最经典的乘法公式综合应用与拓展(学生、教师两用版)
八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展 (学生版)
?、基本公式
1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2
-b 2
2
例：计算 1999 -2000 X 1998
2
2 2
2. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b)
例：运用公式简便计算
3. 完全平方公式
a+b(或a-b)、ab 、a 2
+b 2
这三者任意知道两项就可以求出第三项
(a+b)2
、(a-b) 2
、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项
① a 2 b 2 = (a b)2 - 2ab
a 2
b 2 = (a-b) 2+2ab
2 2 2 2
② (a-b) =(a+b) -4ab
(a+b) =(a-b) +4ab
(2)
完全平方公式变用 2:两个完全平方公式之和的整合
2 2 2 2
(a+b) + (a-b) =2 (a+b)
例1 ?已知a b 2 , ab =1，求a 2 b 2的值。
2
例 2.已知 a ? b = 8 , ab = 2，求(a - b)的值。
例3.已知a - b = 4, ab = 5，求a 2 b 2的值。
2 2
例 4 .已知 m +n =7, mn= —18,求 m — mr+ n 的值.
例 5 (3)已知：x+2y=7 , xy=6，求(x-2y)2 的值.
例6.已知a +丄=5,求(1) a 2
+W , (2) (a —丄)2
的值.
a a a
(1)
完全平方公式变用 1:利用已知的两项求第三项
2 2 2
=a -2ab+b (1) 1032
(2) 1982
1 1
例7.已知x -― =3，求x4■ ~4的值。
x x
2
3
=a -b
二、公式的灵活运用
1. 对公式的基本变用 _ 2 2
(1
)位置变化，x y -y x =x_y
(2 )符号变化，(彳勺片—x j_y 2
= x 2-y 2
2. 整体思想的应用
(1 )应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”
2 2
例1计算(-a +4b )
分析：运用公式(a +b )2
=a 2
+2ab +b 2
时， ______ 就是公式中的a, _____ 就是公式中的b ；
若将题目变形为(4b -a 2)2
时，则 ________ 是公式中的a ,而 _______ 就是公式中的b .(解略)
练习 1?计算：5x 2
3y 2
5x 2
-3y 2
练习2?计算： x -y z x -y —z 练习 3.计算：
Ixy z m Jlxy- z m 1
练习 4.计算：x ■ y -2z x y 6z
(2 )应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号 例计算：(-2 x 2
-5)(2 x 2
-5)
分析：本题两个因式中“-5 ”相同，“2x 2
”符号相反，因而 ______ 是公式(a +b )( a -b )= a 2
-b 2
中的a,而 _____ 则是公式中的b .
解：原式=
(3 )应用整体思想，要善于分组加括号
例&解下列各式
(1) (2) (3) 已知 a 2
4b 2=i3, ab=6,求(a^bj ,(a_b j 的值。 已知(a4bj=7,(a_bj/，求 a^b 2
, ab 的值。
已知a a_l
-ab 的值。
(3)完全平方公式变用 3:几个数的和的平方推广
几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的
2倍。
2 2 2 2
(a +b P )=a+b*c +2ab+2bc+2ac
公式的证明：
(a 命弋j 彳a 杭产了 弋a^b ”2(a 4b )c +c 2
=a 2
2ab b 2
2ac 2bc c 2
-a 2
b 2
c 2
2ab 2bc 2ac
例.计算 (1) x 2
)1
4. 立方和与立方差公式 (a+b)(a 2-ab+b 2
) = a 3
+b 3
3 2 2 2 2 3
=a +a b-a b-ab +ab +b
2
(2)(3m+n-p j
3 3
(a-b)(a2+ab+b2)
= a-b
=a 3
-a 2
b+a 2
b-ab 2
+ab 2
-b 3
3 3
a +b
根据原式各项负号的异同 (看前面括号和后面括号哪些项符号相同，哪些项4
符号相反，般是把相同符号的各项整合在一起形成一个整体， 据此分组）采用添括号合
理分组的方法，再应用整体思想
例 1.计算：（a_b c_d ）（_a_b_c_d ）
例 2 计算（2x +y -z +5）（2 x -y +z +5）.
2 2
例 4.计算：(a+b + c — d ) +(b + c + d —a)
例 5.计算：3x 2y-5z 1 ]-3x 2y-5z -1
2 2 2 2
例 6 计算(a +b +c ) +(a +b - c ) +(a - b +c ) +( b - a +c ).
例7.四个连续自然数的乘积加上 1，一定是平方数吗？为什么?
3. 公式的逆用
』 2 』 2
例 1.计算：5a 7b - 8c ]
〔5a - 7b 8c
例 2 计算(2a+3b)2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b)2
(2)
例3?计算（1）
6
4. 公式的连用 例 1.计算：x y x_y x 2
y 2
例2?计算：
1 -a a 1 a
2 1 a 4 1
例3.计算：
2 2 2 2
(a-1/2) (a +1/4)
(a+1/2)
5. 创造条件后用公式
（1）通过变形，创造条件后用公式
1）改变顺序：调整各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显 例1、 运用乘法公式计算：
11 1a
2
（1）怎呻）（-即-3）；
（ 2）（x-1/2）（x +1/4）（x+1/2）
2）提出负号：对于含负号较多的因式，
通常先提出负号，以避免负号多带
来的麻烦。
如（—2m-7n ） （2m-7n ）变为（2m + 7n ） （7n — 2m ）后就可用平方差公式求解了
4）项数变化 将某一项（某个数）变形：一分为二，通过创造条件分组。 例 3 计算：（2x — 3y — 1）（ — 2x — 3y + 5）
分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符?于是可 创造条件一数：— 1=2— 3, 5=2 + 3,使用公式巧解 例 4.计算：2x 3y 2 2x - 3y ? 6
又如：(x +3y +2z ) (x — 3y +6z )变为(x +3y +4z — 2z ) (x — 3y +4z +2z )后再适当分组 就
例2. 练习：(1) (-1+3x)(-1-3x) ; (2) (-2m-1)
(4m +- )
(2m —
-)变为 2(2n+-
4
4
2m--)
4
例4.计算:
3）先提公因数（式），再用公式
求: (1)
可以用乘法公式来解了.
5) .先整体展开，再用公式
例 5.计算：(a 2b)(a -2b 1)
简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即将第
一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。
解：原式=
6) 其它变形技巧
例6:已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。
因为x-y=2 , y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x -z = (x+z) (x-z)=14 X 4=56。
常见的变形技巧
(2)通过草船借箭后创造条件用公式
2 4 8
例 1 (3)计算(2+1)(2 +1)(2 +1)(2 +1).
分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项( 式，使
问题化繁为简.
2 4 8
解：原式=(2-1)(2+1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)
2 2 4 8
=(2 -1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)
4 4 8
=(2 -1)(2 +1)(2 +1)
= (28-1 )( 28+1)
16
=2 -1
例 2.计算：3 (381)(341)(321)(3 1)
例3:判断(2+1 ) ( 22+1) (24+1)……(22048+1 ) +1的个位数字是几?
(3)乘法公式交替用
例试证：(x z)(x2_2xz z2)(x _ z)(x22xz z2) = (x2_ z2)3
[(a - 2b) 11，再
2-1 )，则可运用公