2019届高三文科数学测试题(三)附答案
2019届高三文科数学测试题（三）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}|1A x x =<，{}
|e 1x B x =<，则（ ） A ．{}|1A
B x x =< B ．R A
B
=R C ．{}|e A
B x x =< D ．
{}R |01A
B x x =<<
2．为了反映国民经济各行业对仓储物流业务的需求变化情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．如图所示的折线图是2016年1月至2017年12月的中国仓储指数走势情况．
根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A ．2016年各月的仓储指数最大值是在3月份 B ．2017年1月至12月的仓储指数的中位数为54% C ．2017年1月至4月的仓储指数比2016年同期波动性更大
D ．2017年11月份的仓储指数较上月有所回落，显示出仓储业务活动仍然较为活跃，经济运行稳中向好
3．下列各式的运算结果为实数的是（ ） A ．2(1i)+
B ．2i (1i)-
C ．2i(1i)+
D ．i(1i)+
4．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．如图是刘徽利用正六边
形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形的概率为（ ）
A ．
33
B ．33π
C ．32
D ．
3π 5．双曲线()22
22:10,0x y E a b a b
-=>>的离心率是5，过右焦点F 作渐近线l 的垂线，垂足为M ，
若OFM △的面积是1，则双曲线E 的实轴长是（ ） A ．1
B ．2
C ．2
D ．22
6．如图，各棱长均为1的直三棱柱111C B A ABC -，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，且MN ∥平面11A ACC ，则这样的MN 有（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．无数条
7．已知实数x ，y 满足??
?
??≤≤+≥-0424
2y y x y x ，则y x z 23-=的最小值是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
8．函数()()
22cos x x f x x -=-在区间[]5,5-上的图象大致为（ ）
9．已知函数()lg
4x
f x x
=-，则（ ） A ．()f x 在()0,4单调递减
B ．()f x 在()0,2单调递减，在()2,4单调递增
C ．()y f x =的图象关于点()2,0对称
D ．()y f x =的图象关于直线2=x 对称
10．如图是为了求出满足20182222
1
>+++n
的最小整数n ， 和两个空白框中，
可以分别填入（ ）
A ．?2018>S ，输出1-n
B ．?2018>S ，输出n
C ．?2018≤S ，输出1-n
D ．?2018≤S ，输出n
11．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3
cos b a C C ??= ? ???
，2=a ，362=c ，则角=C （ ） A ．
34π
B ．
3
π C ．
6
π D ．
4
π 12．设A ，B 是椭圆14:2
2=+k
y x C 长轴的两个端点，若C 上存在点P 满足120APB ∠=?，则k 的取值范围是（ ）
A ．[)40,12,3??+∞ ?
??
B ．[)20,6,3??+∞ ?
??
C ．[)20,12,3??+∞ ?
??
D ．[)40,6,3??+∞ ?
??
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知向量()2,3=-a ，(),2x =-b ，若()2⊥+a a b ，则实数x 的值为 ．
14．曲线e sin x y x =+在点()0,1处的切线方程是 ． 15．若tan 3α=，0,2απ??∈ ???，则cos 4απ?
?-= ??
? ．
16．已知球的直径4=SC ，A ，B 是该球球面上的两点，3=AB ，30ASC BSC ∠=∠=?，则棱
锥ABC S -的体积为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，()12222n n a a a n -=+-≥． （1）证明：{}1n a +为等比数列；
（2）求{}n a 的通项公式，并判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？
18．（12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥BC 平面B B AA 11，21==AA AB ，160A AB ∠=?． （1）证明：平面⊥C AB 1平面BC A 1；
（2）若四棱锥C C BB A 11-的体积为3
3
2，求该三棱柱的侧面积．
19．（12分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D （单位：分贝）与声音能量I （单位：2
/cm W ）之间的关系，将测量得到的声音强度i D 和声音能量i I ，
()1,2,,10i =数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值．
表中i i I W lg =，∑==101
101i i W W ．
（1）根据散点图判断，I b a D 11+=与I b a D lg 22+=哪一个适宜作为声音强度D 关于声音能量I 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据表中数据，求声音强度D 关于声音能量I 的回归方程；
（3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P 共受到两个声源的影响，
这两个声源的声音能量分别是1I 和2I ，且
102
1104
1=+I I ．已知点P 的声音能量等于声音能量1I 与2I 之和．请根据（1）中的回归方程，判断P 点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由． 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，
，(),n n u v 其回归直线αβ+=u v 的斜率和截距的最小二乘
估计分别为1
2
1
()()
?()n
i
i i n
i
i u
u v v u
u β
==--=-∑∑，??a
v u β=-．
20．（12分）过抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当点A 的纵坐标为1时，2AF =． （1）求抛物线C 的方程；
（2）若直线l 的斜率为2，问抛物线C 上是否存在一点M ，使得MB MA ⊥，并说明理由．
21．（12分）已知a ∈R ，函数()()
2e 2x f x x a ax =--．
（1）若()
f x有极小值且极小值为0，求a的值；
（2）当x∈R时，()()0
f x f x
+-≥，求a的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线
1
C的参数方程为：
?
?
?
=
=
θ
θ
sin
cos
y
x
（θ为参数，[]
0,
θ∈π），将曲线
1
C
经过伸缩变换：
?
?
?
=
=
y
y
x
x
3
'
'
得到曲线
2
C．
（1）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求2C的极坐标方程；
（2）若直线l：
?
?
?
=
=
α
α
sin
cos
t
y
t
x
（t为参数）与
1
C，
2
C相交于A，B
两点，且1
AB=，求α的值．
23．（10分）选【修4-5：不等式选讲】
已知函数()12
f x x x
=+--，2
()
g x x x a
=--．
（1）当5
=
a时，求不等式()()
f x
g x
≥的解集；
（2）若不等式()()
f x
g x
≥的解集包含[]
2,3，求a的取值范围．
高三文科数学（三）答 案
一、选择题． 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】C 10．【答案】A 11．【答案】D 12．【答案】A 二、填空题． 13．【答案】10
14．【答案】012=+-y x
15．【答案】
5
5
2 16．【答案】
3 三、解答题．
17．【答案】（1）见解析；（2）12-=n n a ，是．
【解析】∵37a =，3232a a =-，∴32=a ， ∴121+=-n n a a ，∴11=a ，
()11
221
-n n a n a +=≥+，
∴{}1n a +是首项为2公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，n n a 21=+，∴12-=n
n a ，
∴222
12211
--=---=
++n n S n n n ，∴()12222210n n n n n S a n n ++-=+----=， ∴n n a S n 2=+，即n ，n a ，n S 成等差数列． 18．【答案】（1）见解析；（2）623S =+．
【解析】（1）证明：三棱柱111C B A ABC -的侧面B B AA 11中，1AA AB =， ∴四边形B B AA 11为菱形，
∴B A AB 11⊥，又⊥BC 平面B B AA 11，?1AB 平面B B AA 11，∴BC AB ⊥1， ∵1A B
BC B =，∴⊥1AB 平面BC A 1，?1AB 平面C AB 1，
∴平面⊥C AB 1平面BC A 1
（2）过1A 在平面B B AA 11内作⊥D A 11BB 于D ， ∵⊥BC 平面B B AA 11，?BC 平面C C BB 11，
∴平面⊥C C BB 11平面B B AA 11于1BB ，?D A 1平面B B AA 11， ∴⊥D A 1平面C C BB 11．
在11Rt A B D △中，211==AB B A ，11160A B B A AB ∠=∠=?， ∴31=D A ，∵11AA BB ∥，∴A 点到平面C C BB 11的距离为3． 又四棱锥-A C C BB 11的体积3
3
2233131111=???==
BC D A S V C C BB ，∴1=BC 在平面C C BB 11内过点D 作DE BC ∥交1CC 于E ，连接E A 1，则1==BC DE ，
22211=+=DE D A E A ，
∴())
1113122623S A D DE A E AA =++?=
+?=+
19．【答案】（1）I b a D lg 22+=更适合；（2）7.160ln 10?+=I D ；（3）是，见解析．
【解析】（1）I b a D lg 22+=更适合．
（2）令i i I W lg =，先建立D 关于W 的线性回归方程，
由于10
1
2
1
()()
5.1?0.51
()i
i
i n
i
i W W D D W
W β
==--==
-∑∑，∴7.160??=-=W D a
β， ∴D 关于W 的线性回归方程是7.16010?+=W D
，即D 关于I 的回归方程是7.160ln 10?+=I D ． （3）点P 的声音能量21I I I +=，∵
102
1104
1=+I I ，
∴21I I I +=()1010102112121241410105910I I I I I I I I ---????
=++=++≥? ? ????
?，
根据（2）中的回归方程，点P 的声音强度D 的预报值
()
10min ?10lg 910160.710lg960.760D -=?+=+>， ∴点P 会受到噪声污染的干扰．
20．【答案】（1）C ：y x 42
=；（2）存在M 点，见解析．
【解析】（1）由抛物线的定义可得2212
=?=+p p ，故抛物线方程为y x 42
=．
（2）假设存在满足条件的点()00,M x y ，则设直线1:+=kx y AB ，
代入y x 42
=可得0442
=--kx x ，设()11,A x y ，()22,B x y ，
则124x x k +=，124x x =-，
因为()1010,MA x x y y =--，()2020,MB x x y y =--，
则由MB MA ⊥可得()()()()102010200x x x x y y y y --+--=，
即()()()()1020102011016x x x x x x x x ??
--+++=????
，也即()()1020160x x x x --+=，
所以012402
0=++kx x ，由于判别式()2164816430k ?=-=->，此时12x =-，26x =-，
则存在点()2,1M -，()6,9M -，即存在点()00,M x y 满足题设． 21．【答案】（1）2
1
=
a ；（2）(],1-∞． 【解析】（1）()()()()
'e 2e 21e 2x x x f x a x ax x a =-+-=+-，x ∈R ， ①若0≤a ，则由()'0f x =解得1-=x ，
当(),1x ∈-∞-时，()'0f x <，()f x 递减；当()1,x ∈-+∞时，()'0f x >，()f x 递增；
故当1-=x 时，()f x 取极小值()11e f a --=-，令1e 0a --=，得1
e a =（舍去），
若0>a ，则由e 20x a -=，解得()ln 2x a =． （i ）若()ln 21a <-，即1
02e
a <<
时，当()(),ln 2x a ∈-∞，()'0f x >，()f x 递增； 当()()ln 2,1x a ∈-，()'0f x >，()f x 递增；故当1-=x 时，()f x 取极小值()11e f a --=-，
令1e 0a --=，得1
e a =（舍去）．
（ii ）若()ln 21a =-，即1
2e
a =
时，()'0f x ≥，()f x 递增不存在极值； （iii ）若()ln 21a >-，即1
2e
a >
时，当(),1x ∈-∞-时，()'0f x >，()f x 递增； 当()()1,ln 2x a ∈-时，()'0f x <，()f x 递减；当()()ln 2,x a ∈+∞时，()'0f x >，()f x 递增； 故当()ln 2x a =时，()f x 取极小值()()()2ln 2ln 20f a a a =-=，得2
1
=a 满足条件， 故当()f x 有极小值且极小值为0时，2
1=
a ． （2）()()0f x f x +-≥等价于()2e e 20x x x ax ---≥，即()
2e e 2x x x ax --≥，
当0=x 时，①式恒成立；当0≠x 时，()
e e 0x x x -->，故当0≤a 时，①式恒成立；
以下求当0>x 时，不等式()2e e 20x x x ax ---≥恒成立，且当0 2e e 20x x x ax ---≤恒成立时正数a 的取值范围， 令e x t =，()12ln g t t a t t =--以下求当1>t ，()1 2ln 0g t t a t t =--≥恒成立，且当10< ()1 2ln 0g t t a t t =--≤恒成立时正数a 的取值范围， 对()g t 求导，得()222 1221 1a t at g t t t t -+'=+-=，记()221h t t at =-+，244a ?=-， （i ）当10≤ ≤-=?a ，()2210h t t at =-+≥，()'0g t >， 故()g t 在()0,+∞上递增，又()10g =，故1>t ，()()10g t g >=，01t <<，()()10g t g <=， 即当10≤ 2e e 2x x x ax --≥式恒成立； （ii ）当1>a 时，()010h =>，()1220h a =-<，故()h t 的两个零点即()'g t 的两个零点()10,1t ∈和 ()21,t ∈+∞，在区间()12,t t 上，()0h t <，()'0g t <，()g t 是减函数， 又11 ρθθθθ= =∈π++；（2）3απ=或23απ =． 【解析】（1）1C 的普通方程为()2 2 10x y y +=≥，把???==y y x x 3''代入上述方程得，()22 ''1'03y x y +=≥， ∴2C 的方程为()2 2 103 y x y +=≥，令cos x ρθ=，sin y ρθ=， 所以2C 的极坐标方程为[]()2222 23 0,3cos sin 2cos 1 ρθθθθ= =∈π++． （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，