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132函数的奇偶性

§1.3.2函数的奇偶性

1、已知奇函数)(x f 在[)+∞,0上是减函数，若)()(b f a f <，则一定有（）

A a

B a>b

C |a|<|b|

D |a|>|b|

2、奇函数R x x f y ∈=),(的图象必过点（）

A ())(,a f a -

B ())(,a f a -

C ())(,a f a --

D 以上都不对

3、已知偶函数)(x f 在[)+∞,0上单调增加，则满足)()(3112f x f <-的x 取值范围是（） A ??????3231, B ??? ??3231, C ??? ??3221, D ??

????3221, 4、奇函数)(x f 在区间[]73,上为增函数，且最小值是1，则)(x f 在区间[]37--,上是（） A 增函数且最小值是-1 B 增函数且最大值是-1

C 减函数且最小值是-1

D 减函数且最大值是-1

5、已知当x>0时，函数322--=x x x f )(，若)(x f 是R 上的奇函数，则)(x f =___________;

6、已知224+-+=x bx ax x f )(，102=-)(f ，则___________)(=2f ；

7、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，在()+∞,0上是增函数，且01=)(f ，则0>)(x f 的解集是_________;

8、下列函数是偶函数的是___________;

①||)(x x x f =②||||)(11-++=x x x f ③??

???<-+≥--=010122x x x x x x x f ,,)(④)(x f 的图象关于y 轴对称。 9、定义在（-2，2）上的减函数)(x f 是奇函数，解不等式0213>++-)()(x f x f

10、若对一切实数x,y 都有)()()(y f x f y x f +=+，

（1）求)(0f ；

（2）用定义法判断)(x f 的奇偶性；

（3）若当x>0时，0>)(x f ，用定义法判断)(x f 的单调性。

专题：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性.docx

专题：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性一、函数的单调性 1．单调函数与严格单调函数设 f(x) 为定义在I上的函数，若对任何 x1 , x2I ，当 x1x2时，总有 (ⅰ ) f (x1) f ( x2) ，则称f (x)为I上的增函数，特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递增函数。 (ⅱ ) f (x1) f ( x2) ，则称f (x)为I上的减函数，特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递减函数。 2．函数单调的充要条件 ★若 f (x) 为区间I上的单调递增函数，x1、 x2为区间内两任意值，那么有： f (x1) f ( x2)或 x1x20（x1x2)[ f (x1) f (x2)] 0 ★若 f (x) 为区间I上的单调递减函数，x1、 x2为区间内两任意值，那么有： f (x1) x1 3．函数单调性的判断(证明 ) (1)作差法 (定义法 ) (2)作商法 4复合函数的单调性的判定f ( x2)或x 2 )[ f (x1)f (x2)] 0 x20（x1 对于函数 y f (u) 和 u g(x) ，如果函数u g( x) 在区间 (a, b) 上具有单调性，当x a, b 时 u m,n，且函数 y f (u)在区间 (m, n) 上也具有单调性，则复合函数y f ( g( x)) 在区间a,b具有单调性。 5．由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数 f (x) 和 g( x) ，若它们的定义域分别为I 和 J ，且 I J： (1)当f (x)和g (x)具有相同的增减性时，函数F1 (x) f (x) g( x) 、 F2 (x) f ( x)g(x) 的增减性与 f ( x)(或g( x) )相同， F3 ( x) f (x) g( x) 、 F4 (x)f (x) ( g(x) 0)的增减性不能确定；g( x) (2)当f (x)和g (x)具有相异的增减性时，我们假设 f ( x) 为增函数， g ( x) 为减函数，那么： ① F1 (x) f (x)g( x) 、 F2 (x) f ( x) g( x) 的增减性不能确定； ② F3 ( x) f ( x)g(x) 、 F4 ( x)f ( x) (g( x)0) 为增函数， F5 (x) g( x) ( f ( x)0) 为减函数。 g (x) f (x) 二、函数的奇偶性 1.奇偶性的定义如果对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个x ，都有 f ( x) f ( x) ，则称函数 f (x) 为偶函数；如果对于函数 f (x) 的定义域内的任

函数的奇偶性教学设计

《函数的奇偶性》教学设计五华县高级中学叶双霞教材来源：人教版高中数学必修一一、教材分析 “奇偶性”是人教版必修1中第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基木性质”的第2小节。函数的奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的初中学过的的一些轴对称图形入手，体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。尝试画出f(x) = χ2和f(x)=∣x∣的图像，从特殊到一般，从具体到抽象，比较系统地介绍了函数的奇偶性?从知识结构看，奇偶性既是函数概念的拓展和深入，乂是为以后学习基本初等函数奠定了基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。二、学情分析从学生的认知基础看，学生在初中己经学习了轴对称图形和中心对称图形, 并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，上节课学习了函数单调性，积累了研究函数的基本方法与初步经验。三、教学目标【知识与技能】 1. 理解奇函数、偶函数的概念及其几何意义； 2. 能从定义、图像特征、性质等多种角度判断函数的奇偶性，学会函数的应用。【过程与方法】通过实例观察、具体函数分析、数与形的结合，定性与定量的转化，让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程，体验数学概念学习的方法，积累数学学习的经验。【情感、态度与价值观】 1. 在经历概念形成的过程中，培养学生内容、归纳、抽象、概括的能力： 2?通过H主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。

. 教学重点和难点重点：函数奇偶性的概念和函数图像的特征。难点：利用函数奇偶性的概念和图像的对称性，证明或判断函数的奇偶性。五、教学方法引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。 PPT 课件。七、教学过程 (一) 情境导入、观察图像设计意图：通过图片引起学生的兴趣，培养学生的审美观，激发学习兴趣。师：“同学们，这是我们生活中常见的一些具有对称性的物体，你能说出它们有什么特点吗？ ” 生：“它们的共同点都是关于某一地方是对称的。” 师：“是的，而我们今天要学习的函数图像也有类似的对称图像，首先我们来尝试画一下f(x) = X 2和f(x)=∣x ∣的图像，并一起探究儿个问题。” (二) 探究新知、形成概念探究1 ?观察下列两个函数f(x) = X 2和f(x)=仪|的图象,它们有什么共同特征吗? !1! 六、教学手出示一组轴对称和中心对称的图片。

函数的奇偶性的典型例题

函数的奇偶性的典型例题函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①、定义域是否关于原点对称； ②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2 432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x / ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。例2：判断函数???<≥-=) 0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。 ~

命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x ∈〔-1,1〕),g(x)=x(x ∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|=? ??<-≥),0)((),(0)((),(x f x f x f x f 不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。命题4 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶函数。此命题错误。如函数f(x)=???∈+=∈=) ,12(,),2(,2N n n x x N n n x x 从图像上看，f(x)的图像既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故此函数非奇非偶。命题5 函数f(x)+f(-x)是偶函数，函数f(x)-f(-x)是奇函数。此命题正确。由函数奇偶性易证。 > 命题6 已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。此命题正确。由奇函数的定义易证。命题7 已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根之和为零；若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。此命题正确。方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x 轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若f(x)=0，则f(-x)=0。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有f(0)=0。故原命题成立。五、关于函数按奇偶性的分类全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。六、关于奇偶函数的图像特征例1：已知偶函数)(x f y =在y 轴右则时的图像如图（一）试画出函数y 轴右则的图像。

函数的奇偶性专题复习

函数的奇偶性专题复习一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ： ⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。二、函数的奇偶性的几个性质 ①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③可逆性：)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-?)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下：①定义域是否关于原点对称； ②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性（1）x x x f 2)(3+= （2）2 432)(x x x f += （3）1)(2 3--=x x x x f （4）2)(x x f = []2,1-∈x （5）2211)(x x x f -+-= （6）221()lg lg f x x x =+. 例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。四、关于函数的奇偶性的6个结论.

函数的奇偶性公开课优秀教案(比赛课教案)

《函数的奇偶性》教案一、教材分析 “奇偶性”是人教版必修1中第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。函数的奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的初中学过的的一些轴对称图形入手，体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。尝试画出f(x)=x2和f(x)=|x|的图像，从特殊到一般，从具体到抽象，比较系统地介绍了函数的奇偶性．从知识结构看，奇偶性既是函数概念的拓展和深入，又是为以后学习基本初等函数奠定了基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。二、学情分析从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，上节课学习了函数单调性，积累了研究函数的基本方法与初步经验。三、教学目标【知识与技能】 1．理解奇函数、偶函数的概念及其几何意义； 2．能从定义、图像特征、性质等多种角度判断函数的奇偶性，学会函数的应用。【过程与方法】通过实例观察、具体函数分析、数与形的结合，定性与定量的转化，让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程，体验数学概念学习的方法，积累数学学习的经验。【情感、态度与价值观】 1.在经历概念形成的过程中，培养学生内容、归纳、抽象、概括的能力； 2.通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。四、教学重点和难点重点：函数奇偶性的概念和函数图像的特征。

难点：利用函数奇偶性的概念和图像的对称性，证明或判断函数的奇偶性。五、教学方法引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。六、教学手段 PPT课件。七、教学过程（一）情境导入、观察图像出示一组轴对称和中心对称的图片。设计意图：通过图片引起学生的兴趣，培养学生的审美观，激发学习兴趣。师：“同学们，这是我们生活中常见的一些具有对称性的物体，你能说出它们有什么特点吗？” 生：“它们的共同点都是关于某一地方是对称的。” 师：“是的，而我们今天要学习的函数图像也有类似的对称图像，首先我们来尝试画一下f(x)=x2和f(x)=|x|的图像，并一起探究几个问题。” （二）探究新知、形成概念探究1．观察下列两个函数f(x)=x2和f(x)=|x|的图象，它们有什么共同特征吗？

函数奇偶性的归纳总结

函数的奇偶性的归纳总结考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。教学目标：1、理解函数奇偶性的概念； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法； 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法； 4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。教学重点：1、理解奇偶函数的定义； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。教学难点：1、对奇偶性定义的理解； 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。教学过程：一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：

奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

高中数学函数奇偶性专题复习

【函数的奇偶性】专题复习一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ： ⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数；二、函数的奇偶性的几个性质 ①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③可逆性：)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-?)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； ⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①定义域是否关于原点对称；②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性（1）x x x f 2)(3 += （2）2 4 32)(x x x f += (3）1 )(2 3--=x x x x f （4）2 )(x x f = []2,1-∈x （5）x x x f -+-=22)( （6）2 |2|1)(2 -+-=x x x f ；（7）2211)(x x x f -+-= （8）2 21()lg lg f x x x =+；（9）x x x x f -+-=11)1()( 例2：判断函数???<≥-=) 0() 0()(22x x x x x f 的奇偶性。第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）： 35721246822()...1(0);()sin ;tan ()...(0);;()cos ;();log ;(0,0) (0)0()k k x a x x x x x k Z k k x x x x x x x x x x k Z ax c b x f x x y C C a x kx b k b y x a a y y +?∈? ?≠+?????∈??+=??=???+≠≠??=+≠??==常见的奇函数：耐克函数常见的偶函数：为常数常见的非奇非偶函数:定义域关于原点对称常见的既奇又偶函数：1)x ????? ? ? ???? ?? ???? ?????=±????两个点的函数四、关于函数的奇偶性的两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。

专题(6)函数的奇偶性与周期性2

专题六函数的奇偶性及周期性 [知识能否忆起] 一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称二、周期性 1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． [小题能否全取] 1．(2012·广东高考)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x 3 C ．y ＝e x D ．y ＝ln x 2＋1 解析：选D 四个选项中的函数的定义域都是R.y ＝sin x 为奇函数．幂函数y ＝x 3也为奇函数．指数函数y ＝e x 为非奇非偶函数．令f (x )＝ln x 2＋1，得f (－x )＝ln (－x )2＋1＝ln x 2＋1＝f (x )．所以y ＝ln x 2＋1为偶函数． 2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－1 3 B.13 C.12 D ．－12 解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝1 3 .又f (－x )＝f (x )，

《函数的单调性和奇偶性》经典例题

经典例题透析类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x10 ∴x1f(x2) 上是减函数. 总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.

类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，

在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，；

函数奇偶性与单调性的综合应用专题

函数奇偶性与单调性的综合应用专题【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感现在拼命努力的自己！】教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质； 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？ 2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？ 3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？【新课讲解】一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小； 2.当题目中出现“2 121) ()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往往还是考察单调性； 3.证明或判断某一函数的单调性； 4.证明或判断某一函数的奇偶性； 5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值围）； 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值围.

二、常用解题方法 1.画简图（草图），利用数形结合； 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化； 3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关； 2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称； 3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”； 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异； 5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤：（1）根据题意在区间上设；（2）比较大小；（3）下结论 . 函数奇偶性证明的步骤：（1）考察函数的定义域；例1 设)(x f 是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝)3 1(log 2 f ，b ＝)2 1 (log 3 f ，c ＝)2(-f ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a ＞＞ B ．a c b ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a b c ＞＞【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质. 【解析】因为log 2 3

高中数学《函数的奇偶性》优秀教学设计.docx

《函数的奇偶性》教学设计

教学过程

环节时长教学过程学生活动设计意图一、弓入 4分钟创设情景，兴趣引入 1、对称图片欣赏 2、游戏：多媒体给出26个英文字母，让学生找出轴对称和中心对称的字母出来。比比看，哪组学生最快，正确率最高。动脑思考，探索新知问题：我们所学过的函数图象中，冇没冇体现着 8分钟对称的美呢？观察下列图象是不是对称的，如果是，那么是关于什么对称？图1 观察、思考、讨论图朴试找律看分并着规游戏中回忆轴对称和屮心对称的判断方法，引起学生的学习兴趣从主观入手，从具体开始，逐步抽象，以学生熟悉的函数入手，做到了直观，具体。

对于图(1),如果沿着y 轴对折，那么对折后y 轴两侧的图像完全重合?这吋称函数图像关对于图(2),如果将图像沿着坐标原点旋转 180° ,旋转前后的图像完全重合.这时称函数图像关于坐标原点对称；原点。叫做这个函数图像的对称中心. 利用动态演示轴对称和中心对称图象上的点的特点。定义：设函数y = /(x)的定义域为数集D,对任意的都冇 -XE D (即定义域关于坐标原点对称)，且 (1) /(-%) = /(%) 数y *(兀)的图像关于y 轴对称，此时称函数y = fM 为偶函数； (2) /(-x) = -/(x) O 函数y = f(x) 的图像关于观察, 思考理解通过动态的演示让学生直观地看出图像上点的特点，从而帮助学生更好地理解定义中的等式关系。

坐标原点对称，此时称函数V = /(X)为奇函数. 如果一个函数是奇函数或偶函数，那么，就说这个函数具冇奇偶性?不具冇奇偶性的函数叫做非奇非偶函数. 第一层次问题: 例1：根据下列函数的图像判断奇偶性三.创设问题27分钟 (3) (2) 让各组学生进行讨论，并且各组各派一位代表出来冋答。第二层次问题:在已知函数图像的基础上我们可以直观地利用图象判断奇偶性，但如杲没有图像的情况下，只知道函数的解析式，我们要如何判断奇偶性呢？例2:判断下列函数的奇偶性： (1 ) f (x) = x3；(2) /(%) = 2x2 +1 ；观察、理解、思考、讨论这几道题目学生只需从图像的对称性來判断奇偶性，第三小题两个端点并不对称，考察学生对定义的理解。让学生体会利用定义来判断奇偶性。这两道练习题主要是为了突出定义中的等式关系，以及等式是否对定义域屮的所有x均成立。

(完整版)函数单调性奇偶性经典例题

函数的性质的运用 1．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数 y f x =()图象上的是（） A.(())a f a ，- B.(())--a f a ， C.(())---a f a ， D.(())a f a ，- 2. 已知函数)(1 22 2)(R x a a x f x x ∈+-+?= 是奇函数，则a 的值为（） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 3．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1 1)()(-= +x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______． 4．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________． 5.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数； (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 6.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()2 1 x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值；（2）判断f(x ）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.

7.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2 -m-2)＜3. 8.设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f y x f -= （1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）；（2）设f （2）=1，解不等式2)3 1 ( )(≤--x f x f 。 9.设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（） A ． 0 B ．9 C ．12 D ．18 10.关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 123 2 x x <<，则实数m 的取值范围 11.已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()||f x x =，则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 12.已知函数()f x 满足：4x ≥，则()f x ＝1()2 x ；当4x <时()f x ＝(1)f x +，则 2(2log 3)f +＝ A 124 B 112 C 18 D 38 13.已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f ( 2 1 )=－1,当且仅当0

第3讲函数的奇偶性与周期性专题

第三讲函数的奇偶性与周期性考点分析： 1．判断函数的奇偶性． 2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值． 3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用．复习指导：复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题．知识梳理：、 1、奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称． 2．奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和（差）是奇函数，两个奇函数的积（商）是偶函数； ②两个偶函数的和（差）、积（商）都是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积（商）是奇函数．一个奇函数，偶函数的和（差）是非奇非偶函数 ▲奇奇＝奇，奇×奇＝偶，偶偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．3．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．关于周期函数的常用结论： 1、若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：

2017高考一轮复习教案-函数的奇偶性与周期性

第三节函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义．知识点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称 1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)． 3．分段函数奇偶性判定时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．必记结论 1．函数奇偶性的几个重要结论： (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．有关对称性的结论： (1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称． (2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称．若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称． [自测练习] 1．函数f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的奇偶性是( )

专题抽象函数的单调性和奇偶性应用

抽象函数的单调性和奇偶性应用抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：一、判断单调性和奇偶性 1. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函数还是减函数，并证明你的结论。分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下：任取 x x x x 121200<-> 因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以 f x f x ()()-<-12。又f x ()是偶函数，所以 f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，，从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。 2. 判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。

高考数学专题：函数的奇偶性与周期性

高考数学专题：函数的奇偶性与周期性最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 知识梳理 1.函数的奇偶性 2. (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示 (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.() (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.() (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.() (4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.()解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不是偶函数，(1)错. (2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错. 答案(1)×(2)×(3)√(4)√ 2.（·西安铁中月考)下列函数为奇函数的是() A.y＝x B.y＝e x C.y＝cos x D.y＝e x－e－x

解析 A ，B 中显然为非奇非偶函数；C 中y ＝cos x 为偶函数. D 中函数定义域为R ，又f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，∴y ＝e x －e －x 为奇函数. 答案 D 3.已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A.－13 B.13 C.12 D.－12 解析依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)，∴a ＝13，则a ＋b ＝1 3. 答案 B 4.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝???－4x 2＋2，－1≤x <0， x ，0≤x <1，则 f ? ?? ?? 32＝________. 解析 ∵f (x )的周期为2，∴f ? ????32＝f ? ???? －12，又∵当－1≤x <0时，f (x )＝－4x 2＋2， ∴f ? ????32＝f ? ????－12＝－4×? ????－122 ＋2＝1. 答案 1 5.（·全国Ⅱ卷)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. 解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1). 又f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (1)＝f (3).∴f (－1)＝3. 答案 3 考点一函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝lg （1－x 2）|x －2|－2； (3)f (x )＝? ??x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.