《建设工程施工合同示范文本》版

(GF — 2013 — 0201 )

建设工程施工合同

住房和城乡建设部国家工商行政管理总局

24.1.2_垂直于弦的直径精选练习题及答案

24.1.2 垂直于弦的直径 一、课前预习 (5分钟训练) 1.如图24-1-2-1，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，则可推出的相等关系是___________. 图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24-1-2-3 2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm 和4 cm 两部分，则这条弦弦长为__________. 3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦. 4.圆O 的半径OA=6,OA 的垂直平分线交圆O 于B 、C,那么弦BC 的长等于___________. 二、课中强化(10分钟训练) 1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________. 2.如图24-1-2-2，在⊙O 中，直径MN 垂直于弦AB ，垂足为C ，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________. 3.在图24-1-2-3中，弦AB 的长为24 cm ，弦心距OC=5 cm ，则⊙O 的半径R=__________ cm. 4.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦AB 的距离为4 cm.求弦AB 的长. 图24-1-2-4 三、课后巩固(30分钟训练) 1.如图24-1-2-5,⊙O 的半径OA=3,以点A 为圆心,OA 的长为半径画弧交⊙O 于B 、C,则BC 等于( ) A.32 B.33 C. 22 3 D.2 33 图24-1-2-5 图24-1-2-6

2.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( ) A.3 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm 3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离. 4.如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边 摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？ 图24-1-2-7 5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12 日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米. 图24-1-2-8

垂直于弦的直径

垂直于弦的直径 ------垂径定理 【教学内容】垂径定理 【教学目标】 1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。 2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。 3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透； ②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。 【教学重点】垂径定理及其应用。 【教学难点】垂径定理的证明。

【教学方法】探究发现法。 【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。 【教学设计】 一复习提问 1 放映幻灯片，请同学们观察几幅图片，看他们有什么共同特点？ 2那么圆具有这样的特点吗？如果是，它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流． 3（老师点评）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径， 我能找到无数多条直径． 4板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． 二、实例导入，激疑引趣 1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400

多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。 2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米拱高（弧的中点到弦ab的距离， 也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即弧ab所在圆的半径）是多少？ 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。（图1幻灯片放映） 三、尝试诱导，发现定理 （一）学生活动 1让学生将准备好的一张圆形纸片按下列条件操作；教师用电脑演示重叠的过程。 如图，ab是⊙o的一条弦，做直径cd，使cd⊥ab，垂足为e．2教师用电脑演示重叠的过程。 提问：（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由． ⌒ ⌒

垂直于弦的直径知识点总结

24.1.2 垂直于弦的直径 【知能点分类训练】 知能点1 圆的对称性 1．圆是轴对称图形，它的对称轴是_______，圆还是中心对称图形，它的对称中心是_______． 2．两个同心圆的对称轴（）． A．仅有1条 B．仅有2条 C．有无数条 D．仅有有限条 3．如图所示，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （3）①在图中，连接OA，OB，则△OAB是等腰三角形，那 么直径CD既是⊙O 的________，又是△OAB的 ________． ②把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重 合，点A与点B重合，AE与____?重合，AC与______重 合，AD与_____重合． ③同理可得到AE_____BE，AC=_______，AD=________． 知能点2 垂直于弦的直径 4．如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（）． A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D．BC BD 5．如图所示，在⊙O中，OD⊥AB于P，AP=4cm，PD=2cm，则OP的长等于（）．

A．9cm B．6cm C．3cm D．1cm 6．在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD平分AB于E，OE=3cm，AB=8cm，则⊙O 的半径为________． 7．在⊙O中，直径AB垂直于弦CD于E，∠COD=100°，则∠COE=_______． 8．如图所示，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，当______时，CD ⊥AB．（填写一个你认为适当的条件） 9．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA?为半径的圆与AB，BC分别交于点D，E，求AB，AD的长． 10．如图所示，在⊙O中，AB，CD为两条弦，且AB∥CD，直径MN经过AB中点E，交 吗？ CD于F，试问：（1）点F是CD的中点吗？（2）AC BD 【综合应用提高】 11．如图所示，圆弧形桥拱的跨度AB=12m，拱高CD=4m，则拱桥的直径为（）．A．6.5m B．9m C．13m D．15m (第11题) (第12题) 12．如图，在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，油面宽AB=8m，?那么油的最大深度是_________． 13．如图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧，即图中CD，点O是CD?的圆心，CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD于F，EF=90m，则这段弯路的半径是多少？

人教版九年级数学上《垂直于弦的直径》拓展练习

《垂直于弦的直径》拓展练习 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB＝10dm，水面宽AB 是16dm，则截面水深CD是（） A．3 dm B．4 dm C．5 dm D．6 dm 2．（5分）如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为（） A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm 3．（5分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（） A．4B．5C．6D．6 4．（5分）乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则桥拱半径OC为（）

A．4m B．5m C．6m D．8m 5．（5分）如图是一个隧道的截面图，为⊙O的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆半径长为（） A．5米B．7米C．米D．米 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）位于黄岩西城的五洞桥桥上老街目前正在修复，如图①是其中一处中式圆形门，图②是它的平面示意图，已知AB过圆心O，且垂直CD于点B，测得门洞高度AB为1.8米，门洞下沿CD宽为1.2米，则该圆形门洞的半径为． 7．（5分）如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为3.5米，路面宽AB 为4.2米，则该隧道最高点距离地面米． 8．（5分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝1寸，CD＝10寸，则⊙O的直径等于寸．

24.1.2 垂直于弦的直径(练习)(解析版)

第二十四章圆 24.1.2 垂直于弦的直径 精选练习答案 一、单选题（共10小题) 1．（2019·广东铁一中学初三期中）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，则∠AOB的度数为（） A．90°B．120°C．135°D．150° 【答案】B 【详解】 过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知，OD 1 2 =OC 1 2 =OA，由此可得．在Rt△AOD中，∠OAD=30°，同理可得∠OBD=30°．在△AOB中，由内角和定理，得：∠AOB=180°﹣∠OAD﹣∠OBD=120°． 故选B． 【名师点睛】 本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断．关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形． 2．（2019菏泽市期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已

知4EF CD ==，则球的半径长是（ ） A ．2 B ．2.5 C ．3 D ．4 【答案】B 【详解】 如图： EF 的中点M ，作MN⊥AD 于点M ，取MN 上的球心O ，连接OF ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C=∠D=90°， ∴四边形CDMN 是矩形， ∴MN=CD=4， 设OF=x ，则ON=OF ， ∴OM=MN -ON=4-x ，MF=2， 在直角三角形OMF 中，OM 2+MF 2=OF 2， 即：（4-x ）2+22=x 2， 解得：x=2.5， 故选：B ． 【名师点睛】 本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 3．（2018·扬州中学教育集团树人学校初三期中）已知⊙O 的直径为，弦AB 为8cm ，P 为弦AB 上的一动点，若OP 的长度为整数，则满足条件的点P 有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．5个 D ．7个

人教版九年级数学上册教案-24.1.2 垂直于弦的直径2带教学反思

24．1．2 垂直于弦的直径 教学目标 1、知识目标： （1）充分认识圆的轴对称性。 （2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。 （3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。 2、能力目标： 让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动 手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。 让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。 3、情感目标： 通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时 培养学生勇于探索的精神。 教学重点 垂直于弦的直径的性质及其应用。 教学难点 1、垂径定理的证明。 2、垂径定理的题设与结论的区分。 教学辅助 多媒体、可折叠的圆形纸板。 教学方法 本节课采用的教学方法是“主体探究式”。整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。 教学过程

引入新课引入新课 问：（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？ （2）如果是，它的对称轴是什么？ 拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折， 重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结 论？： （1）圆是轴对称图形。 （2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所 在的直线） （3）圆的对称轴有无穷多条 实验：把圆形纸片沿着圆的 任意一条直径对 折，重复做几次 观察：两部分重合，发现得 出圆的对称性的结 论 培养学生 的动手能 力，观察能 力，通过比 较，运用旧 知识探索 新问题 揭示课题揭示课题 电脑上用几何画板上作图： （1）做一圆 (2) 在圆上任意作一条弦 AB； (3) 过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。 （板书课题：垂直于弦的直径） 在圆形纸片上作一条弦AB， 过圆心作AB的垂线的直径 CD且交AB于E 师生互动师生互动 运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动 画让学生观察，讨论 （1）图中圆可能会有哪些等量关系？ （2）弦AB与直径CD除垂直外还有什么性质？ 实验：将圆沿直径CD对折 观察：图形重合部分，思考 图中的等量关系 猜想： AE=EB、 弧AC=弧CB、 弧AD=弧DB (电脑显示))垂直于弦的直 径平分弦，并且平分弦所对 的两条弧？ 引导学生 通过“实验 --观察-- 猜想”，获 得感性认 识，猜测出 垂直于弦 的直径的 性质 O E D C B A

人教版九年级上册数学 24.1.2垂直于弦的直径 同步练习(含答案)

人教版九年级上册数学 24.1.2垂直于弦的直径同步练习 一．选择题 1．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（） A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm 2．如图，已知⊙O的半径为6，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD 互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（） A．6 B．8 C．3D．6 3．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则BE的长为（） A．2 B．4 C．6 D．8 4．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（）

A．13 B．24 C．26 D．28 5．小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160mm，直角顶点到轮胎与底面接触点AB 长为320mm，请帮小名计算轮胎的直径为（）mm． A．350 B．700 C．800 D．400 6．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（） A．5 B．4 C．D．2 7．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB＝60°，点C 是的中点，且CD＝5m，则这段弯路所在圆的半径为（） A．（20﹣10）m B．20m C．30m D．（20+10）m 8．如图，⊙O中，弦AB⊥CD于E，若已知AD＝9，BC＝12，则⊙O的半径为（）

垂直于弦的直径(一)

垂直于弦的直径（一） 一、教学目标： （1）知识目标 ①使学生理解圆的轴对称性。 ②掌握垂径定理，并学会运用垂径定理，解决有关的证明，计算。 ③掌握过圆心作一条与弦垂直的线段的辅助线的作法。 （2）、能力目标 ①通过探究、发现定理，培养学生观察，分析、逻辑思维能力和归纳能力 ②提高学生的阅读质疑能力，通过选择最优方法、培养学生思维的灵活性。 （3）、情感目标 ①通过垂径定理的证明，渗透几何变换思想。 ②师生共同探究定理，师生共作，充分发挥学生学习的主体作用，激发学生探究数学问题的兴趣。 2、教学重点：垂径定理的内容、应用及有关辅助线的作法。 3、教学难点：理解垂径定理的题设和结论及垂径定理的证明方法。 4、教学方法：启发式，先做后说，师生共作。 5、教具：课件 教学过程 一、创设情境 问题1：圆具有什么性质呢？请同学们把自己画的圆（课前让学生准备好）对折一下发现什么？这说明圆是一个什么图形？它有多少条对称轴？（显示：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴）。今天我们就利用圆的轴对称来研究“垂直于弦的直径”的问题。（板书课题） 问题2：（教师出示一个擦去圆心的圆心纸片）问：大家能不能用折叠的方法把这个圆的圆心找到？ 二、分析猜想

1、把折线找圆心的方法投影在屏幕上（给出另一种情况，学生未得到，教师直接给出）两种不同的情况在于直径的位置关系不同。教师问，学生观察，猜想。学生回答，教师引导补充：一个是斜交，另一个是垂直。 A B C D O A B C D O A B C D O 2、问题：在直径CD 的两侧相邻的两条弧是否相等？学生观察，回答：右图中 =，=。 3、若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，刚才的结论还成立吗？学生观察，归纳出上述结论依然成立。 4、要求学生在圆纸片上画出上图，并沿CD折叠。 （教师利用投影，增加效果） 5、通过折叠、观察，大家还发现什么结论？（另外还有：AE=BE） 三、论证评价 1、证明 这个结论是同学们通过实验猜想出来的，能否从理论上证明它呢？下面讨论它的证明（在上述板书中加上“已知”、“求证”）。 分析：从刚才的实验中知道：把圆沿直径CD所在直线对折后发现线段AE与BE 重叠，与重叠，与重叠，因此它们分别相等。现在我们中要研究这样折叠为什么会重叠就行了。 证明：……(教师用实物边演示边用电脑在屏幕上逐句显示文字表达及图中有关的部分)： （1）连接OA、OB。 （2）分加用亮条显示CD左右两侧的两个半圆，然后在右侧着色。 （3）用亮光显示点A、B。 （4）用亮条显示AE、BE。

24.1-2 垂直于弦的直径(解析版)

24.1-2垂直于弦的直径 建议用时：45分钟总分50分 一选择题（每小题3分，共18分） 1．（2020?海淀区二模）如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于90°，那么圆心O到弦AB的距离为（） A．√2B．2C．2√2D．3√2 【答案】C 【解析】过O作OC⊥AB于C， ∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°， ∴AB=√2OA＝4√2， ∴OC=1 2AB＝2√2， 故选：C． 2．（2020?东莞市一模）如图，在⊙O中，半径为5，弦AB＝6，点C在AB上移动，连接OC，则OC的最小值为（） A．3B．4C．5D．6 【答案】B 【解析】连接OA，过点O作OH⊥AB于H．

∵OH⊥AB， ∴AH＝HB＝3，∠AHO＝90°， ∵OA＝5， ∴OH=√OA2?AH2=√52?32=4， 根据垂线段最短可知OC的最小值＝4， 故选：B． 3．（2020?河北模拟）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（） A．（0，0）B．（1，1）C．（0，1）D．（1、0） 【答案】D 【解析】该圆弧所在圆的圆心坐标是：（1，0）． 故选：D． 4．（2020?白云区期末）一根水平放置的圆柱形输水管横截面如图所示，其中有水部分水面宽8米，最深处水深2米，则此输水管道的半径是（） A．8米B．6米C．5米D．4米

【答案】C 【解析】连接OA，作OC⊥AB交AB于C，交圆于D，由题意得，AB＝8，CD＝2， ∵OC⊥AB， ∴AC=1 2AB＝4， 设圆的半径为r，则OC＝r﹣2， 由勾股定理得，OA2＝OC2+AC2，即r2＝（r﹣2）2+42， 解得，r＝5，即此输水管道的半径是5米， 故选：C． 5．（2020?奉化区模拟）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB ?），点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB＝60°，点C是AB ?的中点，且CD＝5m，则这段弯路所在圆的半径为（） A．（20﹣10√3）m B．20m C．30m D．（20+10√3）m 【答案】D 【解析】∵点O是这段弧所在圆的圆心， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝OB， 设AB＝OB＝OA＝r， ∵点C是AB ?的中点， ∴OC⊥AB， ∴C，D，O三点共线，

垂直于弦的直径教案

24．1．2 《垂直于圆的直径》教学设计 凤庆县雪山中学阿应金 授课题目：《直于圆的直径》课型：新授课 授课对象：九年级（154、155）授课学时：1课时（45分钟）参考教材：义务教育课程标准实验教材书数学九年级上册（人民教育出版社） 一、教学分析 1.教学内容分析 节课要研究的是圆的轴对称性与垂径定理及简单应用，垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。 2.教学对象分析 一般特征：学生是农村校的九年级学生，班级学生在学习方面之间存在一定的差异；但学生对生活中隐含的数学问题兴趣浓厚。 初始能力：学生在小学学习“圆的认识”和“轴对称图形”时，已经对圆的轴对称性有了基本的认识与了解。但对对称轴及轴对称的性质应用理解不足。 信息素养：大部分学生的信息素养一般。 3．教学环境分析 虽然学生的基础差，但对于图片比较感兴趣，所以选择多媒体教室环境，可以激发学生的学习兴趣。 1．每个学生准备若干张圆形纸片； 2．教师自制的多媒体课件；

二、教学目标 1、知识与技能： ①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。 2、过程与方法： ①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。 3、情感与态度：激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望，以及对学生进行数学美的教育。 三、教学重点、难点 教学重点：垂径定理及其应用。 教学难点：垂径定理的证明与垂径定理的理解及灵活应用。 教学方法：本节课采用的教学方法是“主体探究式”。整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。 四、教学关键 圆的轴对称性的理解。 五、教学过程：

垂直于弦的直径

作课类别课题24.1.2垂直于弦的直径课型新授教学媒体多媒体 教学目标知识 技能 1.通过观察实验，使学生理解圆的对称性. 2.掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题. 过程 方法 1.利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴． 2.经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法. 情感 态度 激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望. 教学重点垂径定理及其运用． 教学难点发现并证明垂径定理 教学过程设计 教学程序及教学内容师生行为设计意图 一、导语：直径是圆中特殊的弦，研究直径是研究圆的重要突破口，这节课我们就从对直径的研究开始来研究圆的性质. 二、探究新知 (一)圆的对称性 沿着圆的任意一条直径所在直线对折，重复做几次，看看你能发现什么结论？ 得到：把圆沿着它的任意一条直径所在直线对折，直径两旁的两个半圆就会重合在一起，因此，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. （二）、垂径定理 完成课本思考 分析：1.如何说明图24.1-7是轴对称图形？ 2.你能用不同方法说明图中的线段相等，弧相 等吗？ ●垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．即：直径CD垂直于弦AB则CD平分弦AB，并且平分弦AB所对的两条弧． 推理验证：可以连结OA、?OB，证其与AE、BE构成的两个全等三角形，进一步得到不同的等量关系. 分析：垂径定理是由哪几个已知条件得到哪几条结论？ 即一条直线若满足过圆心、垂直于弦、则可以推出平分弦、平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧. ●垂径定理推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．思考：1.这条推论是由哪几个已知条件得到哪几条结论？ 2.为什么要求“弦不是直径”？否则会出现什么情况？ ●垂径定理的进一步推广 思考：类似推论的结论还有吗？若有，有几个？分别用语言叙述出来. 教师从直径引出课题，引 起学生思考 学生用纸剪一个圆，按教 师要求操作，观察，思考， 交流，尝试发现结论. 学生观察图形，结合圆的 对称性和相关知识进行思 考，尝试得出垂径定理， 并从不同角度加以解释. 再进行严格的几何证明. . 师生分析，进一步理解定理， 析出定理的题设和结论. 教师引导学生类比定理独 立用类似的方法进行探 究，得到推论 学生根据问题进行思考， 更好的理解定理和推论， 通过学生亲自动 手操作发现圆的 对称性，为后续 探究打下基础 通过该问题引起 学生思考，进行 探究，发现垂径 定理，初步感知 培养学生的分析 能力，解题能力. 为继续探究其推论 奠定基础 培养学生解决问 题的意识和能力 全面的理解和掌 握垂径定理和它 的推论，并进行

九年级上册数学24.1.2 垂直于弦的直径(教案)

24.1.2垂直于弦的直径 【知识与技能】 1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性. 2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题. 【过程与方法】 通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法. 【情感态度】 1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透. 2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望. 【教学重点】 垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题. 【教学难点】 垂径定理及其推论. 一、情境导入，初步认识 你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中心点到弦的距离）为7.2m.你能求出主桥拱的半径吗？（图：课本第82页图24.1-7） 【教学说明】赵州桥问题充分体现了数学与应用数学的关系，了解我国古代人民的勤劳与智慧，要解决此问题需要用到这节课的知识，这样较好地调动了学生的积极性，开启了学生的思维，成功地引入新课. 二、思考探究，获取新知 1.圆的轴对称性

问题1用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 【教学说明】学生通过自己动手操作，归纳出圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴. 2.垂径定理及其推论 问题2 请同学们完成下列问题： 如右图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD.使CD ⊥AB ，垂足为E. （1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么呢？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说说理由. 【教学说明】问题（1）是对圆的轴对称性这一结论的复习与应用，也是为问题（2）作下铺垫，垂径定理是根据圆的轴对称性得出来的.问题（2）可由问题（1）得到，问题（2）由学生合作交流完成，培养他们合作交流和主动参与的意识. 【归纳结论】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧）. 数学语言：如上图，在⊙O 中，AB 是弦，直径CD 垂直于弦AB. ∴AE=BE. ? ???.AC BC AD BD ==。 问（1）一条直线满足：①过圆心.②垂直于弦，则可得到什么结论？ 【教学说明】本问题是帮助学生进一步分析定理的题设和结论，这样可以加深学生对定理的理解. 问（2）已知直径AB ，弦CD 且CE=DE （点E 在CD 上），那么可得到结论有哪些？（可要学生自己画图） 提示：分E 点为“圆心”和“不是圆心”来讨论.即：CD 是直径或CD 是除直径外的弦来讨论. 结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 问（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，为什么不是直径的弦？ 【教学说明】问题（2）是为了推出垂径定理的推论而设立的，通过学生动手画图，观察思考，得出结论.问题（3）是对推论进行强调，使学生抓住实质，

垂直于弦的直径知识点总结

24.1.2 垂直于弦的直径 【知能点分类训练】 知能点1 圆的对称性 1．圆是轴对称图形，它的对称轴是_______，圆还是中心对称图形，它的对称中心是_______． 2．两个同心圆的对称轴（ ）． A ．仅有1条 B ．仅有2条 C ．有无数条 D ．仅有有限条 3．如图所示，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为 E ． （1）图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧吗？为什么？ （3）①在图中，连接OA ，OB ，则△OAB 是等腰三角形，那么 直径CD 既是⊙O?的________，又是△OAB 的________． ②把圆沿着直径CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合， 点A 与点B 重合，AE 与____?重合， ?AC 与______重合，?AD 与_____重合． ③同理可得到AE_____BE ，? AC =_______，?AD =________． 知能点2 垂直于弦的直径 4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）． A ．∠COE=∠DOE B ．CE=DE C ．OE=BE D ．??BC BD (第4题) (第5题) (第8题) 5．如图所示，在⊙O 中，OD ⊥AB 于P ，AP=4cm ，PD=2cm ，则OP 的长等于（ ）． A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．1cm 6．在⊙O 中，CD 为直径，AB 为弦，且CD 平分AB 于E ，OE=3cm ，AB=8cm ，则⊙O?的半径为________． 7．在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD 于E ，∠COD=100°，则∠COE=_______． E O C B A

《垂直于弦的直径》练习题

24.1.2 垂直于弦的直径 5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________. 图24-1-2-1 思路解析：根据垂径定理可得. 答案：OC=OD、AE=BE、弧AC=弧BC、弧AD=弧BD 2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________. 思路解析：根据垂径定理和勾股定理计算. 答案：43 cm 3.判断正误. (1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦. 思路解析：（1）圆的对称轴是直线，而不是线段；（2）这里的弦是直径，结论就不成立.由于对概念或定理理解不透，造成判断错误. 答案：两个命题都错误. 4.(2010上海普陀新区调研)圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________. 思路解析：由垂径定理及勾股定理可得或可证△BCO是等边三角形. 答案:6 10分钟训练(强化类训练,可用于课中) 1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________. 思路解析：根据圆的轴对称性回答. 答案：直径所在的直线 2.如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.

图24-1-2-2 图24-1-2-3 思路解析：由垂径定理回答. 答案：OM=ON ，AC=BC 弧AM=弧BM 3.在图24-1-2-3中，弦AB 的长为24 cm ，弦心距OC=5 cm ，则⊙O 的半径R=__________ cm. 思路解析：连结AO ，得Rt △AOC ，然后由勾股定理得出. 答案：13 4.如图24-1-2-4所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦AB 的距离为4 cm.求弦AB 的长. 图24-1-2-4 思路分析：利用“圆的对称性”：垂直于弦的直径平分这条弦. 由OM ⊥AB 可得OM 平分AB ，即AM=2 1 AB.连结半径OA 后可构造Rt △，利用勾股定理求解. 解：连结OA. ∵OM ⊥AB ， ∴AM=21 AB. ∵OA=21 ×10=5，OM=4， ∴AM=22OM OA =3.∴AB=2AM=6(cm). 快乐时光 医学院的口试 教授问一学生某种药每次口服量是多少? 学生回答:“5克.” 一分钟后,他发现自己答错了,应为5毫克,便急忙站起来说:“教授,允许我纠正吗?” 教授看了一下表,然后说:“不必了,由于服用过量的药物,病人已经不幸在30秒钟以前去世了!” 30分钟训练(巩固类训练,可用于课后) 1.(安徽合肥模拟)如图24-1-2-5,⊙O 的半径OA=3,以点A 为圆心,OA 的长为半径画弧交⊙O 于B 、C,则BC 等于( ) A.3 2 B.3 3 C. 2 2 3

垂直于弦的直径 教案

24．1．2 垂直于圆的直径 授课题目：垂直于圆的直径课型：新授课 授课对象：九年级学生授课学时：1课时（45分钟） 参考教材：义务教育课程标准实验教材书数学九年级上册（人民教育出版社） 一、教材分析 1、作为《圆》这章的第一个重要性质，它研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系。 2、该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时为后面圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的作用。 二、教学目标 1、知识目标： （1）充分认识圆的轴对称性。 （2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。 （3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。

2、能力目标： 让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。 让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。 3、情感目标： 通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神。 三、教学关键 圆的轴对称性的理解 四、教学重点 垂直于弦的直径的性质及其应用。 五、教学难点 1、垂径定理的证明。 2、垂径定理的题设与结论的区分。 六、教学辅助 多媒体、可折叠的圆形纸板。 七、教学方法 本节课采用的教学方法是“主体探究式”。整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。 八、教学过程：

圆的知识点归纳总结大全最新

圆的知识点归纳总结大全 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 （2）推论： 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

（1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距 五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。 7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三 个点的距离相等。 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； 直线与圆没有交点，直线与圆相离。 2 9、平面直角坐标系中，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）。 则AB=221221)()(y y x x -+- 10、圆的切线判定。 （1）d=r 时，直线是圆的切线。 d = r 直线与圆相切。 d < r （r > d ） 直线与圆相交。 d > r （r d ） 点P 在⊙O 内 d > r （r

《垂直于弦的直径》的教学设计

《垂直于弦的直径》的教学设计 【教材分析】 《垂直于弦的直径》是人教版义务教育课程标准实验教材九年级上册第二十四章第24.1.2节内容。垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为进行一些圆的计算和作图问题提供了方法和依据． 【学情分析】 1、学生已学过轴对称图形的概念及其性质；数的范围已经扩充到实数，能灵活运用勾股定理解决实际问题． 2、学生在第24.1.1节学习了圆的定义和弦、弧、等弧等概念． 3、学生已具备动手操作、观察思考和合作交流的能力，初步具备了运用建模思想将实际问题转化为数学数学问题的能力． 【教学目标】 1、知识与技能目标： ①理解圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． ②掌握垂径定理及其推论． ③学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题． 2、过程与方法目标： 经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习几何证明的方法． 3、情感与态度目标： 在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识． 【教学重点】 垂径定理及其推论的发现、记忆与证明． 【教学难点】 垂径定理及其推论的运用． 【教学用具】 圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件． 【教学过程】 圆形纸张、圆规、直尺、投影仪． 【教学过程】 一、创设问题情境： 教师提问：世界上最著名的割圆拱桥首推中国赵州桥，你知道赵州桥吗？它的设计者是谁？在学生回答的基础上，教师播放幻灯片，显示赵州桥图片，向学生介绍有关赵州桥的知识．学生：回答问题之后，一边观看图片，一边聆听老师的讲述，引发思考． （通过赵州桥知识的简单介绍，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，激发学生的好奇心和获得新知的欲望．） 教师指出：欲解决此问题，必须具备圆中“垂直于弦的直径”的一些重要性质． 二、探究学习新知： 活动一：教师播放幻灯片，显示实践探究内容及要求． 将圆形纸张沿着它的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径 教学设计

24.1.2垂直于弦的直径（第一课时）教学设计 【教学目标】 1、知识目标： (1)通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性； (2)掌握垂径定理，理解其探索和证明过程； (3)能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。 2、能力目标： (1)在研究过程中，进一步体验“实验、归纳、猜想、证明”的方法； (2)在解题过程中，注重发散思维的培养。 3、情感目标：通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。 【教学重点】探索并证明垂径定理。 【教学难点】利用垂径定理解决有关计算、证明问题. 【教学方法】引导发现法、直观演示法 【教学用具】圆形纸片，圆规，三角尺，PPT 课件，实物展台 【教学过程】 一、创设问题情境，激发学习兴趣： 1．出示赵州桥图片：我国隋代工匠李春建造的赵州桥，距今已有1400多年历史，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的勤劳与智慧。 2．创设问题情境：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37米，拱高（弧的中点到弦AB 的距离，也叫弓高）为7.23米。请问：桥拱的半径（即AB 所在圆的半径）是多少？通过本节课的探究和学习，老师相信大家一定能够解决这一问题。 （图1） 3. 出示学习目标： ( 1 ) 通过动手操作，使学生发现圆的轴对称性. （2）探索垂径定理，并会用它解决有关的证明与计算问题。 二、尝试操作，发现定理： （一）活动一： 实践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ （二）活动二：操作思考 1、如图，AB 是⊙O 的一条弦，做直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？

垂直于弦的直径教学设计教学设计

§24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计 【教学内容】§24.1.2垂直于弦的直径（新人教版九年级数学教材P81~P83） 【教学目标】 1.理解圆的对称性，掌握垂径定理及其推论。 2.能运用垂径定理解决一些实际问题。 【教学重点】垂径定理及推论。 【教学难点】垂径定理的应用。 【教学方法】探究发现法。 【教具准备】圆形纸片、多媒体、三角板、圆规。 【教学设计】 一、教学活动设计： 二、教学过程设计： （一）实例导入，激疑引趣 1．实例：同学们，这座桥是我国隋代工匠李春建造的赵州 桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称 赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，

距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的智慧结晶。 2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37米， 拱高（弧的中点到弦AB 的距离，也叫弓形高）为7.23米。请问：桥拱的半径（即AB 所在圆的半径）是多少？ 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 （图1） （二）尝试诱导，发现定理 1．复习过渡： ①如图2(a)，弦AB 将⊙O 分成几部分？各部分的名称是什么？ ②如图2(b)，将弦AB 变成直径，⊙O 被分成的两部分叫什么？ ③在图2(b)中，若将⊙O 沿直径AB 对折，两部分是否重合？ (b) B B ⌒

（图2） （图3） 2．实验操作： （1）让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质—— 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。 （2）作直径CD ，再作⊙O 的一条弦AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ；将⊙O 沿着直径折叠。 通过操作，你能发现相等的线段有 ，相等的弧有 . 3．提出猜想：根据以上的探究，我们可以大胆提出这样的猜想—— ∵CD 是⊙O 的直径，CD AB ∴EA ＝EB ，AD ︵＝BD ︵，AC ︵＝BC ︵ ． 三、引导探究，证明定理 1．验证猜想：猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。 ①证明“AE=BE ”，可通过连结OA 、OB 来实现，利用等腰三角形性质证明。 ②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。 2．归纳定理： 根据上面的证明，请学生自己用文字进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 3．巩固定理： 在下列图形（如图4(a)~(d)）中，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。 (a)AB ⊥CD 于E (b)E 是AB 中点 (c)OC ⊥AB 于E (d)OE ⊥AB 于E