高中数学-直线与平面的夹角练习
课后导练
基础达标
1.直线a与平面α内任一条线所成最小的角为θ,a是平面α的斜线,b是平面α内与a 异面的任意直线,则a与b所成的角()
π
A.最小值为θ,最大值为π-θ
B.最小值为θ,最大值为
2
π
C.最小值为θ,无最大值
D.无最小值,最大值为
2
答案:B
2.如右图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1C1与平面ABC1D1所成的角
()
A.30°
B.60°
C.45°
D.90°
答案:A
3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B和面BB1D1D所成的角为()
A.15°
B.45°
C.60°
D.30°
答案:D
4.如左下图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的中点,求BE与平面B1BD所成角的余弦值________________.
15
答案:
5
5.如右上图,S是△ABC所在平面外一点,SA,SB,SC两两垂直,判断△ABC的形状_________. 答案:锐角三角形
6.四面体S-ABC中,SA、SB、SC两两垂直,∠SBA=45°,∠SBC=60°,M为AB的中点,求:(1)BC与平面SAB所成的角;
(2)SC与平面ABC所成角的正弦值.
解析:(1)如右图,∵SA、SB、SC两两垂直,
∴SC⊥面SAB.
∴∠CBS 是BC 与平面SAB 所成的角. ∵∠CBS=60°,
∴BC 与平面SAB 所成的角为60°.
(2)连结MC,在Rt△ASB 中,∠SBA=45°,则SM⊥AB. 又SC⊥面SAB, ∴SC⊥AB,
∴AB⊥面SMC.过S 作SO⊥MC 于点O,则SO⊥AB, ∴SO⊥面ABC,
∴∠ SCM 是SC 与平面ABC 所成的角. 设SB=a,则SC=3a,SM=
2
2a, 在Rt△CSM 中,CM=
2
14a, ∴sin∠SCM=
7
7
=MC SM . 7.在Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=3,AC=4,PA 是平面ABC 的斜线,∠PAB=∠PAC=60°,
(1)求PA 与平面ABC 所成角的大小;
(2)PA 的长等于多少时,点P 在平面ABC 上的射影O 恰好在BC 边上?
解:(1)如右图,过P 作PO⊥平面ABC 于O,则∠PAO 为PA 与平面ABC 所成的角, 易证AO 为∠BAC 的平分线,则∠OAB=45°.
由公式cosθ=cosθ1·cosθ2可得 cos∠PAO=
OAB
PAB
∠∠cos cos
=22
45
cos 60cos =ο
ο, ∴∠PAO=45°.
∴PA 与平面ABC 所成的角为45°.
(2)若O∈BC,在△AOB 中, BO=
715,sinB=5
4, 由正弦定理可求得AO=27
12
. ∴PA=
724
sin =
B AO f, 即PA=7
24
时,点P 在平面ABC 上的射影O 恰好在BC 边上.
8.如右图,在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 是侧棱CC 1上的一点,CP=m. 试确定m,使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正切值为32.
解:建立如右图所示的空间直
角
坐
标
系
,
则
A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,,m),C(0,1,0),D(0,0,0), B 1(1,1,1),D 1(0,0,1)
所以=(-1,1,0),1BB =(0,0,1),
=(-1,1,m),=(-1,1,0),
又由·=0,·1BB =0知, 为平面BB 1D 1D 的一个法向量. 设AP 与平面BB 1D 1D 所成的角为θ, 则sinθ=cos(
2
π
-θ) =
2
222|
|||m
AC AP +?=
依题意有
2
2
)
23(123222
+=
+?m
,
解得m=
3
1,
故当m=
3
1
时,直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正切值为32. 9.如右图,已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AA 1=4,E 为BC 的中点,F 为直线CC 1上的动点,设FC F C λ=1C 1F=λFC.
当λ=3时,求EF 与平面ABCD 所成的角.
解析:如右图建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),E(1,2,0).
当λ=3时,F(0,2,1),
EF =(-1,0,1).设平面ABCD 的法向量为n ,
则n =(0,0,1).
设EF 与n 的夹角为θ,则cosθ=
2
2|
|||=
n EF ∴EF 与平面ABCD 所成的角为45°. 综合运用
10.如下图所示,正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,对角线BD 1=8,BD 1与侧面BC 1所成的角为30°. 求:BD 1和底面ABCD 所成的角.
解:正四棱柱AC 1中,CC 1⊥底面A 1C 1, ∴CC 1⊥D 1C 1,
∵底面是正方形,∴D 1C 1⊥B 1C 1, ∴D 1C 1⊥侧面BC 1, ∴D 1C 1⊥BC 1,
∴∠D 1BC 1就是BD 1与侧面BC 1所成的角. ∴∠D 1BC 1=30°,
∵D 1B=8,
∴D 1C 1=4,B 1D 1=24=BD.
∵D 1D⊥底面AC,
∴∠D 1BD 就是BD 1与底面AC 所成的角. △D 1BD 中,cos∠D 1BD=
2
2
8241=
=BD BD . ∴∠D 1BD=45°,
即BD 1和底面ABCD 所成的角为45°.
11.正三棱柱ABC-A 1B 1C 1底面边长为a ,侧棱长为2a.
(1)建立适当的坐标系,并写出点A 、B 、A 1、C 1的坐标; (2)求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角. 解:(1)以点A 为坐标原点O,以AB 所在直线为Oy 轴,以AA 1所在直线为Oz 轴,以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴,建立空间直角坐标系, 由已知,得A(0,0,0)、B(0,a,0)、A 1(0,0,2a)、C 1(-
23a,2
a
,2a). (2)坐标系如右图,取A 1B 1的中点M ,于是有M (0,
2
a
,2a ),连结AM 、MC 1,有1MC =(2
3
-
a,0,0)且AB =(0,a,0),1AA =(0,0,2a).
由于1MC ·=0,
1MC ·1AA =0,
∴MC 1⊥面ABB 1A 1.
∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角. ∵1AC =(23-
a,2a ,2a),AM =(0,2
a
,2a), ∴1AC ·=0+42a +2a 2=4
9a 2
.
而|1AC |=22
224
43a a a ++=3a,
|AM |=22
24
a a +=23a.
∴cos〈1AC ,AM 〉=23
2
33492
=
?a a a
. ∴1AC 与AM 所成的角,即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°. 12.如下图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求证:A 1C⊥平面C 1BD.
证明:
因为ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体,所以A 1A⊥平面ABCD. 连结AC,则AC 是A 1C 在平面ABCD 内的射影. 又BD⊥AC,故由三垂线定理知BD⊥A 1C. 又A 1B 1⊥平面B 1BCC 1,
连结B 1C,则B 1C 是A 1C 在平面B 1BCC 1内的射影. 因为BC 1⊥B 1C,
所以由三垂线定理知 BC 1⊥A 1C.
因为BD∩BC 1=B , 所以A 1C⊥平面C 1BD. 拓展研究
13.如下图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD ,PD=DC ,E 是PC 的中点.
(1)证明PA∥平面EDB ;
(2)求EB 与底面ABCD 所成的角为正切值.
分析:如下图所示建立空间直角坐标系,D 是坐标原点,设DC=a.
(1)证明:连结AC,AC 交BD 于G,连结EG. 依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,
2a ,2
a ). 因为底面ABCD 是正方形,所以G 是此正方形的中心. 故点G 的坐标为(
2a ,2
a
,0).所以=(a,0,-a). =(
2a ,0,-2
a
).所以=2. 这表明PA∥EG.
而EG ?平面EDB 且PA ?平面EDB ,因为PA∥平面DEB. (2)解:依题意得B(a,a,0),C(0,a,0).
取DC 的中点F(0,
2a
,0),连结EF,BF. 因为=(0,0,2a ),=(a,2
a
,0),=(0,a,0).
所以·=0, ·=0.
所以FE⊥FB,FE⊥DC.
所以EF⊥底面ABCD,BF 为BE 在底面ABCD 内的射影. ∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的角. ||=
2
a ,||=22
)2(a a +=25a.
所以25
2
52|
|=
=a a
FB . 所以,EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为
5
5.
【例1】 (全国2文7) 已知正三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍,则侧棱与底面所成角的余弦值等于( ) A .3 B .3 C .22 D .3 【例2】 (全国2理7) 已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等,则AB 1与侧面11ACC A 所成角的正弦等于( ) A .6 B .10 C .2 D .3 【例3】 (福建卷6) 如图,在长方体ABCD 1111A B C D -中,2AB BC ==,11AA =,则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为( ) A . 63 B . 26 5 C . 155 D . 105 D C B A A 1 D 1 B 1 C 1 【例4】 (浙江) 在三棱柱111ABC A B C -中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点D 是侧面11BB C C 的中心,则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A .30° B .45° C .60° D .90° 典例分析 板块二.直线与平面所成的角
E A 1 C 1 B 1 D C B A 【例5】 (四川卷理13)在三棱锥O ABC -中,三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直,且 OA =OB =OC ,M 是AB 边的中点,则OM 与平面ABC 所成的角的大小是 ( 用反三角函数表示) 【例6】 (全国Ⅰ)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内 的射影为ABC △的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) A .13 B C D . 23 【例7】 正三棱柱侧面的一条对角线长为2,且与底面成45o 角,求此三棱柱的体积. 【例8】 (四川卷15) 且对角线与底面所成角的余弦值 ,则该正四棱柱的体积等于________________. 【例9】 如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中, ⑴求1BC 与平面11ACC A 所成的角; ⑵求11A B 与平面11A C B 所成的角的余弦值. A B C D B 1 C 1 D 1 A 1
平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、). (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; < ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).圆心??? ??--2,2E D ,半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;
§1.2.1平面的基本性质 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)借助生活中的实物,学生对平面产生感性的认识; (2)掌握平面的表示法,认识水平放置的直观图; (3)掌握平面的基本性质及作用; (4)培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 通过师生的共同讨论,学生经历平面的感性认识。 3、情感与价值 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣。 二、教学重点、难点 重点:(1)平面的概念及表示; (2)平面的基本性质,注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点:平面基本性质的掌握与运用。 三、学法与教学用具 (1)学法:学生通过阅读教材,联系身边的实物思考、交流,师生共同讨论等,从而较好地完成本节课的教学目标。 (2)教学用具:投影仪、投影片、正(长)方形模型、三角板 四、授课类型:新授课 五、教学过程 (一)创设引入情景 生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等,都给我们以平面的印象。你们能举出更多例子吗? 平面的含义是什么呢? (二)建立模型 1、平面含义 以上实物都给我们以平面的印象,几何里所说的平面,就是从这样的一些物体中抽象出来的,但是,几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 在平面几何中,怎样画直线?一条直线平移就得到了一个平面。我们通常把一个“水平 放置的平面画成一个平行四边形,锐角画成450 ,且横边画成邻边的2倍长”。(如图): 平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。 如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应画成虚线或不画(打出投影片) D C B A α β β
第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则