋b，P（x３，y３），Q（x４，y４）

关于直线BC对称，设PQ的中点为M（x0，y0），则

k PQ＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，∴x0＝１．

∴M（１，—２＋b）．

又点M在抛物线内部，∴—２＋b＞错误!，即b＞错误!.

由错误!得x２＋8x—４b＝0，

∴x３＋x４＝—8，x３x４＝—４b．

∴|BC|＝错误!|x３—x４|＝错误!·错误!

＝错误!×错误!.

又b＞错误!，∴|BC|＞１0错误!.

∴|BC|的取值范围为（１0错误!，＋∞）．

１．（２0１8·全国卷Ⅰ）设抛物线C：y２＝４x的焦点为F，过点（—２,0）且斜率为错误!的直线与C交于M，N两点，则错误!·错误!＝（）

Ａ．５Ｂ．6

Ｃ．7 Ｄ．8

D[过点（—２,0）且斜率为错误!的直线的方程为y＝错误!（x＋２），由错误!得x２—５x＋４＝0，解得x＝１或x＝４，所以错误!或错误!不妨设M（１,２），N（４,４），易知F（１,0），所以错误!＝（0,２），错误!＝（３,４），所以错误!·错误!＝8．故选Ｄ．]

２．（２0１6·全国卷Ⅰ）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝４错误!，|DE|＝２错误!，则C的焦点到准线的距离为（）

Ａ．２Ｂ．４

Ｃ．6 Ｄ．8

B[设抛物线的方程为y２＝２px（p＞0），圆的方程为x２＋y２＝r２.

∵|AB|＝４错误!，|DE|＝２错误!，

抛物线的准线方程为x＝—错误!，

∴不妨设A错误!，D错误!.

∵点A错误!，D错误!在圆x２＋y２＝r２上，

∴错误!∴错误!＋8＝错误!＋５，

∴p＝４（负值舍去）．

∴C的焦点到准线的距离为４．]

３．（２0１8·全国卷Ⅲ）已知点M（—１,１）和抛物线C：y２＝４x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.

２[由题意知抛物线的焦点为（１,0），则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k（x—１）（k≠0），由错误!消去y，得k２（x—１）２＝４x，即k２x２—（２k２＋４）x＋k２＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝错误!，x１x２＝１．由错误!消去x得y２＝４错误!，即y２—错误!y—４＝0，则y１

＋y２＝错误!，y１y２＝—４．由∠AMB＝90°，得错误!·错误!＝（x１＋１，y１—１）·（x２＋１，y２—１）＝x１x２＋x１＋x２＋１＋y１y２—（y１＋y２）＋１＝0，将x１＋x２＝错误!，x１x２＝１与y１＋y２＝错误!，y１y２＝—４代入，得k＝２．]

４．（２0１8·全国卷Ⅱ）设抛物线C：y２＝４x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C 交于A，B两点，|AB|＝8．

（１）求l的方程；

（２）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

[解] （１）由题意得F（１,0），l的方程为y＝k（x—１）（k＞0）．

设A（x１，y１），B（x２，y２）．

由错误!得k２x２—（２k２＋４）x＋k２＝0．

Δ＝１6k２＋１6＞0，故x１＋x２＝错误!.

所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝（x１＋１）＋（x２＋１）＝错误!.

由题设知错误!＝8，解得k＝—１（舍去）或k＝１．因此l的方程为y＝x—１．

（２）由（１）得AB的中点坐标为（３,２），所以AB的垂直平分线方程为y—２＝—（x—３），即y＝—x＋５．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则

错误!

解得错误!或错误!

因此所求圆的方程为（x—３）２＋（y—２）２＝１6或（x—１１）２＋（y＋6）２＝１４４．