竞赛中递推型数列不等式问题的求解策略
利用放缩法证明数列型不等式压轴题
利用放缩法证明数列型不等式压轴题 惠州市华罗庚中学 欧阳勇 摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。 关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体： 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。 证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----， 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的
高中不等式的证明方法
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
(完整版)已知数列递推公式求通项公式的几种方法
求数列通项公式的方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、累加法 例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。
九类常见递推数列求通项公式方法
递推数列通项求解方法举隅 类型一：1n n a pa q +=+（1p ≠） 思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ……121(1n p a q p p -=++++…211)11n n q q p a p p p --??+=+ ?+ ? --??。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--?? ，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=??…… 1223(122n -=++++ (211) 332)12232112n n n --+??+=+?+=- ? --?? 。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列，则1 1342 2n n n a -++=?=，即123n n a +=-。 类型二：1()n n a a f n +=+ 思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+ ∑。
数列型不等式的放缩技巧九法
数列型不等式的放缩技巧九法
数列型不等式的放缩技巧九法 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种： 一 利用重要不等式放缩 1． 均值不等式法 例1 设. )1(3221+++?+ ?=n n S n Λ求证 .2 ) 1(2)1(2 +<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k Λ=+= 2 1 21)1(+=++<+
例2 已知函数bx a x f 211)(?+=，若54 )1(=f ，且)(x f 在 [0，1]上的最小值为 2 1 ，求证： .2 12 1)()2()1(1 -+ >++++n n n f f f Λ（02年全国联赛山东预 赛题） 简析 )221 1()()1()0(2 2114111414)(?->++?≠?->+-=+=n f f x x f x x x x Λ . 2 1 21)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=?-++?-++-n n n n n ΛΛ 例3 求证),1(22 1321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++-Λ. 简析 不等式左边=++++n n n n n C C C C Λ3 211 2222112-++++=-n n Λ n n n 1 22221-?????>Λ=2 12 -?n n ，故原结论成立. 2．利用有用结论 例4 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ 简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1 利用假分数的一个性质 )0,0(>>>++>m a b m a m b a b 可得 >-??122563412n n Λ=+??n n 212674523Λ)12(212654321+?-??n n n Λ ?1 2)1 225 63412(2+>-??n n n Λ即. 12)1 21 1()511)(311)(11(+> -++++n n Λ 法 2 利用贝努利不等式 )0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+* x x n N n nx x n 的一个特例12121)1211(2 -?+>-+k k (此处1 21,2-==k x n )得 =-+∏?-+>-+=)1211(121212111k k k k n k .121 2121 +=-+∏=n k k n k 注：例4是1985年上海高考试题，以此 题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年
放缩法证明数列不等式经典例题
放缩法证明数列不等式 主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n -=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214 n n n n n n n <===--+--+- ==>= ==<= =<= == =< = = 5.121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121n n n n n n n n n n ---<==-------- 6. 111 22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+?+??+?
例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ， 且n c =（1）求n c ；（2）证明： 4444123111174n c c c c ++++ < 例2.证明：1611780<+ +< 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a + =，*n N ∈； （1）求证：数列{} 2n s 是等差数列； （2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++?+>- （3）记312311112,n n n n b s T b b b b ==++++，证明：312n T <<
例4.已知数列{}n a 满足：n a n ?????? 是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+； （1） 求n a ；（2 12n na +++< 例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-； （1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-< 例6.数列{}n a 满足：11122,1()22 n n n n n a a a n a ++==++； （1）设2n n n b a =，求n b ；（2）记11(1)n n c n n a +=+，求证：12351162 n c c c c ≤++++<
数列型不等式的证明.docx
数列型不等式证明的常用方法 一． 放缩法 数列型不等式证明是前见年高考中的一个热点，在多 省试题中常常作为压轴题出现。放缩法是数列不等式证明的 一个重要方法，它具有很强的技巧性的特点，学生往往无从 下手，下面总结放缩法证明的一些常用技巧， 例如 归一技巧、 抓大放小技巧、回头追溯技巧、利用函数性质技巧 ，仅供参 考 . 1 归一技巧 归一技巧，指的是将不容易求和的和式中的所有项或 若干项全部转化为 同一项 ，或是将和式的通项中的一部分转 化为 同一个式子 （或数值），既达到放缩的目的，使新的和 式容易求和 . 归一技巧有 整体归一、分段归一。 例如 1 1 1 1 设 n 是正整数，求证 n 1 n 2 1． 2 2n 1 1 1 【证明】 n 1 n 2 L 2n 1 1 1 1 1 . 2n 2n 2n 2n 2 14444244443 个 1 n 2n 1 1 L 1 另外： n 1 n 2 2n 1 1 1 1 n n n n 1 . 144424443 n 个 1 n 1 1 【说明】在这个证明中，第一次我们把 n 1 、 n 2 、
1 1 L 2n 这些含 n 的式子都 “归一” 为 2n ，此时式子同时变小， 1 1 L 1 1 顺利把不易求和的 n 1 n 2 2n 变成了 n 个 2n 的 和，既将式子缩小，同时也使缩小后的式子非常容易求和， 这就是 “归一” 所达到的效果。 而不等式右边的证明也类似 . 1.1 整体归一 放缩法中，如果通过将所有项转化为同一项而达到放缩目的的，称之为“整体归一” . 例 1. 数列 a n 的各项均为正数， S n 为其前 n 项和，对于任 意 n N * ，总有 a n , S n ,a n 2 成等差数列 . ( Ⅰ ) 求数列 a n 的通项公式； ( Ⅱ ) 设数列 b n 的前 n 项和为 T n ，且 b n ln n x ，求证:对 2 a n 任意实数 x 1, e （ e 是常数， e ＝ ）和任意正整数 n ， 总有 T n 2 ； （Ⅰ）解：由已知：对于 n N * ，总有 2S n a n a n 2 ①成立 ∴ 2S n 1 a n 1 a n 1 2 （n ≥ 2 ）② ① -- ②得 2a n a n a n 2 a n 1 a n 1 2 ∴ a n a n 1 a n a n 1 a n a n 1 ∵ a n , a n 1 均为正数， ∴ a n a n 1 1 （n ≥ 2） ∴数列 a n 是公差为 1 的等差数列
数列不等式的证明方法
数列型不等式的证明 数列型不等式问题在近年逐渐成为高考热点，数列型不等式问题常被设置为高考压轴题，能力要求较高。因其仍然是不等式问题，可用处理不等式的方法：基本不等式法；比较法；放缩法，函数单调性法等都是常用的方法；但数列型不等式与自然数有关，因而还有一种行之有效的方法：数学归纳法。 1、重要不等式法 若数列不等式形如下式，可用均值不等式法求证。 （1）),(222R b a ab b a ∈≥+; （2） ),(2 +∈≥+R b a ab b a （3） ),,,(2121321+∈???????????≥+??????+++R x x x x x x n n x x x x n n n n 2、比较法 比较法是证明不等式的基本方法，可以作差比较也可以作商比较，是一种易于掌握的方法。 3、放缩法 常用的放缩结论： ①、 ,111)1(11)1(11112k k k k k k k k k --=-<<+=+-其中（2≥k ） ②、 ;)12)(12(1)12(12+->-n n n ;)12)(32(1)12(12--<-n n n ) 22(21 )12(12+<+n n n ③、 1 211 2-+< < ++k k k k k 用放缩法解题的途径一般有两条，一是先求和再放缩，二是先放缩再求和。 （1）、先求和再放缩 一般先分析数列的通项公式，如果此数列的前n 项和能直接求和或通过变形后可以求和，则采用先求和再放缩的方法证明不等式。数列求和的方法较多，我们在数列求和的专题中有具体的讲解，主要用的有公式法、裂项法、倒序相加法、分组求和法等方法。 例1、已知函数)(x f 对任意实数q p ,都满足)()()(q f p f q p f ?=+，且3 1 )1(=f ， （1）当+∈N n 时，求)(n f 的表达式；（2）设))((+∈=N n n nf a n ，n T 是其前n 项和，试证明4 3 函数与导数解答题之数列型不等式证明 例1.已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈ (1)讨论函数)(x f 的单调性; (2)证明:*1111ln(1)()23n n N n + +++>+∈ (3)证明:()*ln 2ln 3ln 4ln 5ln 12,2345n n n N n n ???<≥∈ (4)证明:()*22222ln 2ln 3ln 4ln 5ln 112,23452n n n n n N n n +????? 例3．已知函数()x f x e ax a =--（其中,a R e ∈是自然对数的底数， 2.71828e =…）. （1）当a e =时，求函数()f x 的极值；（II ）当01a ≤≤时，求证()0f x ≥； （2）求证：对任意正整数n ，都有2111111222n e ??????+ +???+< ??? ???????. 例4.设函数()ln 1f x x px （1）求函数()f x 的极值点； （2）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围； （3）证明：).2,()1(212ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n n n 例5.已知函数()ln 1f x x x =-+? (1)求()f x 的最大值; (2)证明不等式:()*121n n n n e n N n n n e ??????+++<∈ ? ? ?-???? ?? 数列的递推公式教案 普兰店市第六中学陈娜 一、教学目标 1、知识与技能：了解数列递推公式定义，能根据数列递推公式求项，通过数列递推公式求数列的通项公式。 2、过程与方法：通过实例“观察、分析、类比、试验、归纳”得出递推公式概念，体会数列递推公式与通项公式的不同，探索研究过程中培养学生的观察归纳、猜想等能力。 3、情感态度与价值观：培养学生积极参与，大胆探索精神，体验探究乐趣，感受成功快乐，增强学习数学的兴趣，培养学生一切从实际出发，认识并感受数学的应用价值。 二、教学重点、难点和关键点 重点：数列的递推定义以及应用数列的递推公式求出通项公式。 难点：数列的递推公式求通项公式。 关键：同本节难点。 三、教学方法 通过创设问题的情境，在熟悉与未知的认知冲突中激发学生的探索欲望；引导学生通过自主探究和合作交流相结合的方式进行研究；引导学生积极思考，运用观察、试验、联想、类比、归纳、猜想等方法不断地提出问题、解决问题，再提出问题，解决问题……经历知识的发生和发展过程，并注意总结规律和知识的巩固与深化。 四、教学过程 环节1：新课引入 一老汉为感激梁山好汉除暴安良，带了些千里马要送给梁山好汉，见过宋江以后，宋江吧老汉带来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了他，老汉又去见卢俊义，把 现有的马匹全送给了他，卢俊义也把老汉送来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了老汉……… 一直送到108名好汉的最后一名段景住都是这样的，老汉下山回家时还剩下两匹马，问老汉上山时一共带了多少匹千里马？ 通过这个小故事让学生感受到数学来源于生活同时又为生活所服务。同时也能引起学生的兴趣和好奇心。 环节2：引例探究 (1）1 2 4 8 16……… (2) 1 ()1cos ()1cos cos ()]1cos cos[cos ……. (3)0 1 4 7 10 13 ……. 通过设置问题的情境，让学生分析找出这些数列从第二项（或后几项）后一项与前一项的关系，从而引出数列的递推公式的定义，便于学生对于数列递推公式的理解、记忆和应用。 递推公式定义： 如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任意一项a n 与它的前一项a n-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式是数列一种的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可． 环节3：应用举例及练习 例1：已知数列｛a n ｝的第1项是1，以后的各项由公式 (n ≥2)给出，写出这个给出，写出这个数列的前5项. 解：据题意可知：a 1=1, 1 11n n a a -=+2111112,1a a =+=+=3211311,22a a =+=+=4312511,33a a =+=+=5413811.55a a =+ =+= 数列型不等式放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一 利用重要不等式放缩 1． 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k Λ=+= 2121)1(+ =++<+ 证明数列不等式之放缩技巧以及不等式缩放在数列中应用 大全 证明数列型不等式，其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧，充满思考性和挑战性。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩. 一、利用数列的单调性 例1．证明：当Z n n ∈≥,6时， (2) 12n n n +<. 证法一：令)6(2 ) 2(≥+=n n n c n n ，则0232)2(2)3)(1(1211<-=+-++=-+++n n n n n n n n n n c c , 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，6683 1.644 n c c ?≤==< 于是当6n ≥时，2 (2) 1.2 n n +< 证法二：可用数学归纳法证.(1)当n = 6时，6 6(62)483 12644 ?+==<成立. (2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立，即 (2) 1.2k k k +< 则当n =k +1时，1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3) 1.222(2)(2)2k k k k k k k k k k k k k k ++++++++=?<<++ 由(1)、(2)所述，当n ≥6时， 2 (1) 12n n +<. 二、借助数列递推关系 例 2.已知12-=n n a .证明： ()23 11112 3 n n N a a a *++++ <∈. 证明：n n n n n a a 121121************?=-?=-<-=+++ ， ∴3 2])21(1[321)21(...12111112122132<-?=?++?+<+++= -+n n n a a a a a a S . 例3. 已知函数f(x)= 52168x x +-，设正项数列{}n a 满足1a =l ，()1n n a f a +=． (1) 试比较n a 与5 4 的大小，并说明理由； (2) 设数列{}n b 满足n b =54－n a ，记S n =1 n i i b =∑．证明：当n ≥2时,S n ＜1 4(2n －1)． 数列的递推公式练习 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 课时作业5数列的递推公式(选学) 时间：45分钟满分：100分 课堂训练 1．在数列{a n}中，a1＝，a n＝(－1)n·2a n－1(n≥2)，则a5＝() A．－ C．－ 【答案】 B 【解析】由a n＝(－1)n·2a n－1知a2＝，a3＝－2a2＝－，a4＝2a3＝－，a5＝－2a4＝. 2．某数列第一项为1，并且对所有n≥2，n∈N，数列的前n项之积为 n2，则这个数列的通项公式是() A．a n＝2n－1 B．a n＝n2 C．a n＝D．a n＝ 【答案】 C 【解析】∵a1·a2·a3·…·a n＝n2，a1·a2·a3·…·a n－1＝(n－1)2，∴两式相除，得a n＝. 3．已知数列{a n}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝a n，n∈N＋，则a2009＝ ________，a2014＝________. 【答案】10 【解析】考查数列的通项公式． ∵2009＝4×503－3，∴a2009＝1， ∵2014＝2×1007，∴a2014＝a1007， 又1007＝4×252－1，∴a1007＝a4×252－1＝0. 4．已知数列{a n}，a1＝0，a n＋1＝，写出数列的前4项，并归纳出该数列的通项公式． 【解析】a1＝0，a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝. 直接观察可以发现，把a3＝写成a3＝， 这样可知a n＝(n≥2，n∈N＋)． 当n＝1时，＝0＝a1， 所以a n＝(n∈N＋)． 课后作业 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．已知数列{a n}满足：a1＝－，a n＝1－(n≥2)，则a4＝() C．－ 【答案】 C 【解析】∵a1＝－，a n＝1－(n≥2)， ∴a2＝1－＝1－＝5， a3＝1－＝1－＝， a4＝1－＝1－＝1－＝－. 2．数列{a n}满足a1＝，a n＝－(n≥2，n∈N＋)，则a2013＝() B．－ C．3 D．－3 【答案】 A 放缩法证明数列不等式 主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n -=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214 n n n n n n n <===--+--+- ==>= ==<= =<= == =< = = 5. 121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121 n n n n n n n n n n ---<==-------- 6. 111 22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+?+??+? 例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ， 且n c =（1）求n c ；（2）证明： 4444123111174n c c c c ++++ < 例2.证明：1611780<+ ++< 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a + =，*n N ∈； （1）求证：数列{} 2n s 是等差数列； （2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++?+>- （3）记312311112,n n n n b s T b b b b = = ++++，证明：312n T << 例4. 已知数列{}n a 满足：n a n ?????? 是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+； （1） 求n a ；（2 12n na +++< 例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-； （1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-< 例6. 数列{}n a 满足：11122,1()22 n n n n n a a a n a ++==++； （1）设2n n n b a =，求n b ；（2）记11(1)n n c n n a +=+，求证：12351162 n c c c c ≤++++< 证明数列不等式的常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12； n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3lg 2 =<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 2 1k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：2 2 111111()1(1)(1)211 k k k k k k < ==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：2214112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 数列中的不等式的证明 证明数列中的不等式的一般方法： 1.数学归纳法： ①直接应用数学归纳法：这是由于数学归纳法可以用来证明与正整数相关的命题，当然也包括与正整数 相关的不等式（即数列不等式）； ②加强命题后应用数学归纳法：直接应用数学归纳法并不能证明所有数列不等式，有些数列不等式必须 经加强后才能应用数学归纳法证出. 2.放缩法： ①单项放缩:将数列中的每一项（通项）进行相同的放缩； ②裂项放缩：将数列中的每一项裂开放缩成某两项之差； ③并项放缩：将数列中的两项合并放缩成一项； ④舍（添）项放缩：将数列中的某些项舍去或添加； ⑤排项放缩：将数列中的项进行排序（即确定数列的单调性），从而求出数列中项的最值，达到证明不 等式的目的,能用排项放缩证明的数列不等式必能直接应用数学归纳法证明，反之亦然； ⑥利用基本不等式放缩：例如平均数不等式也可在数列不等式的证明中起作用. 一、直接应用数学归纳法证明 1．已知函数ax x x f +-=3 )(在)1,0(上是增函数. )1(求实数a 的取值集合A (2)当a 中取A 中最小值时，定义数列}{n a 满足：)(21n n a f a =+且)1,0(1∈=b a ，b 为常数，试比较n n a a 与1+的大小 (3)在(2)的条件下，问是否存在正实数c 使10<- 数列递推公式练习 1、数列 Λ,99 10,638,356,154,32中第8项是 （ ） A. 19514 B. 25516 C. 32318 D. 39920 2、已知数列{}n a 满足()n n n n a a a 111-+=--且11=a ，则=3 5a a （ ） A. 1516 B. 34 C. 158 D. 3 8 3、数列{}n a 中，已知() *1221,2,1N n a a a a a n n n ∈-===++，则=2002a （ ） A. 1 B. 1- C. 2- D. 2 4、已知() *1133,21N n a a a a n n n ∈+==+，则=n a （ ） A. 52+n B. 42+n C. 53+n D. 4 3+n 5、数列{}n a 满足341+=-n n a a 且01=a ，则此数列第5项是 （ ） A. 15 B. 255 C. 16 D. 63 6、数列{}n a 中，02,311=-=+n n a a a ，数列{}n b 的通项n b 满足关系式 ()()*1N n b a n n n ∈-=，则=n b 。 7、设数列{}n a 满足11=a ，()1111 >+ =-n a a n n ，写出这个数列的前5项。 8、设数列{}n a 满足51=a ，n n a a 31=+，写出这个数列的前5项并归纳猜想通项公式。 9、数列{}n a 中，n n n a a a a a +==+12,11，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律， 写出数列的一个通项公式。 10、设数列{}n a 满足11=a ，13321++=-+n n a a n n ，写出这个数列的前5项并归纳通项 公式。 11、已知数列{}n a 满足q pa a a n n +==+11,1，且15,342==a a ，求q p ,的值。 参考答案： 1、 B 2、 B 3、 B 4、 C 5、B导数之数列型不等式证明
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