孪生素数个数公式

孪生素数个数计算公式

李联忠

（营山中学 四川营山 637700）

摘要：孪生素数个数计算公式

∑

-∑-∑-?

???

????++

+???

?

??

???++???

?

?

?

??++

=≠==p p p x p p x p x L

i i

i

i

j k j k j k kj

i

k k k

I

n n n n 2

112,12

11

)1()

1()

1(、

＋ｑ-h

n 前的素数均是n 的约数时，孪生素数个数计算公式

p

p p p p p i

i

n L 22

12

2

1

1

-?

?-?-?

= +q-h

关键词：数论 孪生素数 公式

中图分类号： 文献标识号： 文章编号：

孪生素数：相差２的素数叫孪生素数。 引理：若

p

p

n i

21

i 2+≤＜

，

p

p p

p

p

i i

k

1

2

1

,,

,,

,3,

2+== 为连续素数，则在1、2、

3…n 中去掉

p

k

的倍数，余下的数（1除外）全为素数。

分析下面相差2的数组

（１，３） （２，４）…（ｍ，ｍ＋２）…（ｎ，ｎ＋２） (1≤m ≤n) 若

p

p

n i

21

i 2+≤＜

p

p p

p

p

i i

k

1

2

1

,,

,,

,3,

2+== 为连续素数，在1、2、3…n 中去

掉除以

p

k

余0和余（

2-p

k

）的数，则余下的数组（ｍ，ｍ＋２）中，ｍ和（ｍ＋２）

都不是前ｉ个素数的倍数，据引理，余下的数组全为孪生素数（若n 为素数，n+2=p i 21

+，

（n,n+2）除外，i=1，（1，3）除外），仿照素数公式可得出类似的孪生素数计算公式

∑

-∑

-∑

∑

+

+

++

+

+

+

+

-

=≠≠=≠==］

［］［

］［

］［p

p

p x

p

p p x

p

p x

p

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L

i

i

i

i

j

k l j k l j

k

l

lkj i

j

k j k j

k

kj

i

k k

k

i

n n n n n

2

1

12,1,,3

,1,1

)

1()

1(

=q-h

)

)2,(),3,1(2101(该去而未去指或、倍数被去掉了；作为的孪生素数，因为它们

表不大于

+=n n h q p i

()(mod

20,),(mod

20);(mod

02

2

1

1p x p

x

p x i

i 或或≡≡≡

??

?????

??

≡≡≡??

??

?≡≡)(m o d 20)(m o d 20)(m o d 0;)(m o d 20)(m o d 20122

12112p x p x p x p x p x i i

i i j

kj k

kj

或或或或

［ ］为取整号，x

x i

1 ；…，x kj …；…x k 12…为中国剩余定理同余组的解。）

证明：),1(,2,,1

1

k

2

1

i k p

p

p p

p

p i i

≤≤=+为连续素数

，，

］为［

的两个同余类数的个数和余余则要去掉的模

或设

p

z

p

p

p

x

k

k

k

k

k

k

n +

-≡)2(

0),(mod

20

则前面多去掉或或设］

［

数的个数可表示为

个素数要去掉的同余类前,)

(mod

20)

(mod 20;1

??

???

≡≡+

∑=p

x p x p x j

kj

k

kj

i

k k

k n i

］，应加上；

［

的个数可表示为

∑

≠=+i

j

i j k j

k

kj p

p x n ,1,

则前面多加的个数可或或或设,)

(mod 20)(mod 20)

(mod 20??

?

?

???≡≡≡p

x p x p x j

lkj k

lkj l

lkj

以有应减去；以此类推，所

］［

表示为

,,1,,∑

≠≠=+i

j

k l j k l j

k

l

lkj

p

p p x

n

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q n n n n n p

p

p x

p

p p x

p

p x p

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L

i

i

i

i

j

k l j k l j

k

l

l k j

i

j

k j k j

k

kj

i

k k

k

i

-++

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-

=∑-∑

-∑

∑≠≠=≠==］［

］［

］［

］［

2

1

12,1,,3

,1,1

)1()

1()

)2,(),3,1(2101(该去而未去指或、倍数被去掉了；它们作为的孪生素数个数，因为

表不大于

+=n n h q p i

则有若

,|n p

k

h q n L p

p p p p p i

i

-+-??-?-?

=22

12

2

1

1

证明：∵

n p

k

|

11

1

≤p

x

∴p p x n n 1

11

=????

????+ k ≥2时

p p x k

k k

n n 2=???

?

????+

1≤p

p x j

k

kj ∴ p

p p

p x j

j

j

n

n 1

1

12=???

???

??+

k 、j ≥2 时 p

p p

p x j

k

j k

kj

n

n 4=???

???

??+

……

12

1

12≤p

p

p x i

i

∴p

p

p p p p

x i

i i i n

n

2

1

1

21

122

-=???

???

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∴

∑-∑-∑

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?????++=≠==p p p

x

p p x p x L

i i

i i

j

k j k j k

kj

i

k k k

i

n n n n 21

12,121

1

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1(、

+q –h =n+)42()2(

22

1

2

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1

1

)

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∑

-∑

-≠===+

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+

i

j

k j k j

k

i

k k

i

k k

p

p p

p p

p

n

n

n

n

，、

+……+p

p

p i

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n

2

1

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2

)

1(--+q-h

=n )2

1()2

1()2

1()1

1(3

2

1

p

p

p

p

i

-

??-

?-

?-

+q-h

h q n p

p p p p p i

i

-+-??-?-?

=22

12

2

1

1

h q n L p

p p p p p i

i

-+-??-?-?

=∴22

12

2

1

1

例1 用公式计算26以内的孪生素数。

解：∵ 5＜26＜7 ∴

5,

3,

23

2

1

===p

p

p

q=2 h=0

∴

L 3=26??

?

???+-?????

?+-???

???-??????-???

???-52263226526326226 +?

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???

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????+???

????53226

532652263226 +???

?????+-???????++???????++???????+5322026535265222632226 +?

?

?

?????+-???????+5321226531226

+

??

?

?????+-???????+53222653226+2

=26-13-8-5-9-5+4+4+2+2+1+2+2+1-0-1-1-0+2=4

例2 求不大于30的孪生素数个数。

解：30前的素数为2、3、5且2|30，3|30，5|30，5前的孪生素数有（3，5），（5，7）

两对即q=2,h=0利用公式计算得

L=305

33121???

+2=5

希尔伯特23个数学问题及其解决情况

希尔伯特23个数学问题及其解决情况 已有 95 次阅读2011-10-3 21:02|个人分类:Mathematics&Statistics|系统分类:科研笔记|关键词:数学世纪亚历山大希尔伯特全世界 希尔伯特（HilbertD.，1862.1.23～1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。 1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪 的数学家们去研究，这就是著名的“希尔伯特23个问题”。 1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。 1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项 就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。 下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况： （1）康托的连续统基数问题。 1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF 集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科恩（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。 （2）算术公理系统的无矛盾性。 欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。 根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的

北师版五年级数学上册第三单元测试题含答案

北师版五年级数学上册第三单元测试题含答案 （共4套） 第三单元跟踪检测卷 一、填一填。(第9题3分，其余每空1分，共24分) 1．一个数既是24的因数，又是24的倍数，这个数是()，它的因数有()，100以内它的倍数有()。 2．聪聪的QQ号码是一个六位数，这个数能同时被2，3，5整除。已知这个 数的前三个数字是469，后三个数字尽量最小，聪聪的QQ号码是()。 3．一个合数至少有()个因数，一个质数只有()个因数。4．同时是2，3，5的倍数的最小数是()，同时是2，3，5的倍数的最小三位数是()。 5．一个三位数同时是3和5的倍数，且百位上既是奇数又是合数，这个三位数最大是()。 6．36的最大因数是()，28的最小倍数是()。 7．76至少要加上()才是3的倍数；76至少要加上()才是5的倍数。8．按要求在方框里填上合适的数字。 (1)38(2和3的倍数) (2)945(2和5的倍数) (3)7015(3和5的倍数) (4)280(2，3和5的倍数) 9．在括号里填上合适的质数。

30＝()＋()＋()40＝()＋()＋() 10．两个质数的差是14，积是51，这两个数是()和()；两个质数的和是20，积是91，这两个数是()和()。 二、辨一辨。(对的在括号里画“√”，错的画“×”)(每题1分，共5分) 1．自然数可以分为奇数和偶数，也可以分为质数和合数。() 2．个位是3，6，9的数一定是3的倍数。() 3．在自然数中，奇数都是质数，偶数都是合数。() 4．除2外，其他任意两个质数的和都是偶数。() 5．是6的倍数的数一定既是2的倍数也是3的倍数。() 三、选一选。(把正确答案的字母填在括号里)(每题2分，共10分) 1．2，3，5，7这四个数都是()。 A．奇数B．偶数C．质数D．合数 2．一个数既是8的倍数，又是48的因数，同时它还是2和3的倍数，这个数是()。 A．8 B．16 C．24或48 D．32 3．当a是自然数时，2a＋1一定是()。 A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．不能确定 4．下列关系式中，不一定成立的是()。 A．奇数＋奇数＝偶数B．偶数＋偶数＝偶数 C．奇数×偶数＝偶数D．质数＋质数＝合数 5．下列说法中，有()个是正确的。 ①一个数的最小的倍数是它本身②0是最小的自然数

孪生素数个数公式

孪生素数个数计算公式 李联忠 （营山中学 四川营山 637700） 摘要：孪生素数个数计算公式 ∑ -∑-∑-? ??? ????++ +??? ? ?? ???++??? ? ? ? ??++ =≠==p p p x p p x p x L i i i i j k j k j k kj i k k k I n n n n 2 112,12 11 )1() 1() 1(、 ＋ｑ-h n 前的素数均是n 的约数时，孪生素数个数计算公式 p p p p p p i i n L 22 12 2 1 1 -? ?-?-? = +q-h 关键词：数论 孪生素数 公式 中图分类号： 文献标识号： 文章编号： 孪生素数：相差２的素数叫孪生素数。 引理：若 p p n i 21 i 2+≤＜ ， p p p p p i i k 1 2 1 ,, ,, ,3, 2+== 为连续素数，则在1、2、 3…n 中去掉 p k 的倍数，余下的数（1除外）全为素数。 分析下面相差2的数组 （１，３） （２，４）…（ｍ，ｍ＋２）…（ｎ，ｎ＋２） (1≤m ≤n) 若 p p n i 21 i 2+≤＜ p p p p p i i k 1 2 1 ,, ,, ,3, 2+== 为连续素数，在1、2、3…n 中去 掉除以 p k 余0和余（ 2-p k ）的数，则余下的数组（ｍ，ｍ＋２）中，ｍ和（ｍ＋２） 都不是前ｉ个素数的倍数，据引理，余下的数组全为孪生素数（若n 为素数，n+2=p i 21 +， （n,n+2）除外，i=1，（1，3）除外），仿照素数公式可得出类似的孪生素数计算公式 ∑ -∑ -∑ ∑ + + ++ + + + + - =≠≠=≠==］ ［］［ ］［ ］［p p p x p p p x p p x p x L i i i i j k l j k l j k l lkj i j k j k j k kj i k k k i n n n n n 2 1 12,1,,3 ,1,1 ) 1() 1( =q-h ) )2,(),3,1(2101(该去而未去指或、倍数被去掉了；作为的孪生素数，因为它们 表不大于 +=n n h q p i ()(mod 20,),(mod 20);(mod 02 2 1 1p x p x p x i i 或或≡≡≡

深圳笋岗中学必修第二册第五单元《概率》检测(含答案解析)

一、选择题 1．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，2013华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想是一个弱化形式，问题可以描述为：存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，素数对(,2)p p +称为孪生素数对，问：如果从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积超过20的概率为（ ）． A ． 23 B ． 34 C ． 45 D ． 56 2．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（ ） A ． 581 B ． 1481 C ． 2281 D ． 2581 3．如图茎叶图表示的是甲.乙两人在5次综合测评中的成绩，其中乙中的两个数字被污损，且已知甲，乙两人在5次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为（ ） A ． 29 B ． 15 C ． 310 D ． 13 4．将－颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b ，则关于,x y 方程组22 80 40ax by x y +-=??+-=? ，有实数解的概率为（ ） A ． 29 B ． 79 C ． 736 D ． 9 36 5．学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是( ) A ．对立事件 B ．不可能事件 C ．互斥但不对立事件 D ．不是互斥事件 6．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设 李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有 n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若 21P P ≥，则 n 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 7．我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题,现有类似的题：粮仓开仓收粮，有人

2020年五年级数学下册第二单元跟踪检测卷

第二单元跟踪检测卷 一、填一填。(第2、9题每题2分，其余每空1分，共24分) 1.一个数既是24的因数，又是24的倍数，这个数是()，它的因 数有()，100以内它的倍数有()。 2．聪聪的QQ号码是一个六位数，这个数能同时被2、3、 5整除。已知这个数的前三个数字是469，后三个数字 尽量最小，聪聪的QQ号码是()。 3.一个合数至少有()个因数，一个质数只有()个因数。 4.同时是2，3，5的倍数的最小数是()，最小三位数是()。 5.一个三位数同时是3和5的倍数，且百位上既是奇数又是合数，这 个三位数最大是()。 6. 36的最大因数是()，28的最小倍数是()。 7. 76至少要加上()才是3的倍数；至少要加上()才是5的 倍数。 8.按要求在方框里填上合适的数字。 (1)38(2和3的倍数) (2)945(2和5的倍数) (3)7015(3和5的倍数) (4)280(2、3和5的倍数) 9.在括号里填上合适的质数。 30＝()＋()＋()40＝()＋()＋()

10.两个质数的差是14，积是51，这两个数是()和()；两个质 数的和是20，积是91，这两个数是()和()。 二、辨一辨。(对的在括号里打“√”，错的打“×”。每题1分，共5分) 1.自然数可以分为奇数和偶数，也可以分为质数和合数。() 2.个位是3、6、9的数一定是3的倍数。() 3.在自然数中，奇数都是质数，偶数都是合数。() 4.除2外，其他任意两个质数的和都是偶数。() 5.是6的倍数的数一定既是2的倍数也是3的倍数。() 三、选一选。(将正确答案的序号填在括号里。每题2分，共10分) 1.2，3，5，7这四个数都是()。 A．奇数B．偶数C．质数D．合数2.一个数既是8的倍数，又是48的因数，同时它还是2和3的倍数， 这个数是()。 A．8 B．16 C．24或48 D．32 3.当a是自然数时，2a＋1一定是()。 A．奇数B．偶数 C．奇数或偶数D．不能确定 4.下列关系式中，不一定成立的是()。 A．奇数＋奇数＝偶数B．偶数＋偶数＝偶数 C．奇数×偶数＝偶数D．质数＋质数＝合数 5.下列说法中，有()个是正确的。 ①一个数的最小的倍数是它本身②0是最小的自然数

素数普遍公式

素数普遍公式 目录[隐藏] 一、引言 二、素数普遍公式 三、素数的个数 四、公式的用途 五、素数普遍公式在认识形成中的作用和意义 思考题 一、引言 二、素数普遍公式 三、素数的个数 四、公式的用途 五、素数普遍公式在认识形成中的作用和意义 思考题 [编辑本段] 一、引言 2000多年前欧几里德在证明素数无穷多时就埋下了寻求素数普遍公式的伏笔 素数普遍公式 ，以布劳维尔为首的直觉主义学派认为：“你没有给出第n个素数是如何构造的，就不能算是好的证明”。2000多年来，数论学最重要的一个任务，就是寻找素数普遍公式，为此，一代又一代数学精英，耗费了巨大的心血，始终未获成功。黎曼曾想用他的ζ函数数的“零点”来逼近素数普遍公式，至今未获成功。也有人反向思考，用素数普遍公式逼近“零点”来解决黎曼猜想。希尔伯特在1900年的国际数学家大会上说：对黎曼公式进行了彻底讨论之后，或许就能够严格解决哥德巴赫问题和孪生素数问题。实际在哲学上，只要有一个明确的定义，就应该有一个公式。 [编辑本段] 二、素数普遍公式

公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法： （一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。 （二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1

筛法求素数

筛法求素数 目录 基本思想 C语言实现 pascal实现: 1C++实现: 2python 实现: 基本思想 用筛法求素数的基本思想是：把从1开始的、某一范围内的正整数从小到大顺序排列，1不是素数，首先把它筛掉。剩下的数中选择最小的数是素数，然后去掉它的倍数。依次类推，直到筛子为空时结束。如有： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1不是素数，去掉。剩下的数中2最小，是素数，去掉2的倍数，余下的数是： 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 剩下的数中3最小，是素数，去掉3的倍数，如此下去直到所有的数都被筛完，求出的素数为： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 C语言实现 1、算法一：令A为素数，则A*N（N>1;N为自然数）都不是素数。 #define range 2000 bool IsPrime[range+1]; //set函数确定i是否为素数，结果储存在IsPrime[i]中，此函数在DEV C++中测试通过 void set(bool IsPrime[]) { int i,j; for(i=0;i<=range;++i) IsPrime[i]=true; IsPrime[0]=IsPrime[1]=false; for(i=2;i<=range;++i) { if(IsPrime[i]) { for(j=2*i;j<=range;j+=i) IsPrime[j]=false; } } } 2、 说明：解决这个问题的诀窍是如何安排删除的次序，使得每一个非质数都只被删除一次。中学时学过一个因式分解定理，他说任何一个非质（合）数都可以分解成质数的连乘积。例如，16=4^2，18=2 * 3^2，691488=2^5 * 3^2 * 7^4等。如果把因式分解中最小质数写在最左边，有16=4^2，18=2*9,691488=2^5 * 21609,；换句话说，把合数N写成N=p^k * q，此时q当然是大于p的，因为p是因式分解中最小的质数。由于因式分解的唯一性，任何一个合数N，写成N=p^k * q;的方式也是唯一的。由于q>=p的关系，因此在删除非质数时，如果已知p是质数，可以先删除P^2,p^3,p^4,... ，再删除pq,p^2*q,p^3*q,...,（q是比p大而没有被删除的数），一直到pq>N为止。 因为每个非质数都只被删除一次，可想而知，这个程序的速度一定相当快。依据Gries与Misra的文章，线性的时间，也就是与N成正比的时间就足够了（此时要找出2N的质数）。（摘自《C语言名题精选百则（技巧篇）》，冼镜光编著，机械工业出版社，2005年7月第一版第一次印刷）。代码如下： #include #include using namespace std; int main() { int N; cin>>N; int *Location=new int[N+1]; for(int i=0;i!=N+1;++i) Location[i]=i; Location[1]=0; //筛除部分int p,q,end; end=sqrt((double)N)+1; for(p=2;p!=end;++p) { if(Location[p]) { for(q=p;p*q<=N;++q) { if(Location[q]) { for(int k=p*q;k<=N;k*=p) Location[k]=0; } } } } int m=0; for(int i=1;i!=N+1;++i) { if(Location[i]!=0) { cout<

人教版小学数学五年级下册2单元测试卷(含答案及周测培优)

第2单元跟踪检测卷 因数与倍数 一、填一填。(2、9题每题2分，其余每空1分，共24分) 1．一个数既是24的因数，又是24的倍数，这个数是( )，它的因数有( )，100以内它的倍数有( )。 2．聪聪的QQ号码是一个六位数，这个数能同时2、3、5 整除。已知这个数的前三个数字是469，后三个 数字尽量最小，聪聪的QQ号码是( )。 3．一个合数至少有( )个因数，一个质数只有( )个因数。4．同时是2，3，5的倍数的最小数是( )，最小三位数是( )。5．一个三位数同时是3和5的倍数，且百位上既是奇数又是合数，这个三位数最大是( )。 6．36的最大因数是( )，28的最小倍数是( )。 7．76至少要加上( )才是3的倍数；至少要加上( )才是5的倍数。 8．按要求在方框里填上合适的数字。 (1)38(2和3的倍数) (2)945(2和5的倍数) (3)7015(3和5的倍数)

(4)280(2、3和5的倍数) 9．在括号里填上合适的质数。 30＝( )＋( )＋( ) 40＝( )＋( )＋( ) 10．两个质数的差是14，积是51，这两个数是( )和( )；两个质数的和是20，积是91，这两个数是( )和( )。 二、辨一辨。(对的画“√”，错的画“×”)(每题1分，共5分) 1．自然数可以分为奇数和偶数，也可以分为质数和合数。( ) 2．个位是3、6、9的数一定是3的倍数。( ) 3．在自然数中，奇数都是质数，偶数都是合数。( ) 4．除2外，其他任意两个质数的和都是偶数。( ) 5．是6的倍数的数一定既是2的倍数也是3的倍数。( ) 三、选一选。(把正确答案的序号填在括号里)(每题2分，共10分) 1．2，3，5，7这四个数都是( )。 A．奇数B．偶数C．质数D．合数 2．一个数既是8的倍数，又是48的因数，同时它还是2和3的倍数，这个数是( )。 A．8 B．16 C．24或48 D．32 3．当a是自然数时，2a＋1一定是( )。 A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．不能确定4．下列关系式中，不一定成立的是( )。 A．奇数＋奇数＝偶数B．偶数＋偶数＝偶数 C．奇数×偶数＝偶数D．质数＋质数＝合数

孪生素数猜想初等证明详解

孪生素数猜想初等证明详解 齐宸 孪生素数是指相差2的素数对，例如3和5，5和7，11和13…。孪生素数猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p + 2是素数。 素数对（p, p + 2）称为孪生素数。 孪生素数由两个素数组成，相差为2。为了证明孪生素数猜想，无数的数学家曾为之奋斗，但美丽的公主仍然犹抱琵琶半遮面。 1．孪生素数分类及无个位表示方法 孪生素数按两个素数个位不同划分3类（不包括10以下的3-5、5-7），分别是： 1、孪生素数中两个素数个位为1和3，如11-13，41-43等； 2、孪生素数中两个素数个位为7和9，如17-19，107-109等； 3、孪生素数中两个素数个位为9和1，如29-31，59-61等。 三类孪生素数中个位为1和3的第一类是我们需要重点研究的，其他两类可以忽略不计。因为只要第一类孪生素数无限，也就等价于证明了孪生素数猜想。 自有孪生素数概念以来它们就是由两个素数表示的。若是能简化成一个数字那孪生素数猜想这一世界数学难题也许就向前迈进了一步。无论这一步是一小步，还是一大步。但毕竟能将两个素数组成的孪生素数降格成了像素数那样的单个数字。 分析一下个位为1和3的这一类孪生素数，如41-43这对孪生素数。首先，分别去掉个位1和3后，可以看到剩下了两个数字4和4。用这两个数字完全可以表示一对孪生素数，当然我们心里要想着在这两个数字后面是有个位1和3的。其次，这两个去掉个位的数字又是完全相同的，都是一个数字“4”。这样也就完全可以用一个数字“4”来表示一对孪生素数，也可以说4是一个单数字无个位孪生素数。当然表面上看只有第一类、第二类孪生素数可以用一个数字表示（实际上第三类也可以）。 为什么一定要去掉个位呢？ 可将自然数变成互为补集的两类：孪生素数和非孪生素数。并利用一种简单的筛法，将自然数中的非孪生素数及其补集孪生素数分开。而且这个筛法所要得到的是非孪生素数。并用非孪生素数证明孪生素数猜想。 自然数分成互补的孪生素数与非孪生素数，这是一种新的观点。恐怕没有人相信这种新奇的想法，但这是可以实现的。而且还可以将自然数分成互补的四胞胎素数与非四胞胎素数等。

求孪生素数问题

求孪生素数问题 问题求孪生素数问题。孪生素数是指两个相差为2的素数，例如：3和5，5和7，11和13 等。编程实现输出15对孪生素数。 分析判断是否是循环需要循环，找到15对孪生素数也需要循环，因此该问题是二重循环问题。 数据要求 问题中的常量： 无 问题的输入： 无。 问题的输出： 15对孪生素数。 设计初始算法 1 初始化nCount为零。 2 从2开始判断某个数是否是素数，并且这个数加2是不是素数 3 找到15对孪生素数，结束。 算法细化 我们在循环中引入一个nCount来控制找到15对孪生素数就行。 附加的程序变量 Int nCount=0； 步骤2的细化 2.1 判断某个数是否是素数 2.2 判断这个数加2是不是素数 其中步骤2可以进一步细化，因为求素数是一个简单的问题，我们需要判断比这个 数小的数中，除了它本身和1之外，还有没有别的约数就可以了。 步骤2.1细化 2.1 for(i=2;i<=n-1;i++) 如果(n%i==0) { break; } 流程图

实现 #include "stdio.h" #include "math.h" int isprime(int n) { int nRet=1; int i; if(n<2) nRet=0; for(i=2;i<=n-1;i++) if(n%i==0) { nRet=0; break; } return nRet; } main( ) { int k=2，nCount=0； do { if（isprime（k）&&isprime（k+2）） { nCount+=1； printf（“%d，%d”，k，k+2）； } k=k+1； } while（n<15）； } 测试输出15对孪生素数，略。

孪生素数猜想证明简述

孪生素数猜想证明简述 一：逻辑证明（最简单，但逻辑思维要求高） 根据素数新定义：从祖素数2开始，素数倍数后不连续的数即为素数。 易知素数除了2以外全是奇数，所以在奇数数轴上研究素数会有奇效。 奇数数轴：3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31......，无数对相差为2（相连）的数； 假设只有3为素数，去掉其倍数后数轴变为：3,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31......，只少了一点，但依旧有无穷对素数相差2； 添加5为素数，去掉其倍数后数轴变为3,5,7,11,13,17,19,23,29,31......，少的更少，剩下相差为2的素数对肯定是无穷多；等等； 如此可以无穷下去，但少的越来越少，而且剩余差值为2的素数对肯定是无穷多。 所以孪生素数肯定是无穷多的。一目了然！！！ 当然也很容易看出，P和P+2k的素数对也是无穷多的（波利尼亚克猜想成立）。 （参考文献：奇数轴中素数量与合数宽度的研究） 二：公式证明（难度极大） 在上述的逻辑证明中，我们若将奇数数轴设为单位1； 则3的倍数占比为：1/3 5的倍数占比为：1/5-1/15 7的倍数占比为：1/7-1/21-1/35+1/105 等等，最后可得到孪生素数在奇数中的占比(LiKe级数公式)约为： 1-1/3-(1/5-1/15)-(1/7-1/21-1/35+1/105)-(1/11-1/3*11-1/5*11-...+...)-... =1-1/3-1/5-1/7-......-1/p+1/15+1/21+......+1/pq-1/105-1/165-......-1/pqr+...-... =1-∑1/P+∑1/pq-∑1/pqr+…±∑1/∏P （1） (式中所有素数为奇素数，分母为偶数个素数积时取和，为奇数时取差) 关于该新颖级数的求和不在此演示。不过它是发散的(其值应该不为0)，该级数本身足以说明了孪生素数的无穷多。 （参考文献：奇数轴中素数量与合数宽度的研究） 三：等价证明 针对级数公式求解的复杂性，很多人也许看不出端倪。至此我们可以通过等价的 原理加以诠释： 将整数数轴：2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,......中整数个数设为单位1； 根据素数新定义

孪生素数

孪生素数 要介绍孪生素数，首先当然要说一说素数这个概念。 素数是除了1 和它本身之外没有其它因子的自然数。素数是数论中最纯粹、最令人着迷的概念。除了 2 之外，所有素数都是奇数(因为否则的话除了 1 和它本身之外还有一个因子2，从而不满足素数的定义)，因此很明显大于2 的两个相邻素数之间的最小可能间隔是2。 所谓孪生素数指的就是这种间隔为2 的相邻素数，它们之间的距离已经近得不能再近了，就象孪生兄弟一样。最小的孪生素数是(3, 5)，在100 以内的孪生素数还有(5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61) 和(71, 73)，总计有8 组。但是随着数字的增大，孪生素数的分布变得越来越稀疏，寻找孪生素数也变得越来越困难。那么会不会在超过某个界限之后就再也不存在孪生素数了呢？ 我们知道，素数本身的分布也是随着数字的增大而越来越稀疏，不过幸运的是早在古希腊时代，Euclid 就证明了素数有无穷多个 (否则今天许多数论学家就得另谋生路)。长期以来人们猜测孪生素数也有无穷多组，这就是与Goldbach 猜想齐名、集令人惊异的简单表述和令人惊异的复杂证明于一身的著名猜想- 孪生素数猜想： 孪生素数猜想：存在无穷多个素数p, 使得p+2 也是素数。 究竟谁最早明确提出这一猜想我没有考证过，但是一八四九年法国数学Alphonse de Polignac 提出猜想：对于任何偶数2k, 存在无穷多组以2k 为间隔的素数。对于k=1，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把Alphonse de Polignac 作为孪生素数猜想的提出者。不同的k 对应的素数对的命名也很有趣，

最全面所有数学公式和概念

公式 长方形的周长=（长+宽）×2 C=（a+b）×2 正方形的周长=边长×4 C=4a 三角形的面积＝底×高÷2。公式S= a×h÷2 正方形的面积＝边长×边长公式S= a×a 长方形的面积＝长×宽公式S= a×b 平行四边形的面积＝底×高公式S= a×h 梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式S=(a+b)h÷2 内角和：三角形的内角和＝180度。 长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2 正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a 长方体的体积＝长×宽×高公式：V=abh 长方体（或正方体）的体积＝底面积×高公式：V=abh 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式：V=aaa 圆的周长＝直径×π 公式：L＝πd＝2πr 圆的面积＝半径×半径×π 公式：S＝πr 圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。公式：S=ch=πdh＝2πrh 圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公式：S=ch+2s=ch+2πr 圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。公式：V=Sh 圆锥的体积＝1/3底面×积高。公式：V=1/3Sh 分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。 分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 算术方面 1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。 2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。 3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。 4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。 5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。 如：（2+4）×5＝2×5+4×5 6、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。O除以任何不是O的数都得O。简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。 7、什么叫等式？等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子 叫做等式。 等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数， 等式仍然成立。 8、什么叫方程式？答：含有未知数的等式叫方程式。 9、什么叫一元一次方程式？答：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。 学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。 10、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数,叫做分数。 11、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 12、分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较，先通分然后再比较；

线性筛法求素数的原理与实现

何为线性筛法，顾名思义，就是在线性时间内（也就是O（n））用筛选的方法把素数找出来的一种算法，没用过线性筛素数法的人可能会奇怪，用遍历取余判定素数不是也是线性时间的吗，没错，但是确切的说线性筛法并不是判定素数的，而是在线性时间内求出一个素数表，需要判定是否是素数的时候只要看该数是否在表内就可以瞬间知道是不是素数。 比如想求10000以内的素数，定义表int a[10000]，进行线性筛选后，a[n]的值就代表n是不是素数，a[n]如果是1，就代表n是素数，a[n]如果是0，就代表n不是素数，这就是查表。再判定其他的素数也是一样，不用再做任何计算。 而如果用遍历取余，那么每判定一个数都要从头开始再遍历一遍，而线性筛法只在开始一次性运算完，以后只要查表即可，查表通常只需要1条语句。所以如果你的程序从始至终只需要判定那么几次素数那么用遍历取余即可，但是如果需要多次判定素数，而且这个数还不是很小的话，那么线性筛法就会体现出巨大的优越性来。 线性筛法的核心原理就是一句话：每个合数必有一个最大因子（不包括它本身），用这个因子把合数筛掉，还有另一种说法（每个合数必有一个最小素因子，用这个因子筛掉合数，其实都一样，但是我觉得这种方法不太容易说明，这种方法我会在最后给出简略说明）。这个很容易证明：这个小学就知道合数一定有因子，既然是几个数，就一定有最大的一个。最大因子是唯一的，所以合数只会被它自己唯一的因子筛掉一次，把所有合数筛掉后剩下的就全是素数了。 先假设一个数i，一个合数t，i是t最大的因数，t显然可能并不唯一（例如30和45的最大因数都是15）。那么如何通过i知道t呢，t必然等于i乘以一个比i小的素数。先来说这个数为什么一定要比i小，这很显然，如果是i乘上一个比它大的素数，那么i显然不能是t 最大的因子。再来说为什么要是素数，因为如果乘上一个合数，我们知道合数一定可以被分解成几个素数相乘的结果，如果乘上的这个合数x=p1*p2*……，那么 t = i * x = i * p1 * p2……很显然p1* i也是一个因数，而且大于i。所以必须乘上一个素数。 比i小的素数一定有不少，那么该乘哪一个呢，既然t不唯一，那么是不是都乘一遍呢？很显然不行，虽然t不唯一，但全乘一遍很显然筛掉的数的数量远远超过合数的数量。我们先给出结论： 任意一个数i = p1*p2*……*pn，p1、p2、……pn都是素数，p1是其中最小的素数， 设T 为i * M的积（显然T就成了一个合数），也就是T = i * M，（M是素数，并且M<=p1）,那么T的最大的因数就是i。 是的，乘上的数要小于等于i最小的质因数。

100年以来对数论重大问题的证明都是错误的

100年以来數論重大問題的“证明”全部都是错误的 王曉明 摘要：100年來，對數論中的重大問題的“證明”全部都是錯誤的，最重要的原因就是數論學家普遍不懂邏輯學。整個數論已經崩潰，本文的目的就是指出這些錯誤。(内容基本上发表在中国科学院智慧火花各个栏目上) 目錄： 1，羅素悖論的是與非。 2，孿生素數猜想的是與非。 3，哥德巴赫猜想的是與非。 4，費馬大定理的是與非。 5，黎曼猜想的是與非。 6，3x+1問題的是與非 7，物理学的m理论用四色定理哥德巴赫猜想费马大定理黎曼猜想联合表示 一，羅素悖論的是與非 摘要：羅素悖論定義的“x不屬於x”有著明顯的錯誤：1，不是按照“種加屬差”的正確方法定義x。2，不是按照“不能採用否定判斷的定義”。3，“x不屬於x”的定義違法了同一律。並且兩次定義“一切”違反了同一律。4，語法錯誤，“x不屬於x”，前面x是主語，後面x是謂語，前面主語x是“誰”“什麼”，後面謂語x“是什麼”，“不是什麼”。 關鍵字：悖論，定義。 （一），前言 英國人勃蘭特.羅素（Betrand Russell1872—1970）是二十世紀西方哲學界大師，年輕時曾經用10年時間完成三卷【數學原理】，後由數學進入哲學，到了孔子說的從心所欲而不逾矩的年齡，寫完【西方哲學史】。作為數學家哲學家的羅素在二戰後為什麼獲得諾貝爾獎文學獎？西方人通常按照地緣政治的角度解釋戰爭，拿破崙打過來脾斯麥打過去，戰爭、聯姻...無休止的幹下去。直到二戰結束，人們經過奧斯維辛集中營、達豪之後，飽受蹂躪的歐洲人忽然明白，正是羅素預言的那樣——潛藏在人性中的邪惡才是災難的起因。羅素在他的著作中早有分析和預言，戰後倖存者讀起來無不心悅誠服。羅素的文筆非常漂亮，文風優美，就連一部【西方哲學史】寫得跟聊天似得，於是斯德哥爾摩的文學老爺們找到了理由。羅素的故事永遠談不完，我們就此停筆。而這個瘋子（實際上是個邏輯學白癡）給數學造成的麻煩形成了100年的恐慌，我們今天揭穿這個數學......。 （二），羅素悖論 羅素1903年構造了一個集合R，設R 為一切不屬於自身元素的集合所組成的集合（作者附言：這是第一次定義“一切”）。 羅素問： R是否屬於R？（【中國大百科全書-數學】19頁）。 實際上羅素提出的是兩個命題： 【1】，R是屬於R。 【2】，R不是屬於R。 根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。但對這個看似合理的

希尔伯特的23个问题

希尔伯特的23个问题 希尔伯特（Hilbert D,1862.1.23~1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。 1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的希尔伯特23个问题。 1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。 1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。

下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况： 1．连续统假设1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。 2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。 1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。 3．两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。 4．两点间以直线为距离最短线问题此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973

新乡市第一中学必修第二册第五单元《概率》测试题(包含答案解析)

一、选择题 1．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.8，在目标被击中的条件下，甲、乙同时击中目标的概率为（） A．21 44 B． 12 23 C． 12 25 D． 21 11 2．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，2013华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想是一个弱化形式，问题可以描述为：存在无穷多个素数p，使得2 p+ 是素数，素数对(,2) p p+称为孪生素数对，问：如果从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积超过20的概率为（）． A．2 3 B． 3 4 C． 4 5 D． 5 6 3．某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立．若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为（） A．0.23 B．0.2 C．0.16 D．0.1 4．早在17世纪人们就知道用事件发生的“频率”来估计事件的“概率”．18世纪末有人用投针试验的方法来估计圆周率π，20世纪40年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法.如图所示的程序框图就是利用随机模拟方法估计圆周率π，（其中() rand是产生[0,1]内的均匀随机数的函数，* k N ∈），则π的值约为（）

A．m k B． 2m k C．4 m k D． 4m k 5．若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为（） A．1 2 B． 1 4 C． 1 6 D． 1 8 6．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和 黄球的概率分别为111 ,, 236 ，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则 记下的颜色中有红有白，但没有黄的概率为（） A．5 36 B． 5 6 C． 5 12 D． 1 2 7．如图茎叶图表示的是甲.乙两人在5次综合测评中的成绩，其中乙中的两个数字被污损，且已知甲，乙两人在5次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为（）