分式及分式方程知识点总结
分式及分式方程 聚焦考点☆温习理解
一、分式
1、分式的概念
一般地,用A 、B 表示两个整式，A ÷Ｂ就可以表示成B A 的形式,如果B 中含有字母,式子B
A 就叫做分式。其中,Ａ叫做分式的分子，
B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质
(1）分式的基本性质:
分式的分子和分母都乘以(或除以）同一个不等于零的整式,分式的值不变。
（2）分式的变号法则：
分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变。 3、分式的运算法则
;;bc
ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? );()(为整数n b
a b a n n n = ;c
b a
c b c a ±=± bd
bc ad d c b a ±=± 二、分式方程
1、分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是:
(１)去分母,方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
(3）验根：将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根，应该舍去；若不等于零,就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法
换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、分式的值
【例1】(２0１5·黑龙江绥化）若代数式6
265x 2-+-x x 的值等于0 ，则x=___＿_____.
【点睛】分式6
265x 2-+-x x 的值为零则有ｘ2-5x ＋6为0分母2x-6不为0，从而即可求出x 的值. 【举一反三】
1.要使分式x 1x 2
+-有意义,则x 的取值应满足( ) A. x 2≠ B. x 1≠- C. x 2= D. x 1=-
２.（2０15·湖南常德)若分式211
x x -+的值为０，则x ＝ 考点典例二、分式的化简
【例2】化简：2x x x 1x 1
---=（ ） Ａ、0 B 、1 C 、x Ｄ、
1
x x -
【点睛】观察所给式子,能够发现是同分母的分式减法。利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果.
【举一反三】 1．化简22
a b ab b a
--结果正确的是【 】 2.若241()w 1a 42a
+?=--，则w ＝（ ）
A.a 2(a 2)+≠- B ． a 2(a 2)-+≠ Ｃ． a 2(a 2)-≠ Ｄ． a 2(a 2)--≠-
3．计算：2111
a a a -=-- 考点典例三、分式方程
【例３】(2015自贡）方程01
12=+-x x 的解是( ） A ．１或﹣１ B.﹣１ C ．0 Ｄ.1
【点睛】先去掉分母,观察可得最简公分母是x+1,方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解,然后解一元一次方程，最后检验即可求解。
【举一反三】
１.(2015攀枝花)分式方程
1311
x x =-+的根为 ． 2.(２015绵阳)(８分）解方程:311221x x =-++. 考点典例四、分式方程的应用
【例5】((2０１5遂宁)遂宁市某生态示范园,计划种植一批核桃,原计划总产量达36万千克,为了满足市场需求，现决定改良核桃品种,改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍,总产量比原计划增加了９万千克,种植亩数减少了20亩,则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克?设原计划每亩平均产量x 万千克,则改良后平均每亩产量为１.５x 万千克,根据题意列方程为（ ) Ａ．
36369201.5x x +-= B.3636201.5x x -= C.36936201.5x x +-= D.36369201.5x x ++=
【点睛】方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解.
【举一反三】
1.．甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后,在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来的平均速度为x 千米/时，可列方程为（ )
A.42042021.5x x += Ｂ．42042021.5x x -= Ｃ． 1.52420420x x +=D ． 1.52420420
x x -= ２.甲、乙两地之间的高速公路全长20０千米,比原来国道的长度减少了20千米.高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了４5千米/时，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半．设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为ｘ千米/时,根据题意，下列方程正确的是（ ）
A ．2001801452x x =?+
B ．2002201452x x =?+
C .2001801452x x =?-
D . 2002201452x x =?- 课时作业☆能力提升
一.选择题
1.（2０15·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭)关于ｘ的分式方程52
a x x =-有解,则字母ａ的取值范围是（ ）
A.a =5或a =0 B ．a ≠0 C ．a ≠5 Ｄ．a ≠５且a ≠０
2.（20１5·辽宁营口)若关于x 的分式方程2
233x m
x x ++=--有增根,则m 的值是( ).
Ａ.1m =- B.0m = C ．3m = D.0m =或=3
m
3.(2０１5·湖南常德）分式方程2
3122x
x x +=--的解为：( )
Ａ、1 B 、2 C 、1
3 Ｄ、０
４.(2015·山东济宁)解分式方程22
311x x x 时，去分母后变形正确的为( )
A ．2+(x+２)＝3(x-1) B.２－x+2=３(x-1）
C ．２-（ｘ＋２）＝3 D. 2-(x+2)＝3(x-1）
二．填空题
5． （20１５·湖北衡阳，16题，3分)方程13
2x x =-的解为 .
6.(201５·湖北襄阳,14题)分式方程2110
051025x x x 的解是 ．
7.分式方程21
2
011x x +=--的解是___＿___＿__．
8.若分式方程1x x -﹣1m
x -=2有增根，则这个增根是 .
9.(山东威海,第１6题，4分）分式方程的解为 ．
三、解答题
10．计算:22a 1a 1
a 2a a --÷+．
１1.先化简，再求值:222
1a a
a 1a a 2a 1+??
-÷ ?--+??，其中2a a 20+-=.
12．先化简，再求值:22x 9x 3x x 8x 16x 4x 4
--÷-++++
，其中x 4. 1３．先化简,再求值：222x 1x 12x x x ??-+÷+ ?-??
,
其中x 1= １4. (2０１5·山东枣庄,第1９题,8分）(本题满分8分)
先化简,再求值:x x x x x x x -++÷???
? ??-+-+-144214222，其中ｘ满足x 2-4x+３=0 15.（2０1５·山东泰安,第25题)（8分)某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T 恤衫,甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．
(1)甲、乙两种款型的T 恤衫各购进多少件?
（2）商店进价提高60%标价销售,销售一段时间后，甲款型全部售完,乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完,求售完这批Ｔ恤衫商店共获利多少元?
１6.（2０1５·山东济南,第２４题,8分)(8分)济南与北京两地相距480km,乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前４ｈ到达,已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的３倍，求高铁列车的平均行驶速度.
１7.(20１５·辽宁大连)甲乙两人制作某种机械零件.已知甲每小时比乙多做3个，甲做96个所用时间与乙做８4个所用时间相等,求甲乙两人每小时各做多少个零件?
18．(2015.宁夏,第17题，６分）解方程：221111
x x x x --=-- 19． (2０１５.北京市,第２1题，5分)为解决“最后一公里”的交通接驳问题,北京市投放了大量公租自行
车供市民使用.到２0１3年底,全市已有公租自行车25000辆，租赁点６00个．预计到2015年底，全市将有公租自行车５0000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年成平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计２015年底，全市将租赁点多少个?