【典型题】高中必修二数学下期末一模试卷(含答案)(1)

【典型题】高中必修二数学下期末一模试卷(含答案)(1)

一、选择题

1．如图，在ABC 中，90BAC ?∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）

A ．5

B ．6

C ．8

D ．10

2．已知集合{

}

2

20A x x x =-->，则

A =R

A ．{}

12x x -<<

B ．{}

12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-?

D ．}{}{

|1|2x x x x ≤-?≥

3．

某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6?

D ．k ＞7?

4．(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

A ．14斛

B ．22斛

C ．36斛

D ．66斛

5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）

174

176

176

176

178

儿子身高y （cm ）

175

175

176

177

177

则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1

B ．y = x+1

C ．y =88+

12

x D ．y = 176

6．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，当0x ≥时，函数()()2

10216()122x

x x f x x ?≤≤??

=????> ????

?，若关于x 的方程[]()2

()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．51,24??

-- ???

B ．11,24??

-

- ??

? C ．1111,,2448??

??

-

--- ? ?????

D ．11,28??

-

- ??

? 7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8．已知()20191

1,0

2log ,0x x f x x x ?+≤?=??>?

，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得

()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)

B ．[-2,0)

C ．(]2,0-

D ．（0,1）

9．记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数

{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．(1,1)(3,4)-

B ．(1,3)

C ．(1,4)-

D ．(,1)

(4,)-∞-+∞

10．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )

A ．

2

π B ． C ． D ．

3

π 11．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）

A ．①③

B ．②③

C ．①④

D ．②④

12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式

()0f x >的解集为（ ）

A ．33,0,22?

???-∞- ?

?????

B ．33,,22????-∞-?+∞ ? ?????

C ．33,22??

- ?

??

D ．33,0,22????-

?+∞ ? ?????

二、填空题

13．奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 时，

()21x f x =-，则()2log 11f =______.

14．已知函数3

2

()21f x x x ax =+-+在区间上恰有一个极值点，则实数a 的取值

范围是____________

15．直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且与直线20x y +=垂直，则直线l 的方程为 ．

16．已知抛物线()2

20y px p =>的准线与圆()2

2316x y -+=相切，则p 的值为

__________．

17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1DD 、DC 上靠近点D 的三等分点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.

18．若函数()6,2

3log ,2a x x f x x x -+≤?=?+>?

（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取

值范围是__________．

19．函数sin

3cos y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到．

20．函数()sin f x x ω=（0>ω）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为

1A ，2A ，3A ，???，n A ，???，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、l A 、p A ，使得

△k l p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为n ω，则

6ω=________. 三、解答题

21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 点为圆心的圆

22:1412600M x y x y +--+=及其上一点(4,2)A .

（1）设圆N 与y 轴相切，与圆M 外切，且圆心在直线6y =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点且BC OA =，求直线l 的方程. 22．将函数()4sin cos 6g x x x π?

?=+

?

?

?的图象向左平移02π???

?<≤ ???

个单位长度后得到()f x 的图象．

（1）若()f x 为偶函数，求()f

?的值；

（2）若()f x 在7,6ππ??

???

上是单调函数，求?的取值范围．

23．如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，

1

2

BC CD AD ==

.

（Ⅰ）求证：CD ⊥PD ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面P AB ；

（Ⅲ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面P AB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由.

24．ABC ?是边长为3的等边三角形，2BE BA λ=,1

(

1)2

BF BC λλ=<<,过点F 作DF BC ⊥交AC 边于点D ，交BA 的延长线于点E ．

（1）当2

3

λ=

时，设,BA a BC b ==，用向量,a b 表示EF ； （2）当λ为何值时，AE FC ?取得最大值，并求出最大值． 25．如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2

AD BC BAD AB BC π

∠=

=1

2

AD a =

=，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ?沿BE 折起到图2中1A BE ?的位置，得到四棱锥1A BCDE -.

（Ⅰ）证明：CD ⊥平面1A OC ；

（Ⅱ）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为362，求a 的值. 26．在ABC 中，5,3,sin 2sin BC AC C A ===. （Ⅰ）求AB 的值； （Ⅱ）求sin 24A π??

-

??

?

的值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】

根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】

①PA ⊥平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴?,,PAD PAC ??都是直

角三角形；

②90,BAC ABC ?∠=∴是直角三角形； ③

,,AD BC ABD ACD ⊥∴??是直角三角形；

④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴??也是直角三角形.

综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．

【点睛】

本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．

2．B

解析：B 【解析】

分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}

|12A x x x =<->或，

所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.

点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.

3．A

解析：A 【解析】

试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行

213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C.

考点：程序框图.

4．B

解析：B 【解析】

试题分析：设圆锥底面半径为r ，则

1

2384r ??=，所以163

r =，所以米堆的体积为21116

3()5433????=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式

5．C

解析：C 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+

1

2

x 成立，故选C 6．B

解析：B 【解析】 【分析】

作出函数()y f x =的图像，设()f x t =，从而可化条件为方程20t at b ++=有两个根，利用数形结合可得114t =，21

04

t <<，根据韦达定理即可求出实数a 的取值范围. 【详解】

由题意，作出函数()y f x =的图像如下，

由图像可得，1

0()(2)4

f x f ≤≤=

关于x 的方程[]()2

()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根， 设()f x t =，

20t at b ∴++=有两个根，不妨设为12,t t ；

且114t =，2104

t << 又

12a t t -=+

11,24a ??∴∈-- ???

故选：B 【点睛】

本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.

7．B

解析：B 【解析】

分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：20,2,0N i T ===，

20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203

N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥；

2054

N

i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =. 本题选择B 选项.

点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．

8．C

解析：C 【解析】 【分析】

画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】

()20191

1,02log ,0x x f x x x ?+≤?=??>?

，画出函数图像，如图所示：

根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .

【点睛】

本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.

9．A

解析：A 【解析】 【分析】

画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可． 【详解】

函数()f x 的图象如图，

直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ， 故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<. 故选A. 【点睛】

本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.

10．A

解析：A 【解析】 【分析】

由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解． 【详解】

设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．

平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角， 在△A 2BM 中，2225

2()22

a A B a BM a a =

=+=，，

222313

(

)2a A M a =+=，

222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ． 故选A ． 【点睛】

本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．

11．C

解析：C 【解析】 【分析】

用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判

断④的正确性. 【详解】

对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .

对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面

ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.

对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以

AB 与平面MNP 相交.

对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .

综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④. 故选：C 【点睛】

本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.

12．A

解析：A 【解析】 【分析】

根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得()f x 的图象，据此分析可得答案. 【详解】

解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以它的图象关于原点对称，且()00f =， 已知当0x >时，()32f x x =-， 作出函数图象如图所示， 从图象知：33022f f ????

=-=

? ?????

， 则不等式()0f x >的解集为33,0,22?

???-∞-? ? ?????

. 故选：A.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想.

二、填空题

13．【解析】【分析】易得函数周期为4则结合函数为奇函数可得再由时即可求解【详解】则又则故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用具体函数值的求法属于中档题 解析：5

11

-

【解析】 【分析】

易得函数周期为4，则()()222

11log 11log 114log 16f f f ??

=-= ???

，结合函数为奇函数可

得222111616log log log 161111f f f ???

???=-=- ? ? ??????

?，再由01x 时，()21x

f x =-即可求

解 【详解】

()()(2)()4(2)4f x f x f x f x f x T +=-?+=-+=?=，

则()()22211log 11log 114log 16f f f ?

?=-= ???

， 又2

22111616log log log 161111f f f ???

??

?=-=- ? ? ???????

，[]2

16log 0,111∈， 则216log 11

2165log 211111f ????-=--=- ? ?????

故答案为：5

11

- 【点睛】

本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用，具体函数值的求法，属于中档题

14．【解析】【分析】【详解】由题意则解得-1＜a ＜7经检验当a=-1时的两个根分别为所以符合题目要求时在区间无实根所以 解析：17a -≤<

【解析】 【分析】 【详解】

由题意，2

()34f x x x a '=+-，则(1)(1)0f f ''-<，解得-1＜a ＜7，经检验当a=-1时，

2()3410f x x x '=++=的两个根分别为121,13

x x ，所以符合题目要求，7a =时，

2()3410f x x x '=++=,在区间

无实根，所以17a -≤<．

15．【解析】试题分析：设与直线垂直的直线方程：圆化为圆心坐标因为直线平分圆圆心在直线上所以解得故所求直线方程为考点：1直线与圆的位置关系；2直线的一般式方程与直线的垂直关系【思路点睛】本题是基础题考查直 解析：2y x =

【解析】

试题分析：设与直线20x y +=垂直的直线方程：20x y b -+=，圆

22240x y x y +--=化为()()2

2

125x y -+-=，圆心坐标()1

2，．因为直线平分圆，圆心在直线20x y b -+=上，所以21120b ?-?+=，解得0b =，故所求直线方程为

2y x =．

考点：1．直线与圆的位置关系；2．直线的一般式方程与直线的垂直关系．

【思路点睛】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，直线与直线垂直的方程的设法，

据此设出与已知直线垂直的直线方程，利用直线平分圆的方程，求出结果即可．

16．2【解析】抛物线的准线为与圆相切则

解析：2 【解析】

抛物线的准线为2p

x =-

，与圆相切，则

342

p +=，2p =． 17．【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得可得出异面直线与所成角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连接在正方体中所以四边形为平行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等 解析：60

【解析】 【分析】

连接1CD ，可得出1//EF CD ，证明出四边形11A BCD 为平行四边形，可得11//A B CD ，可得出异面直线EF 与11A C 所成角为11BA C ∠或其补角，分析11A BC ?的形状，即可得出

11BA C ∠的大小，即可得出答案.

【详解】

连接1CD 、1A B 、1BC ，

11

3

DE DF DD DC ==，1//EF CD ∴， 在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D AD ，//AD BC ，11//A D BC ∴， 所以，四边形11A BCD 为平行四边形，11//A B CD ∴， 所以，异面直线EF 与11A C 所成的角为11BA C ∠. 易知11A BC ?为等边三角形，1160BA C ∴∠=.

故答案为：60. 【点睛】

本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题.

18．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实

数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数 解析：(]1,2

【解析】

试题分析：由于函数()()6,2

{0,13log ,2

a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2

x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥?<<，所以实数a 的取值范围12a <≤. 考点：对数函数的性质及函数的值域.

【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得

log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.

19．【解析】试题分析：因为所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到【考点】三角函数图像的平移变换两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出 解析：3

π

【解析】

试题分析：因为sin 2sin()3

y x x x π

==-

，所以函数sin y x x =的的

图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移

3

π

个单位长度得到． 【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式

【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．

20．【解析】【分析】由可求得的横坐标进而得到的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以为顶点的三角形为等腰直角三角形即可由垂直关系可得平面向量数量积为零进而求得的通项公式代入即可得到结果【详解】由得：…… 解析：

112

π

【解析】 【分析】 由2

x k π

ωπ=+

可求得n A 的横坐标，进而得到n A 的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分

析以1A ，2n A ，41n A -为顶点的三角形为等腰直角三角形即可，由垂直关系可得平面向量数量积为零，进而求得n ω的通项公式，代入6n =即可得到结果. 【详解】

由2

x k π

ωπ=+

，k Z ∈得：()212k x πω

+=

，k Z ∈

1,12A πω??

∴ ???

，23,12A πω??- ???，35,12A πω?? ???，47,12A πω??- ???，…… 若123A A A ?为等腰直角三角形，则2

12232,2,240A A A A πππ

ωωω

?????=-?=-= ? ?????

解得：2

π

ω=

，即12

π

ω=

同理若147A A A ?为等腰直角三角形，则14470A A A A ?= 232π

ω∴= 同理若1611A A A ?为等腰直角三角形，则16611

0A A A A ?= 352

π

ω∴= 以此类推，可得：()212

n n πω-= 6

112

πω

∴=

故答案为：112

π

【点睛】

本题考查正弦型函数图象与性质的综合应用问题，关键是能够根据正弦函数周期性的特点确定所分析成等腰直角三角形的三个顶点的位置，进而由垂直关系得到平面向量数量积为零，构造方程求得结果.

三、解答题

21．（1）22

(1)(6)1x y -+-=（2）2150x y -+=或250x y --=.

【解析】 【分析】

（1）根据由圆心在直线y =6上，可设()0,6N x ，再由圆N 与y 轴相切，与圆M 外切得到圆N 的半径为0x 和0075-=+x x 得解.

（2）由直线l 平行于OA ，求得直线l 的斜率，设出直线l 的方程，求得圆心M 到直线l 的距离，再根据垂径定理确定等量关系，求直线方程. 【详解】

（1）圆M 的标准方程为22(7)(6)25-+-=x y ，所以圆心M （7，6），半径为5,. 由圆N 圆心在直线y =6上，可设()0,6N x 因为圆N 与y 轴相切，与圆M 外切 所以007<

所以圆N 的标准方程为2

2

(1)(6)1x y -+-=. （2）因为直线l 平行于OA ，所以直线l 的斜率为201

402

-=-. 设直线l 的方程为1

2

y x m =

+，即220x y m -+= 则圆心M 到直线l 的距离

=

=d

因为===BC OA 而2

2

2

2??=+ ???

BC MC d 所以2

(25)2555

-=+m

解得152

m = 或52m =-.

故直线l 的方程为2150x y -+=或250x y --=.

【点睛】

本题主要考查了直线方程，圆的方程，直线与直线，直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题. 22．（1）0；（2）,62ππ??????

． 【解析】 【分析】

（1）首先化简()g x 解析式，然后求得左移?个单位后函数()f x 的解析式，根据()f x 的奇偶性求得?的值，进而求得()f

?的值.

（2）根据（1）中求得的()2sin 2216f x x ?π??=++- ??

?

，求得226x π

?++的取值范围，

根据?的取值范围，求得

22π?+的取值范围，根据()f x 在7,

6π

π??

??

?

上是单调函数，以及正弦型函数的单调性列不等式，解不等式求得?的取值范围.

【详解】

（1）

()()1

4sin sin 21cos 22g x x x x x x ?=-=--????

2sin 216x π?

?=+- ??

?，

()2sin 2216f x x π???

∴=++- ???

，

又()f x 为偶函数，则

262k ?ππ+=+π（k Z ∈），02π

?<≤，6

π?∴=．

()06f f π???

∴== ???

．

（2）

7,6x ππ??∈ ???，2222,22662x πππ?π?π???

∴++∈++++ ???

， 02

π

?<≤

，72,666π

ππ???∴

+∈ ???，32,

222

πππ???

+∈ ???

， ()f x 在7,

6π

π??

?

?

?

上是单调函数．262ππ?∴+≥且02π?<≤． ,62ππ???

∴∈????

．

【点睛】

本小题主要考查三角恒等变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间有关问题的求解，考查运算求解能力，属于中档题. 23．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）由题意可得CD ⊥平面P AD ，从而易得CD ⊥PD ； （Ⅱ）要证BD ⊥平面P AB ，关键是证明BD AB ⊥；

（Ⅲ）在棱PD 上存在点M ，使CM ∥平面P AB ，且M 是PD 的中点. 【详解】

（Ⅰ）证明：因为P A ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD ， 所以CD ⊥P A .

因为CD ⊥AD ，PA AD A ?=， 所以CD ⊥平面P AD . 因为PD ?平面P AD ， 所以CD ⊥PD .

(II )因为P A ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ， 所以BD ⊥P A .

在直角梯形ABCD中，

1

2

BC CD AD

==，

由题意可得2

AB BD BC

==，

所以222

AD AB BD

=+，

所以BD AB

⊥.

因为PA AB A

=，

所以BD⊥平面P AB.

（Ⅲ）解：在棱PD上存在点M，使CM∥平面P AB，且M是PD的中点.证明：取P A的中点N，连接MN，BN，

因为M是PD的中点，所以

1

2

MN AD.

因为

1

2

BC AD，所以MN BC.

所以MNBC是平行四边形，

所以CM∥BN.

因为CM?平面P AB, BN?平面P AB.

所以//

CM平面P AB.

【点睛】

本题考查平面与平面垂直的判定定理,以及直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.

24．（1）

42

33

a b

-+；（2）9

16

【解析】【分析】【详解】

（Ⅰ）由题意可知：

2

3

BF b

=，且

2

32

3

BF=?=，