专题34 数列中的奇偶性问题(解析版)
专题34 数列中的奇偶性问题
一、题型选讲
题型一、与奇偶性有关讨论求含参问题
含参问题最常用的方法就是把参数独立出来,要独立出来就要除以一个因式,此因式的正负与n 的奇偶性有关,因此要对n 进行奇偶性的讨论.
例1、(2015扬州期末)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n ＝4＋????－1
2n －1,若对任意n ∈N *,都有1≤p (S n －4n )≤3,则实数p 的取值范围是________．
答案：[2,3]
思路分析 求参数的常用方法是分离参数,所以首先将参数p 进行分离,从而将问题转化为求函数f (n )＝S n
－4n 的最大值与最小值,再注意到题中含有???
?－1
2n －1,涉及负数的乘方,所以需对n 进行分类讨论． 令f (n )＝S n －4n ＝4n ＋1－????－1
2n 1－???
?－12－4n ＝23????1－????－12n . 当n 为奇数时,f (n )＝23????1＋
????12n 单调递减,则当n ＝1时,f (n )max ＝1； 当n 为偶数时,f (n )＝23????1－
????12n 单调递增,由当n ＝2时,f (n )min ＝12. 又
1S n －4n ≤p ≤3
S n －4n
,所以2≤p ≤3. 解后反思 本题的本质是研究数列的最值问题,因此,研究数列的单调性就是一个必要的过程,需要注意的
是,由于本题是离散型的函数问题,所以,要注意解题的规范性,“当n 为奇数时,f (n )＝23????1＋
????12n ,单调递减,此时f (n )∈????23，1；当n 为偶数时,f (n )＝2
3????1－????12n ,单调递增,此时f (n )∈????12，1”的写法是不正确的,因为f (n )并不能取到????12，1∈????23，1＝????12，1内的所有值．
例2、(2019苏州三市、苏北四市二调)已知数列{a n }的各项均不为零．设数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a 2n }
的前n 项和为T n ,且3S 2n －4S n ＋T n ＝0,n∈N *.
(1) 求a 1,a 2的值；
(2) 证明：数列{a n }是等比数列；
(3) 若(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0对任意的n ∈N *恒成立,求实数λ的所有值．
思路分析 (1) 对3S 2n －4S n ＋T n ＝0,令n ＝1,2得到方程,解得a 1,a 2的值．
(2) 3S 2n －4S n ＋T n ＝0中,对n 赋值作差,消去T n,再对n 赋值作差,消去S n ,从而得到a n ＋1＝－1
2a n ,证得数列{a n }是等比数列．
(3)先求出a n ＝????－1
2n －1,由(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0恒成立,确定λ＝0适合,再运用反证法证明λ>0和λ<0不成立．
规范解答 (1)因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0,n∈N *
.
令n ＝1,得3a 21－4a 1＋a 21＝0,因为a 1≠0,所以a 1＝1.
令n ＝2,得3(1＋a 2)2－4(1＋a 2)＋(1＋a 22)＝0,即2a 2
2＋a 2＝0,因为a 2≠0,所以a 2＝－12
.(3分) (2)解法1 因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0, ∈
所以3S 2n ＋1－4S n ＋1＋T n ＋1＝0, ∈
∈－∈得,3(S n ＋1＋S n )a n ＋1－4a n ＋1＋a 2n ＋1＝0,
因为a n ＋1≠0,所以3(S n ＋1＋S n )－4＋a n ＋1＝0, ∈(5分)
所以3(S n ＋S n －1)－4＋a n ＝0(n≥2), ∈
当n≥2时,∈－∈得,3(a n ＋1＋a n )＋a n ＋1－a n ＝0,即a n ＋1＝－12a n ,
因为a n ≠0,所以
a n ＋1a n ＝－1
2
. 又因(1)知,a 1＝1,a 2＝－12,所以a 2a 1＝－1
2
,
所以数列{a n }是以1为首项,－1
2
为公比的等比数列．(8分)
解法2 因为3S 2n －4S n ＋T n
＝0,∈ 所以3S 2n ＋1－4S n ＋1＋T n ＋1＝0,∈
∈－∈得,3(S n ＋1＋S n )a n ＋1－4a n ＋1＋a 2n ＋1＝0,
因为a n ＋1≠0,所以3(S n ＋1＋S n )－4＋a n ＋1＝0,
所以3(S n ＋1＋S n )－4＋(S n ＋1－S n )＝0,(5分) 整理为S n ＋1－23＝－12????S n －23,又S 1－23＝a 1－23＝1
3, 所以S n －23＝13·????－12n －1,得S n ＝13·????－12n －1＋2
3
,
当n≥2时,a n ＝S n －S n －1＝????－12n －1
,而a 1＝1也适合此式,
所以a n ＝???
?－1
2n －1,所以a n ＋1a n ＝－1
2
所以数列{a n }是以－1
2为公比的等比数列．(8分)
(3)解法1 由(2)知,a n ＝???
?－12n －1
.
因为对任意的n∈N *,(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0恒成立, 所以λ的值介于n ????－12n －1和n ????－12n 之间．
因为n ???
?－1
2n －1·n ????－12n <0对任意的n ∈N *恒成立,所以λ＝0适合．(10分)
若λ>0,当n 为奇数时,n ????－12n
<λ ?－12n －1恒成立,从而有λ 2 n －1恒成立． 记p (n )＝n 2 2n (n ≥4),因为p (n ＋1)－p (n )＝（n ＋1）22n ＋1－n 22n ＝－n 2＋2n ＋12n ＋ 1<0, 所以p (n )≤p (4)＝1,即n 22n ≤1,所以n 2n ≤1 n (*), 从而当n ≥5且n ≥2λ时,有λ≥2n ≥n 2n －1,所以λ>0不符．(13分) 若λ<0,当n 为奇数时,n ????－12n <λ ?－1 2n －1恒成立,从而有－λ 2 n 恒成立． 由(*)式知,当n ≥5且n ≥－1λ时,有－λ≥1n ≥n 2n ,所以λ<0不符． 综上,实数λ的所有值为0. 题型二、数列中奇偶项问题 数列通项中出现奇、偶不同的表达式,需要分奇、偶分别赋值得到关系式,再对关系式相加或相减,得到奇数项或偶数项的关系式,体现减元的思想,考生要能够多观察,多思考,养成良好的逻辑推理的习惯. 例3、例3、(2015苏州期末)已知数列{a n }中a 1＝1,a n ＋1＝????? 13a n ＋n ，n 为奇数， a n －3n ， n 为偶数. (1) 是否存在实数λ,使得数列{a 2n －λ}是等比数列？若存在,求出λ的值；若不存在,请说明理由． (2) 若S n 是数列{a n }的前n 项和,求满足S n >0的所有正整数n . 规范解答 (1) 由已知,得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋1＋(2n ＋1)＝13[a 2n －3(2n )]＋2n ＋1＝1 3a 2n ＋1.(2分) 令a 2(n ＋1)－λ＝13(a 2n －λ),得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋23λ,所以λ＝3 2.(4分) 此时,a 2－λ＝13＋1－32＝－1 6 .(5分) 所以存在λ＝3 2,使得数列{a 2n －λ}是等比数列．(6分) (2) 由(1)知,数列??????a 2n －32是首项为－16,公比为1 3的等比数列, 所以a 2n －32＝－16·????13n －1＝－12·1 3n , 即a 2n ＝1 2??? ?3－13n .(8分) 由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1),得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝3 2????3－13n －6n ＋3,(10分) 所以a 2n －1＋a 2n ＝32????3－13n －6n ＋3＋1 2??? ?3－13n ＝－2????13n －6n ＋9. 所以S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－213＋????132＋…＋????13n －6(1＋2＋…＋n )＋9n ＝13 n －3n 2 ＋6n －1,(12分) 从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32·13n －3n 2＋6n －5 2 . 因为1 3n 和－3n 2＋6n ＝－3(n －1)2＋3在n ∈N *时均单调递减,所以S 2n 和S 2n －1均各自单调递减．(14分) 计算得S 1＝1,S 2＝73,S 3＝－73,S 4＝－8 9 , 所以满足S n >0的所有正整数n 的值为1和2.(16分) 解后反思 对于通项公式分奇偶不同的数列{a n }求S n 时,一般先把a 2k －1＋a 2k 看做一项,求出S 2k ,再求S 2k －1 ＝S 2k －a 2k . 例4、(2018苏中三市、苏北四市三调)已知数列{}n a 满足1 5 (1)()2 n n n n a a n *+++-= ∈N ,数列{}n a 的前n 项和为n S ． (1)求13a a +的值； (2)若15 32a a a +=． ∈ 求证：数列 {}2n a 为等差数列； ∈ 求满足224()p m S S p m *=∈N ，的所有数对()p m ，． 【思路分析】(1)直接令1,2n =得到关系式,两式相减,求出13a a +的值 （2） 分别赋值21,2n n -,得到关系式,两式相减,得到212112n n a a -++=,结合1532a a a +=,计算出11 4a = , 从而求 2114n a -=,代入关系式,得出294n a n =+,利用定义法证明{}2n a 为等差数列 （3）求和得到2n S ,代入关系式整理得() 2 234322 p m p m +=+,需要转化两个因数相乘的形式,变形处理,利用 平方差公式得到(29)(23)27m p m p ++-+=,因为2912m p ++≥且2923m p m p ++-+，均为正整数,则两个因数只能为27和1,从而求出p m ，的值. 规范解答 (1)由条件,得2132372 a a a a -=???+=??① ②,∈-∈得 13 12a a +=．……………………… 3分 (2)∈证明：因为15(1)2 n n n n a a +++-=, 所以221212242252 n n n n n a a n a a -++?-=??+?+=?③④, ∈-∈得 212112n n a a -++=, ……………………………………………… 6分 于是13353111()()422 a a a a a =+=+++=, 所以314a =,从而114a =． ……………………………………………… 8分 所以121231111()(1)()0444n n n a a a ----=--==--=L , 所以2114n a -=,将其代入∈式,得294n a n =+, 所以2(1)21n n a a +-=(常数), 所以数列{}2n a 为等差数列．……………………………………………… 10分 ∈注意到121n a a +=, 所以2122n n S a a a =+++L 2345221()()()n n a a a a a a +=++++++L 2 1 25322n k k n n =+==+∑,…………………………………………… 12分 由224p m S S =知() 2234322 p m p m +=+． 所以22(26)(3)27m p +=++, 即(29)(23)27m p m p ++-+=,又*p m ∈N ，, 所以2912m p ++≥且2923m p m p ++-+，均为正整数, 所以2927 231m p m p ++=??-+=? ,解得104p m ==，, 所以所求数对为(104)，．………………………………………………… 16分 例5、(2017苏北四市期末)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1＝a ,(a n ＋1)(a n ＋1＋1)＝6(S n ＋n ),n ∈N *. (1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 若∈n ∈N * ,都有S n ≤n (3n ＋1)成立,求实数a 的取值范围； (3) 当a ＝2时,将数列{a n }中的部分项按原来的顺序构成数列{b n },且b 1＝a 2,证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{b n }． 规范解答 (1) 当n ＝1时,(a 1＋1)(a 2＋1)＝6(S 1＋1),故a 2＝5；当n≥2时,(a n －1＋1)(a n ＋1)＝6(S n －1＋n －1), 所以(a n ＋1)(a n ＋1＋1)－(a n －1＋1)(a n ＋1)＝6(S n ＋n)－6(S n －1＋n －1),即(a n ＋1)(a n ＋1－a n －1)＝6(a n ＋1), 又a n ＞0,所以a n ＋1－a n －1＝6,(3分) 所以a 2k －1＝a ＋6(k －1)＝6k ＋a －6,a 2k ＝5＋6(k －1)＝6k －1,k∈N *, 故a n ＝????? 3n ＋a －3， n 为奇数， 3n －1， n 为偶数. )(5分) (2) 当n 为奇数时,n ＋1为偶数,所以a n ＝3n ＋a －3,a n ＋1＝3n ＋2,所以(3n ＋a －3＋1)(3n ＋2＋1)＝6(S n ＋n ),整理得S n ＝1 2 (3n ＋a －2)(n ＋1)－n , 由S n ≤n (3n ＋1)得,a ≤3n 2＋3n ＋2 n ＋1 对n ∈N *恒成立． 令f (n )＝3n 2＋3n ＋2n ＋1(n ∈N * ),则f (n ＋1)－f (n )＝3n 2＋9n ＋4(n ＋2)(n ＋1)＞0,所以f (n )＝3n 2＋3n ＋2n ＋1(n ∈N *)单调递 增,f (n )min ＝f (1)＝ 3＋3＋2 2 ＝4,所以a ≤4.(8分) 当n 为偶数时,n ＋1为奇数,a n ＝3n －1,a n ＋1＝3n ＋a , 所以(3n －1＋1)(3n ＋a ＋1)＝6(S n ＋n ),整理得S n ＝3n 2＋(a －1)n 2,由S n ≤n (3n ＋1)得,a ≤3(n ＋1)对n ∈N *恒成 立,所以a ≤9. 又a 1＝a ＞0,所以实数a 的取值范围是(0,4]．(10分) (3) 当a ＝2时,若n 为奇数,则a n ＝3n －1,所以a n ＝3n －1(n ∈N *)． 解法 1 因为数列{a n }的项是b 1＝5的整数倍的最小项是a 7＝20,故可令等比数列{b n }的公比q ＝4m (m ∈N *), 因为b 1＝a 2＝5,所以b n ＝5·4m (n －1) , 设k ＝m (n －1),因为1＋4＋42＋…＋4 k －1 ＝4k －13 , 所以4k ＝3(1＋4＋42＋…＋4k － 1)＋1, 所以5·4k ＝5[3(1＋4＋42＋…＋4k － 1)＋1] ＝3[5(1＋4＋42＋…＋4k － 1)＋2]－1,(14分) 因为5(1＋4＋42＋…＋4k －1)＋2为正整数, 所以数列{b n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列, 因为公比q ＝4m (m ∈N *)有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列,故无穷等比数列{b n }有无数个．(16分) 解法2 设b 2＝ak 2＝3k 2－1(k 2≥3),因为b 1＝a 2＝5,所以公比q ＝3k 2－1 5. 因为等比数列{b n }的各项为整数,所以q 为整数, 取k 2＝5m ＋2(m ∈N *),则q ＝3m ＋1,故b n ＝5·(3m ＋1)n － 1. 由3k n －1＝5·(3m ＋1)n －1 得k n ＝13 [5(3m ＋1)n － 1＋1](m ,n ∈N *), 而当n ≥2时,k n －k n －1＝53[(3m ＋1)n －1－(3m ＋1)n －2]＝5m (3m ＋1)n －2,即k n ＝k n －1＋5m (3m ＋1)n － 2.(14分) 又因为k 1＝2,5m (3m ＋1)n －2 都是正整数,所以k n 也都是正整数,所以数列{b n }是数列{a n }中包含的无穷等 比数列, 因为公比q ＝3m ＋1(m ∈N *)有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列,故无穷等比数列{b n }有无数个．(16分) 解后反思 作为数列压轴题,本题三个小题梯度明显,有较好的区分度,其中第(1)(2)小题联系紧密,难度中等,考生应该努力完成这两小题,而不是轻易放弃；而第(3)小题要求高,试题开放,解法1构造特殊数列,而解法2从一般性推理与证明两个角度完成证明,难度都非常大,建议考生果断放弃． 题型三、数列中连续两项和或积的问题 “相邻两项的和是一次式”的特征,联想到数列{a n }中相邻两项的和成等差数列,故考虑采用相邻项作差法,得到数列{a n }中奇数项成等差,偶数项也成等差,而且公差相同的结论,进而求出数列通项公式． 例6、(2018苏州暑假测试)已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n∈N *)． (1) 若数列{a n }是等差数列,求a 1的值； (2) 当a 1＝2时,求数列{a n }的前n 项和S n ； (3) 若对任意 n ∈N * ,都有a 2n ＋a 2n ＋1a n ＋a n ＋1 ≥5 成立,求a 1的取值范围． 规范解答 (1) 若数列{a n }是等差数列,则a n ＝a 1＋(n －1)d,a n ＋1＝a 1＋nd. 由a n ＋1＋a n ＝4n －3,得(a 1＋nd)＋[a 1＋(n －1)d]＝4n －3,(2分) 即2d ＝4,2a 1－d ＝－3,解得d ＝2,a 1＝－1 2 .(3分) (2) 由a n ＋1＋a n ＝4n －3(n∈N *),得a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)． 两式相减,得a n ＋2－a n ＝4.(5分) 所以数列{a 2n －1}是首项为a 1,公差为4的等差数列． 数列{a 2n }是首项为a 2,公差为4的等差数列, 由a 2＋a 1＝1,a 1＝2,得a 2＝－1, 所以a n ＝? ?? ??2n ， n 为奇数，2n －5，n 为偶数. (6分) ∈当n 为奇数时,a n ＝2n ,a n ＋1＝2n －3. S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －2＋a n －1)＋a n ＝1＋9＋…＋(4n －11)＋2n ＝n －1 2×（1＋4n －11）2＋2n ＝2n 2－3n ＋52；(8分) ∈当n 为偶数时, S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7) ＝2n 2－3n 2 .(10分) (3) 由(2)知,a n ＝? ????2n －2＋a 1，n 为奇数， 2n －3－a 1，n 为偶数.(11分) ∈当n 为奇数时,a n ＝2n －2＋a 1,a n ＋1＝2n －1－a 1. 由a 2n ＋a 2n ＋1a n ＋a n ＋1 ≥5得a 21－a 1≥－4n 2 ＋16n －10. 令f (n )＝－4n 2＋16n －10＝－4(n －2)2＋6, 当n＝1或3时,f(n)max＝2,所以a21－a1≥2. 解得a1≥2或a1≤－1.(13分) ∈当n为偶数时,a n＝2n－a1－3,a n＋1＝2n＋a1. 由a2n＋a2n＋1 a n＋a n＋1 ≥5得a21＋3a1≥－4n2＋16n－12. 令g(n)＝－4n2＋16n－12＝－4(n－2)2＋4, 当n＝2时,g(n)max＝4,所以a21＋3a1≥4, 解得a1≥1或a1≤－4.(15分) 综上,a1的取值范围是(－∞,－4]∈[2,＋∞)．(16分) 例7、(2019苏州期初调查)已知数列{a n}的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列,数列{a n}前n项和为S n,且满足S3＝a4,a5＝a2＋a3. (1) 求数列{a n}的通项公式； (2) 若a m a m＋1＝a m＋2,求正整数m的值； (3) 是否存在正整数m,使得 S2m S2m－1恰好为数列{a n }中的一项？若存在,求出所有满足条件的m值,若不存在, 说明理由． 思路分析(1)建立方程组,求出公比和公差,用分段的形式写出{a n}的通项公式． (2)对m分奇、偶数,根据通项公式和a m a m＋1＝a m＋2建立方程,求出m的值． (3)运用求和公式求出S 2m 和S 2m －1,计算S 2m S 2m －1,通过分析其值只能为a 1,a 2,a 3,分情况讨论,解方程,求m 的值． 规范解答 (1)设奇数项的等差数列公差为d,偶数项的等比数列公比为q. 所以数列{a n }的前5项依次为1,2,1＋d,2q,1＋2d. 因为{S 3＝a 4，a 5＝a 2＋a 3，所以{4＋d ＝2q ，1＋2d ＝3＋d ，解得{d ＝2，q ＝3.(2分) 所以a n ＝???n ，n 为奇数，2·332－1，n 为偶数.(4分) (2)因为a m a m ＋1＝a m ＋2. 1° 若m ＝2k(k∈N *), 则a 2k a 2k ＋1＝a 2k ＋2,所以2·3k － 1·(2k ＋1)＝2·3k ,即2k ＋1＝3,所以k ＝1,即m ＝2.(6分) 2° 若m ＝2k －1(k ∈N *), 则a 2k －1a 2k ＝a 2k ＋1,所以(2k －1)×2·3k －1＝2k ＋1,所以2·3k － 1＝2k ＋12k －1＝1＋22k －1. 因为2·3k －1 为整数,所以2 2k －1 必为整数,所以2k －1＝1,所以k ＝1,此时2·30≠3.不合题意．(8分) 综上可知m ＝2.(9分) (3) 因为S 2m ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2m －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2m ) ＝m （1＋2m －1）2＋2（1－3m ）1－3＝3m ＋m 2－1.(10分) S 2m －1＝S 2m －a 2m ＝3m ＋m 2－1－2·3m － 1＝3m － 1＋m 2－1.(11分) 所以S 2m S 2m －1＝3m ＋m 2－13m －1＋m 2－1＝3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1 ≤3.(12分) 若 S 2m S 2m －1 为数列{a n }中的项,则只能为a 1,a 2,a 3. 1° S 2m S 2m －1＝1,则3－2（m 2－1）3m －1＋m 2 －1＝1,所以3m － 1＝0,m 无解．(13分) 2° S 2m S 2m －1＝2,则3－2（m 2－1）3m －1＋m 2 －1＝2,所以3m － 1＋1－m 2＝0. 当m ＝1时,等式不成立； 当m ＝2时,等式成立； 当m ≥3时,令f (x )＝3x － 1＋1－x 2＝13·3x ＋1－x 2. 所以f ′(x )＝ln33·3x －2x ,f ″(x )＝ln 233·3x －2. 因为f ″(x )在(14分) 3° S 2m S 2m －1＝3,则3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1＝3,所以m 2－1＝0,即m ＝1.(15分) 综上可知m ＝1或m ＝2.(16分) 解后反思 第(3)问中,解方程3m －1＋1－m 2＝0,其中m 为正整数,体现函数的思想,可以先取m ＝1,m ＝2,…,找出规律,即执果索因,然后用导数的方法研究函数f(x)＝3x － 1＋1－x 2的单调性,也可以用作差法来研究数列c m ＝3m － 1＋1－m 2的单调性来处理． 二、达标训练 1、(2018南京、盐城一模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若{a n }的前2017项中的奇数项和为2018,则S 2017 的值为________． 答案： 4034 解析：因为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017＝1009a 1009＝2018,所以a 1009＝2,故S 2017＝a 1＋a 2＋…＋a 2017＝2017a 1009 ＝4034. 2、(2019常州期末) 数列{a n },{b n }满足b n ＝a n ＋1＋(－1)n a n (n∈N *),且数列{b n }的前n 项和为n 2,已知数列{a n －n }的前2018项和为1,那么数列{a n }的首项a 1＝________． 答案： 3 2 解析：思路分析通项公式中出现(－1)n ,注意分奇、偶项,求和时自然采用分组求和法． 数列{b n }的前n 项和为n 2,所以b n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n≥2),b 1＝1也符合,故b n ＝2n －1,故a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1,设{a n }的前n 项和为S n ,a 2－a 1＝1. 若n 为奇数,则?????a n ＋1－a n ＝2n －1， a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋1，解得a n ＋a n ＋2＝2. 若n 为偶数,则? ????a n ＋a n ＋1＝2n －1， a n ＋2－a n ＋1＝2n ＋1，解得a n ＋a n ＋2＝4n. S 2018＝a 1＋(a 3＋a 5)＋(a 7＋a 9)＋…＋(a 2015＋a 2017)＋a 2＋(a 4＋a 6)＋(a 8＋a 10)＋…＋(a 2016＋a 2018)＝2a 1＋1＋1008＋4×(4＋8＋…＋2016)＝2a 1＋1009＋4×504×（4＋2016） 2 ＝2a 1＋1＋1008×2021. 又S 2018－2018×20192＝1,所以2a 1＋1＋1008×2021＝1＋1009×2019,得a 1＝3 2. 3、(2015南京、盐城一模)已知数列{a n }满足a 1＝－1,a 2>a 1,|a n ＋1－a n |＝2n (n ∈N *),若数列{a 2n －1}单调递减, 数列{a 2n }单调递增,则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. 【答案】(－2)n －1 3 因为|a n ＋1－a n |＝2n ,所以当n ＝1时,|a 2－a 1|＝2.由a 2>a 1,a 1＝－1得a 2＝1.当n ＝2时,|a 3 －a 2|＝4,得a 3＝－3或a 3＝5.因为{a 2n －1}单调递减,所以a 3＝－3.当n ＝3时,|a 4－a 3|＝8,得a 4＝5或a 4＝－11.因为{a 2n }单调递增,所以a 4＝5.同理得a 5＝－11,a 6＝21. 因为{a 2n －1}单调递减,a 1＝－1<0,所以a 2n －1<0.同理a 2n >0.所以当n 为奇数时(n ≥3),有a n －a n －1＝－2n － 1,a n －1 －a n －2＝2n －2.两式相加得a n －a n －2＝－2n － 2. 那么a 3－a 1＝－2；a 5－a 3＝－23；…；a n －a n －2＝－2n － 2. 以上各式相加得a n －a 1＝－(2＋23＋25＋…＋2n － 2)． 所以a n ＝a 1－2[1－(22)n －3 2＋1] 1－22＝－2n ＋1 3. 同理,当n 为偶数时,a n ＝2n －1 3 . 所以a n ＝??? －2n ＋13 ，n 为奇数， 2n －1 3， n 为偶数. 也可以写成a n ＝(－2)n －1 3 . 4、(2017镇江期末)已知n ∈N *,数列{a n }的各项均为正数,前n 项和为S n ,且a 1＝1,a 2＝2,设b n ＝a 2n －1＋a 2n . (1) 若数列{b n }是公比为3的等比数列,求S 2n ； (2) 若对任意n ∈N *,S n ＝a 2n ＋n 2 恒成立,求数列{a n }的通项公式； (3) 若S 2n ＝3(2n －1),数列{a n a n ＋1}也为等比数列,求数列{a n }的通项公式． 思路分析 第2问,用相邻项作差法可把条件“对任意n ∈N * ,S n ＝a 2n ＋n 2 ”转化为“a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1”, 因为a n ＋a n －1＝1对任意的n ∈N *恒不成立,故有a n －a n －1＝1对任意的n ∈N *恒成立；第3问,由“数列{a n a n ＋1}为等比数列”知a n ＋2a n 为同一个常数,即数列{a n }中奇数项和偶数项都是等比数列,且公比相同,不妨设为q ,在S 2n ＝3(2n －1)中,令n ＝2即可求出q . 规范解答 (1) b 1＝a 1＋a 2＝1＋2＝3,(1分) S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3(1－3n )1－3 ＝3(3n －1) 2.(3分) (2) 当n ≥2时,由2S n ＝a 2n ＋n ,得2S n －1＝a 2n －1＋n －1, 则2a n ＝2S n －2S n －1＝a 2n ＋n －(a 2n －1＋n －1)＝a 2n －a 2n －1＋1,(a n －1)2－a 2 n －1＝0,(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1－1)＝ 0, 故a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1.(*)(6分) 下面证明a n ＋a n －1＝1对任意的n ∈N *恒不成立． 事实上,a 1＋a 2＝3,则a n ＋a n －1＝1不恒成立； 若存在n ∈N *,使a n ＋a n －1＝1,设n 0是满足上式最小的正整数,即an 0＋an 0－1＝1,显然n 0＞2,且an 0－1∈(0,1),则an 0－1＋an 0－2≠1,则由(*)式知,an 0－1－an 0－2＝1,则an 0－2＜0,矛盾．故a n ＋a n －1＝1对任意的n ∈N *恒不成立． 所以a n －a n －1＝1对任意的n ∈N *恒成立．(8分) 因此{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列,所以a n ＝1＋(n －1)＝n .(10分) (3) 因为数列{a n a n ＋1}为等比数列,设公比为q ,则当n ≥2 时,a n a n ＋1a n －1a n ＝a n ＋1a n －1＝q . 即{a 2n －1},{a 2n }分别是以1,2为首项,公比为q 的等比数列,(12分) 故a 3＝q ,a 4＝2q . 令n ＝2,有S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋2＋q ＋2q ＝9,则q ＝2.(14分) 当q ＝2时,a 2n －1＝2n － 1,a 2n ＝2×2n － 1＝2n ,b n ＝a 2n －1＋a 2n ＝3×2n － 1,此时S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1 ＋a 2n )＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3(1－2n ) 1－2 ＝3(2n －1)． 综上所述,a n ＝??? 2n －1 2 ，n 为奇数，2n 2，n 为偶数. (16分) 易错警示 在第2问中,必须证明a n ＋a n －1＝1对任意的n ∈N *恒不成立,不是“对任意的n ∈N *不恒成立”,因为若存在某个n 0∈N *使得a n ＋a n －1＝1成立,由于逻辑连结词“或”的缘故,则此时式子“an 0－an 0－1＝1”可以不成立！也就是说,“a n －a n －1＝1对任意的n ∈N *恒成立”不一定正确． 解后反思 由于“S 2n ＝3(2n －1)”符合特征“S n ＝A －Aq n ”,故数列{a 2n －1＋a 2n }是等比数列,且公比为2,再由“数列{a n a n ＋1}为等比数列”知 a n ＋2 a n 为同一个常数,即数列{a n }中奇数项和偶数项都是等比数列,且公比相同,不妨设为q ,则有a 2n ＋1a 2n －1＝a 2n ＋2a 2n ＝q ,即a 2n ＋1＋a 2n ＋2 a 2n －1＋a 2n ＝q ,故q ＝2. 5、(2016南京、盐城、连云港、徐州二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且对任意正整数n 都有a n ＝(－1)n S n ＋p n (p 为常数,p ≠0)． (1) 求p 的值； (2) 求数列{a n }的通项公式； (3) 设集合A n ＝{a 2n －1,a 2n },且b n ,c n ∈A n ,记数列{nb n },{nc n }的前n 项和分别为P n ,Q n .若b 1≠c 1,求证：对任意n ∈N *,P n ≠Q n . 规范解答 (1) 由a 1＝－S 1＋p,得a 1＝p 2 .(2分) 由a 2＝S 2＋p 2,得a 1＝－p 2,所以p 2＝－p 2. 又p≠0,所以p ＝－1 2.(3分) (2)由a n ＝(－1)n S n ＋??? ?－12n , 得?? ? a n ＝(－1)n S n ＋???? －1 2n ， ∈a n ＋1 ＝－(－1)n S n ＋1 ＋??? ?－12n ＋1 ， ∈ ∈＋∈得a n ＋a n ＋1＝(－1)n (－a n ＋1)＋1 2×????－12n .(5分) 当n 为奇数时,a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－12×????12n , 所以a n ＝－????12n ＋1 .(7分) 当n 为偶数时,a n ＋a n ＋1＝－a n ＋1＋12×??? ?12n , 所以a n ＝－2a n ＋1＋12×????12n ＝2×????12n ＋2＋12×????12n ＝??? ?12n , 所以a n ＝??? －1 2 n ＋1，n 为奇数， n∈N *，1 2n ， n 为偶数，n ∈N * . (9分) (3)A n ＝? ??? ??－1 4n ，14n ,由于b 1≠c 1,则b 1 与c 1一正一负, 不妨设b 1＞0,则b 1＝14,c 1＝－1 4 . 则P n ＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ≥1 4－????242 ＋34 3＋…＋n 4n .(12分) 数列中的分奇偶问题 典型例题 1、( 2005天津)在数列中，a<)= 1,a^ — 2 且a* 卡—a* =1 + ( — 1)，则S)oo —〈变式：求S n。 n 1 2、求和:& =1 _5+9_13+川+(_1 j_f4 n_3) 3、数列：a"中，q =1,a2 =4,a^a*^ 2 n _3，S*为数列CaJ的前n项和，求S*。 ，/ 、.n」 4、已知数列玄，的前n项和S n满足S n-Si2=3i 1 n_3，且S^ = 1, S2 =-—， I 2八， 2 求数列1a n ?的通项公式。 5、( 2004年北京理14)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和 都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和. 已知数列「a「是等和数列，且a^ = 2，公和为5，那么a18的值为___________ ，这个数列的前n项和&的计 算公式为_________ 。 8、(2013湖南理)设S n为数列、a n的前n项和, n 1 * Sn = T a* - 歹，n ? N ,则 6、数列\a n"的首项a-i =1,且对于任意n ? N ., a n与a n d恰为方程x? 一b n x - 2n = 0的两个根。 (1)求数列Ca n ?和数列(bj的通项公式 (2)求数列的前n项和& 1 a n, n为奇数 7、设订,满足a1 =1,且a n 1—三2 a n丄,n为奇数 4 ，）己b n - a2n 1 ~~，01 = a2n 4 （2） S + 5 + 川S ioo O a n a n 1 9、（ 2014新课标i ）已知数列CaJ 的前n 项和为& ,冃=1,a n = 0,a n a n .1「&-1,其 中■为常数。 （1 ）证明：％ 2 - a n ='； （2）是否存在'，使得为等差数列？并说明理由。 10、（2014山东）已知等差数列｛a n ｝的公差为2，前n 项和为s ，且S,S 2,W 成等比数 列 （1）求数列 卿的通项公式； （2 ）令b n =（-1厂，求｛b j 的前n 项和为T n 。 数列的奇偶项问题 问题一： 有部分数列的通项公式根据脚标为奇数、偶数而有所不同，称为数列的奇偶项问题. 解题过程中，通常要采用奇偶分析法，即对脚标的奇偶分类讨论. 看2014年全国高考卷的一道数列题. 分析：题中给出的是通项与前n项和的关系.童鞋们对这种题型训练的较多，基本的办法就是利用二者的关系，把前n项和消去，得到相邻两项或相邻多项的关系. 从（1）问的结论中，我们能判断数列为等差吗？ 显然不能，因为等差数列要求后项减去前项是同一个常数，而上式中两项的脚标相差2. 当然，我们可以这样来看：第一项，第三项，第五项，...，即奇数项可看作等差数列；第二项，第四项，第六项，...即偶数项可看作等差数列. 但是，我们不能认为整个数列为等差数列. 第（2）为探索题.对于探索题的解法，通常我们先假设存在，用特殊项，比如利用前3项成等差，求出参数的值（这个过程利用的是条件的必要性）；然后再验证该参数的值的确使得该数列为等差数列（这个过程是证明条件的充分性）. 这种先用特殊法求值，再一般验证的办法，有利于减少探索时间，这在高考时间紧迫的情况下尤其显得重要. 当然，解到这一步不算完，还要验证.若入=4时数列不是等差数列，则不存在符合题意的入. 如何进行一般化的验证呢？ 证明数列为等差的途径有以下几个. 其中，1是定义法，4是中项法，我们在证明复杂数列为等差或等比数列的方法，中项法证 明等差数列中分别谈到过. 2和3是定义法的拓展和延伸，2称为通项判断法，3称为前n项和判断法. 2和3分别试图从通项和前n项和的形式上描述等差数列，当然方法2和3本质上依然是定义法. 结合第（1）问提供的结论，我们采用通项判断法.为此需要研究数列的通项公式，为此需要采用奇偶分析法. 数列中的奇偶项问题 数列中的奇偶项问题 例1、（12宁波一模）已知数列{}n a 满足： 111,1,2n n n a n a a a n ++?==??奇，，偶为数 为数* n N ∈，设21 n n b a -=. （1）求2 3 ,,b b 并证明：1 22; n n b b +=+ （2）①证明：数列{}2n b +等比数列；②若22122 ,,9k k k a a a +++成 等比数列，求正整数k 的值. 解：（1）2 3 21=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10, b a a a ==+= 1 21221=22(1)2(1)22, n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+ （2）①因为11 1 1 22(2)1,20,2,22n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{} 2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列. ②由数列{}2n b +可得，1121322,322 n n n n b a ---=?-=?-即，则 12211321 n n n a a --=+=?-， 因为22122 ,,9k k k a a a +++成等比数列，所以 21(322)(321)(328) k k k -?-=?-?+，令2=k t ，得 23 (32)(1)(38) 2t t t ?-=-+，解得243 t =或，得2k =. 例2、（14宁波二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 且2 48,40 a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且 230 n n T b -+=，n N * ∈． （I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （II ）设???=为偶数 为奇数 n b n a c n n n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ． 解：（Ⅰ）由题意， 118 4640 a d a d +=?? +=?，得 14 ,44n a a n d =?∴=?=? ． …………3分 230 n n T b -+=，1 13n b ∴==当时，， 112230 n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2) n n b b n -=≥ 数 列 {} n b 为等 比 数 列， 1 32n n b -∴=?． …………7分 （Ⅱ）1 4 32n n n n c n -?=???为奇数为偶数 ． 当n 为偶数时， 13124()() n n n P a a a b b b -=++ ++++ + = 2 12(444)6(14)222 2 14 n n n n n ++-? -+=+--． (10) 分 当n 为奇数时， 例题：设{}n a 满足11a =，且11 (n )21 (n )4 n n n a a a +???=??+??为偶数为奇数，记2114n n b a -=-，212n n c a =- 则n a =__________ 解：由题中条件知道：11a =，254a =，111344b a =-=，121324 c a =-= ； 当2n ≥时，2n n 2-，2为偶数，2n 1n 3--，2为奇数 (1) 奇数项通项公式 212212n n a a --=，222314 n n a a --=+ 所以有2123124n n a a --=+ ? 212311244n n a a --??-=- ?? ? ? 12n n b b -= 所以{}n b 是以134 b =为首项，12b q =为公比的等比数列，其通项公式为 13142n n b -??=? ??? 即121131442n n a --??-=? ???，? 12311424 n n a -??=?+ ???（n 为奇数） (2) 偶数项通项公式 22114n n a a -=+，212212 n n a a --= 所以有2123122n n a a --=+ ? 2211222n n a a ??-=- ?? ? ? 12n n c c -= 所以{}n c 是以134 c =为首项，12c q =为公比的等比数列，其通项公式为 13142n n c -??=? ??? 即12131242n n a -??-=? ???，? 12311422n n a -??=?+ ???（n 为偶数） 所以{}n a 的通项公式为 1212 311 (n )424311 (n )422n n n a --?????+ ????=?????+? ????为奇数为偶数 数列中分奇偶数项求和问题 陕西省吴起县高级中学 鲁俊 数列求和问题中有一类较复杂的求和,要对正整数n 进行分奇数和偶数情形的讨论,举例说明如下： 一、相邻两项符号相异； 例1：求和： n 1 n S n-3-+ =1-5+9-13++(∈) …（-1）（4） n N 解：当n 为偶数时：()()[]()S 1591342 n =-+-+?+(4-7) - (4-3) =-=-2n n n n 当n 为奇数时：()()[]()159134n 32 n S =-+-+?+(4-11) - (4-7) += -+=2-1 （4-3）（4-）n -1n n n n 二、相邻两项之和为常数； 例2：已知数列{a n }中a 1=2，a n +a n+1=1，S n 为{a n }前n 项和，求S n 解：①当n 为偶数时：12341n n n S a a a a a a -=++++++… 12341()()()122 n n n n a a a a a a -=++++++= ?= … ②当n 为奇数时：123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++++ (1322) 2 n n -+=+ = 三、相间两项之差为常数； 例3：已知数列{a n }中a 1=1，a 2=4，a n =a n-2+2 （n ≥3），S n 为{a n }前n 项和，求S n 解：∵a n -a n-2=2 （n ≥3） ∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n-1为等差数列；a 2,a 4,a 6,…,a 2n 为等差数列 当n 为奇数时：11( 1)22n n a n +=+-?= 当n 为偶数时：4(1)222 n n a n =+-?=+ 即n ∈N +时， 1(1)n n a n ??=++-?? ∴①n 为奇数时： 1(1)(123)21 2 2 n n n n S n n -+=+++++ ?= +-… ②n 为偶数时： (1)(123)22 2 n n n n S n n +=+++++ ?= +… 四、相间两项之比为常数； 例4：已知a n ，a n+1为方程21 ()03 n n x C x -+=的两根n ∈N + ，a 1=2，S n =C 1+C 2+…+C n ， 求a n 及S 2n 。 数列中的奇偶项分类讨论问题20170313 例1、（14宁波二模）设等差数列的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且 230n n T b -+=，n N * ∈． （I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（II ）设???=为偶数为奇数 n b n a c n n n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ． 解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=??+=?，得14 ,44n a a n d =?∴=?=? ． 230n n T b -+=，113n b ∴==当时，， 112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥ 数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=?． （Ⅱ）1 4 32n n n n c n -?=? ??为奇数为偶数 ． 当n 为偶数时，13124()() n n n P a a a b b b -=+++++++ = 2 12(444)6(14)222 2 14 n n n n n ++-? -+=+--． 当n 为奇数时，（法一）1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1 222 (1)24221n n n n n n -+=+--+=++- （法二）132241()() n n n n P a a a a b b b --=++++++++ 1 221(44)6(14)2221 214n n n n n n -++? -= +=++-- ． 12222,221n n n n n P n n n +?+-∴=?++-? 为偶数，为奇数 例 2. 数 列 {} n a 中， ()12 21, 4,2n n a a a a n -===+≥，n S 为数 列{}n a 的前n 项和，求n S 。 {}n a 2-1-12-32-112-12-22-11,2=c +2=c +2n-1==n ,2=+2=+2n-1==n+2n =n+2[1+(1)](1)2n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a c a n b a b a a a b b b b a n a n n n --===+===+?∴? ?--=解： 当为奇数时，c 则c ，由得，则c （）2n-1,则；当为偶数时，则，由得，则（）2n+2,则；，为奇数 ，n 为偶数 为奇数,S 2222 32 (n 1); 2 1+)3; 22 32 ,2 3,2 n n n n n n n n n n n n n n n n n +-+-+=+=+=?+-??=?+???（为偶数,S 为奇数,S 为偶数. 例1、（12宁波一模）已知数列{}n a 满足：111,1,2n n n a n a a a n ++?==??奇，，偶为数 为数 *n N ∈，设21n n b a -=. （1）求23,,b b 并证明：122;n n b b +=+ （2）①证明：数列{}2n b +等比数列；②若22122,,9k k k a a a +++成等比数列，求正整数k 的值. 解：（1）2321=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+= 121221=22(1)2(1)22,n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+ （2）①因为111122(2) 1,20,2,22 n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列. ②由数列{}2n b +可得，1121322,322n n n n b a ---=?-=?-即，则1 2211321n n n a a --=+=?-， 因为22122,,9k k k a a a +++成等比数列，所以21 (322)(321)(328)k k k -?-=?-?+，令2=k t ， 得2 3 (32)(1)(38)2t t t ?-=-+，解得2 43 t = 或，得2k =. 例2、（14宁波二模）设等差数列的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ， 且230n n T b -+=，n N *∈． （I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （II ）设?? ?=为偶数为奇数 n b n a c n n n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ． 解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=?? +=?，得14 ,44 n a a n d =?∴=?=?． …………3分 230n n T b -+=，113n b ∴==当时，， 112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥ 数列{}n b 为等比数列，1 32n n b -∴=?． …………7分 （Ⅱ）1 4 32n n n n c n -?=? ??为奇数为偶数 ． 当n 为偶数时， 13124()() n n n P a a a b b b -=+++++++L L 1设数列{a n }的首项a 1=a ≠41，且11 为偶数 2 1 为奇数 4 n n n a n a a n +???=? ?+??, 记，n ＝＝l ，2，3，…·． （I ）求a 2，a 3； （II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论； 解：（I ）a 2＝a 1+4 1=a +41，a 3=21a 2=21 a +81； （II ）∵ a 4=a 3+41=21a +83, 所以a 5=21 a 4=41a +316, 所以b 1=a 1－41=a －41, b 2=a 3－41=21(a －41), b 3=a 5－41=4 1 (a － 4 1), 猜想：{b n }是公比为2 1的等比数列· 证明如下： 因为b n +1＝a 2n +1－41=21a 2n －41=21(a 2n －1－41)=2 1b n , (n ∈N *) 所以{b n }是首项为a －41, 公比为2 1的等比数列· 2 在数列{}n a 中，1a =0，且对任意k *N ∈，2k 12k 2k+1a ,a ,a -成等差数列，其公差为2k. （Ⅰ）证明456a ,a ,a 成等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （I ）证明：由题设可知，2122a a =+=，3224a a =+=，4348a a =+=， 54412a a =+=， 65618a a =+=。 从而，所以4a ，5a ，6a 成等比数列。 （II ）解：由题设可得21214,*k k a a k k N +--=∈ 所以()()()2112121212331...k k k k k a a a a a a a a ++----=-+-+- ()441...41k k =+-++? ()21,*k k k N =+∈. 由10a =，得()2121k a k k +=+ ，从而222122k k a a k k +=-=. 所以数列{}n a 的通项公式为或写为，*n N ∈。 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数． （I ） 求1a 及n a ； （II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解析：（Ⅰ）当1,111+===k S a n ， 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*） 经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴， 即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或 （2009北京文）（本小题共13分） 设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N P *=+∈>. 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值. （Ⅰ）若，求3b ； （Ⅱ）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式； （Ⅲ）是否存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈？如果存在，求p 微专题26 数列中有关奇偶项问题 真 题 感 悟 (2019·天津卷)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3. (1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝???? ?1，n 为奇数， b n 2，n 为偶数.求a 1 c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *). 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q >0). 依题意，得???3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，解得???d ＝3， q ＝3， 故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n . 所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n . (2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1) ＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n ) ＝??? ???n ×3＋n （n －1）2×6 ＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n ) ＝3n 2＋6(1×31＋2×32＋…＋n ×3n ). 记T n ＝1×31＋2×32＋…＋n ×3n ，① 则3T n ＝1×32＋2×33＋…＋n ×3n ＋1，② ②－①得，2T n ＝－3－32－33－…－3n ＋n ×3n ＋1 ＝－3（1－3n ）1－3 ＋n ×3n ＋1＝（2n －1）3n ＋1 ＋32. 所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2＋6T n ＝3n 2 ＋3×（2n －1）3n ＋1 ＋32 ＝ （2n －1）3n ＋2＋6n 2＋92 (n ∈N * ). 考 点 整 合 1.数列与函数的关系：数列可以看成是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子 数列中分奇偶数项求和问题例题20170313 一、相邻两项符号相异； 例1：求和：n 1n S n-3-+ =1-5+9-13++(∈)…（-1）（4） n N 解：当n 为偶数时：()()[]()S 1591342n =-+-+?+(4-7) - (4-3) = -=-2n n n n 当n 为奇数时：()()[]()159134n 32n S =-+-+?+(4-11) - (4-7) += -+=2-1（4-3）（4-）n -1n n n n 二、相邻两项之和为常数； 例2：已知数列{a n }中a 1=2，a n +a n+1=1，S n 为{a n }前n 项和，求S n 解：①当n 为偶数时：12341n n n S a a a a a a -=++++++… 12341()()()122n n n n a a a a a a -=++++++=?=… ②当n 为奇数时：123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++++… 13222n n -+=+= 三、相间两项之差为常数； 例3：已知数列{a n }中a 1=1，a 2=4，a n =a n-2+2 （n ≥3），S n 为{a n }前n 项和，求S n 解：∵a n -a n-2=2 （n ≥3） ∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n-1为等差数列；a 2,a 4,a 6,…,a 2n 为等差数列 当n 为奇数时：11(1)22 n n a n +=+-?= 当n 为偶数时：4(1)222 n n a n =+-?=+ 即n ∈N +时， 1(1)n n a n ??=++-?? ∴①n 为奇数时：1(1)(123)2122n n n n S n n -+=+++++?=+-… ②n 为偶数时：(1)(123)222n n n n S n n +=+++++?=+… 四、相间两项之比为常数； 例4：已知a n ，a n+1为方程21()03 n n x C x -+=的两根n ∈N +，a 1=2，S n =C 1+C 2+…+C n ，求a n 及S 2n 。 解：依题意：11()3n n n a a +?= ∴213 n n a a += 其中1212,6a a ==。 ∴13521,,,...,n a a a a -为等比数列；2462,,,...,n a a a a 为等比数列 专题23 与数列奇偶项有关的问题 有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.已知数列{a n}满足，a n＋1＋a n＝4n－3(n∈N*)． (1) 若数列{a n}是等差数列，求a1的值； (2) 当a1＝2时，求数列{a n}的前n项和S n. 本题中的数列具有特点：数列本身并不是等差或等比数列，但此数列的奇数项与偶数项分别成等差或等比数列，此类数列的求和，往往采用奇、偶项分开求和再合并的方法，这时可直接运用等差或等比数列的求和公式，考虑到整个数列求和时的项数奇偶性不确定，因而往往需要分项数为奇数与偶数两种情况求解. 2x＋ 3 1 设函数f(x)＝3x (x>0)，数列{ a n} 满足a1＝1，a n＝f a (n∈N*，且n≥2)． (1) 求数列{a n}的通项公式； (2) 设T n＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋?＋(－1)n 1a n a n＋1，若 T n≥tn2 对n∈N*恒成立，求实数t 的取值范围． 已知等差数列{a n} 的前n 项和为S n，且2a5－a3＝13，S4＝16. (1) 求数列{ a n}的前n项和S n； n (2) 设T n＝(－1)i·a i，若对一切正整数n，不等式 λT n<[a n＋1＋(－i＝1 1)n＋1a n] ·2n－1恒成立，求实数λ的取值范围． 已知数列{ a n}的前n项和为S n，? n∈N*，满足n S＋1－S n n＝ 1，且a1＝1，并且正项数列{b n} 满足b2n＋1－b n＋1＝b2n＋ 2 b n(n∈N*)，其前7 项和为42. (1) 求数列{ a n}和{ b n}的通项公式； (2) 令c n＝b a n＋a b n，数列{ c n}的前n项和为T n，若对任意正整数，都有T n≥2n＋a，求实数 a 的取值范围； (3) 将数列{ a n} ，{ b n}的项按照“当n 为奇数时，a n放在前面；当n 为偶数时，b n 放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：a1 ，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，b6，?，求这个新数列的前n 项和P n. (2020 ·徐州模拟)在数列{ a n} 中，a1＝0，且对任意k∈ N*，a2k 1，a2k，a2k＋1 成等差数列，其公差为d k. (1) 若d1＝2，求a2，a3 的值； (2) 若d k＝2k，证明a2k，a2k＋1，a2k＋2 成等比数 列(k∈N*)； (3) 若对任意k∈N*，a2k，a2k＋1，a2k＋2 成等比 数列，其公比为q k，1 设q1≠1，证明数列q －1是等差数列． 数列中分奇偶数项求和问题 欧阳光明（2021.03.07） 数列求和问题中有一类较复杂的求和,要对正整数n 进行分奇数和偶数情形的讨论,举例说明如下： 一、相邻两项符号相异； 例1：求和：n 1 n S n-3-+ =1-5+9-13++(∈)…（-1）（4） n N 解：当n 为偶数时：()()[]()S 1591342 n =-+-+?+(4-7) - (4-3) =-=-2n n n n 当n 为奇数时：()()[]()159134n 32n S =-+-+?+(4-11) - (4-7) +=-+=2-1（4-3）（4-）n -1 n n n n 二、相邻两项之和为常数； 例2：已知数列{an}中a1=2，an+an+1=1，Sn 为{an}前n 项和，求Sn 解：①当n 为偶数时：12341n n n S a a a a a a -=++++++… ②当n 为奇数时：123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++++… 三、相间两项之差为常数； 例3：已知数列{an}中a1=1，a2=4，an=an-2+2 （n≥3），Sn 为{an}前n 项和，求Sn 解：∵an-an-2=2 （n≥3） ∴a1,a3,a5,…,a2n -1为等差数列；a2,a4,a6,…,a2n 为等差数列 当n 为奇数时：1 1(1)22 n n a n +=+-?= 当 n 为偶数时：4(1)222 n n a n =+-?=+ 即n ∈N+时， 1(1)n n a n ??=++-?? ∴①n 为奇数时： 1(1) (123)2122n n n n S n n -+=+++++ ?=+-… ②n 为偶数时：(1) (123)222n n n n S n n +=+++++?=+… 四、相间两项之比为常数； 例4：已知an ，an+1为方程21 ()03 n n x C x -+=的两根n ∈N+，a1=2，Sn=C1+C2+…+Cn ，求an 及S2n 。 解：依题意：11 ()3 n n n a a +?=∴ 213n n a a += 其中121 2,6 a a ==。 ∴13521,,,...,n a a a a -为等比数列；2462,,,...,n a a a a 为等比数列 ∴①n 为偶数时： 11222 211111 ()()()36323n n n n a a --=== ②n 为奇数时：11122 112()2()33 n n n a +--== 则有：12 2 12()21() 311()2()23 {n n n n k k N a n k k N -++=-∈==∈ 而Cn=an+an+1 ∴①n 为奇数时，n+1为偶数：111222 11111312()()() 32363n n n n n n C a a -+-+=+=+= 则： ②n 为偶数时，n+1为奇数： 22 2 1 11151()2()()23323n n n n n n C a a +=+=+= 则： 于是： 246251 6 3113n n C C C C ++++=- （1-） … 数列中的奇偶项问题 例1、（12宁波一模）已知数列{}n a 满足：111,1,2n n n a n a a a n ++?==??奇，，偶为数 为数 *n N ∈，设21n n b a -=. （1）求23,,b b 并证明：122;n n b b +=+ （2）①证明：数列{}2n b +等比数列；②若22122,,9k k k a a a +++成等比数列，求正整数k 的值. 解：（1）2321=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+= 121221=22(1)2(1)22,n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+ （2）①因为111122(2) 1,20,2,22 n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列. ②由数列{}2n b +可得，1121322,322n n n n b a ---=?-=?-即，则1 2211321n n n a a --=+=?-， 因为22122,,9k k k a a a +++成等比数列，所以21 (322)(321)(328)k k k -?-=?-?+，令2=k t ， 得2 3 (32)(1)(38)2t t t ?-=-+，解得2 43 t = 或，得2k =. 例2、（14宁波二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和 为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈． （I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （II ）设???=为偶数 为奇数 n b n a c n n n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ． 解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=?? +=?，得14 ,44 n a a n d =?∴=?=?． …………3分 230n n T b -+=，113n b ∴==当时，， 112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥ 数列{}n b 为等比数列，1 32n n b -∴=?． …………7分 （Ⅱ）1 4 32n n n n c n -?=? ?? 为奇数为偶数 ． 当n 为偶数时， 数列中的奇偶分析法问题 数列奇偶求通项公式： 【典例1】数列满足 ＋ ＝4n －3(n ∈ )，当 ＝2时，则数列 的通项公 式为______ 解析：由＋ ＝4n －3(n ∈ )，得 ＋ ＝4n ＋1(n ∈ )．两式相减，得 － ＝4． 所以数列 是首项为 ，公差为4的等差数列．数列 是首项为 ，公差为4的 等差数列．由＋＝1，＝2，得＝－1．所以＝(k ∈Z)． 数列奇偶求前N 项和： 【典例2】已知数列{}n a 的通项65() 2 ()n n n n a n -?=??为奇数为偶数，求其前n 项和n S ． 【解析】奇数项组成以11a =为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以24a =为首项，公比为4的等比数列；当n 为奇数时，奇数项有 12n +项，偶数项有1 2 n -项，∴1 121(165) 4(14)(1)(32)4(21)221423 n n n n n n n S --++--+--=+=+ -，当n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有2n 项， ∴2 (165)4(14)(32)4(21)221423 n n n n n n n S +----=+=+ -，所以，1(1)(32)4(21) () 23 (32)4(21)() 23n n n n n n S n n n -?+--+??=?--?+?? 为奇数为偶数． 练习1：已知21,2n n n n a n ?-=??为奇数，，为偶数， 则数列{}n a 的前n 项和n S =________． 【解析】①设( )2,n m m N + =∈则,2 n m = ()2222222222,m m m S m m =++ +-=?-- 故此时1222 n n n S +=--．②设 ()2+1,n m m N +=∈n ＝2m ＋1(m ∈N *)，则-1,2 n m = 数列中的奇偶项问题 题型一、等差或等比奇偶项问题 1． 等比数列{}n a 的首项为1，项数为偶数，且奇数项和为85，偶数项和为170，则数列的项数为_______ 2．已知等差数列{}n a 的项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，则数列的中间项为 _________；项数为_____________ 题型二、数列中连续两项和或积的问题（()1n n a a f n ++=或()1 n n a a f n +?=） 1、若数列{}n a 满足：11a =，14n n a a n ++=，则数列{}21n a -的前n 项和是______ 2、已知数列{}n a 中，，11()2 n n n a a +?=，记n S 为{}n a 的前n 项的和，221n n n b a a -=+，N n *∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）判断数列是否为等比数列，并求出n b ； （Ⅲ）求n S . 题型三、含有()1n -类型 1、数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则的前60项和为________ 2、数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，22a =，()211n n n a a +-=+-，*n ∈N ，则100S =______ 已知数列}{n a 满足11a =-，21a =，且*2 2(1)()2 n n n a a n N ++-=∈. （1）求65a a +的值； （2）设n S 为数列}{n a 的前n 项的和，求n S ； 11a ={}n b 题型四、含有{}2n a 、{}21n a -类型 1、(2017.5盐城三模11)．设数列{}n a 的首项11a =，且满足21212n n a a +-=与2211n n a a -=+，则20S = ． 2、（镇江2056市2017届高三上学期期末）已知*∈N n ，数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且2121==a a ,，设n n n a a b 212+=-． （1）若数列{}n b 是公比为3的等比数列，求n S 2； （2）若)(1232-=n n S ，数列{}1+n n a a 也为等比数列，求数列的{}n a 通项公式． 题型五、已知条件明确奇偶项问题 1、已知数列{}n a 中，11a =，()()1133n n n n n a n a a n ++=-?????为奇数为偶数，设232n n b a -= （1）证明数列{}n b 是等比数列 （2）若n S 是数列{}n a 的前n 项的和，求2n S （3）探求满足0n S >的所有正整数n 数列中的奇偶项问题 题型一、等差等比奇偶项问题 (1)已知数列{}n a 为等差数列，其前12项和为354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为32/27，则这个数列的公差为________ (2)等比数列{}n a 的首项为1，项数为偶数，且奇数项和为85，偶数项和为170，则数列的项数为_______ (3)已知等差数列{}n a 的项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，则数列的中间 项为_________；项数为_____________ 题型二、数列中连续两项和或积的问题（ () 1n n a a f n ++=或 () 1n n a a f n +?=） 1．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个 常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作数列的公和．已知数列 {}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，那么18a 的值为________，这个数 列的前n 项和n S 的计算公式为___________________ 2．若数列{}n a 满足：11a =，14n n a a n ++=，则数列{}21n a -的前n 项和是_____________ 3．若数列{}n a 满足：11a =，14n n n a a +=，则{}n a 的前2n 项和是___________ 4．已知数列{}n a 中，11a =，11 ()2n n n a a +?=，记n S 为{}n a 的前n 项的和， 221n n n b a a -=+，N n *∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并求出n b ； （Ⅲ）求n S . 5．（2017年9月苏州高三暑假开学调研，19） 已知数列{}n a 满足 ()*143n n a a n n N ++=-∈. （1）若数列{}n a 是等差数列，求1a 的值； n ?? n1n+1 n n 1 1 一、训练题 数列中的分奇偶问题 1．在数列{a }中，a = 1, a=2且a-a=1+(-1)n，则S=． n 1 2 变式：求S n ． n+2 n 100 2．求和：S=1-5+9-13+???+(-1)n-1(4n-3)． 3 ．数列{a n}中，a1=1, a2= 4, a n=a n-2+ 2 (n ≥ 3)，S n为数列{a n}的前n 项和，求 S n ． ? 1 ?n-1 3 4.已知数列{a n}的前n 项和S n满足S n-S n-2= 3 -2 ?(n ≥ 3)，且S1 =1, S2 =-， 2 求数列{a n}的通项公式． 5.定义“等和数列”: 在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和． 已知数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为 5，那么a18的值为，这个数列的前 n 项和S n 的计算公式为． 6.数列{a }的首项a =1，且对于任意n ∈N ，a 与a 恰为方程x2 -b x + 2n = 0 的两 n 1 +n n+1 n 个根． （1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式； （2）求数列{b n}的前n 项和S n． ?1 a , n为偶数 7．设{a }满足a =1，且a =?2 ?a n + 1 , n为奇数 ，记b n =a2n+1 - 4 ，c n =a2n - 2 ，求 ??n 4 a n ． 8.设S n为数列{a n}的前n 项和，S=(-1)n a-1 , n ∈N * ，则2n （1）a3 =． 1 数列中分奇偶数项求和问题 数列求和问题中有一类较复杂的求和,要对正整数n 进行分奇数和偶数情形的讨论,举例说明如下： 一、相邻两项符号相异； 例1：求和： n 1 n S n-3-+ =1-5+9-13++(∈) …（-1）（4） n N 解：当n 为偶数时：()()[]()S 1591342n =-+-+?+(4-7) - (4-3) =-=-2n n n n 当n 为奇数时：()()[]()159134n 32n S =-+-+?+(4-11) - (4-7) += -+=2-1（4-3）（4-）n -1 n n n n 二、相邻两项之和为常数； 例2：已知数列{a n }中a 1=2，a n +a n+1=1，S n 为{a n }前n 项和，求S n 解：①当n 为偶数时：12341n n n S a a a a a a -=++++++… 12341()()()122n n n n a a a a a a -=++++++= ?=… ②当n 为奇数时：123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++++ (13) 222 n n -+=+ = 三、相间两项之差为常数； 例3：已知数列{a n }中a 1=1，a 2=4，a n =a n-2+2 （n ≥3），S n 为{a n }前n 项和，求S n 解：∵a n -a n-2=2 （n ≥3） ∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n-1为等差数列；a 2,a 4,a 6,…,a 2n 为等差数列 当n 为奇数时：1 1(1)22n n a n +=+-?= 当n 为偶数时：4(1)222 n n a n =+-?=+ 即n ∈N +时， 1(1)n n a n ??=++-?? ∴①n 为奇数时： 1(1) (123)2122n n n n S n n -+=+++++ ?=+-… ②n 为偶数时：(1) (123)222n n n n S n n +=+++++?=+… 四、相间两项之比为常数； 例4：已知a n ，a n+1为方程21 ()03 n n x C x -+=的两根n ∈N +，a 1=2，S n =C 1+C 2+…+C n ，数列中的分奇偶问题
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