第1讲 曲线运动 运动的合成与分解
限时规范训练
[基础巩固题组]
1．关于两个运动的合成，下列说法正确的是()
A．两个直线运动的合运动一定也是直线运动
B．不同方向的两个匀速直线运动的合运动一定也是匀速直线运动
C．小船渡河的运动中，小船对地的速度一定大于水流速度
D．小船渡河的运动中，水流速度越大，小船渡河所需时间越短
解析：选B．两个直线运动可以合成为直线运动(匀速直线＋匀速直线)，也可以合成为曲线运动(匀变速直线＋匀速直线)，故选项A错误；两个分运动为匀速直线运动，没有分加速度，则合运动一定是匀速直线运动，则选项B正确；小船对地的速度是合速度，其大小可以大于水速(分速度)，等于水速，或小于水速，故选项C错误；渡河时间由小船垂直河岸方向的速度决定，由运动的独立性知与水速的大小无关，选项D错误．
2．(多选)一质点做匀速直线运动．现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则()
A．质点速度的方向总是与该恒力的方向相同
B．质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直
C．质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同
D．质点单位时间内速率的变化量总是不变
解析：选BC．质点原来做匀速直线运动，说明所受合外力为0，当对其施加一恒力后，恒力的方向与原来运动的速度方向关系不确定，则质点可能做直线运动，也可能做曲线运动，但加速度的方向一定与该恒力的方向相同，且加速度大小不变，选项B、C正确，A错误；
可知，质点单位时间内速度的变化量Δv总是不变的，但速率的变化量不确定，D 由a＝Δv
Δt
错误．
3．如图所示，当汽车静止时，车内乘客看到窗外雨滴沿竖直方向OE匀速运动．现从t＝0时汽车由静止开始做甲、乙两种匀加速启动，甲种状态启动后t1时刻，乘客看到雨滴从B处离开车窗，乙种状态启动后t2时刻，乘客看到雨滴从F处离开车窗，F为AB的中点．则t1∶t2为()
A ．2∶1
B ．1∶ 2
C ．1∶ 3
D ．1∶(2－1)
解析：选A ．雨滴在竖直方向的分运动为匀速直线运动，其速度大小与水平方向的运动
无关，故t 1∶t 2＝AB v ∶AF v
＝2∶1，选项A 正确． 4．如图所示，长为L 的直棒一端可绕固定轴O 转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v 匀速上升．当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为( )
A ．v sin αL
B ．v L sin α
C ．v cos αL
D ．
v L cos α 解析：选B ．由题图可知，棒与平台接触点的实际运动即合运动，其速度方向是垂直于棒指向左上方，合速度沿竖直向上的分量等于v ，即ωL sin α＝v ，所以ω＝v L sin α
，B 正确． 5．(多选)如图所示，小船以大小为v 1、方向与上游河岸成θ角的速度(在静水中的速度)从A 处过河，经过t 时间正好到达正对岸的B 处．现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸B 处，在水流速度不变的情况下，不可采取下列方法中的哪一种( )
A ．只要增大v 1大小，不必改变θ角
B ．只要增大θ角，不必改变v 1大小
C ．在增大v 1的同时，也必须适当增大θ角
D ．在增大v 1的同时，也必须适当减小θ角
解析：选ABD ．若只增大v 1大小，不改变θ角，则船在水流方向的分速度增大，因此船不可能垂直达到对岸，故A 错误；若只增大θ角，不改变v 1大小，同理可知，船在水流方向的分速度在减小，船不可能垂直到达对岸，故B 错误；若在增大v 1的同时，也必须适当增大θ角，这样才能保证水流方向的分速度不变，而垂直河岸的分速度在增大，则船还能垂直达到对岸，且时间更短，故C 正确；若增大v 1的同时，也适当减小θ角，则水流方向的分速度增大，不能垂直到达对岸，故D 错误．
6．一小船渡河，已知河水的流速与距某一河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，则()
A．船渡河的最短时间为75 s
B．要使船以最短时间渡河，船在河水中航行的轨迹是一条直线
C．要使船以最短路程渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
D．要使船以最短时间渡河，船在河水中的速度是5 m/s
解析：选A．当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，t＝d
v船＝300
4s＝75 s，故A正确；
船在沿河岸方向上做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀速直线运动，两运动的合运动是曲线运动，故B错误；要使船以最短路程渡河，必须是小船合速度始终与河岸垂直，故C错误；根据速度的合成可知，船在河水正中间时速度最大，为5 m/s，其余位置小于5 m/s，故D错误．
7.一轻杆两端分别固定质量为m A和m B的两球A和B(可视为质点)．将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，球B的速度大小为v2，则()
A．v2＝1
2
v1B．v2＝2v1
C．v2＝v1D．v2＝3v1
解析：选C．球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，
有v11＝v1sin 30°＝1
2
v1，球B此时速度方向与杆成α＝60°角，因此v21＝v2cos 60°＝12v2，沿杆方向两球速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C项正确．
[能力提升题组]
8．如图所示，水平光滑长杆上套有一物块Q，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的轻绳一端连接Q，另一端悬挂一物块P.设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小．现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动下列说法正确的是()
A．当θ＝60°时，P、Q的速度之比是3∶2
B．当θ＝90°时，Q的速度最大
C．当θ＝90°时，Q的速度为零
D．当θ向90°增大的过程中Q的合力一直增大
解析：选B．P、Q用同一根绳连接，则Q沿绳子方向的分速度与P的速度大小相等，
则当θ＝60°时，Q的速度v Q cos 60°＝v P，解得v P v
Q ＝1
2，故选项A错误；当θ＝90°时，即Q
到达O点正下方，垂直Q运动方向上的分速度为0，即v P＝0，此时Q的速度最大，故选项B正确，C错误；当θ向90°增大的过程中Q的合力逐渐减小，当θ＝90°时，Q的速度最大，加速度为零，合力为零，故选项D错误．
9．在一个光滑水平面内建立平面直角坐标系xOy，质量为1 kg 的物体原来静止在坐标原点O(0，0)，t＝0时受到如图所示随时间变化的外力作用，图甲中F x表示沿x轴方向的外力，图乙中F y表示沿y轴方向的外力，下列描述正确的是()
A．0～4 s内物体的运动轨迹是一条直线
B．0～4 s内物体的运动轨迹是一条抛物线
C．前2 s内物体做匀加速直线运动，后2 s内物体做匀加速曲线运动
D．前2 s内物体做匀加速直线运动，后2 s内物体做匀速圆周运动
解析：选C．0～2 s内物体沿x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，2 s时受沿y 轴方向的恒力作用，与速度方向垂直，故2～4 s内物体做类平抛运动，C项正确．
10.如图所示，河水由西向东流，河宽为d＝800 m，河中各点的水流速度大小为v水，
各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝
3
400x (m/s)(x的单位为m)．让小船船头
垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s.则下列说法正确的是()
A．小船渡河的轨迹为直线
B．小船在河水中的最大速度是5 m/s
C．小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度
D．小船渡河的时间是160 s
解析：选B．由题意可知，小船在南北方向上做匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后再减速，小船的合运动是曲线运动，即小船渡河的轨迹为曲线，A错误；当小
船运动到河中间时，东西方向上的分速度最大，为3
400×400 m/s＝3 m/s，此时小船的合速度最大，可得最大值v m＝5 m/s，B正确；由v水与x的关系可知，水流在距南岸200 m处的速度等于在距北岸200 m 处的速度，故小船在距南岸200 m处的速度等于在距北岸200 m
处的速度，C错误；小船的渡河时间t＝d
v船
＝200 s，D错误．
11．(多选)一质量为m的质点起初以速度v0做匀速直线运动，在t＝0时开始受到恒力
F作用，速度大小先减小后增大，其最小值为v＝0.5v0，由此可判断()
A．质点受到恒力F作用后一定做匀变速曲线运动
B．质点受到恒力F作用后可能做圆周运动
C．t＝0时恒力F方向与速度v0方向间的夹角为60°
D．恒力F作用3m v0
2F时间时质点速度最小
解析：选AD．在t＝0时质点开始受到恒力F作用，加速度不变，做匀变速运动，若做匀变速直线运动，则最小速度为零，所以质点受到恒力F作用后一定做匀变速曲线运动，故A正确；质点在恒力作用下不可能做圆周运动，故B错误；设恒力与初速度之间的夹角是θ，最小速度v1＝v0sin θ＝0.5v0，由题意可知初速度与恒力间的夹角为钝角，所以θ＝150°，
故C 错误；在沿恒力方向上速度为0时有v 0cos 30°－F m Δt ＝0，解得Δt ＝3m v 02F
，故D 正确． 12.如图所示，AB 杆以恒定角速度绕A 点转动，并带动套在光滑水平杆OC 上的质量为M 的小环运动．运动开始时，AB 杆在竖直位置，则小环M 的速度将( )
A ．逐渐增大
B ．先减小后增大
C ．先增大后减小
D ．逐渐减小 解析：选A ．设经过时间t ，∠OAB ＝ωt ，则AM 的长度为h cos ωt
，则AB 杆上小环M 绕A 点运动的线速度v ＝ω·h cos ωt
.将小环M 的速度沿AB 杆方向和垂直于AB 杆方向分解，垂直于AB 杆方向的分速度大小等于小环M 绕A 点运动的线速度v ，则小环M 的速度v ′＝v cos ωt ＝ωh cos 2ωt
，随着时间的延长，小环的速度将不断变大，故A 正确，B 、C 、D 错误． 13．自行车转弯时，可近似看成自行车绕某个定点O (图中未画出)做圆周运动，如图所示为自行车转弯时的俯视图，自行车前、后两轮轴A 、B 相距L ，虚线表示两轮转弯的轨迹，前轮所在平面与车身间的夹角θ＝30°，此时轮轴B 的速度大小v 2＝3 m/s ，则轮轴A 的速度v 1大小为( )
A ．332
m/s B ．2 3 m/s C ． 3 m/s D ．3 3 m/s
解析：选B ．将两车轴视为杆的两端，杆两端速度沿杆方向的投影大小相等，有v 1cos 30°＝v 2，解得v 1＝2 3 m/s ，B 正确．
14．(多选)如图甲所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R ，在侧壁同一竖直线上有A 、B 两小孔相距h ，将一小球从上部A 孔沿筒内壁水平射入筒中，小球紧贴筒内壁运动，并恰
好能到达下部小孔B ，所用时间为t 1，到达下部小孔B 时的速度大小为v B .如图乙所示，用光滑细钢丝绕成的螺距相同的柱形螺线管，横截面半径也为R ，竖直固定，钢丝上下两端C 、D 恰好在同一竖直线上，相距h ，一小铜环穿在钢丝上从上端C 无初速下滑到达底端D ，所用时间为t 2，到达D 端时的速度大小为v D ，二者相比较，下列结论正确的是( )
A ．t 1＝t 2
B ．t 1 C ．v B ＝v D D ．v B >v D 解析：选BD ．题图甲中小球在筒内受重力和水平指向圆筒竖直 中心轴的筒壁的弹力，贴着筒壁做螺线运动，可视为水平面内的匀速 圆周运动与竖直方向上的自由落体运动的合运动，由竖直方向上的自 由落体运动，可求得小球由A 运动到B 的时间为t 1＝2h g .题图乙中小钢环沿钢丝运动，受重力和方向斜向前上方的弹力，可等效为小环沿光滑斜面下滑，如图所示，则小环由C 运动到D 的时间为t 2＝2s a ，其中a ＝g sin α，s ＝4×2πR cos α>h ，故t 1