第3讲 受力分析 共点力的平衡
限时规范训练
[基础巩固题组]
1．设雨点下落过程中受到的空气阻力与雨点(可看成球形)的横截面积S 成正比，与下落速度v 的二次方成正比，即f ＝kS v 2，其中k 为比例常数，且雨点最终都做匀速运动．已
知球的体积公式为V ＝43πr 3(r 为半径)．若两个雨点的半径之比为1∶2，则这两个雨点的落地速度之比为( )
A ．1∶2
B ．1∶2
C ．1∶4
D ．1∶8
解析：选A ．当雨点做匀速直线运动时，重力与阻力相等，即f ＝mg ，故k ×πr 2×v 2
＝mg ＝ρ×43πr 3×g ，即v 2＝4g ρr 3k
，由于半径之比为1∶2，则落地速度之比为1∶2，选项A 正确．
2. (多选)如图所示，水平地面上的L 形木板M 上放着小木块m ，M 与m 间有一个处于拉伸状态的弹簧，整个装置处于静止状态．下列说法正确的是( )
A ．M 对m 无摩擦力作用
B ．M 对m 的摩擦力方向向左
C ．地面对M 的摩擦力方向向左
D ．地面对M 无摩擦力作用
解析：选BD ．对m 受力分析，m 受到重力、支持力、水平向右的弹簧的拉力和木板的摩擦力，根据平衡条件知，M 对m 的摩擦力方向向左，故A 错误，B 正确；对整体受力分析，在竖直方向上受到重力和支持力平衡，若地面对M 有摩擦力，则整体合力不为零，故地面对M 无摩擦力作用，故C 错误，D 正确．
3．如图所示，水平面上A 、B 两物块的接触面水平，二者叠放在一起在作用于B 上的水平恒定拉力F 的作用下沿地面向右做匀速运动，某时刻撤去力F 后，二者仍不发生相对滑动，关于撤去F 前后下列说法正确的是( )
A ．撤去F 之前A 受3个力作用
B ．撤去F 之前B 受到4个力作用
C．撤去F前后，A的受力情况不变
D．A、B间的动摩擦因数μ1不小于B与地面间的动摩擦因数μ2
解析：选D．撤去F前，整体做匀速运动，故B受地面的摩擦力与F平衡，而A水平方向不受外力，故A不受B的摩擦力，B受重力、支持力、压力、拉力和地面的摩擦力共5个力作用；A只受重力和B对A的支持力两个力的作用，A、B错误；撤去拉力F后，由于整体做减速运动，A受到重力和B对A的支持力及B对A的摩擦力3个力的作用，C 错误；撤去拉力F后，由于整体做减速运动，整体的加速度a＝μ2g，而A的加速度a A＝μ2g ≤μ1g，即μ2≤μ1，D正确．
4．如图甲所示，在粗糙水平面上静止放置一个截面为三角形的斜劈，其质量为M.两个质量分别为m1和m2的小物块恰好能沿两侧面匀速下滑．若现在对两物块同时各施加一个平行于斜劈侧面的恒力F1和F2，且F1>F2，如图乙所示．则在两个小物块沿斜面下滑的过程中，下列说法正确的是()
A．斜劈可能向左运动
B．斜劈受到地面向右的摩擦力作用
C．斜劈对地面的压力大小等于(M＋m1＋m2)g
D．斜劈对地面的压力大小等于(M＋m1＋m2)g＋F1sin α＋F2sin β
解析：选C．在未施加力之前，三个物体都处于平衡状态，故可以对三个物体的整体受力分析，受重力和支持力，故支持力为(M＋m1＋m2)g，没有摩擦力；施加力之后，m1、m2与M的摩擦力、弹力都不变，则M受力情况不变，斜劈仍保持静止，根据牛顿第三定律可知斜劈对地面的压力大小等于(M＋m1＋m2)g，与地面间没有摩擦力，C正确．
5. (多选)如图所示，A球被固定在竖直支架上，A球正上方的点O悬有一轻绳拉住B 球，两球之间连有轻弹簧，平衡时绳长为L，张力为T1，弹簧弹力为F1.若将弹簧换成原长相同的劲度系数更小的轻弹簧，再次平衡时绳中的张力为T2，弹簧弹力为F2，则()
A．T1>T2B．T1＝T2
C ．F 1 D ．F 1>F 2 解析：选BD ．以B 球为研究对象，B 球受到重力G 、弹簧的弹力F 和绳子的张力T ，如图所示．B 球受力平衡时，F 与T 的合力与重力G 大小相等、方向相反，即G ′＝G .根据三角形相似得G ′OA ＝T OB ＝F AB ，换成劲度系数小的轻弹簧，形变量增大，AB 减小，则T 不变，F 减小，选项B 、D 正确． 6．(2019·全国卷Ⅱ)物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动，轻绳与斜面平行．已知物块与斜面之间的动摩擦因数为33 ，重力加速度取10 m/s 2.若轻绳能承受的最大张力为1 500 N ，则物块的质量最大为( ) A ．150 kg B ．100 3 kg C ．200 kg D ．200 3 kg 解析：选A ．物块沿斜面向上匀速运动，受力如图，根据平衡条件 F ＝ F f ＋ mg sin θ① F f ＝ μF N ② F N ＝mg cos θ③ 由①②③式得F ＝mg sin θ＋μmg cos θ， 所以m ＝F g sin θ＋μg cos θ ，代入数据得m ＝150 kg ，选项A 正确． 7．如图所示，桌面上固定一个光滑竖直挡板，现将一个长方形物块A 与截面为三角形的垫块B 叠放在一起，用水平外力F 缓缓向左推动B ，使A 缓慢升高，设各接触面均光滑，则该过程中( ) A．A和B均受三个力作用而平衡 B．B对桌面的压力越来越大 C．A对B的压力越来越小 D．推力F的大小恒定不变 解析：选D．设B的倾角为θ，对A物体受力分析，如图所示，则F3与竖直方向的夹 角为θ，由平衡条件有F3cos θ＝G A，F3sin θ＝F2，所以A对B的压力不变，选项C错误；A受三个力的作用，B受四个力的作用，选项A错误；对A、B整体受力分析，可知B对桌面的压力F′＝G A＋G B，推力F＝F2，因G A、G B、F2均不变，故B对桌面的压力不变，推力F不变，选项B错误，D正确． [能力提升题组] 8．(多选)如图所示，将一充有氢气的气球系在一个石块上，风沿水平方向吹，气球受到的风力大小为F风＝kS v2(k是阻力系数，S是迎风横截面积)，石块开始静止于水平地面上，则() A．若风速逐渐增大，气球会连同石块一起离开地面 B．无论风速多大，气球连同石块都不会离开地面 C．若风速逐渐增大，气球会连同石块一起沿地面向左滑动 D．无论风速多大，气球连同石块都不会被吹动 解析：选BC．解析法分析动态变化．如图，整体分析气球与石块．开始时受力平衡，水平风力增大，不改变竖直方向的各个力，则石块不会离开地面，故选项A错误，B正确；开始时系统平衡，有F风＝F f，又有F f≤F fmax＝μF N(μ为石块与地面的动摩擦因数)，解得F ≤μF N，若F风增大，竖直方向F N＝(M＋m)g－F浮不变，当F风增大到μF N时，系统会沿风 地面向左滑动，故选项C正确，D错误． 9．如图所示，两个相同的小物体P、Q静止在斜面上，P与Q之间的弹簧A处于伸长状态，Q与挡板间的弹簧B处于压缩状态，则以下判断正确的是() A．撤去弹簧A，物体P将下滑，物体Q将静止 B．撤去弹簧A，弹簧B的弹力将变小 C．撤去弹簧B，两个物体均保持静止 D．撤去弹簧B，弹簧A的弹力将变小 解析：选C．由于不知道物体P与斜面之间的摩擦力情况，故撤去弹簧A不能判断物体P的运动状态，选项A错误；撤去弹簧A的瞬间弹簧B的长度不变，所以弹簧B的弹力不变，故选项B错误；将PQ看成整体可以知道，P和Q的摩擦力方向均沿斜面向上，且PQ整体的摩擦力大于整体重力沿斜面向下的分力，故撤去弹簧B后物体P和Q仍然可以处于静止状态，弹簧A的弹力不变，故选项D错误，C正确． 10．如图所示，在水平杆MN上套上两个质量不计的小环A和B，一长度为l、不可伸长的细线两端分别系在环A、B上，并在细线中点挂一个质量为m的物块．已知环A、B 与杆间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．那么系统平衡时小环A、B间的最大距离为() A． μl 1＋μ2 B． l 1＋μ C． l 1＋μ2 D． μl 1＋μ 解析：选A．则对A、B及m的整体：mg＝2F N，则环与杆间的最大静摩擦力f m＝μF N ＝1 2 μmg；设细绳与杆的夹角为θ，则对圆环T cos θ＝f m；对物块：2T sin θ＝mg.解得tan θ ＝1μ；设AB 间的最大距离为x ，则????12l 2－????12x 212x ＝tan θ＝1μ，解得x ＝μl 1＋μ2，故选A ． 11．(2019·全国卷Ⅰ)(多选)如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N ，另一端与斜面上的物块M 相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力缓慢拉动N ，直至悬挂N 的细绳与竖直方向成45°.已知M 始终保持静止，则在此过程中( ) A ．水平拉力的大小可能保持不变 B ．M 所受细绳的拉力大小一定一直增加 C ．M 所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D ．M 所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加 解析：选BD ．选N 为研究对象，受力情况如图甲所示，用水平拉力F 缓慢拉动N 的过程中，水平拉力F 逐渐增大，细绳的拉力T 逐渐增大，A 错，B 对．对于M ，受重力G M 、支持力F N 、绳的拉力T 以及斜面对它的摩擦力f .如图乙所示，若开始时斜面对M 的摩擦力f 沿斜面向上，则T ＋f ＝G M sin θ，T 逐渐增大，f 逐渐减小，当f 减小到零后，再反向增大．若开始时斜面对M 的摩擦力沿斜面向下，此时，T ＝G M sin θ＋f ，当T 逐渐增大时，f 逐渐增大，C 错，D 对． 12. (多选)如图所示，质量均为m 的两光滑小环A 和B 用轻绳连接，分别套在水平和竖直的固定直杆上．在绳上O 点施一水平力F 拉紧轻绳，设法使整个系统处于静止状态，重力加速度为g .随后使力F 缓慢增大，则在此过程中( ) A ．OA 段绳中的张力始终大于mg ，且逐渐增大 B ．杆对A 环的作用力始终大于2mg ，且逐渐增大 C ．OB 段绳中的张力始终大于mg ，且逐渐增大 D ．OB 段绳与竖直方向的夹角逐渐增大 解析：选CD ．以A 、B 两个小环整体为研究对象，对整体受力分析， 整体受总重力2mg 、水平力F 、水平杆对A 环向上的支持力F N A 、竖直杆 对B 环水平向左的支持力F N B ，据平衡条件可得，水平杆对A 环向上的支 持力F N A ＝2mg ，竖直杆对B 环水平向左的支持力F N B ＝F ，以A 为研究对 象，对A 受力分析，A 受重力、水平杆对A 竖直向上的支持力、绳OA 对A 的拉力，三力平衡，绳OA 的拉力一定竖直向下，且F N A ＝mg ＋T OA ，解得T OA ＝mg ，故A 、B 错误．以B 为研究对象，对B 受力分析，如图所示，设OB 段绳与竖直方向的夹角为θ，由平衡条件可得T OB ＝(mg )2＋F 2N B ＝(mg )2＋F 2，tan θ＝F N B mg ＝F mg ，力F 缓慢增大，OB 段绳中的张力始终大于mg ，且逐渐增大，OB 段绳与竖直方向的夹角逐渐增大，故C 、D 正确． 13．(多选)如图，柔软轻绳ON 的一端O 固定，其中间某点M 拴一重物，用手拉住绳 的另一端N .初始时，OM 竖直且MN 被拉直，OM 与MN 之间的夹角为α??? ?α>π2.现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM 由竖直被拉到水平的过程中( ) A ．MN 上的张力逐渐增大 B ．MN 上的张力先增大后减小 C ．OM 上的张力逐渐增大 D ．OM 上的张力先增大后减小 解析：选AD ．设重物的质量为m ，绳OM 中的张力为T OM ，绳 MN 中的张力为T MN .开始时，T OM ＝mg ，T MN ＝0.由于缓慢拉起，则重 物一直处于平衡状态，两绳张力的合力与重物的重力mg 等大、反向．如 图所示，已知角α不变，在绳MN 缓慢拉起的过程中，角β逐渐增大， 则角(α－β)逐渐减小，但角θ不变，在三角形中，利用正弦定理得：T O M sin(α－β) ＝mg sin θ，(α－ β)由钝角变为锐角，则T O M先增大后减小，选项D正确；同理知T MN sin β＝mg sin θ，在β由0变 为π 2 的过程中，T MN一直增大，选项A正确． 14.质量为M的半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端固定一个竖直挡板AB，在P上放两个大小相同的光滑小球C和D，质量均为m，整个装置的纵截面如图所示．开始时P、C球心连线与水平面的夹角为θ，点P、D球心连线处于竖直方向，已知重力加速度为g.则下列说法正确的是() A．P和挡板对C的弹力分别为 mg tan θ和 mg sin θ B．地面对P的摩擦力大小为零 C．使挡板缓慢地向右平行移动，但C仍在P和挡板AB作用下悬于半空中，则地面对P的摩擦力将不断增大 D．使挡板绕B点顺时针缓慢转动，P始终保持静止，则D一定缓慢下滑 解析：选C．对D受力分析，受到重力mg和P的支持力F N； 对C受力分析，受到重力mg、挡板AB的支持力F N1和P对C的支 持力F N2，如图所示，根据平衡条件，得F N1＝mg tan θ，F N2＝ mg sin θ， 选项A错误；以P、C、D整体为研究对象，进行受力分析，受到三 者的重力、挡板AB的支持力F N1，地面的支持力F N3，地面的静摩擦力f，根据共点力平衡条件，有F N3＝(M＋2m)g，f＝F N1，选项B错误；使挡板缓慢地向右平行移动，由于θ不断减小，故f不断增大，选项C正确；由于P、D球心连线处于竖直方向，当使挡板绕B 点顺时针缓慢地转动时，小球D可继续保持静止，选项D错误．