1、证明由二叉树的中序序列和后序序列,也可以唯一确定一棵二叉树。
当n=1时,只有一个根结点,由中序序列和后序序列可以确定这棵二叉树。
设当n=m-1时结论成立,现证明当n=m时结论成立。
设中序序列为S1,S2,…,Sm,后序序列是P1,P2,…,Pm。因后序序列最后一个元素Pm是根,则在中序序列中可找到与Pm相等的结点(设二叉树中各结点互不相同)Si(1≤i≤m),因中序序列是由中序遍历而得,所以Si是根结点,S1,S2,…,Si-1是左子树的中序序列,而Si+1,Si+2,…,Sm是右子树的中序序列。
若i=1,则S1是根,这时二叉树的左子树为空,右子树的结点数是m-1,则{S2,S3,…,Sm}和{P1,P2,…,Pm-1}可以唯一确定右子树,从而也确定了二叉树。
若i=m,则Sm是根,这时二叉树的右子树为空,左子树的结点数是m-1,则{S1,S2,…,Sm-1}和{P1,P2,…,Pm-1}唯一确定左子树,从而也确定了二叉树。
最后,当1
可唯一确定二叉树的左子树,由{Si+1,Si+2,…,Sm}和
{Pi,Pi+1,…,Pm-1}可唯一确定二叉树的右子树。
2、后序遍历最后访问根结点,即在递归算法中,根是压在栈底的。采用后序非递归算法,栈中存放二叉树结点的指针,当访问到某结点时,栈中所有元素均为该结点的祖先。本题要找p和q 的最近共同祖先结点r ,不失一般性,设p在q的左边。后序遍历必然先遍历到结点p,栈中元素均为p的祖先。将栈拷入另一辅助栈中。再继续遍历到结点q时,将栈中元素从栈顶开始逐个到辅助栈中去匹配,第一个匹配(即相等)的元素就是结点p 和q的最近公共祖先。
typedef struct
{BiTree t;int tag;//tag=0 表示结点的左子女已被访问,tag=1表示结点的右子女已被访问
}stack;
stack s[],s1[];//栈,容量够大
BiTree Ancestor(BiTree ROOT,p,q,r)//求二叉树上结点p和q的最近的共同祖先结点r。{top=0; bt=ROOT;
while(bt!=null ||top>0)
{while(bt!=null && bt!=p && bt!=q) //结点入栈
{s[++top].t=bt; s[top].tag=0; bt=bt->lchild;} //沿左分枝向下
if(bt==p) //不失一般性,假定p在q的左侧,遇结点p时,栈中元素均为p的祖先结点{for(i=1;i<=top;i++) s1[i]=s[i]; top1=top; }//将栈s的元素转入辅助栈s1 保存
if(bt==q) //找到q 结点。
for(i=top;i>0;i--)//;将栈中元素的树结点到s1去匹配
{pp=s[i].t;
for (j=top1;j>0;j--)
if(s1[j].t==pp) {printf(“p 和q的最近共同的祖先已找到”);return (pp);}
}
while(top!=0 && s[top].tag==1) top--; //退栈
if (top!=0){s[top].tag=1;bt=s[top].t->rchild;} //沿右分枝向下遍历
}//结束while(bt!=null ||top>0)
return(null);//q、p无公共祖先
}//结束Ancestor
3、二叉树的层次遍历序列的第一个结点是二叉树的根。实际上,层次遍历序列中的每个结点都是“局部根”。确定根后,到二叉树的中序序列中,查到该结点,该结点将二叉树分为“左根右”三部分。若左、右子树均有,则层次序列根结点的后面应是左右子树的根;若中序序列中只有左子树或只有右子树,则在层次序列的根结点后也只有左子树的根或右子树的根。这样,定义一个全局变量指针R,指向层次序列待处理元素。算法中先处理根结点,将根结点和左右子女的信息入队列。然后,在队列不空的条件下,循环处理二叉树的结点。队列中元素的数据结构定义如下:
typedef struct
{ int lvl; //层次序列指针,总是指向当前“根结点”在层次序列中的位置
int l,h; //中序序列的下上界
int f; //层次序列中当前“根结点”的双亲结点的指针
int lr; // 1—双亲的左子树 2—双亲的右子树
}qnode;
BiTree Creat(datatype in[],level[],int n)
//由二叉树的层次序列level[n]和中序序列in[n]生成二叉树。 n是二叉树的结点数
{if (n<1) {printf(“参数错误\n”); exit(0);}
qnode s,Q[]; //Q是元素为qnode类型的队列,容量足够大
init(Q); int R=0; //R是层次序列指针,指向当前待处理的结点
BiTree p=(BiTree)malloc(sizeof(BiNode)); //生成根结点
p->data=level[0]; p->lchild=null; p->rchild=null; //填写该结点数据
for (i=0; i if (in[i]==level[0]) break; if (i==0) //根结点无左子树,遍历序列的1—n-1是右子树 {p->lchild=null; s.lvl=++R; s.l=i+1; s.h=n-1; s.f=p; s.lr=2; enqueue(Q,s); } else if (i==n-1) //根结点无右子树,遍历序列的1—n-1是左子树 {p->rchild=null; s.lvl=++R; s.l=1; s.h=i-1; s.f=p; s.lr=1; enqueue(Q,s); } else //根结点有左子树和右子树 {s.lvl=++R; s.l=0; s.h=i-1; s.f=p; s.lr=1;enqueue(Q,s);//左子树有关信息入队列s.lvl=++R; s.l=i+1;s.h=n-1;s.f=p; s.lr=2;enqueue(Q,s);//右子树有关信息入队列 } while (!empty(Q)) //当队列不空,进行循环,构造二叉树的左右子树 { s=delqueue(Q); father=s.f; for (i=s.l; i<=s.h; i++) if (in[i]==level[s.lvl]) break; p=(bitreptr)malloc(sizeof(binode)); //申请结点空间 p->data=level[s.lvl]; p->lchild=null; p->rchild=null; //填写该结点数据 if (s.lr==1) father->lchild=p; else father->rchild=p; //让双亲的子女指针指向该结点 if (i==s.l) {p->lchild=null; //处理无左子女 s.lvl=++R; s.l=i+1; s.f=p; s.lr=2; enqueue(Q,s); } else if (i==s.h) {p->rchild=null; //处理无右子女 s.lvl=++R; s.h=i-1; s.f=p; s.lr=1; enqueue(Q,s); } else{s.lvl=++R; s.h=i-1; s.f=p; s.lr=1; enqueue(Q,s);//左子树有关信息入队列 s.lvl=++R; s.l=i+1; s.f=p; s.lr=2; enqueue(Q,s); //右子树有关信息入队列 } }//结束while (!empty(Q)) return(p); }//算法结束 4、#define maxsize 栈空间容量 void InOutS(int s[maxsize]) //s是元素为整数的栈,本算法进行入栈和退栈操作。 {int top=0; //top为栈顶指针,定义top=0时为栈空。 for(i=1; i<=n; i++) //n个整数序列作处理。 {scanf(“%d”,&x); //从键盘读入整数序列。 if(x!=-1) // 读入的整数不等于-1时入栈。 if(top==maxsize-1){printf(“栈满\n”);exit(0);} else s[++top]=x; //x入栈。 else //读入的整数等于-1时退栈。 {if(top==0){printf(“栈空\n”);exit(0);} else printf(“出栈元素是%d\n”,s[top--]);} } }//算法结 5、根据二叉排序树中序遍历所得结点值为增序的性质,在遍历中将当前遍历结点与其前驱结点值比较,即可得出结论,为此设全局指针变量pre(初值为null)和全局变量flag,初值为true。若非二叉排序树,则置flag为false。 #define true 1 #define false 0 typedef struct node {datatype data; struct node *llink,*rlink;} *BTree; void JudgeBST(BTree t,int flag) // 判断二叉树是否是二叉排序树,本算法结束后,在调用程序中由flag得出结论。 { if(t!=null && flag) { Judgebst(t->llink,flag);// 中序遍历左子树 if(pre==null)pre=t;// 中序遍历的第一个结点不必判断 else if(pre->data else{flag=flase;} //不是完全二叉树 Judgebst (t->rlink,flag);// 中序遍历右子树 }//JudgeBST算法结束 6、我们用l代表最长平台的长度,用k指示最长平台在数组b中的起始位置(下标)。用j 记住局部平台的起始位置,用i指示扫描b数组的下标,i从0开始,依次和后续元素比较,若局部平台长度(i-j)大于l时,则修改最长平台的长度k(l=i-j)和其在b中的起始位置(k=j),直到b数组结束,l即为所求。 void Platform (int b[ ], int N) //求具有N个元素的整型数组b中最长平台的长度。 {l=1;k=0;j=0;i=0; while(i {while(i if(i-j+1>l) {l=i-j+1;k=j;} //局部最长平台 i++; j=i; } //新平台起点 printf(“最长平台长度%d,在b数组中起始下标为%d”,l,k); }// Platform 7、我们可用“破圈法”求解带权连通无向图的一棵最小代价生成树。所谓“破圈法”就是“任取一圈,去掉圈上权最大的边”,反复执行这一步骤,直到没有圈为止。请给出用“破圈法”求解给定的带权连通无向图的一棵最小代价生成树的详细算法,并用程序实现你所给出的算法。注:圈就是回路。