初中数学-有理数的加减法(基础)
初中数学-有理数的加减法（基础）
【学习目标】
1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算； 2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系；
3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简 算，并会解决简单的实际问题. 【要点梳理】
要点一、有理数的加法
1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数． 要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：
(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则． (2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．
(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 3.有理数加法运算律
加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b ＝b+a
加法结合律
文字语言
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言 (a+b )+c ＝a+(b+c )
要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号．
【高清课堂：有理数的加减 382681 有理数的减法】
要点二、有理数的减法
1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()a b a b -=+-．
要点诠释： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：
要点三、有理数加减混合运算
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
【典型例题】
类型一、有理数的加法运算1．计算：
(1)(+20)+(+12)；(2)
12
23
????
-+-
? ?
????
；(3)(+2)+(-11)；
(4)(-3.4)+(+4.3)；(5)(-2.9)+(+2.9)；(6)(-5)+0．
【答案与解析】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0；（6）用的是法则的第三条．
(1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32；
(2)
12121
1 23236??????
-+-=-+=- ? ? ?
??????
(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9
(4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9
(5)(-2.9)+(+2.9)＝0；
(6)(-5)+0＝-5．
【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．
举一反三：
【变式1】计算：
11 33
43????-++
? ?????
【答案】
11111 3333
433412??????
-++=+-=
? ? ?
??????
【变式2】计算：（1）(+10)+(-11)；（2）???? ? ?????
12 -1+-
23
【答案】（1） (+10)+(-11)=﹣(11-10)=﹣1；
（2）????????
? ? ? ?
????????1212341 -1+-=-1+=-1+=-2 2323666
类型二、有理数的减法运算
2．计算：(1)(-32)-(+5)；(2)(+2)-(-25)．
【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．
【答案与解析】法一：
法二：（1）原式=-32-5=-32+（-5）=-37；（2）原式=2+25=27
【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.
类型三、有理数的加减混合运算
3．计算，能用简便方法的用简便方法计算. （1） 26-18+5-16 ； （2）（+7）+（-21）+（-7）+（+21） (3) ?
??????? ? ? ? ?????????21111-1+1++7
+-2+-832432 (4) 113.587(5)5(7)3( 1.587)24????--+-++-+-+ ? ??
?
?
?
（5）13
2.2532 1.87584+-+
（6）1355
354624618
-++-
【答案与解析】 （1） 26-18+5-16
=(+26)+(-18)+5+(-16) →统一成加法 =(26+5)+[(-18)+(-16)] →符号相同的数先加 = 31+(-34)=-3
（2）（+7）+（-21）+（-7）+（+21）
=[ (+7)+(-7) ] +[(-21)+(+21)] →互为相反数的两数先加
=0
（3）???????? ? ? ? ?????????
21111-1+1++7
+-2+-832432 ??????????= ? ? ???????????????21111
-1+-2+1+-8+733224
→同分母的数先加 ()()?
?=???
?1-4+-7+74=3-34
（4）113.587(5)5(7)3( 1.587)24????--+-++-+-+ ? ?????
113.5875573( 1.587)24????=++-++-+- ? ?????
→统一成加法
11[3.587( 1.587)](57)5324??????=+-+++-+- ? ?????????
→整数、小数、分数分别加
312128544
??=++-= ???
（5）13
2.2532
1.87584
+-+ (2.25 2.75)(3.125 1.875)=-++→统一同一形式（小数或分数）
，把可凑整的放一起 0.55 4.5=-+=
（6）1355
354624618-++-
1355354624618
=--++++--
1355
(3546)()24618
=-++-+-++-→整数，分数分别加
18273010
036
-++-=+
2936
= 【总结升华】在进行加减混合的运算时，(1)先将各式中的减法运算转化为加法运算；（2）观察各加数之间的关系，再运用“技巧”适当交换加数的位置，注意交换时各加数的带着符号一起交换． 举一反三：
【高清课堂：有理数的加减 382681 简便方法计算】 【变式】用简便方法计算：
(1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7) (2) 2
)3
24(83)65()851(43-++-+-+ 【答案】 (1) 原式=[(-3.8)+ (-4.2)]+[ (-2.4)+ (-0.7) +(+3.1)]+(+0.8)=-8+0.8=-7.2
(2)原式=（2-1-4）+（
34-58-56+38-23
）=-3+[68-58+38+(-56-4
6)]=-3-1=-4
类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用
4．小虫从点O 出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10.（单位：cm ）
(1)小虫最后是否回到出发地O？为什么？
(2)小虫离开O点最远时是多少？
(3)在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？【思路点拨】题目中给出的各数由两部分组成：一是性质符号，表示的爬行的方向，二是绝对值部分，表示爬行的路程大小.所以若直接将它们相加得到的和也包括两层含义：方向和路程大小；若只把它们的绝对值相加，则最后结果只表示路程的大小.
【答案与解析】
解：（1）(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)
=(5+10+12)+(-3-8-6-10)=27-27=0
0表示最后小虫又回到了出发点O
答：小虫最后回到了出发地O.
（2） (+5)+(-3)＝+2；
(+5)+(-3)+(+10)＝+12；
(+5)+(-3)+(+10)+(-8)＝+4；
(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)＝－2；
(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)＝+10；
(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)＝0.
因为绝对值最大的是+12，所以小虫离开O点最远时是向右12cm;
++-+++-+-+++-=（cm）, 所以小虫爬行的总路程是54 (3) 531086121054
cm，
?=（粒）
由15454
答：小虫一共可以得到54粒芝麻.
【总结升华】利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题，这就需要我们认真观察、大胆分析和设想．
举一反三：
【变式1】华英中学七年级(14)班的学生分成五组进行答题游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束后各组的得分如下表：
第1组第2组第3组第4组第5组
100 150 350 -400 -100
(1)第一名超过第二名多少分?
(2)第一名超过第五名多少分?
【答案】由表看出：第一名350分，第二名150分，第五名-400分．
(1) 350-150＝200(分)
(2) 350-(-400)＝350+400＝750(分)
答：第一名超过第二名200分；第一名超过第五名750分．
【变式2】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：
197，202，197，203，200，196，201，198．
计算出售的粮食总共多少千克?
【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6 200×8+(-6)＝1594(千克)
答：出售的粮食共1594千克．
法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)
答：出售的粮食共1594千克．