三角函数专题 (一)
年级：辅导科目：数学课时数：
课题三角函数
教学目的
教学内容
一、知识网络
二、命题分析
1．从近几年高考来看，对于本单元的考查，一般是以1～3个客观题和1个解答题形式出现，以中、低档题为主．考查的内容主要有：三角函数的图像和性质、三角函数的基本公式、三角函数的恒等变形及解三角形等基本知识．解答题常与平面向量、不等式、函数的最值等进行简单的综合，但难度不大．
2．预计在今后的高考中，与三角函数有关的问题将继续作为高考的重点进行考查．其中，角的概念多结合三角函数的基础知识进行考查．三角函数的图像和性质主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及图像的平移和伸缩等，多以小而活的选择题和填空题形式出现．形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数将依然作为必考内容出现在高考题中，并与三角恒等变形、平面向量、解三角形等知识结合，形成小型综合题．解三角形问题将会以选择题或填空题形式出现，主要考查正、余弦定理及利用三角函数公式进行恒等变形的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角
切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x
，它们都是以角为
，以比值为 的函数．
3．设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为 ，即 ，其中cos α＝ ，sin α＝ ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T (T ′)，则tan α＝ .我们把有向线段OM 、MP 、AT (或AT ′)叫做α的 ． （三）基础自测
1．与610°角终边相同的角可表示为( )
A ．k ·360°＋230°，k ∈Z
B ．k ·360°＋250°，k ∈Z
C ．k ·360°＋70°，k ∈Z
D ．k ·360°＋270°，k ∈Z [答案] B
[解析] 由于610°＝360°＋250°，所以610°与250°角的终边相同． 2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )
A.2π3
B.
11π6 C.5π
6
D.3π
4
[答案] B [解析] ∵sin α＝－12＝－1
2
，且α的终边在第四象限， ∴α＝
116
π. 3．若－π>θ>－3π
2
，则点(tan θ，sin θ)在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 [答案] B
[解析] 易知θ在第二象限，则tan θ<0，sin θ>0.
4．若α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值为( )
A.1
2
B ．－12
C ．－32
D ．－
3
3
[答案] C
[解析] P (2sin30°，－2cos30°)即P (1，－3)，∴r ＝2，故sin α＝－3
2
，故选C. 5．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3
cos α
＝________. [答案] 0
[解析] 设α终边上任一点P (k ，－3k )，
则r ＝x 2
＋y 2
＝k 2
＋－3k
2
＝10|k |.
当k >0时，r ＝10k ， ∴sin α＝
－3k 10k ＝－
310
，cos α＝
k
10k
＝
1
10
， ∴10sin α＋3
cos α＝－310＋310＝0.
当k <0时，r ＝－10k ，∴sin α＝
310
，cos α＝－
1
10
，∴10sin α＋3
cos α＝0.
问题(2)主要是利用不等式表示出αn 的范围，对k 进行讨论，然后利用终边相同角的特点，即可确定αn
所在象限． 跟踪练习1：
设θ为第三象限角，试判断
sin
θ
2cos
θ
2
的符号
[解析] ∵θ为第三象限角，∴2k π＋π<θ<2k π＋3π
2
(k ∈Z)， k π＋π2<θ2
4 (k ∈Z)． 当k ＝2n (n ∈Z)时， 2n π＋ π2<θ2<2n π＋34π(n ∈Z)，此时θ 2 在第二象限， (2n ＋1)π＋π2<θ2<(2n ＋1)π＋3π4 (n ∈Z)， 即2n π＋3π2<θ2<2n π＋7π4(n ∈Z)，此时θ 2在第四象限， ∴sin θ2<0，cos θ 2>0，∴sin θ2cos θ2<0.综上可知：sin θ 2cos θ 2 <0. 2.命题方向：弧长公式及扇形面积公式的应用 [例2] 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ [分析] (1)直接套用公式l ＝αR 可求弧长，利用S 弓＝S 扇－S △可求弓形面积． (2)将S 扇表示为α的函数，转化为函数求最大值问题． [解析] (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，l ＝10π 3 ， S 弓＝S 扇－S △＝12× 10π3×10－12×102 sin60°＝50(π3－32 )． (2)解法1：扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR . ∴R ＝C 2＋α，∴S 扇＝12α·R 2 ＝12 α· C 2(2＋α)2＝C 2 2×α·1α2 ＋4α＋4＝C 2 2 ·1α＋4α ＋4 ≤C 2 16， ∴当α＝4 α 即α＝2(α＝－2舍去)时， 扇形面积有最大值C 2 16 . 解法2：由已知2R ＋l ＝C ，∴R ＝ C －l 2 (l ∴S ＝12Rl ＝12·C －l 2·l ＝14(Cl －l 2 )＝－14? ????l －C 22＋C 2 16 ， ∴当l ＝C 2时，S max ＝C 216，此时α＝l R ＝C 2 C － C 2 2 ＝2， ∴当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值C 2 16 . [点评] 此类问题是将三角函数问题与不等式问题进行综合考查的，扇形的面积与弧长的计算在几何中应用较多，都可以用角度制与弧度制两种方式给出，在应用时应注意，不要把角度制与弧度制混用，造成度量单位不一致． 跟踪练习2 (1)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？ (2)一扇形的周长是20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ [解析] (1)设扇形的圆心角是θrad ，因为扇形的弧长是r θ，所以扇形的周长是（2r ＋r ）θ.依题意， 得（2r ＋r ）θ＝πr ， ∴θ＝π－2＝(π－2)×(180° π )≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′， ∴扇形的面积为S ＝12r 2θ＝12 (π－2)r 2. (2)设扇形的半径为r ，弧长为l ，则l ＋2r ＝20， 即l ＝20－2r (0 扇形的面积S ＝1 2 lr ，将①代入，得 S ＝12 (20－2r )r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25， 所以当且仅当r ＝5时S 有最大值25.此时 l ＝20－2×5＝10，α＝l r ＝2. 所以当α＝2 rad 时，扇形的面积取最大值. 3.命题方向：三角函数的定义应用 已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α、cos α、tan α的值． [分析] 根据任意角三角函数的定义，应首先求出点P 到原点的距离r ，由于含有参数a ，要注意分类讨论． [解析] r ＝ －4a 2 ＋3a 2 ＝5|a |. 若a >0，r ＝5a ，α角在第二象限，sin α＝y r ＝3a 5a ＝3 5， cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－3 4 ； 若a <0，r ＝－5a ，a 角在第四象限， sinα＝－ 3 5 ，cosα＝ 4 5 ，tanα＝－ 3 4 . 跟踪练习3： 已知角α的终边上一点的坐标为(sin π 3 ，cos π 3 )，则角α在[0,2π)内的值为( ) A. 5π 6 或 π 6 B. 2π 3 或 5 3 π C. π 3 D. π 6 [答案] D [解析] ∴sin π 3 >0，cos π 3 <0， ∴点(sin π 3 ，cos π 3 )落在第一象限， 又∵tanα＝ cos π 3 sin π 3 ＝ 3 3 ，∴α＝ π 6 ，故选D. 4.命题方向：单位圆的应用 已知：α∈? ? ?? ? 0， π 2 ，求证：sinα<α [分析] 构造单位圆，利用单位圆中的三角函数线及三角形和扇形的面积来证明． [证明] 设角α与单位圆交于P，则MP＝sinα，AT＝tanα，如图所示， ?PB的长l＝α.连接AP. △POA的面积＝ 1 2 OA·MP＝ 1 2 sinα. 扇形OAP的面积＝ 1 2 l·OA＝ 1 2 α. △OAT的面积＝ 1 2 OA·AT＝ 1 2 tanα. ∵S△POA 1 2 sinα< 1 2 α< 1 2 tanα. ∴sinα<α 跟踪练习4： 在(0,2π)内使sin x>cos x成立的x的取值范围是______． [答案] ? ? ?? ? π 4 ， 5π 4 [解析] 由三角函数定义结合三角函数线知，在(0,2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围为? ? ?? ? π 4 ， 5π 4 . ∴周长C 的最小值为4S .此时，r ＝ C ±Δ 2×2 ＝S ，中心角α＝ 2S r 2 ＝2rad 所以当扇形的中心角为2rad 时，扇形的周长最小，最小值为4S . 13．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α＋1 tan α 的值． [解析] ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2 ＋2. 又cos α＝ 36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36 x . ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3. 当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数的定义，有sin α＝－ 66，1 tan α ＝－5， ∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋6 6 ； 当x ＝－10时，同样可求得sin α＋1tan α＝65－6 6. 14．设f (x )＝ cos x cos 30°－x ，求f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)的值． [解析] f (x )＋f (60°－x ) ＝ cos x cos 30°－x ＋cos 60°－x cos x －30° ＝ cos x ＋cos 60°－x cos 30°－x ＝ 3cos x －30° cos 30°－x ＝ 3. ∴f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝(f (1°)＋f (59°))＋(f (2°)＋f (58°))＋…＋(f (29°)＋f (31°))＋ f (30°)＝293＋ 32＝593 2 . 15．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的正半轴上，终边经过点P (1，－2)．求cos ? ????2α－π3的值． [解析] ∵P (1，－2)是角α终边上一点，由此求得 r ＝|OP |＝5， ∴sin α＝－255，cos α＝5 5. ∵sin2α＝2sin αcos α＝－4 5， cos2α＝cos 2α－sin 2 α＝－35. ∴cos ? ????2α－ π3＝cos2αcos π3＋sin2αsin π3＝? ????－35·12＋? ????－45·32＝－3＋4310 . ∴sin α＝－1－cos 2 α＝－1－? ?? ??122 ＝－32， tan α＝ sin α cos α ＝－3， ∴1＋tan 2α＋1tan 2α＝1＋(－3)2 ＋ 1 －3 2 ＝1＋3＋13＝13 3. （四）典型例题 1.命题方向：同角三角函数的关系 [例1] α是第四象限角，tan α＝－5 12 ，则sin α等于 ( ) A.1 5 B ．－15 C.5 13 D ．－ 513 [解析] 解法1：∵???? ? sin 2 α＋cos 2 α＝1sin αcos α ＝－5 12， 解得sin α＝±5 13.又∵α为第四象限角， ∴sin α<0，∴sin α＝－5 13.故选D. 解法2：设tan α1＝5 12，α1为锐角， 如图在Rt △ABC 中，由tan α1＝ 512 ， 设AC ＝5，BC ＝12，则AB ＝13， ∴sin α1＝5 13 ， ∵α为第四象限角，∴sin α<0，从而sin α＝－5 13. 解法3：∵α是第四象限角，∴sin α<0，排除A 、C ， 又tan α＝sin αcos α＝－5 12 ，由勾股数组5,12,13知排除B ，∴选D. [答案] D [点评] 记住常用的勾股数组非常方便．常用的有：①3,4,5 ②5,12,13 ③7,24,25以及它们的倍数，如3k,4k,5k k ∈N ＋. 跟踪练习1：(2010·全国卷Ⅰ理)记cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A. 1－k 2 k B ．－ 1－k 2 k C. k 1－k 2 D ．－ k 1－k 2 [答案] B [解析] sin80°＝1－cos 2 80°＝1－cos 2 －80° ＝1－k 2 ， 所以tan100°＝－tan80°＝－sin80°cos80°＝－1－k 2 k . [分析] 先将所给三角函数式化简，由方程的判别式Δ≥0，结合韦达定理求解． [解析] 2tan α· cos α－sin α1－tan 2α＝2sin αcos α·cos α－sin α1－sin 2 αcos 2 α ＝2sin αcos α cos α＋sin α 由根与系数关系可得sin α＋cos α＝－2＋12且m 2＝sin α·cos α＝ sin α＋cos α 2 －1 2 ＝ ? ? ???－2＋122－1 2 ＝ 22－18 ，所以m ＝22－1 4 . 故原式＝ 22－1 4 － 2＋1 2 ＝32－52. 3.命题方向：利用诱导公式进行化简与求值 [例3] 已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αtan －α＋π －tan －α－πsin －π－α ； (1)化简f (α)； (2)若α是第三象限角，且cos ? ????α－ 3π2＝1 5 ，求f (α)的值． [分析] 显然应用到诱导公式，可以直接从六组诱导公式中合理选用． [解析] (1)f (α)＝ sin α·cos α·－tan α tan αsin α ＝－cos α. (2)∵cos ? ????α－3π2＝－sin α， ∴sin α＝－15，cos α＝－52 －12 5＝－2 56， ∴f (α)＝2 5 6. [点评] 熟练应用诱导公式是解答本题的关键．诱导公式应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．(能求值的要求出值) [例4] 化简： tan π－αcos 2π－αsin ? ?? ??－α＋3π2cos －α－π sin －π－α [分析] 化简上式，要认真观察“角”，显然需利用诱导公式，注意诱导公式的合理选用． [解析] 解法1： 原式＝ －tan α·cos[π＋(π－α)]·sin ? ?? ??π＋ π 2－αcos (π＋α) ·[－sin (π＋α) ] ＝ －tan α·[－cos π－α]·???? ??－sin ? ????π2－α－cos α ·sin α ＝ －tan α·cos α·－cos α－cos α·sin α＝－tan α·cos αsin α＝－sin αcos α·cos α sin α ＝－1. 解法2：原式＝－tan α·cos －α·sin ? ????－α－π2cos (π－α)·sin (π－α) ＝ tan α·cos α·sin ? ?? ??α＋π2－cos α·sin α ＝sin α cos α·cos α－sin α ＝－1. [点评] 解决此类问题需合理运用诱导公式，用公式时需特别注意化简后函数的名称与符号，一定要细心计算，以免出错． 跟踪练习3： 化简： tan 3π－αsin π－αsin ? ????3π2－α＋sin 2π－αcos ? ?? ??α－7π2sin ? ?? ??3π2＋αcos 2π＋α [分析] 要认真观察“角”，运用诱导公式时特别注意函数名称与符号． [解析] 原式＝ tan －α sin α·－cos α＋ sin －α·cos ? ????α＋π2－cos α·cos α ＝ tan αsin α·cos α＋－sin α·－sin α －cos α·cos α ＝1cos 2α－sin 2 αcos 2α＝1－sin 2 αcos 2 α ＝cos 2 αcos 2 α ＝1. 4.命题方向：三角函数公式在解三角形中的应用 [例5] 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角． [分析] 由诱导公式可化简得到sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，进而由sin 2 A ＋cos 2 A ＝1可求出A ，进一步即可求出 B 和 C . [解析] 由已知得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，两式平方相加得2cos 2 A ＝1，cos A ＝±2 2 . 若cos A ＝－ 22，则cos B ＝－32 ， 此时，A ，B 均为钝角，不可能， ∴cos A ＝ 22，故A ＝π4 ， cos B ＝ 32 cos A ＝32?B ＝π6， C ＝π－(A ＋B )＝ 7π12 . [点评] 1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有：A ＋B ＝π－C ； 2A ＋2B ＋2C ＝2π；A 2＋B 2＋C 2＝π 2 . 2．求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角． 跟踪练习4： 在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . [解析] ∵△ABC 是锐角三角形， ∴A ＋B >π2，即π2>A >π 2－B >0， ∴sin A >sin ? ????π2－B ，即sin A >cos B ； 同理sin B >cos C ，sin C >cos A ， ∴sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . （五）思想方法点拨 1．计算任意角的三角函数值，主要是运用诱导公式化任意角三角函数为锐角三角函数，其一般步骤是： (1)负化正：当已知角为负角时，先利用－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值； (2)正化主：当已知角是大于360°的角时，可用k ·360°＋α 的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间(0°，360°)上的角的三角函数值； (3)主化锐：当已知角是90°到360°间的角时，可利用180°±α，360°－α的诱导公式把这个角的三角函数值化为0°到90°间的角的三角函数值(对于非特殊角用查表或用计算器求出结果)． 2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，如果应用平方关系，就要进行分类讨论，先确定角的终边所在的象限，再确定三角函数值的符号．要注意公式的合理选择和方法的灵活性． 3．在利用同角三角函数的基本关系化简、求值时，要注意用“是否是同角”来区分和选用公式． 4．在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取．应用公式时把角α看成锐角，如果出现k π±α的形式时，常对k 值是奇数还是偶数进行分类讨论，以确定角所在的象限． 5．在进行三角函数化简和三角恒等式的证明时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，一般思路是将切化弦，但在某些特殊问题中就不要化切为弦，只须利用倒数关系即可，否则解法较繁，如“求证tan α－cot β tan β－cot α ＝ tan αcot β”，利用倒数关系可得简证． （六）课后强化作业 一、选择题 1．sin600°＋tan240°的值是( ) A ．－ 32 B.32 C ．－12 ＋ 3 D.1 2 ＋ 3 [答案] B [解析] sin600°＋tan240°＝sin240°＋tan240°＝sin(180°＋60°)＋tan(180°＋60°) ＝－sin60°＋tan60°＝－32＋3＝32 . 2．设tan(5π＋α)＝m ，则sin α－3π＋cos π－αsin －α－cos π＋α 的值为( ) A. m ＋1 m －1 B. m －1 m ＋1 C ．－1 D ．1 [答案] A [解析] sin α－3π＋cos π－αsin －α－cos π＋α ＝ sin －4π＋π＋α－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1 tan α－1 . 又tan(5π＋α)＝m ， ∴tan α＝m ，∴原式＝ m ＋1 m －1 . 3．若sin2θ＝14且θ∈? ????π4，π2，则cos θ－sin θ的值是( ) A.3 2 B.34 C ．－32 D ．－3 4 [答案] C [解析] (cos θ－sin θ)2 ＝1－sin2θ＝34， ∵ π4<θ<π2，∴cos θ . 4．已知x 是三角形的内角，sin x ＋cos x ＝7 13 ，则tan x 的值是( ) A ．－ 12 5 B. 125 C.5 12 D ．－ 512 [答案] A [解析] 因为0 2 ∴tan x <0且|tan x |>1，故选A. 5．已知tan θ＝2，则 sin ? ?? ??π2＋θ－cos π＋θ sin ? ?? ??π2－θ－sin π－θ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．0 D.2 3 [答案] B [解析] sin ? ?? ??π2＋θ－cos π＋θ sin ? ?? ??π2－θ－sin π－θ ＝ cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝2 1－2 ＝－2. 6．已知tan2α＝－22，且满足π4<α<π 2，则2cos 2 α 2－sin α－1 2sin π 4＋α 的值为( ) A. 2 B ．－ 2 C ．－3＋2 2 D ．3－2 2 [答案] C [解析] 2cos 2 α 2 －sin α－12sin π4 ＋α＝ cos α－sin αsin α＋cos α＝1－tan α tan α＋1 . 又tan2α＝－22＝ 2tan α1－tan 2 α?22tan 2 α－2tan α－22＝0.解得tan α＝－22 或 2. 又 π4<α<π2，∴tan α＝ 2.原式＝1－2 2＋1 ＝－3＋2 2. 7．已知cos ? ????π6－α＝33，则cos ? ????56π＋α－sin 2? ????α－π6的值是( ) A. 2＋3 2 B ．－ 2＋32 C.2－3 3 D. －2＋3 3 [答案] B [解析] ∵cos ? ????56π＋α＝cos ??????π－? ????π6－α＝－cos ? ????π6－α＝－33， 而sin 2 ? ? ???α－π6＝1－cos 2? ????α－π6＝1－13＝23， ∴原式＝－ 33－23＝－2＋33 . 8．若sin α＋cos α＝tan α? ????0<α<π2，则α的取值范围是( ) A.? ? ? ??0， π6 B.? ????π6，π4 C.? ?? ??π4，π3 D.? ?? ??π3，π2 [答案] C [解析] 方法一：排除法． 在? ????0，π4上，sin α＋cos α>1，而tan α在? ????0，π4上小于1，故排除答案A 、B ；因为sin α＋cos α≤2，而 在? ?? ??π3，π2上tan α>3，sin α＋cos α与tan α不可能相等，故排除D. 方法二：由sin α＋cos α＝tan α，0<α< π2 ， ∴tan 2 α＝1＋2sin αcos a ＝1＋sin2α， ∵0<α<π 2，∴0<2α<π， ∴0 α≤2， ∵0<α<π 2，∴tan α>0， ∴1 . 二、填空题