新人教版八年级数学上轴对称》全章导学案
(A ) (B ) (C ) (D )
.
1 轴对称
一、学习目标
1、认识轴对称和轴对称图形，并能找出对称轴；
2、知道轴对称和轴对称图形的区别和联系。
3、掌握轴对称的性质； 二、自主探究 合作展示
探究（一） 自学课本58页，完成以下问题。
1、 什么是轴对称图形？你能举几个轴对称图形的例子吗？
2、试一试：下面的图形是轴对称图形吗？如果是，画出它的对称轴。
（1） （2） （3） （4） （5）
探究（二） 自学课本59页，完成以下问题。
1、什么叫做两个图形成轴对称？你能举几个生活中两个图形成轴对称的例子
吗？ 探究（三）
成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？ 归纳：
区别：轴对称图形指的是_____个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相_________。
轴对称指的是_____个图形沿一条直线折叠 ，这个图形能够与另一个图形_________。 联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个_______________；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线对称（简称轴对称）
练习
1、我国的文字非常讲究对称美，下面四个图案中不是轴对称图形的是( )．
2、下列图形中不是轴对称图形的有（ ）
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
3、以下汽车标志中，和其他三个不同的是（ ） A B C D
4、下列图形中对称轴最多的是( )
A.圆
B.正方形
C.角
D.线段
5、写出英文26个大写字母中是轴对称图形的字母，写出三个是轴对称图形的汉字:
6、美国哈佛大学在一次数学考试中，有这样一道填空题：要求在横线上填上适当的图形．你能完成吗？ 探究（四） 轴对称的性质
1、如图(1)，△ABC 和△A ′B ′C ′关于直线MN 对称，点A ′、 B ′、C ′分别是点A 、B 、C 的对称点，线段AA ′、BB ′、CC ′ 与直线MN 有什么关系？
（1） 设AA ′交对称轴MN 于点P ，将△ABC 和△A ′B ′C ′沿 MN 折叠后，点A 与A ′重合吗？
于是有PA ＝ ，∠MPA ＝ ＝ 度
（2）对于其他的对应点，如点B ，B ′；C ，C ′也有类似的情况吗？
图（1）
（3）那么MN 与线段AA ′，BB ′，CC ′的连线有什么关系呢？ 2、垂直平分线的定义：
经过线段 并且 这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 3、轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么 是任何一对对应点所连线段的 。
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的 。 练习
1、 教材60页1、2（在教材上完成）
2、如图是我国几家银行的标志，在这几个图案中是轴对称图形的有哪些？它们各有几条对称轴，你能画出来吗？（小组讨论完成） 学习小结与反思：
线段垂直平分线的性质
一、学习目标
1、掌握线段垂直平分线的性质
2、掌握线段垂直平分线的判定
3、运用线段垂直平分线的性质解决问题
二、复习
右面的图形是轴对称图形吗？如果是，画出它的对称轴。 三、探究（一） 探究教材61页探究问题
1、 量出AP 1、AP
2、AP
3、与BP 1、BP 2、BP 3…讨论发现什么样的规律： 。
总结线段垂直平分线的性质 ： 2、你能利用判定两个三角形全等的方法证明这个性质吗？
如图（1），直线l AB ⊥，垂足是C ，AC=BC,点P 在l 上。
求证： PA PB = 探究（二）
反过来,如果PA=PB,那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢?说明理由. (1)已知： （2）求证：
(3)需要作辅助线吗？写出证明过程：
总结线段垂直平分线的性质判定：
四、练习
1．如右图所示，△ABC 中，BC ＝10，边BC 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点E 、D ，BE ＝6，求△BCE 的周长。
图（1）
2、如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝18cm ，BC ＝ 10cm ，AB 的垂直平分线ED 交AC 于D 点，求：△BCD 的周长。
3，如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线交BC 于D ，AC
的中垂线如交BC 与E ，则△ADE 的周长等于___ ___．
4、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC, DE 丄AB 于E ，求证：AD 是CE 的垂直平分线.
5、如图，AD ⊥BC ，BD =DC ，点C 在AE 的垂直平分线上，
⑴AB ，AC ，CE 的长度有什么关系？ ⑵AB+BD 与DE 有什么关系？
6、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，沿着过点B 的一条直线BR 折叠△ABC 使点C 恰好落在AB 边的
中点D 处，则∠A 的大小等于 . 7、如图，△ABC 中，AD 垂直平分边BC
交BC 于D ，AE 丄BE 于E, AF 丄CF 于F ，AE= AF ，求证：∠BAE =∠BAF.
8题图
8、(2013年泰州市）如图，△ABC 中，
AB+AC=6 cm, BC 的垂直平分线L 与AC 相交于点D,则△ABD 的周长为
cm.
五、9、如图，在△ABC 中，E,F 分别为AB ，AC 上的点，∠B=40°且EF 小结与反思:
轴对称（2）
一、学习目标
1、会依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴；
2、掌握作出轴对称图形的对称轴的方法，即线段垂直平分线的尺规作图。
3、运用线段垂直平分线的性质解决实际问题
二、复习
1、设A 、B 两点关于直线MN 对称，则______垂直平分________．
2、轴对称图形的对称轴与对应点所连线段的垂直平分线有什么关系？
E
C
D B
A
D
B
C
A
E
3、如图：不通过折叠的方法，你能验证出这两个四边形是否关于直线MN 对称吗？ 二、预习新知P62—P63
1、成轴对称的两个图形其对称轴是 所连接的 。
2、作轴对称图形的对称轴就是做作出一对对应点所连线段的_____________ 。
三、探究新知 预习63页例2 思考：
（1）为什么要分别以点A 、B 为圆心，大于1/2AB 的长为半径画弧？ （2）为什么直线CD 就是AB 垂直平分线？也是线段AB 的对称轴？
四、练习
1、画出下边两个轴对称图形的对称轴。
2、课本P64练习题1、2、3
3、下面是我们学过的一些几何图形，说出下面图形是不是轴对称图形，并完成下表。
长方形 正方形 三角形 等腰三角形 等边三角形 平行四边形 任意梯形 等腰梯形 圆
4、如图，已知线段AB. (1)用尺规作图的方法作出线段AB 的垂直平分线L(保留作图痕迹，不要求写
出作法）；（2)在(1)中所作的直线L 上任意取两点M,N(线段AB 的上方),连接AM, AN, BM,BN, 求证：∠MAN=∠MBN.
5、如图，在中，∠C=90°，用直尺和圆规在AC 上作点P ，使P
到A,B 的距离相等（保留作图痕迹，不写作法和证明）.
6、如图，△ABC 的周长为30 cm ，把△ABC 的边AC 对折，使顶点C 和点A 重合, 折痕交BC 边于点D,交AC 边于点E ，连接AD ，若AE=4cm ， 求△ABD 的周长。
7、如图，已知，△ABC 中，AD 是角平分线，DE 丄AB 于E ，
DF 丄AC 于F,求证：AD 是EF 的垂直平分线.
8、已知△ABC 中，BC 的垂直平分线DE 与∠BAC 的平分线AE
E
D
C B
A
图（2） 交于E ，EF 丄AB 于F,EH 丄AC 于H ，求证：BF=CH. 小结与反思：
画轴对称图形
一、学习目标
1、认识轴对称图形，探索并了解它的基本性质；
2、能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形;
二、温故知新
1、什么是轴对称图形?
2、请画出下列图形的对称轴。
三、自主探究 合作展示
探究（一）
自学：认真阅读教材67页图。
1、操作：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？
2、归纳：
（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线l 成轴对称的图形，这个图形与原图形 的 、 完全相同；
（2）新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l 的 点； （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴 。 探究（二）
1、请同学们尝试解决以下问题；
如图（1），实线所构成的图形为已知图形，虚线为对称轴，请画出已知图形的轴对称图形。
问题：(1)你可以通过什么方法来验证你画的是否正确? (2)和其他同学比较一下，你的方法是最简单的吗?
2、如图（2），已知点A 和直线l ，试画出点A 关于直线l 的对称点A ′。
A ·
3、如图，已知点A 和直线l ，试画出线段AB
关于直线l 的对称图形。 B
A ·
4、如图已知△ABC ，直线l ，画出△ABC 关于直线l 的对称图形。
四、双基检测
1、把下列图形补成关于l 对称的图形。
2、小明在平面镜中看到身后墙上钟表显示的时间是12：15，这时的实际时间应该是 。 、以直线MN 为对称轴，画出△ABC 的对称图形△111C B A 。（保留作图痕迹，不写画法，不要证明）
图（1） l
A
B
C
3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(-3, 5), B(-4, 3); C(-l, 1). (1)作出△ABC 向右平移6个单位长度的△111C B A (2)作出关于x 轴对称的△222C B A ,并写出点
2C 的坐标.
4、完成课本62页练习及65页第6题，66页第10、12、13题
五、学习反思
用坐标表示轴对称
一、学习目标
1、能够经过探索利用坐标来表示轴对称；
2、掌握关于x 轴、y 轴对称的点的坐标特点。
二、温故知新
如图：（1）观察图（1）中两个圆脸有什么关系？ （2）若已知图（1）中圆脸右眼的坐标为（4，3），左眼 的坐标为（2，3），嘴角两个端点，右端点的坐标为（4，1）， 左端点的坐标为（2，1）．你能根据轴对称的性质写出左边圆 脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标吗？
三、自主探究 合作展示
探究（一）
1、 在如图（2）所示平面直角坐标系内画出下列已知点以及对称点，并把坐标填在表格中，你能发
现坐标间有什么规律？ 已知点 A (2，－3) B （－1，2） C （－6
，－5） D （，1） E （4，0）
关于x 轴对称的点 'A ( ) 'B ( ) 'C ( ) 'D ( ) 'E ( ) 关于
y 轴
对称的点
'A ( )
'B ( )
'C ( )
'D ( )
'E ( )
2x x 轴对称的点的坐标是 ；点（x ，y ）关于y 轴对称的点的坐标是
探究（二）
例题：如图(3)，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A （－5，1），B （－2，1），C （－2，5），D （－5，4），分别作出四边形ABCD 关于y 轴和x 轴对称的图形。(在教材中完成)
四、双基检测
1、分别写出下列各点关于x 轴和
y 轴对称的点的坐标。
（-2，6） （1，-2） （-1，3） （-4，-2） （1，0）
关于x 轴对称的点
关于
y 轴对称的点
2、已知点P (2a+b,-3a)与点'
P (8,b+2).(1)若点P 与点'
P 关于x 轴对称，则a=_____;b=_______. (2)若点P 与点'
P 关于
y 轴对称，则a=_____;b=_______.
图（2） 图（3）
图（1）
3、如图（4），△AOB 关于x 轴对称，点A 的坐标为（1，-2），标出点B 的坐标．
3、如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC 关于x 轴和y 轴对称的图形．
4. 已知点P(-2, 3)关于y 轴的对称点Q(a ，b)，则a+b 的值是（ ）
A. 1
B. -1
C. 5
D. -5
5、点M(-2, 1)关于x 轴对称的点的坐标是（ ）
A. ( -2, -1)
B. (2, 1)
C. (2, -1)
D. (1, -2) 6、平面内点A(-1，2)和点B(-1，6)的对称轴是（ ）
A. x 轴
B. y 轴
C. 直线y= 4
D 直线y= -1
7、点P(-3, 2)关于y 轴对称的点是（ ）
A. (3,2)
B. (-3,2)
C. (3,-2)
D. (-3，-2) 8. 点A( -3, 4)关于z 轴的对称点的坐标是 ，关于y 轴的对称点的坐标
是 。
9、点M(-2，1)关于x 轴对称的点N 的坐标是 ，直线MN 与x 轴的位置关系是 10、 已知点A(a ，-2)和B(3, 6),当满足条件： 时，点A 和点B 关于y 轴对称. 11、如图，在平面直角坐标系中，先把梯形向左平移6.个单位长
度得到梯形1111D C B A
⑴请你在平面直角坐标系中画出梯形1111D C B A ⑵以x 轴为对称轴，画出⑴中梯形1111D C B A 的对称梯形
2222D C B A ,并写出顶点的坐标.
五、学习反思
等腰三角形（1）
一、学习目标
1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质；
2、会运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。
二、温故知新
1、下列图形不一定是轴对称图形的是（ ） A 、圆 B 、长方形 C 、线段D 、三角形
2、怎样的三角形是轴对称图形？答：
3、有两边相等的三角形叫 ，相等的两边叫 ，另一边叫 两腰的夹角叫 ，
腰和底边的夹角叫
图（4） D
y
x
C
B
A
（4）如图，在△ABC 中，AB=AC ，标出各部分名称
三、自主探究 合作展示
（一）操作、实践：
取一等腰三角形纸片，照图折叠，找出其中重合的线段和角，填入下表：
A A A
B C D B （C ） B D C
（1） （2） （3）
【问题1】根据上表你能得出哪些
结
论？并将你的结论与同学交流。
【问题2】你能利用三角形全等的知识证明以上结论吗？(要求:选择以教材不同的证明方法) （二）【新知应用】
例1：填空：（1）如图（1）所示，根据等腰三角形性质定理在△ABC 中，AB=AC 时，
①∵AD ⊥BC ，∴∠_____ = ∠_____，____= ____. ② ∵AD 是中线，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____. ③ ∵AD 是角平分线，∴____ ⊥____ ，_____ =_____.
（2）等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.
（3）等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为
例2：如图（2）所示，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求△ABC 各角的度数． 分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=______，∠ABC=______=______，?再由∠BDC =∠
A +______，就可得到∠ABC =______=______=2______．再由三角形内角和为180°，?就可求出△ABC
的三个内角． 解：例题反思：
四、双基检测
1、在△ABC 中，AB =AC ，
（1）如果∠A ＝70°，则∠C ＝_________，∠B ＝___________ （2）如果∠A ＝90°，则∠B ＝_________，∠C ＝___________ （3）如果有一个角等于120°，则其余两个角分别是多少度？ （4）如果有一个角等于55°，则其余两个角分别是多少度？
重合的线段
重合的角
D
C
B
A
图（1）
图（2）
2、如图（3）所示，△ABC 是等腰直角三角形（AB =AC ，∠BAC =90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？
3、如图（4），在△ABC 中，AB =AD =DC ，∠BAD =26°，求∠B 和∠C 的度数．
4、如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC ，BD= CE ，
求证：AD=AE.
5、如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与BD 交于点E 且∠A =∠D ，AB=DC (1)求证：△ABE ≌△DCE; (2)当∠AEB=50°，求∠EBC 的度数.
五、学习反思
请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。
等腰三角形（2）
一、学习目标
1、理解等腰三角形的判定方法；
2、会运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。
二、温故知新
1、等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为
2、等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是
3、等腰三角形的一个角为120°则另外两个角的度数是 三、自主探究 合作展示 （一）【思考】
（1）如图（1），位于在海上A 、B 两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B ．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，?能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
（2）我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，?那么它们所对的边有什么关系？
已知：在△ABO 中，∠A=∠B
求证：AO=AO(要求:选择以教材不同的证明方法) 证明：
【归纳】等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的
也相等（简写成 ） （二）【新知应用】
1、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 请同学们完成下列问题
（1）、已知：如图（2）， 是△ABC 的外角，∠1= ，AD ∥ 求证： ．
分析：要证明AB=AC ，可先证明∠B= ，因为∠1= ，所以可设法找出 ∠B 、∠C 与∠1、∠2的关系． （2）、请同学们完整的写出解题过程
证明：
四、双基检测
1、如图（5），∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别计算∠1、∠2的度数，?并说明图中有哪些等腰三角形．
2、如图（6），把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
2
1
E
D
C
A
B
图（2）
A B
图（1） 2
1
D
A
2
1
D
C
A
B D
C
A B
图（3）
图（4）
3、求证如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
4、如图（7），AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD．
5、如图，已知AC⊥BC,BD丄AD ,AC与BD交于O, AC =BD，
求证：⑴BC=AD; ⑵△OAB是等腰三角形.
6、如围，DE
7、如图，在△ABC中，ACB=90°，CD丄AB于D, AE平分∠BAC
交BC于F，交CD于F，FG5、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC, BC为边，在Rt△ABC 外作两个等边三角形△ACE和△BCF,连接BE,AF，
求证：BF=AF.
2、⑴如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点 B, C),连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN
,求证：∠ABC=∠ACN;
(2)如图2, 在等边∠ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？
请说明理由.
五、学习反思
等边三角形（2）
一、学习目标
1、理解含30°锐角的直角三角形的性质；
2、能利用含30°锐角的直角三角形的性质解决简单的实际问题。
二、温故知新（口答）
1、等边三角形三边，三个角都等于，
2、等边三角形是轴对称图形,它有条对称轴，它的对称轴。
三、自主探究合作展示
探究（一）
1、如图（1），将两个含有30°角的三角形放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角
边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
2、你能用所学的知识验证以上结论吗？
方法1：如图(2)，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于D，∠BAD= °,BD= BC= AB。
方法2：如图(3)，△ABC中，延长BC到D使BD=AB，连接AD，则△ABD是
三角形,
BC=1
2
=
1
2
。
图（5）
E
D
C
A
B
E
D
C
A
B图（1）
图（4）
E
D C
A
B
F
A
C
B
D
B
A
C D
图（1）
B
A
D
C
D C
A B
图（7）
归纳：如图：在直角三角形中，如果有一个角是0
30，那么： 。 探究（二）
例题：如图（4）是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=，∠A=30°，立柱BC 、DE 要多长？
分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中，由于∠A=30°，所以DE= ，BC= ，又由D 是AB 的中点，所以DE= ．
四、双基检测
1、等腰三角形中，一腰上的高与底边的夹角为30°，则此三角形中腰与底边的关系（A 、腰大于底边 B 、腰小于底边 C 、腰等于底边 D 、不能确定
2、在Rt △ABC 中，∠C=90度，∠A=30°，CD ⊥AB 于点D ，AB=8cm,则BC= ，
BD= ， AD=
3、如图（6）,在△ABC 中∠C=90°,∠B=15°,AB 的垂直平分线交
BC 于D,交AB 于M,且BD=8㎝,求AC 之长.
4、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠B=30°， 求证：AB=4AD.
5、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB,交CB 于点D,过点D 作DE 丄AB ，于点E.
⑴求证：△ACD ≌△AED ；
⑵若∠B=30°，CD = 1,求BD 的长.
6、如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠A=30°. (1)图痕迹，不写作法）；（2)在已作的图形中，若直线L 连接BE ，求证：EF=2DE.
五、学习反思
第十三章 轴对称复习
（一）认清目标，明确要求 本章的课程学习目标是：
1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。
D C
A
E
B 图（4）
图（6） M C
B
D
A M
D
B
C A
B
2.探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形，认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用，能应用轴对称进行简单的图案设计。
3.了解线段的垂直平分线的概念，探索并掌握其性质；了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，探索并掌握它们的性质以及判定方法。
4.能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习兴趣。
（二）自主复习，盘点知识
基本概念
1.轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线，两侧的图形能够，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做______。图形上能够重合的点叫。
2.轴对称：
如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成，这条直线叫做。两个图形中的对应点叫。
3.轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点连线段
的，其中对应线段，对应角。
4.角的平分线的性质
（1）性质：角的平分线上的点到的距离相等。
（2）判定：到角两边距离相等的点在上。
5.线段垂直平分线的性质
(1)经过的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也
叫。
(2)性质：线段垂直平分线上的点到的距离相等。
（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在上。
(4)线段垂直平分线可以看作是的集合。
6.用坐标表示对称
点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为 ;
点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为 ;
7.等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形是图形，它的对称轴是，
（2）等腰三角形的两腰。
（3）等腰三角形的两个底角。简称：。
（4）等腰三角形的“三线合一”是
指。
8.等腰三角形的判定
(1)定义(边): .
(2)从角上: .(简
称: )
9.等边三角形的性质：
（1）对称性：。
（2）边：。
（3）角：。
（4）等边三角形的“三线合一”是
指。10. 等边三角形的判定
(1)定义(边): .
(2)从角上: .
(3)有一个角的是等边三角形.
11.三角形三个内角平分线的交点到距离相等。
12.三角形三边垂直平分线的交点到距离相等。
13.在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于
的。
(三)方法归纳
1、证明线段相等的方法：
（1）全等三角形（2）角平分线性质定理（3）线段垂直平分线性质定理（4）等角对等边
2、证明角相等的方法：
（1）全等三角形（2）平行线的性质（3）余角（补角）的性质（4）等边对等角
(三)、误区警示
1．注意分类讨论思想
在解决等腰三角形的边和角的问题时要注意分类讨论,如等腰三角形的周长为20，有一边为8，这时就必须讨论所给的这条边是腰还是底;如已知等腰三角形一角度数求另外两个角的度数, 这时就必须讨论所给的这个角是顶角还是底角;再比如涉及三角形的高时，通常需要考虑高在三角形的外部还是内部。
2．应用“三线合一”性质作辅助线时，所作的辅助线不能同时满足两线的性质（如过点A作EF ⊥BC,并使EF平分BC）。
3．不要认为：有一个角等于300
，那么它所对的边就一定等于另一条边的一半，前提条件是在直角三角形中。
二、知识再现
1 、如图（1）， 下列图形是轴对称图形的有 （填序号）.
2、 如图(3)所示，已知△ABC 和直线MN.求作：△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′和△ABC 关于直线MN 对称.（不要求写作法，只保留作图痕迹）
3、 如图（4）所示，有一块三角形田地，AB=AC=10m ，作AB 的垂直平分线ED 交AC 于D ，交AB 于E ，量得△BDC 的周长为17m ，请你替测量人员计算BC
的长.
4.如图(5)所示，AB=AC=12，BC=7，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ， 求△BCE 的周长.
5、某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图（6）所示（点M ，N 表示大学，
AO ，BO 表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相
等，到两条公路的距离也相等.
（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；
（2）阐述你设计的理由.
6、已知点A （m+2，3）、B （-5，n+6）关于y 轴对称，则m= ，n= 。 8、如图，分别作出△ABC 关于x 轴和y 轴对称的图形。
9、（1）画出ABC △关于y 轴对称的A B C '''△（其中A C '''，，分别是A B C ，，的对应点，
不写画法）；
（2）直接写出(_____)(_____)(_____)A B C '''，，三点的坐标． （3）△ABC 的面积为
图（3）
图（4）
图（1）
图（5） 图（6） y 1 2
O
1 -1 A
B
C
10、如图：要在燃气管道L 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使
所用的输气管道线最短？
·B ·A
L 11、（1）作出△ABC 关于y 轴对称的A 1B 1C 1，并写出△ A 1B 1C 1各顶点的坐标；
（2）将△ABC 向右平移6个单位，作出平移后的△A 2B 2C 2，并写出△A 2B 2C 2各顶点的坐标； （3）观察△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称
12. 已知等腰三角形的一个内角是110°，求另外两个角的度数；
已知等腰三角形的一个内角是40°，求另外两个角的度数.
13、（1）如果等腰三角形的两边长分别是4cm ，7cm ，那么它的周长是 ； （2）如果等腰三角形的两边长分别是5cm ，10cm ，则它的周长是 . 14.如图（1）所示，在△ABC 中，AB=AC=CD ，AD=DB ，求∠BAC 的度数.
15.如图(2)所示，B ，C ，D 三点在一条直线上，△ABC 和△ECD 是等边三角形.求证BE=AD.
16.如图（3）所示，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，若CE=3cm ，求BE 的长.
17、如图（4）所示，在△ABC 中，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，MN ∥BC ，MN
图（1）
图（2）
图（3）
A
B
C
x
y
O
O
图（7）
C B O A
图（6）
经过点O ，若AB=12，AC=18，则△AMN 的周长是( )
18、如图(5)所示，∠1=∠2，BD=CD ，试证明△ABC 是等腰三角形.
19、已知：点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，且OB=OC. O
(1) 如图(6)，若点O 在边BC 上，求证：AB=AC;
(2) 如图(7)，若点O 在△ABC 的内部，求证：AB=AC; (3) 若点O 在△ABC 的外部，
AB=AC 成立吗？请画图表示。 第十三章 轴对称检测题
一、选择题
1、下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（ ）
A ：
B ：
C ：
D ： 2、点M （1，2）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）
A ：（－1，－2）
B ：（－1，2）
C ：（1，－2）
D ：（2，－1）
3、下列图形中对称轴最多的是( )
A ：等腰三角形
B ：正方形
C ：圆
D ：线段 4、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2㎝，则斜边的长为（ ）
A ：2 ㎝
B ：4 ㎝
C ：6 ㎝
D ：8㎝ 5、下列说法正确的是( )
A ：等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B ：顶角相等的两个等腰三角形全等
C ：等腰三角形的两个底角相等
D ：等腰三角形一边不可以是另一边的二倍 6、若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为（ ）
A ：11cm
B ：
C ：11cm 或
D ： 以上都不对 7、如图：D
E 是?ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，
则?EBC 的周长为（ ）厘米
A ：16
B ：18
C ：26
D ：28
8、如图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ）
A ：90°
B ： 75°
C ：70°
D ： 60°
C
B
A
图（5）
C E B
D
A
l
O
B
D
A C
A
F E
9、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是 （ ）
A ：75°或15°
B ：75°
C ：15°
D ：75°和30°
10、如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，AD ∥BC ，现给出下列结论：
①AB ∥CD ；②AB=BC ；③AB ⊥BC ；④AO=OC 其中正确的结论有（ ） A ：1个 B ：2个 C ：3个 D ：4个 二、填空题
11、在数字0、2、4、6、8中是轴对称图形的是 ； 12、等腰三角形一个底角是30°，则它的顶角是__________度；
13、等腰三角形的一边长是6，另一边长是3，则周长为________________；
14、等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为 ；
15、如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB ＋BC=12㎝，
则AB= ㎝；
16、如图：从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是________； 17、如图：点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2， 连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长为 ； 18、点E （a,－5）与点F （－2,b ）关于y 轴对称，则a= ，
b= ；
19、等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为 ；
20、如图：是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC 、DE
垂直于横梁AC,AB=8m,∠A=30°,则DE 等于 ； 三、解答题
21、如图：A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，
为了方便灌溉作物，?要在河边建一个抽水站，将河水送 到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，?可使所修的渠 道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）
22、如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，
（点M ，N 表示大学，AO ，BO 表示公路）.现计划修建 一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到 两条公路的距离也相等。你能确定仓库应该建在什么
C
B
A
P2
P 1
P
N
M
O
B
A
B
A
N
M O
B A
位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；
23、如图，写出△ABC 的各顶点坐标，并
画出△ABC 关于Y 轴对称的△A 1B 1C 1，写出 △ABC 关于X 轴对称的△A 2B 2C 2的各点坐标。
24、若3230a b -+-=，求P(－a,b)关于y 轴的对轴点P ′的坐标。 25、如图：在△ABC 中，∠B=90°，AB=BD ，AD=CD ，求∠CAD 的度数。
26、如图所示，在等边三角形ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点O ，OB 和OC 的垂直平分线交BC 于E 、F ，试用你所学的知识说明BE=EF=FC 的道理。
27、如图：△ABC 和△ADE 是等边三角形，AD 是BC 边上的中线。求证：BE=BD 。
28、如图：E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，DF=EF ，BD=CE 。求证：
△ABC 是等腰三角形。
B
A D
C
E
D
C
B
A
F
E
E
F C
B
A
O
新人教版八年级下册数学导学案(全册)
新人教版八年级下册数学导学案（全册） 第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v -2060小时， 所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 1-m m 3 2+-m m 112 +-m m
2019年秋新版人教版八年级上数学全册导学案
第一课时三角形的边 一、新课导入 1、三角形是我们早已熟悉的图形，你能列举出日常生活中有什么物体是三角形吗？ 2、对于三角形，你了解了哪些方面的知识？你能画一个三角形吗？ 二、学习目标 1、三角形的三边关系。 2、用三边关系判断三条线段能否组成三角形。 三、研读课本 认真阅读课本的内容，完成以下练习。 （一）划出你认为重点的语句。 （二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。 研读一、认真阅读课本（P63至P64“探究”前，时间：5分钟） 要求：知道三角形的定义；会用符号表示三角形，了解按边角关系对三角形进行分类。一边阅读一边完成检测一。 研读二、认真阅读课本（ P64“探究”，时间：3分钟） 要求：思考“探究”中的问题，理解三角形两边的和大于第三边； 游戏：用棍子摆三角形。 检测练习二、6、在三角形ABC中， AB+BC AC AC+BC AB AB+AC BC 7、假设一只小虫从点B出发，沿三角形的边爬到点C， 有路线。路线最近，根据是：，于是有： （得出的结论）。 8、下列下列长度的三条线段能否构成三角形，为什么？ (1)3、4、8 (2)5、6、11 (3)5、6、10 研读三、认真阅读课本认真看课本（ P64例题，时间：5分钟） 要求：（1）、注意例题的格式和步骤，思考（2）中为什么要分情况讨论。 （2）、对这例题的解法你还有哪些不理解的？ （3）、一边阅读例题一边完成检测练习三。 检测练习三、 9、一个等腰三角形的周长为28cm.①已知腰长是底边长的3倍，求各边的长； ②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.（要有完整的过程啊！） 解： （三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？ 四、归纳小结 （一）这节课我们学到了什么？（二）你认为应该注意什么问题？ 五、强化训练 【A】组 1、下列说法正确的是 （1）等边三角形是等腰三角形 （2）三角形按边分类课分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 （3）三角形的两边之差大于第三边 （4）三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
八年级数学导学案
b a c A B C 八年级数学 SX-14-B-001 《11.1与三角形有关的线段导学案》导学案 编写人：王海香 审核人： 【学习目标】 1.三角形的定义及三角形的边、顶点、角的概念； 2.三角形的分类； 【学习重点、难点】 1.三角形的分类；2.三角形第三边的关系； 一、基础梳理 1.三角形定义：由不在 的三条线段，首尾 所组成的图形叫做三角形； 练习：根据你的理解，下列的图形是三角形有哪些？ 2.三角形的表示：如图1所示，顶点是A 、B 、C 的三角形记作 ，三角形的三边 分别是 ，三个顶点是 ，三个内角是 ； 3.三角形的分类： ????? 三角形，每一个内角都 90 ○ ； 按角分 三角形，有一个内角 90○ ； 三角形，有一个内角 90○ ； 注：等腰三角形是 条边相等的三角形；等边三角形是 条边相等的三角形。 那么等边三角形是否属于等腰三角形呢？ 。 三角形，三边 ； 按边分 三角形 两 边 ； 三边 ；（ 三角形） 二、练一练 1、图中有 个三角形？分别是： 。 2、图中以E 为顶点的三角形是： 。 3、 图中以∠D 为角的三角形是： 。 4、图中以AB 为边的三角形是： 。 三、议一议 右图中由A 点至B 点，有 条路线。那条路线最近？ 根据是：_________ 这样三角形的三边之间存在着这样的不等关系：_____________________________________. 于是有：（得出的结论） 。 新知运用：下列长度的三条线段能否组成三角形？ ① 3，4，11 （ ） ② 2，5，6 （ ） ③ 3，5，8 （ ） 四、（学习教材P3例子，仿照例子再完成下面的习题。）
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八年级数学上册导学案全册有答案
第一章轴对称与轴对称图形 1.1我们身边的轴对称图形 教学目标： 1、观察、感受生活中的轴对称图形，认识轴对称图形。 2、能判断一个图形是否是轴对称图形。 3、理解两个图形关于某条直线成轴对称的意义。 4、正确区分轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称。 5、理解并能应用轴对称的有关性质。 教学重点： 1、能判断一个图形是否是轴对称图形。 2、轴对称的有关性质。 难点： 1、判断一个图形是否是轴对称图形。 2、正确区分轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称。 教学过程： 一、情境导入 教师展示图片：五角星、脸谱、正方形、禁行标志、山水倒映等。学生欣赏，思考：这些图形有什么特点？ 二、探究新知 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 190 -
1、生活中有许多奇妙的对称，如从镜子里看到自己的像;把手掌盖 在镜子上，镜子里的手与自己的手完全重合在一起；这些都是对称，你还能举出例子吗？ 学生分组思考、讨论、交流，选代表发言。 教师巡回指导、点评。 2、动手做一做：用直尺和圆规在纸上作出一个梯形，并把纸上的梯 形剪下来，沿上底和下底的中点的连线对折，直线两旁的部分能完全重合吗？ 学生活动：观察、小结特点。 3、教师给出轴对称图形的定义。 问题： ⑴“完全重合”是什么意思？ ⑵这条直线可能不经过这个图形本身吗？ ⑶圆的直径是圆的对称轴吗? 学生分组思考、讨论、交流，选代表发言,教师点评。 ⑴指形状相同，大小相等。 ⑵不能，因为这条直线必须把这个图形分成能充分重合的两部分，则必然经过这个图形的本身。 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢- 190 -
修订版最新人教版八年级上册数学导学案全集
11.1.1三角形的边 一、学习目标 1．认识三角形，能用符号语言表示三角形，并把三角形分类． 2．知道三角形三边不等的关系． 3．懂得判断三条线段能否构成一个三角形的方法，?并能用于解决有关的问题 二、重点：知道三角形三边不等关系． 难点：判断三条线段能否构成一个三角形的方法． 三、合作学习 （一）精讲 知识点一：三角形概念及分类 1、学生自学教科书内容，并完成下列问题： （1）三角形概念：由不在同一直线上的三条线段顺次首尾连接所组成的图形 叫做三角形。如图，线段____、______、______ 是三角形的边； 点A 、B 、C 是三角形的______; _____、 ______、_______ 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形 的角。图中三角形记作__________。 （2）三角形按角分类可分为___________、___________、______________。 （3）三角形按边分类可分为 _____________ （二）精练一： 1、如图．下列图形中是三角形的___________？ 2、图3中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 精讲 知识点二：知道三角形三边的不等关系，并判断三条线段 能否构成三角形 1、探究：请同学们画一个△ABC ，分别量出AB ，BC ，AC 的长，并比较下列各式的大小： AB+BC_____AC AB + AC _____ BC AC +BC _____ AB 结论：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 精练二： 1、下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，4，8； （2）5，6，11； （3）5，6，10 2、有四根木条，长度分别是12cm 、10cm 、8cm 、4cm ，选其中三根组成三角形，能组成三角形的个数是_______个。 3、如果三角形的两边长分别是3和5，那么第三边长可能是（ ） A 、1 B 、9 C 、3 D 、10 4、阅读教科书例题，仿照例题解法完成下面这个问题： 5、一个三角形有两条边相等，周长为20cm ，三角形的一边长6cm ，求其他两边长。 6、一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长是（ ） A 、7 B 、9 C 、12 D 、9或12 7、若三角形的周长是60cm ，且三条边的比为3：4：5，则三边长分别为 ___________. 8、（选做）若△ABC 的三边长都是整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形可能的最大边长是___________. 9、已知线段3cm,5cm,xcm,x 为偶数，以3，5，x 为边能 组成______个三角形。 学习反思： A B C
华师大版八年级(上)数学导学案
第12章数的开方导学方案 第一课时 学习指导： 一、自主学习： 【导学提纲】 1.我们已学过哪些数的运算? 2.加法与减法这两种运算之间有什么关系?乘法与除法之间呢? 3.什么是平方根？一个数的平方根如何表示呢？什么是算术平方根？什么叫开平方？ 4、一个数的平方根有什么特点？ 5、要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？【预习填空】 ★1、如果一个数的等于a，那么这个数叫做a 的。 ★2、一个正数必定有，它们互为，其中正数a的叫做a的算术平方根；0的平方根（有且只有个）；负数； 3、一个正数a的平方根记作（符号表示），其中是算
术平方根，称为被开方数； 4、求一个，叫做开平方，将一个正数开平方，关键是找出它的一个； 5、练习： (1)∵（）2=25 ∴正数25的平方根是，可表示为± =±5； (2)∵（）2=0.09 ∴正数0.09的平方根是，可表示为 = ； (3)∵（）2=16/25 ∴16/25的平方根是，可表示为 = ； (4)∵（）2=0 ∴0的平方根是，可表示为 = ； (5) ∵负数，∴ -4 。 6、已知一个数的平方等于10000，那么这个数是 . 【学贵有疑】组长或学科导生检查情况（等级）：组长或导生（签字）： 二·展示提升 1、填空（1） 144的平方根是；（2） 0的平方根是； 4的平方根是；（4）－4有没有平方（3） 25 根？为什么？ 2、求下列各数的算术平方根。（1）121 （2）21 （3）64 （4）102； 4 （5）0； 3、求下列各数的平方根：(1)81；(2)0.09；（3）1600；（4）49/25；（5）0.0256；
八年级数学上册全册导学案+分层练习合集(含答案)
11.1 与三角形有关线段 11.1.1 三角形边 1.通过具体实例，认识三角形概念及其基本要素. 2.学会三角形表示及根据“是否有边相等”对三角形进行分类. 3.掌握三角形三边关系. 阅读教材P2～4，完成预习内容. 知识探究 (一)三角形 1.定义：由不在____________三条线段首尾________所组成图形叫做三角形. 2.有关概念 如图，线段AB，BC，CA是三角形________，点A，B，C是三角形________，∠A，∠B，∠C是相邻两边组成角，叫做三角形________，简称三角形角. 3.表示方法：顶点是A，B，C三角形，记作“________”，读作“____________”. (1)三角形表示方法中“△”代表“三角形”，后边字母为三角形三个顶点，字母顺序可以自由安排，即△ABC，△ACB，△BAC，△BCA，△CAB，△CBA为同一个三角形. (二)三角形分类 1.等边三角形：三条边都________三角形.
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