《概率论与数理统计》试题(1)
一 、 判断题(本题共15分,每小题3分。正确打“√”,错误打“×”)
⑴ 对任意事件A 和B ,必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布,则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 ( )
⑸ 样本方差2n S
=
n
121
)(X X
n
i i
-∑=是母体方差DX 的无偏估计 ( )
二 、(20分)设A 、B 、C 是Ω中的随机事件,将下列事件用A 、B 、C 表示出来 (1)仅A 发生,B 、C 都不发生;
(2),,A B C 中至少有两个发生; (3),,A B C 中不多于两个发生; (4),,A B C 中恰有两个发生; (5),,A B C 中至多有一个发生。
三、(15分) 把长为a 的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率. 四、(10分) 已知离散型随机变量X 的分布列为
2101
31111115651530
X
P
-- 求2
Y X =的分布列.
五、(10分)设随机变量X 具有密度函数||
1()2
x f x e -=
,∞< x <∞, 求X 的数学期望和方差.
六、(15分)某保险公司多年的资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数,求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、(15分)设12,,,n X X X 是来自几何分布 1
()(1)
,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ,
的样本,试求未知参数p 的极大似然估计.
《概率论与数理统计》试题(1)评分标准
一 ⑴ ×;⑵ ×;⑶ √;⑷ √;⑸ ×。 二 解 (1)ABC
(2)AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC ;
(3)A B C 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ; (4)ABC ABC ABC ;
(5)AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC 每小题4分;
三 解 设A =‘三段可构成三角形’,又三段的长分别为,,x y a x y --,则
0,0,0x a y a x y a <<<<<+<,不等式构成平面域S .------------------------------------5分
A 发生0,0,
222
a a a
x y x y a ?<<<<<+< 不等式确定S 的子域A ,----------------------------------------10分
所以
1
()4
A P A ==的面积S 的面积 -----------------------------------------15分
四 解 Y 的分布列为
1491
71115
30530
Y
P
. Y 的取值正确得2分,分布列对一组得2分;
五 解 ||102x EX x e dx +∞
--∞=
?=?,
(因为被积函数为奇函数)--------------------------4分 2
2||2012
x x DX EX x e dx x e dx +∞+∞---∞===?? 20
02x x x e
xe dx +∞+∞
--=-+?
2[] 2.x x xe
e dx +∞+∞
--=-+=?
----------------------------------------10分
六 解 X ~b(k;100,0.20), EX=100×0.2=20, DX=100×0.2×0.8=16.----5分
(1430)P X ≤≤≈Φ-Φ---------------------------10分 (2.5)( 1.5)=Φ-Φ-
=0.994+0.933--1
0.927=.--------------------------------------------------15分
七 解 11
11
(,
,;)(1
)(1)n
i i i n
x n
x n
n i L x x p p
p p p =--=∑=-=-∏ ----------5分
1ln ln (
)ln(1),n
i
i L n p X
n p ==+--∑
1ln 0,1n
i i X n
d L n dp p p
=-=--∑ --------------------------------10分 解似然方程
1
1n
i i n X n p p
=-+=
-∑, 得p 的极大似然估计
1
p X
=。--------------------------------------------------------------------15分
《概率论与数理统计》期末试题(2)与解答
一、填空题(每小题3分,共15分)
1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发
生的概率为__________.
2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2
X Y =在区间)4,0(内的概率
密度为=)(y f Y _________.
4. 设随机变量Y X ,相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,2
)1(-=>e X P ,则
=λ_________,}1),{min(≤Y X P =_________.
5. 设总体X 的概率密度为
?????<<+=其它,
0,
10,)1()(x x x f θ
θ 1->θ.
n X X X ,,,21 是来自X 的样本,则未知参数θ的极大似然估计量为_________.
解:1.3.0)(=+B A B A P
即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=
所以 1.0)(=AB P
9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2.λλ
λ
λλ---=
=+==+==≤e X P e e
X P X P X P 2
)2(,
)1()0()1(2
由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22
即 0122
=--λλ 解得 1=λ,故
16
1)3(-=
=e X P . 3.设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()
F x ,密度为(
)X f x 则
2
()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y
=≤=
≤
=≤-
-
因为~(0,2)X U ,所以(0X F =
,即()
Y X F y F
= 故
04,()()0,.
Y Y X y f y F y f <<'===
?
其它
另解 在(0,
2)上函数2y x =
严格单调,反函数为(
)h y 所以
04,()0,.
Y X y f y f <<==?其它
4.2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==,故 2λ=
{min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y ≤=->1(1)(1)P X P Y =->>
41e -=-. 5.似然函数为 11
1
(,,;)(1)(1)(,,)n
n
n i
n
i L x x x x x θθθθθ==
+=+∏
1
ln ln(1)ln n
i
i L n x
θθ
==++∑
1
ln ln 01n
i i d L n
x d θθ==++∑
解似然方程得θ的极大似然估计为
1
111ln n
i i x n θ
==-∑.
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.设,,A B C 为三个事件,且,A B 相互独立,则以下结论中不正确的是 (A )若()1P C =,则AC 与BC 也独立. (B )若()1P C =,则A C 与B 也独立. (C )若()0P C =,则A C 与B 也独立.
(D )若C B ?,则A 与C 也独立. ( ) 2.设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ,则(||2)P X >的值为 (A )2[1(2)]-Φ. (B )2(2)1Φ-.
(C )2(2)-Φ. (D )12(2)-Φ. ( ) 3.设随机变量X 和Y 不相关,则下列结论中正确的是
(A )X 与Y 独立. (B )()D X Y DX DY -=+.
(C )()D X Y DX DY -=-. (D )()D XY DXDY =. ( ) 4.设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为
(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)
1
111
69183
X Y P αβ
若,X Y 独立,则,αβ的值为
(A )21,99αβ==. (A
)12
,99αβ==.
(C ) 11,66αβ== (D )51
,1818
αβ=
=. ( ) 5.设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ 为来自X 的样本,则下列结论中
正确的是
(A )1X 是μ的无偏估计量. (B )1X 是μ的极大似然估计量. (C )1X 是μ的相合(一致)估计量. (D )1X 不是μ的估计量. ( )
解:1.因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立,所以(A ),(B ),(C )都是正确的,只能选(D ).
事实上由图 可见A 与C 不独立.
2.~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤
1(2)(2)1[2(2)1]2[1=-Φ
+Φ-=-Φ-=-Φ 应选(A ).
3.由不相关的等价条件知应选(B ). 4.若,X Y 独立则有
(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======
1121
()()()3939
αβαα=+++=+ ∴29α=, 19β= 故应选(A ).
5.1EX μ=,所以1X 是μ的无偏估计,应选(A ).
三、(7分)已知一批产品中90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为
0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率;(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解:设A =‘任取一产品,经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’
则(1) ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+ 0.90.950.10.020.857.=?+?= (2) ()0.90.95
(|)0.9977()0.857
P AB P B A P A ?=
==. 四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事
件是相互独立的,并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数,求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解:X 的概率分布为 3323()()()
0,1,2,3.5
5
k
k
k
P X k C k -===
即
01232754368125125125125
X
P
X 的分布函数为
0,0,27,
01,12581
(),12,125117,23,1251, 3.
x x F x x x x ??≤??=≤??≤?≥?? 263,55
EX =?
= 2318
35525
DX =??=.
五、(10分)设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均
匀分布. 求(1)(,)X Y 关于X 的边缘概率密度;(2)Z X Y =+的分布函数与概率密 (1)(,)X Y 的概率密度为 2,(,)(,)0,
.
x y D
f x y ∈?=?
?其它
22,01
()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞
-≤≤?==?
??
其它
(2)利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞
=
-?
其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-?-=?
?其它
2,01, 1.0,x x z ≤≤≤≤?=??其它.
当 0z <或1z >时()0Z f z =
01z ≤≤时 00
()222z z
Z f z dx x z ===?
故Z 的概率密度为
2,01,
()0,Z z z f z ?≤≤?=???其它.
Z 的分布函数为
200,00,0,
()()2,01,01,1, 1.
1,
1z z
Z Z z z f z f y dy ydy z z z z z -∞
???=
=≤≤=≤≤????>?>???
?
或利用分布函数法
1
0,
0,()()()2,01,1, 1.Z D z F z P Z z P X Y z d x d
y z z ?
?
=≤=+≤=≤≤???>?
?? 2
0,
0,,01,1, 1.
z z z z ?=≤≤??>?
2,
01,()()0,
Z Z z z f z F z ≤≤?'==?
?其它.
六、(10分)向一目标射击,目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相
互独立,且均服从2
(0,2)N 分布. 求(1)命中环形区域2
2
{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率;(2)命中点到目标中心距离Z =
.
1){,)}(,)D
P X Y D f x y dxdy ∈=
??
22
2228
8
1
1
1248x y r D
e dxdy e
rdrd πθππ
+-
-
=
=
?????
222
112
28
8
8
2
1
1()8
r r r
e
d e
e e ---
-
=-
-=-=-?
;
(2
)228
18x y EZ E e
dxdy π
+-
+∞-∞-∞
==
??
22
228
80
1
184r r re
rdrd e r dr πθπ
-
-
+∞+∞=
=??
?
222
8
8
8
r r r re
e
dr dr +∞
---+∞+∞-∞
=-+=
=?
?
. 七、(11分)设某机器生产的零件长度(单位:cm )2~(,)X N μσ,今抽取容量为16的
样本,测得样本均值10x =,样本方差20.16s =. (1)求μ的置信度为0.95的置信区间;(2)检验假设20:0.1H σ≤(显著性水平为0.05). (附注)0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t ===
222
0.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ===
解:(1)μ的置信度为1α-下的置信区间为
/2/2(((X t n X t n αα--+- 0.02510,0.4,16,
0.05,(15) 2.132X s n t α=====
所以μ的置信度为0.95的置信区间为(9.7868,10.2132)
(2)20:0.1H σ≤的拒绝域为22
(1)n αχχ≥-.
22
1515 1.6240.1
S χ==?=,2
0.05(15)24.996χ= 因为 22
0.052424.996(15)χχ=<=,所以接受0H .
《概率论与数理统计》期末试题(3)与解答
一、填空题(每小题3分,共15分)
(1) 设事件A 与B 相互独立,事件B 与C 互不相容,事件A 与C 互不相容,且
()()0.5P A P B ==,()0.2P C =,则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的
概率为___________.
(2) 甲盒中有2个白球和3个黑球,乙盒中有3个白球和2个黑球,今从每个盒中各取2
个球,发现它们是同一颜色的,则这颜色是黑色的概率为___________. (3) 设随机变量X 的概率密度为2,01,
()0,x x f x <=?
?其它,
现对X 进行四次独立重复观
察,用Y 表示观察值不大于0.5的次数,则2
EY =___________. (4) 设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为
(,)(1,0)(1,1)(2,0)
(2,1)
0.40.2X Y P a
b
若0.8EXY =,则Cov(,)X Y =____________.
(5) 设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本,2
S 是样本方差,若2()0.01P S a >=,则
a =____________.
(注:20.01(17)33.4χ=, 20.005(17)35.7χ=, 20.01(16)32.0χ=, 2
0.005(16)34.2χ=)
解:(1)()()()P ABC ABC P ABC P ABC +=+
因为 A 与C 不相容,B 与C 不相容,所以,A C B C ??,故ABC C = 同理 A B C A B
=. ()()()0.20.50.50.45
P A B C A B C P C
P A B +
=+=+?=. (2)设A =‘四个球是同一颜色的’,
1B =‘四个球都是白球’,2B =‘四个球都是黑球’ 则 12A B B =+. 所求概率为 22212()()
(|)()()()
P AB P B P B A P A P B P B =
=
+ 2222
3322122222555533
(),()100100
C C C C P B P B C C C C =?==?=
所以 21
(|)2
P B A =.
(3)~(4,),Y B p
其中 10.5220
1
(0.5)24
p P
X x d x x =≤===?
,
113341,444
44
E Y D Y =?
==??=, 22
15()144
EY DY EY =+=+=.
(4)(,)X Y 的分布为
这是因为 0.4a b +=,由0.8EXY = 得 0.220.8b += 0.1,0.3
a b ∴==
0.620.4 1.4EX =+?=,0.5EY =
故 c o v (,)0.8
0.7X
Y E X Y E X E Y =-=-=.
(5)2
2
16(){4}0.014
S P S a P a >=>= 即 2
0.01(16)4a χ=
,亦即 432a = 8a ∴=.
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
(1)设A 、B 、C 为三个事件,()0P AB >且(|)1P C AB =,则有 (A )()()() 1.P C P A P B ≤+- (B )()().P C P A B ≤
(C )()()() 1.P C P A P B ≥+- (D )()().P C P A B ≥ ( ) (2)设随机变量X 的概率密度为
2
(2)4
(),
x f x x +-
=
-∞<<∞
且~(0,1)Y aX b N =+,则在下列各组数中应取
(A )1/2, 1.a b == (B )2,a b =
(C )1/2,1a b ==-. (D )2,a b == ( ) (3)设随机变量X 与Y 相互独立,其概率分布分别为 01
0.40.6
X P
01
0.40.6
Y P
则有
(A )()0.P X Y == (B )()0.5.P X Y ==
(C )()0.52.P X Y == (D )() 1.P X Y == ( ) (4)对任意随机变量X ,若EX 存在,则[()]E E EX 等于
(A )0. (B ).X (C ).EX (D )3
().EX ( ) (5)设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本,x 表示样本均值,则μ的 置信度为1α-的置信区间为
(A )
/2
/2(x u x u αα-+ (B )
1/2
/2(x u x u αα--+
(C
)(x u x u α
α-+ (D
)/2/2(x u x u αα-+ ( )
解 (1)由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =,故()()P C P AB ≥
()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+- 应选C. (2
)22
(2)4
()x f x +-
=
=
即
~(
2)X N - 故当
a b ===时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.
(3)()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=?+?= 应选C.
(4)[()]E E EX EX = 应选C.
(5)因为方差已知,所以μ的置信区间为
/(,
)X u X u αα-+
应选D.
三、(8分)装有10件某产品(其中一等品5件,二等品3件,三等品2件)的
箱子中丢失一件产品,但不知是几等品,今从箱中任取2件产品,结果都 是一等品,求丢失的也是一等品的概率。 解:设A =‘从箱中任取2件都是一等品’ i B =‘丢失i 等号’ 1,2,3i =. 则 11223
3()()(|)
()(|)()(
|)P A P B P A B P B P A B P B P A B =++
2225542229991312
21059
C C C C C C =?+?+?=;
所求概率为111()(|)3
(|)()8
P B P A B P B A P A ==.
四、(10分)设随机变量X 的概率密度为
1,02,
()0,
.ax x f x +≤≤?=?
?其它 求(1)常数a ; (2)X 的分布函数()F x ; (3)(13).P X <<
解:(1)2
22
001()(1)()222
a f x dx ax dx x x a +∞-∞
==+=+=+?
?
∴ 1
2
a =-
(2)X 的分布函数为
00,0,()()(1)
,02,
21, 2.
x x
x u F x f u du du x x -∞??
==-≤≤??
>???? 20,
0,,02,41,
2.x x x x x ?
?
=-≤≤??
>?? (3)32
1
11(13)()(1)24
x P x f x dx dx <<=
=-=?
?.
五、(12分)设(,)X Y 的概率密度为
0,
,(,).0,
x y x e f x y -<=?
?其它 求(1)边缘概率密度(),()X Y f x f y ; (2)(1)P X Y +<; (3)Z X Y =+的概率密度()Z f z .
00
,0,0.x x x e dy x +∞
-≤??
=?>??
?0,0,,0.
x x xe x -≤?=?>?
0,0(,),0.
x y
y f x y dx e dx y +∞+∞--∞≤??
==?>????
0,0,,0.
y
y e y -≤?=?>?
(2)1
120
1
(1)(,)y x y
x y P X Y f x y dxdy e dx dy --+?+<=
=????
????
1
11
12
20
()12y y e e e dy e
e -
---=-?=-+?
.
(3)()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞
=
-?
,0,2,
(,)0,.
x e x x z x f x z x -?><≤?-=???其它
z≤时()0
Z
f z=
z>时2
2
()
z
z x z
z
Z
f z e dx e e
-
--
==-
?
2
0,0,
()
,0.
z
Z
z
z
f z
e e z
-
-
≤
??
=?
?->
?
六、(10分)(1)设~[0,1]
X U,~[0,1]
Y U且X与Y独立,求||
E X Y
-;
(2)设~(0,1),~(0,1)
X N Y N且X与Y独立,求||
E X Y
-.
|(,)||
Y f x y x y dxdy
+∞+∞
-∞-∞
=-
??
111
000
()()
x
x
x y dxdy y x dxdy
=-+-
????
1
3
=;
(2)因,X Y相互独立,所以~(0,2)
Z X Y N
=-
~(0,1)
N
=
=||
E X Y
-=
七、(10分)设总体的概率密度为
101,
,
(;)
.
0,
x
x
f x
θ
θ
θ
-<<
?
=?
?其它
(0)
θ>
试用来自总体的样本
12
,,,
n
x x x
,求未知参数θ的矩估计和极大似然估计.
解:先求矩估计
1
101
EX x dx
θ
θ
μθ
θ
===
+
?
1
1
1
μ
θ
μ
∴=
-
故θ的矩估计为
1
X
X
θ=
-
再求极大似然估计
11
11
1
(,,;)()
n
n
n i n
i
L x x x x x
θθ
θθθ
--
=
==
∏
1
ln ln(1)ln
n
i
i
L n x
θθ
=
=+-∑
1
ln
ln0
n
i
i
d L n
x
dθθ=
=+∑
所以θ的极大似然估计为
1
11ln n
i i x n θ
==-∑.
《概率论与数理统计》期末试题(4)与解答
一、填空题(每小题3分,共15分)
(1) 设()0.5P A =,()0.6P B =,(|)0.8P B A =,则,A B 至少发生一个的概率为_________.
(2) 设X 服从泊松分布,若26EX =,则(1)P X >=___________.
(3) 设随机变量X 的概率密度函数为1
(1),02,
()40
,x x f x ?+<=???其他. 今对X 进行8次
独立观测,以Y 表示观测值大于1的观测次数,则DY =___________.
(4) 元件的寿命服从参数为
1
100
的指数分布,由5个这种元件串联而组成的系统,能够正常工作100小时以上的概率为_____________.
(5) 设测量零件的长度产生的误差X 服从正态分布2(,)N μσ,今随机地测量16个零
件,得
16
1
8i
i X
==∑,16
21
34i i X ==∑. 在置信度0.95下,μ的置信区间为___________.
0.050.025((15) 1.7531,(15)
2.1315)t t == 解:(1)()()()
0.8(|)1()0.5
P BA P B P AB P B A P A -===
- 得 ()0.2P AB = ()()()() 1.10.20.9P A B P A P B P AB =+-=-= .
(2)222
~(),6()X P EX DX EX λλλ==+=+ 故 2λ=. (1)1(1)1(0)(1)P X P X P X P X >=-≤=-=-=
2
2
21213e e
e ---=--=-.
(3)~(8,)Y B p ,其中21
15
(1)(1)48
p P X x dx =>=+=?
5315
8888
DY =??
=. (4)设第i 件元件的寿命为i X ,则1
~(),1,2,3,4,5100
i X E i =. 系统的寿命为Y ,所
求概率为
125(100)(100,100,,100)P Y P X X X >=>>> 5155
1[(100)][11].P X e e --=>=-+= (5)μ的置信度1α-下的置信区间为
/2/2(((X t n X t n αα--+- 162
22
1
10.5,[16]2, 1.4142,1615i i X S X X S n ===-===∑
0.025(15) 2.1315.t =
所以μ的置信区间为(0.2535,1.2535-).
二、单项选择题(下列各题中每题只有一个答案是对的,请将其代号填入( ) 中,每小题3分,共15分)
(1),,A B C 是任意事件,在下列各式中,不成立的是 (A )()A B B A B -= .
(B )()A B A B -= .
(C )()A B AB AB AB -= .
(D )()()()A B C A C B C =-- . ( )
(2)设12,X X 是随机变量,其分布函数分别为12(),()F x F x ,为使
12()()()F x aF x bF x =+是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值
中应取
(A )32,55a b =
=-. (B )22
,33a b ==. (C )13,22a b =-=. (D )13
,22
a b ==. ( )
(3)设随机变量X 的分布函数为()X F x ,则35Y X =-的分布函数为()Y F y =
(A )(53)X F y -. (B )5()3X F y -.
(C )3(
)5X y F +. (D )31()5
X y
F --. ( ) (4)设随机变量12,X X 的概率分布为
101
111424
i X P
- 1,2
i =. 且满足12(0)1P X X ==,则12,X X 的相关系数为1
2
X X ρ=
(A )0. (B )
14. (C )1
2
. (D )1-. ( ) (5)设随机变量1
~[0,6],~(12,)4
X U Y B 且
,X Y 相互独立,根据切比 雪夫不等式有(33)P X Y X -<<+
(A )0.25≤. (B )512≤. (C )0.75≥. (D )5
12
≥. ( )
解:(1)(A ):成立,(B ):()A B A B A B -=-≠ 应选(B )
(2)()1F a b +∞==+. 应选(C ) (3)()()(35)((3)/5)Y F y P Y y P X y P X y =≤=-≤=>- 331(
)1()55
X y y
P X F --=-≥=- 应选(D ) (4)12(,)X X 的分布为
12120,0,0EX EX EX X ===,所以12cov(,)0X X =, 于是 1
2
0X
X ρ=. 应选(A )
(5)(33)(||3)P X Y X P Y X -<<+=-<
()0E Y X EY EX -=-= 921
()3
44
D Y X DY DX -=+=+= 由切比雪夫不等式
21
5
4(||3)1912
P Y X -<≥-= 应选(D )
三、(8分)在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为λ的泊松分布,而进入
超市的每一个人购买A 种商品的概率为p ,若顾客购买商品是相互独立的, 求一天中恰有k 个顾客购买A 种商品的概率。
解:设B =‘一天中恰有k 个顾客购买A 种商品’ 0,1,k = n C =‘一天中有n 个顾客进入超市’ ,1,n k k =+
则 ()()()(|n
n n n k
n
k
P B P C B P C P B C
∞
∞
====∑
∑ (1)!n
k
k n k n
n k
e C
p p n λλ∞-
-==
-∑
()(1)!()!k n k
n k n k p e p k n k λλλ-∞--==--∑
()!
k p
p e k λλ-= 0,1,k = .
四、(10分)设考生的外语成绩(百分制)X 服从正态分布,平均成绩(即参
数μ之值)为72分,96以上的人占考生总数的2.3%,今任取100个考生 的成绩,以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数,求(1)Y 的分布列. (2)
EY 和DY .
((2)
0.977,(1)0.8
Φ=Φ= 解:(1)~(100,)Y B p ,其中8472
(6084)(
)p P X σ
-=<≤=Φ
6072
12
(
)2()1σ
σ
--Φ=Φ-
由 967224
0.023(96)1()1(
)
P X σσ
-=
>=-Φ=-Φ 得 24
(
)0.977σ
Φ=,即
24
2σ
=,故
12
1σ
=
所以 2(1)10.6826p =Φ-=.
故Y 的分布列为100100()(0.6826)(0.3174)k
k k P Y k C -==
(2)1000.682668.26EY =?=,68.260.317421.6657DY =?=.
五、(10分)设(,)X Y 在由直线21,,0x x e y ===及曲线1
y x
=
所围成的区域 上服从均匀分布,
(1)求边缘密度()X f x 和()Y f y ,并说明X 与Y 是否独立. (2)求(2)P X Y +≥. 解:区域D 的面积 22
11
1ln 2e e D S dx x x
=
==?
(,)X Y 的概率密度为
1
,(,),
(,)20,x y D f x y ?∈?=???其它.
(1)1201
,
1,()(,)2
0,.x X dy x e f x f x y dy +∞-∞
?≤≤?=
=???
??
其它
21
,1,20,
.
x e x
?≤≤?
=???其它
2211
211,1,21,
1,()(,)20,e y Y dx y e dx e y f y f x y dx -+∞--∞
?≤≤???
<≤=
=???
??
???
其它
2
221(1),1211,
1220,
e y e e y y --?-≤≤??
?-<≤=?
???
?其它
(2)因(,)()()X Y f x y f x f y ≠?,所以,X Y 不独立. (3)2
(2)1(2)1(,)x y P X Y P X Y f x y dxdy +<+≥=-+<=-
??
1113
110.752244
=-
?=-==.
六、(8分)二维随机变量(,)X Y 在以(1,0),(0,1),(1,0)-为顶点的三角形区 域上服从均匀分布,求Z X Y =+的概率密度。
1,(,),
(,)0,.
x y D f x y ∈?=?
?其它
设Z 的概率密度为()Z f z ,则 ()(,)Z f z f z y y dy +∞-∞
=-?
1,01,211(,)
0,y y z f z y y ?≤≤-<
-=???其它
当 1z <-或1z >时()0Z f z = 当 11z -<≤时1
20
1()2
z Z z f z dy ++==?
所以Z 的密度为
1
,||1,()20,.
Z z z f z +?
=???其它
解2:分布函数法,设Z 的分布函数为()Z F z ,则
()()()(,)Z x y z
F z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=
??
12
0,1,0,1(1),11,11,41, 1.1,1D z z z dxdy z z z z ?≤-?≤-??+??=-<<=-<???
≥???≥?
??
故Z 的密度为
1
,||1,()()2
0,
.
Z Z z z f z F z +?
'==???其它
七、(9分)已知分子运动的速度X 具有概率密度
2
2(),0,0,()0,0.x x f x x αα-?>>=≤?
12,,,n x x x 为X 的简单随
机样本
(1)求未知参数α的矩估计和极大似然估计; (2)验证所求得的矩估计是否为α的无偏估计。
解:(1)先求矩估计
2
3
()10
x
EX dx α
μ-+∞==?
2
2
2
()()0
x
x xe
dx α
α
+∞--+∞=
?
=
X α
∴=
再求极大似然估计
2
2
(
)11
(,,;)i
x n
n i L X X α
α-==
32
2
14()n n
n
n x x απ--= 2
2
1
1
n
i i x e
α=-
∑?
2
22
12
1
1
ln 3ln ln(4)ln()n
n
n
n i
i L n x x x
απ
α
-==-++-
∑
2
31
l n 320n i i L n x d αααα==-+∑
得α的极大似然估计
α
=
(2)对矩估计
E EX α
α==
= 所以矩估计
2
X α=
是α的无偏估计.
八、(5分)一工人负责n 台同样机床的维修,这n 台机床自左到右排在一条直
线上,相邻两台机床的距离为a (米)。假设每台机床发生故障的概率均为
1
n
,且相互独立,若Z 表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走 的路程,求EZ .
解:设从左到右的顺序将机床编号为1,2,,n
X 为已经修完的机器编号,Y 表示将要去修的机床号码,则 11
(),(),,1,2,,P X i P Y j i j n n n
==
=== 2
1
(,)()()P X i Y j P X i P Y j n ====== ||Z i j a =- 于是 11
||(,)n n
i j EZ i j aP X i Y j ===
-==∑∑
211
1||n n i j i j a n
===
-?
∑∑ 2111()()n i
n i j j i a i j j i n ===+??=-+-????
∑∑∑
2(1)
.3n a n
-=
2011 ~2012 学年第一学期《概率论与数理统计》考试试题A卷班级(学生填写): 姓名: 学号: 命题: 审题: 审批: --------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 ----------------------- ---- 线 -------------------------------------------- ----- (答题不能超出密封线) 使用班级(老师填写):数学09-1,3班可以普通计算器 题号一二三四五六七八九总分得分 阅卷 人 一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填 在括号中) (本大题共 11 小题,每小题2分,总计 22 分) 1、设A,B为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是(C ). A.P) B.,其中P(B)>0 C. D. 2、为一列随机事件,且,则下列叙述中错误的是(D ). A.若诸两两互斥,则 B.若诸相互独立,则 C.若诸相互独立,则 D. 3、设有个人,,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均 等的,则此个人中至少有某两个人生日相同的概率为( A ). A. B. C. D. 4、设随机变量X服从参数为的泊松分布,且则的值为( B ). A. B. C. D.. 解:由于X服从参数为的泊松分布,故.又故,因此 5、设随机变量X的概率密度函数为的密度函数为(B ). A. B. C. D. 解:这里,处处可导且恒有,其反函数为,直接套用教材64页的公式(5.2),得出Y的密度函数为 6、若,且X,Y相互独立,则( C ). A. B.
全国2012年4月自学考试概率论与数理统计(二)试题 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 设A ,B 为随机事件,且A ?B ,则AB 等于( ) A. A B B. B C. A D. A 2. 设A ,B 为随机事件,则P (A-B )=( ) A. P (A )-P (B ) B. P (A )-P (AB ) C. P (A )-P (B )+ P (AB ) D. P (A )+P (B )- P (AB ) 3. 设随机变量X 的概率密度为f (x )= ?? ???<<其他,,,0, 6331 x 则P {3
一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.3 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故
1 全国2018年7月高等教育自学考试 概率论与数理统计(二)试题 课程代码:02197 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设事件A 与B 互不相容,且P(A)>0,P(B)>0,则有( ) A.P(A ?B)=P(A)+P(B) B.P(AB)=P(A)P(B) C.A=B D.P(A|B)=P(A) 2.某人独立射击三次,其命中率为0.8,则三次中至多击中一次的概率为( ) A.0.002 B.0.008 C.0.08 D.0.104 3.设事件{X=K}表示在n 次独立重复试验中恰好成功K 次,则称随机变量X 服从( ) A.两点分布 B.二项分布 C.泊松分布 D.均匀分布 4.设随机变量X 的概率密度为f(x)=???<<-其它,02 x 1),x 2x 4(K 2 则K=( ) A.165 B.21 C.43 D.54 5. 则F(1,1) =( ) A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.7 6.设随机向量(X ,Y )的联合概率密度为f(x,y)=????? <<<<--; ,0,4y 2,2x 0),y x 6(81 其它 则P (X<1,Y<3)=( )
2 A.8 3 B.8 4 C.8 5 D.87 7.设随机变量X 与Y 相互独立,且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则E (XY )=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.设X 1, X 2, …,X n ,…为独立同分布的随机变量序列,且都服从参数为 21的指数分布,则当n 充分大时,随机变量Y n =∑=n 1i i X n 1的概率分布近似服从( ) A.N (2,4) B.N (2,n 4) C.N (n 41,21) D.N (2n,4n ) 9.设X 1,X 2,…,X n (n ≥2)为来自正态总体N (0,1)的简单随机样本,X 为样本均值,S 2为样本方差,则有( ) A.)1,0(N ~X n B.nS 2~χ2(n) C.)1n (t ~S X )1n (-- D.)1n ,1(F ~X X )1n (n 2i 2i 21 --∑= 10.若θ)为未知参数θ的估计量,且满足E (θ))=θ,则称θ)是θ的( ) A.无偏估计量 B.有偏估计量 C.渐近无偏估计量 D.一致估计量 二、填空题(本大题共15小题,每小题2分,共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.设P (A )=0.4,P (B )=0.5,若A 、B 互不相容,则P (AB )=___________. 12.某厂产品的次品率为5%,而正品中有80%为一等品,如果从该厂的产品中任取一件来检验,则检验结果是一等品的概率为___________. 13.设随机变量X~B (n,p ),则P (X=0)=___________.
2019年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 概率论与数理统计(经管类)04183 一、单项选择题:本大题共10小题,每小题2分,共20分。 1.设()0.6P B =,()0.5P A B =,则()P A B -= A. 0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 2.设事件A 与B 相互独立,且()0.6P A =,()0.8P A B =,则()P B = A. 0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.6 3.甲袋中有3个红球1个白球,乙袋中有1个红球2个白球,从两袋中分别取出一个球,则两个球颜色相同的概率的概率是 A. 16 B. 14 C. 13 D. 512 4.设随机变量X 则P{X>0}= A. 14 B. 12 C. 34 D. 1 5.设随机变量X 的概率为,02()0,cx x f x ≤≤?=?? 其他,则P{X ≤1}= A. 14 B. 12 C. 23 D. 34 6.已知随机变量X~N(-2,2),则下列随机变量中,服从N(0,1)分布的是 A. 1(2) 2X - B. 1(2)2X + C. 2)X - D. 2)X + A. 0.1 B.0.4 C.0.5 D.0.7 8.设随机变量X 与Y 相互独立,且D(X)=4,D(Y)=2,则D(3X-2Y)= A. 8 B.16 C.28 D.44 9.设123,,x x x 是来自总体X 的样本,若E(X)=μ(未知),123132 x ax ax μ=-+是μ的无偏估计,则常数a= A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
10.设12,,,(1)n x x x n >为来自正态总体2(,)N μσ的样本,其中2,μσ均未知,x 和2s 分别是样本均值和样本方差,对于检验假设0000=H H μμμμ≠:,:,则显著性水平为α的检验拒绝域为 A. 02(1)x n αμ??->-???? B. 02x αμ??->??? ? C. 02(1)x n αμ??-≤-???? D. 02x αμ??-≤??? ? 二、填空题:本大题共15小题,每小题2分,共30分。 11.设A,B,C 是随机事件,则“A,B,C 至少有一个发生”可以表示为 . 12.设P(A)=0.3,P(B)=0.6,P(A|B)=0.4,则P(B|A)= . 13.袋中有3个黄球和2个白球,今有2人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第2个人取得黄球的概率为 . 14.已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且P{X=1}=P{X=2},则λ= . 15.设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则P{X ≥1}= . P{X=Y}= . 17.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,01,02,(,)0,, c x y f x y ≤≤≤≤?=??其他 则常数c= . 18.设随机变量X 服从区间[1,3]上的均匀分布,Y 服从参数为2的指数分布,X,Y 相互独立,f(x,y)是(X,Y)的概率密度,则f(2,1)= . 19.设随机变量X,Y 相互独立,且X~B(12,0.5),Y 服从参数为2的泊松分布,则E(XY)= . 20.设X~B(100,0.2), 204 X Y -=,由中心极限定理知Y 近似服从的分布是 . 21.已知总体X 的方差D(X)=6, 123,,x x x 为来自总体X 的样本,x 是样本均值,则D(x )= . 22.设总体X 服从参数是λ的指数分布,12,, ,n x x x 为来自总体X 的样本,x 为样本 均值,则E(x )= . 23.设1216,, ,x x x 为来自正态总体N(0,1)的样本,则2221216x x x +++服从的分布是 .
2009年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 概率论与数理统计(经管类)试题 课程代码:04183 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A ,B 为两个互不相容事件,则下列各式错误..的是( ) A .P(AB)=0 B .P(A ∪B)=P(A)+P(B) C .P(AB)=P(A)P(B) D .P(B-A)=P(B) 2.设事件A ,B 相互独立,且P(A)=31 ,P(B)>0,则P(A|B)=( ) A .151 B . 5 1 C . 15 4 D .3 1 3.设随机变量X 在[-1,2]上服从均匀分布,则随机变量X 的概率密度f (x )为( ) A .?? ???≤≤-=.,0; 21,3 1 )(其他x x f B .? ??≤≤-=.,0; 21,3)(其他x x f C .? ??≤≤-=.,0; 21,1)(其他x x f D . ?? ???≤≤--=.,0; 21,31 )(其他x x f 4.设随机变量X ~ B ?? ? ??31,3,则P{X ≥1}=( ) A .271 B .27 8 C . 27 19 D . 27 26 5 则P{XY=2}=( ) A .5 1 B . 10 3
C . 2 1 D . 5 3 6.设二维随机变量(X ,Y)的概率密度为 ? ??≤≤≤≤=,,0; 10,10,4),(其他y x xy y x f 则当0≤y ≤1时,(X ,Y)关于Y 的边缘概率密度为f Y ( y )= ( ) A .x 21 B .2x C .y 21 D .2y 7.设二维随机变量(X 则E(XY)=( ) A .91- B .0 C . 91 D .3 1 8.设总体X ~ N(2,σμ),其中μ未知,x 1,x 2,x 3,x 4为来自总体X 的一个样本,则以下关 于μ的四个估计:)(41?43211x x x x +++=μ,321251 5151?x x x ++=μ ,2136 261?x x +=μ,147 1 ?x =μ中,哪一个是无偏估计?( ) A .1?μ B .2?μ C .3?μ D .4?μ 9.设x 1, x 2, …, x 100为来自总体X ~ N(0,42)的一个样本,以x 表示样本均值,则x ~( ) A .N(0,16) B .N(0,0.16) C .N(0,0.04) D .N(0,1.6) 10.要检验变量y 和x 之间的线性关系是否显著,即考察由一组观测数据(x i ,y i ),i =1,2,…,n , 得到的回归方程x y 1 0???ββ+=是否有实际意义,需要检验假设( ) A .0∶,00100≠=ββH H ∶ B .0∶,0∶1110≠=ββH H
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一.填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -,则 =≤)2(X P ;=>)3(X P ;=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ,则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4.设A ,B 为两个随机事件,且A 与B 相互独立,P (A )=,P (B )=,则()P AB =____________.() 5.设事件A 、B 互不相容,已知()0.4=P A ,()0.5=P B ,则()=P AB 6. 盒中有4个棋子,其中2个白子,2个黑子,今有1人随机地从盒中取出2个棋子,则这2个棋子颜色相同的概率为____________.( 13 ) 7.设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布,则()E X =____________.( 12 ) 8.设随机变量X 服从参数为3的泊松分布,则概率密度函数为 __. (k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L )) 9.某种电器使用寿命X (单位:小时)服从参数为1 40000 λ=的指数分布,则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.(40000) 10在3男生2女生中任取3人,用X 表示取到女生人数,则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ,则=a π1 ;=>)0(X P ;==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ,则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它
概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中,( )中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布. (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中,( )中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布. (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是( ). (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数,则等式( )成 立. (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数,则对任意b a <,有 X a P <(≤=)b ( ). (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是( ).
创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ; 4、已知随机变量X 的密度函数为:, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? =≤?≥? , 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率 {0.51}P X -<<= ; 5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与 Y 相互独立,则 D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ; 7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本,则当k = 时, ~(3)Y t = ;
8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数,12,,,n X X X 为其样本, 1 1n i i X X n ==∑为样本均值,则θ的矩估计量为: 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ,计算得样本观察值10x =, 求参数a 的置信度为95%的置信区间: ; 二、 计算题(35分) 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为: 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求:1){|21|2}P X -<;2)2 Y X =的密度函数()Y y ?;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<=? ?其他 1) 求边缘密度函数(),()X Y x y ??; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关? 3) 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ?; 3、(11分)设总体X 的概率密度函数为: 1, 0(),000 x e x x x θ?θθ -?≥?=>?? X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。 1)求参数θ的极大似然估计量?θ ; 2)验证估计量?θ 是否是参数θ的无偏估计量。 2.(10分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5‰,假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样,测定该有害物质含量,得如下数据: 0.530‰,0.542‰,0.510‰,0.495‰,0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)?
07.4 10.设总体X 服从正态分布N (μ,1),x 1,x 2,…,x n 为来自该总体的样本,x 为样本均值,s 为样本标准差,欲检验假设H 0∶μ=μ0,H 1∶μ≠μ0,则检验用的统计量是( ) A.n /s x 0μ- B.)(0μ-x n C. 1 0-μ-n /s x D.)(10μ--x n 23.设样本x 1,x 2,…,x n 来自正态总体N (μ,9),假设检验问题为H 0∶μ=0,H 1∶μ≠0,则在显著性水平α下,检验的拒绝域W=___________。 24.设0.05是假设检验中犯第一类错误的概率,H 0为原假设,则P {拒绝H 0|H 0真}= ___________。 07.7 25.设总体X~N (μ,σ2),X 1,X 2,…,X n 为来自该总体的一个样本.对假设检验问题 2 212020::σσσσ≠?=H H ,在μ未知的情况下,应该选用的检验统计量为___________. 9.在假设检验问题中,犯第一类错误的概率α的意义是( ) A .在H 0不成立的条件下,经检验H 0被拒绝的概率 B .在H 0不成立的条件下,经检验H 0被接受的概率 C .在H 0成立的条件下,经检验H 0被拒绝的概率 D .在H 0成立的条件下,经检验H 0被接受的概率 24.设总体X~N (μ,σ2 ),x 1,x 2,x 3,x 4为来自总体X 的体本,且2 4 1 2 4 1 )(,4 1 σ∑∑==-= i i i i x x x x 则 服 从自由度为____________的2χ分布. 27.假设某校考生数学成绩服从正态分布,随机抽取25位考生的数学成绩,算得平均成绩 61=x 分,标准差s=15分.若在显著性水平0.05下是否可以认为全体考生的数学平均成 绩为70分?(附:t 0.025(24)=2.0639) 08.1 23.当随机变量F~F(m,n )时,对给定的.)),((),10(ααα=>< 一、《概率论与数理统计(经管类)》考试题型分析: 题型大致包括以下五种题型,各题型及所占分值如下: 由各题型分值分布我们可以看出,单项选择题、填空题占试卷的50%,考查的是基本的知识点,难度不大,考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查,要求考生不仅要牢记重要的公式,而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查,要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习,就会很容易的掌握解题思路。总之,只要抓住考查的重点,记住解题的方法步骤,勤加练习,就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计(经管类)》考试重点说明:我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级,即一级重点、二级重点、三级重点,其中,一级重点为必考点,本次考试考查频率高;二级重点为次重点,考查频率较高;三级重点为预测考点,考查频率一般,但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1.随机事件的关系与计算 P3-5 (一级重点)填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2.古典概型中概率的计算 P9 (二级重点)选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 (一级重点)选择、填空 ,(考得多)等,要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 (一级重点)选择、填空记住条件概率的定义和公式: 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 (二级重点)计算记住全概率公式和贝叶斯公式,并能够运用它们。一般说来,如果若干因素(也就是事件)对某个事件的发生产生了影响,求这个事件发生的概率时要用到全概率公式;如果这个事件发生了,要去追究原因,即求另一个事件发生的概率时,要用到贝叶斯公式,这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性(概念与性质) P18-20(一级重点)选择、填空定义:若,则称A与B 相互独立。结论:若A与B相互独立,则A与,与B 与都相互独立。 7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21(一级重点)选择、填空在重贝努利试验中,设每次试验中事件的概率为(),则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8.离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29,P31(一级重点)选择、填空、计算、综合。记住分布律中,所有概率加起来为1,求概率时,先找到符合条件的随机点,让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值,和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33(一级重点)选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主,记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37(一级重点)选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数,记住利用分布函数计算概率的公式:①;②其中;③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39(一级重点)选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算,如①;;反之,满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③;④ 设为的 概率论与数理统计 答案 一.1.(D )、2.(D )、3.(A )、4.(C )、5.(C ) 二.1.0.85、2. n =5、3. 2 ()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4 三.把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分 (1)A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P (A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5 分 (2) 5个盒子中选一个放两个球,再选两个各放一球有 302415=C C 种方法----------------------------------------------------7 分 4个球中取2个放在一个盒子里,其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此,B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故 125 72625360)(== B P --------------------------------------------------10分 四.解:(1) ?? ∞∞-==+=3 04ln 1,4ln 1)(A A dx x A dx x f ---------------------3分 (2)? ==+=<10 212ln 1)1(A dx x A P ξ-------------------------------6分 (3)3 300()()[ln(1)]1Ax E xf x dx dx A x x x ξ∞-∞= ==-++?? 13(3ln 4)1ln 4ln 4 =-=-------------------------------------10分 五.解:(1)ξ的边缘分布为 ??? ? ??29.032.039.02 1 0--------------------------------2分 η的边缘分布为 ??? ? ??28.034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分 因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ,故ξ与η不相互独立-------5分 (2)ξη?的分布列为 概率论与数理统计(经管类)综合试题一 (课程代码 4183) 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列选项正确的是 ( B ). A. A B A B +=+ B.()A B B A B +-=- C. (A -B )+B =A D. AB AB = 2.设 ()0,()0 P A P B >>,则下列各式中正确的是 ( D ). A.P (A -B )=P (A )-P (B ) B.P (AB )=P (A )P (B ) C. P (A +B )=P (A )+P (B ) D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ) 3.同时抛掷3枚硬币,则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ). A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 4.一套五卷选集随机地放到书架上,则从左到右或从右到左卷号恰为1,2,3,4,5顺序的概率为 ( B ). A. 1120 B. 160 C. 15 D. 12 5.设随机事件A ,B 满足B A ?,则下列选项正确的是 ( A ). A.()()()P A B P A P B -=- B. ()()P A B P B += C.(|)()P B A P B = D.()()P AB P A = 6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x ),则f (x )一定满足 ( C ). A. 0()1f x ≤≤ B. f (x )连续 C. ()1f x dx +∞-∞ =? D. ()1f +∞= 7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2k b P X k k ===,且0b >,则参数b 的 值为 ( D ). A. 12 B. 13 C. 1 5 D. 1 《概率论与数理统计》复习资料 第一章 随机事件与概率 1.事件的关系 φφ=Ω-??AB A B A AB B A B A 2.运算规则 (1)BA AB A B B A =?=? (2))()( )()(BC A C AB C B A C B A =??=?? (3)))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ??=??=? (4)B A AB B A B A ?==? 3.概率)(A P 满足的三条公理及性质: (1)1)(0≤≤A P (2)1)(=ΩP (3)对互不相容的事件n A A A ,,,21 ,有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( (n 可以取∞) (4) 0)(=φP (5))(1)(A P A P -= (6))()()(AB P A P B A P -=-,若B A ?,则)()()(A P B P A B P -=-,)()(B P A P ≤ (7))()()()(AB P B P A P B A P -+=? (8))()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? 4.古典概型:基本事件有限且等可能 5.几何概率 6.条件概率 (1) 定义:若0)(>B P ,则) () ()|(B P AB P B A P = (2) 乘法公式:)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组,0)(>i B P ,则有 (3) 全概率公式: ∑==n i i i B A P B P A P 1)|()()( (4) Bayes 公式: ∑== n i i i k k k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 7.事件的独立性: B A ,独立)()()(B P A P AB P =? (注意独立性的应用) 概率论与数理统计试题 与答案 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题(本题满分18分,每题3分) 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ,若9 5 )1(= ≥X p ,则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立,1,2==DY DX ,则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2,则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本,则统计量∑==n 1 i i X Y 服从 分布。 6、设正态总体),(2σμN ,2σ未知,则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。(按下侧分位数) 二、选择题(本题满分15分,每题3分) 1、 若A 与自身独立,则( ) (A)0)(=A P ; (B) 1)(=A P ;(C) 1)(0< 模拟试题A 一.单项选择题(每小题3分,共9分) 1. 打靶 3 发,事件表示“击中i发”,i = 0, 1, 2, 3。那么事件 表示 ( )。 ( A ) 全部击中; ( B ) 至少有一发击中; ( C ) 必然击中; ( D ) 击中 3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为( )。 ( A ) ; ( B ) ; (C) ; (D) 3.设随机变量,服从二项分布B ( n,p ),其中 0 < p < 1 ,n = 1, 2,…,那么,对于任一实数x,有等于 ( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题(每小题3分,共12分) 1.设A , B为两个随机事件,且P(B)>0,则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员,他们是否需用台秤是相互独立的,在1小时每人需用台秤的概率 为,则4人中至多1人需用台秤的概率为: __________________。 4.从1,2,…,10共十个数字中任取一个,然后放回,先后取出5个数字,则所得5个数字全不相同的事件的概率等于 ___________。 三、(10分)已知,求证 四、(10分)5个零件中有一个次品,从中一个个取出进行检查,检查后不放回。直到查到次品时为止,用x表示检查次数,求的分布函数: 五、(11分)设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为 20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为 10% ,瘦者患高血压病的概率为5%, 试求: ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大? 六、(10分)从两家公司购得同一种元件,两公司元件的失效时间分别是随机变量和,其概率密度分别是: 如果与相互独立,写出的联合概率密度,并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A), ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B), ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、(7分)证明:事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、(10分)设和是相互独立的随机变量,其概率密度分别为 又知随机变量, 试求w的分布律及其分布函数。 九、(11分)某厂生产的某种产品,由以往经验知其强力标准差为7.5 kg且强力服从正态分布,改用新原料后,从新产品中抽取25 件作强力试验,算 得,问新产品的强力标准差是否有显著变化? ( 分别取和 0.01,已知, ) 十、(11分)在考查硝酸钠的可溶性程度时,对一系列不同的温度观察它在 100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量,得观察结果如下: . 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~,其中参数μ,2σ为未知,试指出下面统计假设中哪些是简单假设,哪些是复合假设: (1)0:0,1H μσ==; (2)0:0,1H μσ=>; (3)0:3,1H μσ<=; (4)0:03H μ<<; (5)0:0H μ=. 解:(1)是简单假设,其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ,其中参数μ未知,x 是子样均值,如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域:12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ,试决定常数c ,使检验的显着性水平为 解:因为(,9)N ξμ~,故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下, 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==,所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ,20σ已知,对假设检验0010:,:H H μμμμ=>,取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L , (1)求此检验犯第一类错误概率为α时,犯第二类错误的概率β,并讨论它们之间的关系; (2)设0μ=,20σ=,α=,n=9,求μ=时不犯第二类错误的概率。 解:(1)在0H 成立的条件下,2 00(, )n N σξμ~,此时 00000()P c P ξαξ=≥= 10 αμ-= ,由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下,2 0(, )n N σξμ~,此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知,当α增加时,1αμ-减小,从而β减小;反之当α减少时,则β增加。 (2)不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体,对()f x 考虑统计假设: 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一,二类错误的概率满足2min αβ+=,并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他(c 为检验的拒绝域) 概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题(本题满分18分,每题3分) 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ,若9 5)1(=≥X p ,则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立,1,2==DY DX ,则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2,则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本,则统计量∑==n 1 i i X Y 服从 分布。 6、设正态总体),(2σμN ,2σ未知,则μ的置信度为α-1的置信区间的长度=L 。 (按下侧分位数) 二、选择题(本题满分15分,每题3分) 1、 若A 与自身独立,则( ) (A)0)(=A P ; (B) 1)(=A P ;(C) 1)(0<自考概率论与数理统计基础知识.
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