第3讲 统计与统计案例
考情解读 1.该部分常考内容:样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等;有时也会在知识交汇点处命题,如概率与统计交汇等.2.从考查形式上来看,大部分为选择题、填空题,重在考查基础知识、基本技能,有时在知识交汇点处命题,也会出现解答题,都属于中、低档题.
1.随机抽样
(1)简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取.适用范围:总体中的个体较少.
(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分,按事先确定的规则在各部分中抽取.适用范围:总体中的个体数较多.
(3)分层抽样特点是将总体分成几层,分层进行抽取.适用范围:总体由差异明显的几部分组成.
2.常用的统计图表 (1)频率分布直方图 ①小长方形的面积=组距×
频率
组距
=频率; ②各小长方形的面积之和等于1;
③小长方形的高=频率组距,所有小长方形的高的和为1
组距.
(2)茎叶图
在样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好. 3.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数
(2)方差:s 2=1
n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2].
标准差: s =
1
n
[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2]. 4.变量的相关性与最小二乘法
(1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数.
(2)最小二乘法:对于给定的一组样本数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),通过求Q =∑i =1
n
(y i
-a -bx i )2
最小时,得到线性回归方程y ^
=b ^
x +a ^
的方法叫做最小二乘法. 5.独立性检验
对于取值分别是{x 1,x 2}和{y 1,y 2}的分类变量X 和Y ,其样本频数列联表是
则K 2
(χ2
)=n (ad -bc )2
(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )
(其中n =a +b +c +d 为样本容量).
热点一 抽样方法
例1 (1)(2013·陕西)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为( ) A .11 B .12 C .13 D .14
(2)(2014·石家庄高三调研)某学校共有师生3 200人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为160的样本,已知从学生中抽取的人数为150,那么该学校的教师人数是________. 思维启迪 (1)系统抽样时需要抽取几个个体,样本就分成几组,且抽取号码的间隔相同;(2)分层抽样最重要的是各层的比例. 答案 (1)B (2)200
解析 (1)由840
42=20,即每20人抽取1人,所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为
720-48020=240
20
=12. (2)本题属于分层抽样,设该学校的教师人数为x ,所以1603 200=160-150
x
,所以x =200.
思维升华(1)随机抽样各种方法中,每个个体被抽到的概率都是相等的;(2)系统抽样又称“等距”抽样,被抽到的各个号码间隔相同;分层抽样满足:各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例.
(1)某校高一、高二、高三分别有学生人数为495,493,482,现采用系统抽样方法,抽取49人做问卷调查,将高一、高二、高三学生依次随机按1,2,3,…,1 470编号,若第1组有简单随机抽样方法抽取的号码为23,则高二应抽取的学生人数为()
A.15 B.16 C.17 D.18
(2)(2014·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()
A.200,20 B.100,20
C.200,10 D.100,10
答案(1)C(2)A
解析(1)由系统抽样方法,知按编号依次每30个编号作为一组,共分49组,高二学生的编号为496到988,在第17组到第33组内,第17组抽取的编号为16×30+23=503,为高二学生,第33组抽取的编号为32×30+23=983,为高二学生,故共抽取高二学生人数为33-16=17,故选C.
(2)该地区中、小学生总人数为3 500+2 000+4 500=10 000,
则样本容量为10 000×2%=200,其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%=20,故选A.
热点二用样本估计总体
例2(1)(2014·山东)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组,如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为()
A.6 B.8 C.12 D.18
(2)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位:毫克/每立方米)列出的茎叶图,则甲、乙两地浓度的方差较小的是()
A.甲B.乙
C.甲乙相等D.无法确定
甲乙
20.04123 6
930.059
6210.0629
3310.079
640.087
70.09246
思维启迪(1)根据第一组与第二组的人数和对应频率估计样本总数,然后利用第三组的频率和无疗效人数计算;(2)直接根据公式计算方差.
答案(1)C(2)A
解析(1)志愿者的总人数为
20
(0.16+0.24)×1
=50,
所以第三组人数为50×0.36=18,
有疗效的人数为18-6=12.
(2)x甲=(0.042+0.053+0.059+0.061+0.062+0.066+0.071+0.073+0.073+0.084+0.086+0.097)÷12≈0.068 9,
x乙=(0.041+0.042+0.043+0.046+0.059+0.062+0.069+0.079+0.087+0.092+0.094+0.096)÷12≈0.067 5,
s2=1
12[(0.042-0.068 9)
2+(0.053-0.068 9)2+…+(0.097-0.068 9)2]≈0.000 212.
s2=1
12[(0.041-0.067 5)
2+(0.042-0.067 5)2+…+(0.096-0.067 5)2]≈0.000 429.
所以甲、乙两地浓度的方差较小的是甲地.
思维升华(1)反映样本数据分布的主要方式:频率分布表、频率分布直方图、茎叶图.关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率,其高低能够描述频率的大小,高考中常常考查频率分布直方图的基本知识,同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数,具体问题中要能够根据公式求解数据的均值、众数和中位数、方差等.(2)由样本数据估计总体时,样本方差越小,数据越稳定,波动越小.
(1)某商场在庆元宵促销活动中,对元宵节9时至14时的销售额进行统计,其频
率分布直方图如图所示,已知9时至10时的销售额为2.5万元,则11时至12时的销售额为________万元.
(2)(2014·陕西)设样本数据x 1,x 2,…,x 10的均值和方差分别为1和4,若y i =x i +a (a 为非零常数,i =1,2,…,10),则y 1,y 2,…,y 10的均值和方差分别为( ) A .1+a,4 B .1+a,4+a C .1,4
D .1,4+a
答案 (1)10 (2)A
解析 (1)由频率分布直方图可知: 0.100.40=2.5
x
,所以x =10. (2)x 1+x 2+…+x 1010
=1,y i =x i +a ,
所以y 1,y 2,…,y 10的均值为1+a ,方差不变仍为4. 故选A.
热点三 统计案例
例3 (1)以下是某年2月某地区搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据.
根据上表可得线性回归方程y =b x +a 中的b =0.196 2,则面积为150 m 2的房屋的销售价格约为________万元.
(2)(2014·江西)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
表1
表4
A.成绩 B .视力 C 思维启迪 (1)回归直线过样本点中心(x ,y ); (2)根据列联表,计算K 2的值 答案 (1)31.244 2 (2)D
解析 (1)由表格可知x =1
5(115+110+80+135+105)=109,
y =1
5
(24.8+21.6+18.4+29.2+22)=23.2.
所以a ^
=y -b ^
x =23.2-0.196 2×109=1.814 2.
所以所求线性回归方程为y ^
=0.196 2x +1.814 2.
故当x =150时,销售价格的估计值为y ^
=0.196 2×150+1.814 2=31.244 2(万元).
(2)A 中,a =6,b =14,c =10,d =22,a +b =20,c +d =32,a +c =16,b +d =36,n =52, K 2
=52×(6×22-14×10)220×32×16×36
=131 440.
B 中,a =4,b =16,c =12,d =20,a +b =20,c +d =32,a +c =16,b +d =36,n =52, K 2
=52×(4×20-16×12)220×32×16×36
=637
360.
C 中,a =8,b =12,c =8,d =24,a +b =20,c +d =32,a +c =16,b +d =36,n =52, K 2
=52×(8×24-12×8)220×32×16×36
=1310.
D 中,a =14,b =6,c =2,d =30,a +b =20,c +d =32,a +c =16,b +d =36,n =52, K 2
=52×(14×30-6×2)220×32×16×36
=3 757
160.
∵
131 440<1310<637360<3 757
160
, ∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量.
思维升华 (1)线性回归方程求解的关键在于准确求出样本点中心.回归系数的求解可直接把相应数据代入公式中求解,回归常数的确定则需要利用中心点在回归直线上建立方程求解;(2)独立性检验问题,要确定2×2列联表中的对应数据,然后代入K 2(χ2)计算公式求其值,根据K 2(χ2)取值范围求解即可.
(1)已知x 、y 取值如下表:
从所得的散点图分析可知:y 与x 线性相关,且y =0.95x +a ,则a 等于( ) A .1.30 B .1.45 C .1.65 D .1.80
(2)某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系,随机抽测了20人,若“身高大于175厘米”的为“高个”,“身高小于等于175厘米”的为“非高个”,“脚长大于42码”的为“大脚”,“脚长小于等于42码”的为“非大脚”.得以下2×2列联表:
则在犯错误的概率不超过 (附:
P (K 2>k ) 0.05 0.01 0.001 k
3.841
6.635
10.828
)
答案 (1)B (2)0.01
解析 (1)依题意得,x =1
6×(0+1+4+5+6+8)=4,
y =1
6
(1.3+1.8+5.6+6.1+7.4+9.3)=5.25;
又直线y ^
=0.95x +a ^
必过样本点中心(x ,y ),即点(4,5.25),于是有5.25=0.95×4+a ^
,由此
解得a ^
=1.45. (2)由题意得
K 2
=20×(5×12-1×2)2
6×14×7×13
≈8.802>6.635.
而K 2>6.635的概率约为0.01,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为人的脚的大小与身高之间有关系.
1.随机抽样的方法有三种,其中简单随机抽样适用于总体中的个体数量不多的情况,当总体中的个体数量明显较多时要使用系统抽样,当总体中的个体具有明显的层次时使用分层抽样.系统抽样最重要的特征是“等距”,分层抽样,最重要的是各层的“比例”. 2.用样本估计总体
(1)在频率分布直方图中,各小长方形的面积表示相应的频率,各小长方形的面积的和为1. (2)众数、中位数及平均数的异同:众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量.
(3)当总体的个体数较少时,可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布;当总体容量很大时,通常从总体中抽取一个样本,分析它的频率分布,以此估计总体分布.
①总体期望的估计,计算样本平均值x =1n ∑n i =1x i .②总体方差(标准差)的估计:方差=1n ∑n
i =1 (x i -
x )2,标准差=方差,方差(标准差)较小者较稳定.
3.线性回归方程y ^
=b ^
x +a ^
过样本点中心(x ,y ),这为求线性回归方程带来很多方便. 4.独立性检验
(1)作出2×2列联表.(2)计算随机变量K 2(χ2)的值.(3)查临界值,检验作答.
真题感悟
1.(2014·江苏)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有________株树木的底部周长小于100 cm.
答案 24
解析 底部周长在[80,90)的频率为0.015×10=0.15, 底部周长在[90,100)的频率为0.025×10=0.25,
样本容量为60,所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15+0.25)×60=24.
2.(2014·重庆)已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数x =3,y =3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A.y ^
=0.4x +2.3
B.y ^
=2x -2.4
C.y ^
=-2x +9.5 D.y ^
=-0.3x +4.4
答案 A
解析 因为变量x 和y 正相关,则回归直线的斜率为正,故可以排除选项C 和D.
因为样本点的中心在回归直线上,把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A 和B 中的线性回归方程进行检验,可以排除B ,故选A. 押题精练
1.某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控,从中抽取50辆汽车进行测速分析,得到如图所示的时速的频率分布直方图,根据该图,时速在70 km/h 以下的汽车有________辆.
答案 20
解析 时速在70 km/h 以下的汽车所占的频率为0.01×10+0.03×10=0.4,共有0.4×50=20(辆).
2.某教育出版社在高三期末考试结束后,从某市参与考试的考生中选取600名学生对在此期间购买教辅资料的情况进行调研,得到如下数据:
的学生应抽取的人数为________. 答案 24
解析 只买试题类的学生应抽取的人数为60×240
600
=24.
3.下表提供了某厂节能减排技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据:
根据上表提供的数据,求出y 关于x 的线性回归方程为y =0.7x +0.35,那么表中t 的值为________. 答案 3
解析 ∵样本点中心为?
???4.5,11+t 4,∴11+t 4=0.7×4.5+0.35,解得t =3.
4.春节期间,“厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开,某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动,得到如下的列联表:
附:
K 2
=n (ad -bc )2
(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )
参照附表,得到的正确结论是( )
A .在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B .在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C .有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D .有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 答案 C
解析 由公式可计算K 2
的观测值k =n (ad -bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )=
100×(45×15-30×10)2
55×45×75×25
≈3.03>2.706,所以有90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’与性别有关”,故选C.
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一、选择题
1.(2014·湖南)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则() A.p1=p2 B.p2=p3 C.p1=p3 D.p1=p2=p3 答案 D 解析由于三种抽样过程中,每个个体被抽到的概率都是相等的,因此p1=p2=p3. 2.某中学高中一年级有400人,高中二年级有320人,高中三年级有280人,现从中抽取一个容量为200人的样本,则高中二年级被抽取的人数为() A.28 B.32 C.40 D.64 答案 D 解析由已知,得样本容量为400+320+280=1 000, 所以,高中二年级被抽取的人数为200 1 000×320=64,选D. 3.(2013·江西)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为() A.08 C.02 D.01 答案 D 解析从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为:08,02,14,07,01,所以第5个个体编号为01. 4.为了了解某城市今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第2小组的频数为120,则抽取的学生人数是() A .240 B .280 C .320 D .480 答案 D 解析 由频率分布直方图知:学生的体重在65~75 kg 的频率为(0.012 5+0.037 5)×5=0.25, 则学生的体重在50~65 kg 的频率为1-0.25=0.75. 从左到右第2个小组的频率为0.75×2 6=0.25. 所以抽取的学生人数是120÷0.25=480. 5.某产品在某零售摊位上的零售价x (单位:元)与每天的销售量y (单位:个)的统计资料如下表所示: 由上表可得线性回归方程y ^ =b ^ x +a 中的b =-4,据此模型预计零售价定为15元时,每天的销售量为( ) A .48个 B .49个 C .50个 D .51个 答案 B 解析 由题意知x =17.5,y =39,代入线性回归方程得a ^ =109,109-15×4=49,故选B. 6.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持的两种态度)的关系,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算K 2=7.069,则所得到的统计学结论是:有________的把握认为“学生性别与支持该活动有关系.”( ) 附: A.0.1% C .99% D .99.9% 答案 C 解析 因为7.069与附表中的6.635最接近,所以得到的统计学结论是:有1-0.010=0.99=99%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”,选C. 7.某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况,从两块地各随机抽取了10株树苗,用茎叶图表示上述两组数据,对两块地抽取树苗的高度的平均数x 甲,x 乙和中位数y 甲,y 乙进行比较,下面结论正确的是( ) A.x 甲>x 乙,y 甲>y 乙 B.x 甲 8.从某中学高一年级中随机抽取100名同学,将他们的成绩(单位:分)数据绘制成频率分布直方图(如图).则这100名学生成绩的平均数、中位数分别为________. 答案 125,124 解析 由图可知(a +a -0.005)×10=1-(0.010+0.015+0.030)×10,解得a =0.025,则x =105×0.1+115×0.3+125×0.25+135×0.2+145×0.15=125.中位数在120~130之间,设为x ,则0.01×10+0.03×10+0.025×(x -120)=0.5,解得x =124. 9.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛,9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得 平均分为91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清,若记分员计算无误,则数字x 应该是__________. 答案 1 解析 当x ≥4时,89+89+92+93+92+91+947=6407≠91, ∴x <4,∴89+89+92+93+92+91+x +90 7=91, ∴x =1. 10.(2013·辽宁)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互 不相同,则样本数据中的最大值为________. 答案 10 解析 设5个班级中参加的人数分别为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5, 则由题意知x 1+x 2+x 3+x 4+x 5 5 =7, (x 1-7)2+(x 2-7)2+(x 3-7)2+(x 4-7)2+(x 5-7)2=20, 五个整数的平方和为20,则必为0+1+1+9+9=20, 由|x -7|=3可得x =10或x =4. 由|x -7|=1可得x =8或x =6. 由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10, 故最大值为10. 三、解答题 11.(2014·课标全国Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位:千元)的数据如下表: (1)求(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: b ^ = ∑i =1 n (t i -t )(y i -y ) ∑i =1 n (t i -t )2 ,a ^ =y -b ^ t . 解 (1)由所给数据计算得t =1 7(1+2+3+4+5+6+7)=4, y =1 7 (2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3, ∑i =1 7 =(t i - t )2=9+4+1+0+1+4+9=28, ∑i =1 7 (t i -t )(y i -y )=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9 +3×1.6=14, b ^ = ∑i =1 7 (t i -t )(y i -y ) ∑i =1 7 (t i -t )2 =14 28 =0.5, a ^ =y -b ^t =4.3-0.5×4=2.3, 所求线性回归方程为y ^ =0.5t +2.3. (2)由(1)知,b ^ =0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元. 将2015年的年份代号t =9代入(1)中的线性回归方程,得y ^ =0.5×9+2.3=6.8, 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元. 12.某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API 的监测数据,结果统计如下: 式为: S =???? ? 0, 0≤w ≤1004w -400,100 2 000, w >300 ,试估计在本年度内随机抽取一天,该天经济损失S 大于200 元且不超过600元的概率; (2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有8天为重度污染.完成下面2×2列联表,并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关? 附: K 2 =n (ad -bc )(a +b )(c +d )(a +c )(b +d ). 解 (1)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失S 大于200元且不超过600元”为事件A , 由200 . (2)根据以上数据得到如下列联表: K 2 的观测值k =100×(63×8-22×7)85×15×30×70 ≈4.575>3.841. 所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. 最全高考数学统计专题解析版【真题】 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第十一章统计、统计案例 第一部分六年高考荟萃 2013年高考题 1 .(2013年高考陕西卷(理))某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号 落入区间[481, 720]的人数为()A.11 B.12 C.13 D.14 2 .(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD版))某班级有 50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名 女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名 女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是()A.这种抽样方法是一种分层抽样 B.这种抽样方法是一种系统抽样 C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 3 .(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD版))某校从高 一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布 直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60 分的学生人数为()A.588 B.480 C.450 D.120 4 .(2013年高考江西卷(理))总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。利用下 面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 )A.08 B.07 C.02 D.01 5.(2013年高考上海卷(理))盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 ___________(结果用最简分数表示)最全高考数学统计专题解析版【真题】
2020高考数学专题复习----立体几何专题