三阶幻方
1.将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条
证明：因为每行的三数之和都等于k，共有三行，所以九个数之和等于3k。如右上图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k，四条虚线上的所有数之和等于4k，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次。所以有
九数之和+中心方格中的数×3=4k，
3k+中心方格中的数×3=4k，
注意：例4中对九个数及定数k都没有特殊要求。这个结论对求解3×3方格中的数阵问题很实用。
在3×3的方格中，如果要求填入九个互不相同的质数，要求任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，那么这样填好的图称为三阶质数幻方。
2.把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。
分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45，正好是三个横行数字之和，所以每一横行的数字之和等于45÷3=15。也就是说，每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。
在1～9这九个数字中，三个不同的数相加等于15的有：
9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8＋5＋2，
8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5＋3，6＋5＋4。
因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。
因为中心方格中的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在两对角线上，所以它应同时出现在上述的四个算式中，只有5符合条件，因此应将5填在中心方格中。同理，四个角上的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在一条对角线上，所以它应同时出现在上述的三个算式中，符合条件的有2，4，6，8，因此应将2，4，6，8填在四个角的方格中，同时应保证对角线两数的和相等。
3.用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方。
分析与解：给出的九个数形成一个等差数列，对照例1，1～9也是一个等差数列。不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数，即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数，即13，17，21，25，而且对角两数的和相等，即13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见图）。
与幻方相反的问题是反幻方。将九个数填入3×3（三行三列）的九个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，这样填好后的图称为三阶反幻方。
4.求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方。
分析与解：由例4知中间方格中的数为267÷3＝89。由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中，每组的三个数中都有89，所以每组的其余两数之和必为267-89＝178。两个质数之和为178的共有六组：
5+173＝11＋167
＝29＋149＝41＋137
＝47+131＝71+107。
经试验，可得右图所示的三阶质数幻方。
5.在下列各图空着的方格内填上合适的数，使每行、每列及每条对角线上的三数之和都等于27。
6. 求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方。
分析与解：由例4知中间方格中的数为267÷3＝89。由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中，每组的三个数中都有89，所以每组的其余两数之和必为267-89＝178。两个质数之和为178的共有六组：
5+173＝11＋167
＝29＋149＝41＋137
＝47+131＝71+107。
经试验，可得右图所示的三阶质数幻方。
7.在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。
解：由上一讲例4知中间方格中的数为7。再设右下角的数为x，然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21，如下图所示填上各数（含x）。
因为九个数都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，即4≤x≤10。
考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。经验证，当x＝6或8时，九个数中均有两个数相同，不合题意；当x＝4或10时可得两个解（见下图）。这两个解实际上一样，只是方向不同而已。
8.在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。
解：由上一讲例4知，中心数为90÷3＝30；由本讲例2知，右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）。其它数依次可填（见右下图）。
Eg1.将1，3，5，7，9，11，13，15，17填入3×3的方格内，使其构成一个幻方。
Eg2.用2，4，6，12，14，16，22，24，26九个偶数编制一个幻方
Eg3.在右图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等。
解：由例2知，右下角的数为
（8＋10）÷2=9；由上一讲例4知，中心数为（5＋9）÷2=7（见左下图），且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21。由此可得右下图的填法。
Eg4.在左下图的每个空格中填入一个数字，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。
幻方解法整理归纳
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。 1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例） 奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 口诀： 1居首行正中央, 依次右上莫相忘 上出格时往下放, 右出格时往左放. 排重便往自下放, 右上出格一个样 图一 2、单偶数阶幻方 ()1 2 2＋ ＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例） ①把()1 2 2＋ ＝m n阶的幻方均分成4个同样的小幻方A、B、C、D(如图二) 图二
（注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方） ② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入()2221a a ——＋、在C 中填入()22312a a ——＋、在D 中填入()22413a a ——＋均构成幻方（2n a ＝）(如图三) 图三 （因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方） ③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调(如图四)： 图四 不管是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时，1＝m ，所以本例中只取了一个数） ④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调。（如图五） 图五 3、双偶数阶幻方m n 4＝——轴对称法（如图三：以八阶幻方为例） ① 把m n 4＝阶的幻方均分成4个同样的小幻方（如图六） 图六
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总 没法，组合数学还考幻方构造。这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。 奇数阶幻方（罗伯法） 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是： 把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数： 1、每一个数放在前一个数的右上一格； 2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； 3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； 4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； 5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。 例，用该填法获得的5阶幻方： 双偶数阶幻方（对称交换法） 所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。如在三阶幻方中，每一对和为10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17 的数，是一对互补数。 双偶数阶幻方的对称交换解法： 先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（16，11）（7，10）互换即可。 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。 以8阶幻方为例： (1) 先把数字按顺序填。然后，按
小学思维数学讲义：幻方(一)-带详解
幻方（一） 1. 会用罗伯法填奇数阶幻方 2. 了解偶数阶幻方相关知识点 3. 深入学习三阶幻方 一、幻方起源 也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图： 98 76 54321 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 二、幻方定义 幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33?的数阵称作三阶幻方，44?的数阵称作四阶幻方，55?的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样， 9 87654 32 1 13 414151 6 1297 8 105113 2 16 三、解决这幻方常用的方法 ⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数） ②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2． 四、数独 知识点拨 教学目标
浅谈幻方以及其解法
学号 1250901205 学年论文 （2016届本科） 题目：浅谈幻方以及其解法 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 作者姓名：甘天明 指导教师：任天胜职称: 副教授 完成日期： 2014 年 12 月 18 日
浅谈幻方以及其解法 甘天明指导教师：任天胜 (河西学院数学与应用数学专业2016届2班05号甘肃张掖 734000) 摘要多少世纪以来，人们对幻方总是怀着浓厚的兴趣，从古代起幻方就跟某些超自然和魔术的领域相联系。在古代亚洲的城市，人们在考古挖掘中发现了它们。有关幻方的最早纪录，是约于公元前2200年在中国出现的“洛书”，传说这个幻方最初是大禹在黄河岸边的一只神龟的背上看到的。 幻方，有时又称魔方（该称呼现一般指立方体的魔术方块）或纵横图，有一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。幻方起源于我国，并由我国传到全世界，在这漫长的历史中，幻方也得到了广泛的发展和进步。 本文主要分为两部分，第一部分从幻方的历史和发展，幻方问题的研究以及幻方的应用来认识幻方；第二部分主要介绍幻方的解法。 关键字: 幻方；幻和；奇幻方；偶幻方. 1 引言 我国的纵横图通过东南亚国家,印度和阿拉伯传到西方。由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫做 Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。 幻方问题是具有悠久历史的复杂排列组合问题。幻方问题的复杂性不仅在于解的多样性随阶数指数递增，而且在于解在可行排列空间中所占的比例随阶数指数递减。 此外，在文章中，简单介绍了幻方在数学、智力开发、科学以及艺术中的应用，我们从多个角度去探寻幻方的历史，发展和在现实生活中的应用，以此来进一步加深对幻方的理解。 在文章第二部分，也介绍了幻方的几种解法，从不同的角度对幻方的解法做了一点讨论与研究。 2预备知识 的方阵中，放入从1开始的2n个定义2.1 幻方，也叫纵横图，就是在n n 自然数，在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好相等。 定义2.2 幻方的各行、各列和两条对角线上的数字之和相等的和数即为幻和，也叫幻方常数。 定义2.3 奇阶幻方：当幻方中的n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。
层先法复原五阶魔方
层先法复原五阶魔方详细解决方法 尹春来 2013年10月 层先法复原五阶魔方虽然学习起来要比降阶法难一点，但他更易于扩展，通过对层先法的研究，可以很容易推导出高阶魔方的通用还原方法。2013年9月份，我认真研究了五阶层先法，找出了一些规律，现记录下来。 一般来说，要学习五阶层先法，必须要有三阶层先法的基础。因为五阶层先法是不断的变换使用三阶层先法的公式来进行还原的(五阶公式与三阶的比较见附表)。本文结合三阶层先法的基本公式，对比着讲解五阶层先法复原过程。 【名称及标识】 将魔方放在面前，底面用D表示，上面用U表示，右面用R表示，左面用L表示，正对自己的一面用F表示，后面用B表示，与R、L平行的中间层用M表示，与U、D平行的中间层称之为N；U与E之间的层（第四层）用u表示，R与M之间的层用r表示，L 与M之间的层用l表示，D与N之间的层用b表示。 观察魔方，发现它有六类面，6个面的中心，只有一个面，我们称为“心”，“心”分别向上下左右的四个块称为“叉”，与叉同层的称为“点”，各棱的中间块称为“边”，角块称为“角”，“角”与“边”中间称为“翼”。如下图所示： 各面旋转的命名规则如下表： 【思路】 层先法，顾名思义就是一层一层的复原。 第1步：复原底面，方法同三阶； 第2步：复原第二、三层，这一步中先复原第二层的翼，再复原第三层边，第三步复原
第二层点，第四步是第三层的叉。方法很简单，思考一下很容易理解。这里仅用到复原三阶魔方第二层边块的公式的变换。 第3步：复原第四、五层，这里重复使用换角和换棱公式。 【步骤】 2、复原第二、三层
至此，下面三层全部完成。
四年级奥数详解答案 第4讲 幻方
四年级奥数详解答案第4讲 第四讲幻方 一、知识概要 1. 幻方是一种特殊的数阵图，就是把一个正(长)方形平均分成若干格，要求把若干个连 续的自然数填入方格中，且使每行、每列、每条对角线上的数的和都相等。这个“相等的和”就叫幻和。9个方格(3×3个)的叫三阶幻方，16个方格(4×4)的叫四阶幻方，25个方格(5×5)的就叫五阶幻方，依此类推。 2. 三阶幻方的特点：①幻和二九个数之和÷3②幻和二中心数×3③九个连续的自然数中， 第五个数是中心数，第一、三、七、九是中心数四角上的数(注意：最大数和最小数填在相对的位置上) 二、经典例题精讲 1. 将1～9九个数字填在图中的方格中，使每行、每列、每条对角线上的数的和都相等。 分析指导：这是一个三阶幻方，中心数(5)填中间，第一、三、七、九四个数就中心数四角上的数。如图所示： (这里我们不难看出一个特点：最大数都填在最小数的相对位置上。如：8?2 1?9) 2. 将1～16这十六个数分别填在四阶方阵的各个小格中，使其构成一个四阶幻方。 分析指导：这是一个四阶幻方。四阶幻方有个特殊的方法—保持两条对角线上的数不变(先按从左到右、从上到下的顺序把1～16填好)，然后，1列和4列、 2列和3例互相对换，最后，再将1行和4行、2行和3行对调。这样两 次对换后，四阶幻方就成了。如下图所示。
这种方法，也可以这样理解：除了两条对角线上的数，剩下的四列、四行的 数就构成两个重叠的矩形，8个数字就在8个顶点位置，然后按矩形对角线 方向交换位置即成。如下图所示： 3.将1～9这九个自然数填入图中的方格内，使每行、每列及对角线上的三个数中，两 端之和减去中间数所得差都相等(差阵图)。 分析指导：这是个特殊的数阵图，叫差阵图。这里有个数的方法—从1～9这九个自然数中选数，按照口诀“二四为足，六八为肩，左三右七，上九下一，五 居中间”，把数填入每个方格中即成。结果如下图所示： 4.将1～13中的12个数字，填入图中的空格中，使每一横行四个数之和相等，每竖列 三数之和也相等。 分析指导：设每行的和为S，每列的和为A，1～13中没选入的那个数为a，则依题意有：3S=4A=(1+2+3+…+13)-a=91-a 3和4互为质数∴(91-a)一定是 12的整数倍 12的整数倍有：12、24、36、48、60、72、84 ∴a=7 从而可知：S=(91-7)÷3=28，A=80÷4=21；四数之和为28的有：13+10+4+1
浅谈幻方以及其解法
浅谈幻方以及其解法 Prepared on 24 November 2020
学号 学年论文 （2016届本科） 题目：浅谈幻方以及其解法 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 作者姓名：甘天明 指导教师：任天胜职称: 副教授 完成日期： 2014 年 12 月 18 日 浅谈幻方以及其解法 甘天明指导教师：任天胜 (河西学院数学与应用数学专业2016届2班05号甘肃张掖 734000) 摘要多少世纪以来，人们对幻方总是怀着浓厚的兴趣，从古代起幻方就跟某些超自然和魔术的领域相联系。在古代亚洲的城市，人们在考古挖掘中发现了它们。有关幻方的最早纪录，是约于公元前2200年在中国出现的“洛书”，传说这个幻方最初是大禹在黄河岸边的一只神龟的背上看到的。 幻方，有时又称魔方（该称呼现一般指立方体的魔术方块）或纵横图，有一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。幻方起源于我国，并由我国传到全世界，在这漫长的历史中，幻方也得到了广泛的发展和进步。 本文主要分为两部分，第一部分从幻方的历史和发展，幻方问题的研究以及幻方的应用来认识幻方；第二部分主要介绍幻方的解法。
关键字: 幻方；幻和；奇幻方；偶幻方. 1 引言 我国的纵横图通过东南亚国家,印度和阿拉伯传到西方。由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫做 Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。 幻方问题是具有悠久历史的复杂排列组合问题。幻方问题的复杂性不仅在于解的多样性随阶数指数递增，而且在于解在可行排列空间中所占的比例随阶数指数递减。 此外，在文章中，简单介绍了幻方在数学、智力开发、科学以及艺术中的应用，我们从多个角度去探寻幻方的历史，发展和在现实生活中的应用，以此来进一步加深对幻方的理解。 在文章第二部分，也介绍了幻方的几种解法，从不同的角度对幻方的解法做了一点讨论与研究。 2预备知识 的方阵中，放入从1开始的2n个自定义幻方，也叫纵横图，就是在n n 然数，在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好相等。 定义幻方的各行、各列和两条对角线上的数字之和相等的和数即为幻和，也叫幻方常数。 定义奇阶幻方：当幻方中的n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。 定义偶阶幻方：当幻方中的n为偶数时，我们称幻方为偶阶幻方。 3 幻方的历史和发展
幻方填写技巧
幻方的填写技巧 摘要：发现了一种任意阶幻方的填法规律，只通过简单的计算就能很快地填出任意阶幻方。 关键词：幻方填法奇数阶幻方偶数阶幻方 幻方，古称“纵横图”，就是用自然数1、2、3、…、n2排成n 行，n列的“方阵”，如果每一行，每一列以及每一对角线上的n个数的和都相等（等于n(n2+1)/2），这个“方阵”就叫做n阶幻方。古今中外很多科学家都对幻方有过深入研究。介绍幻方的书很多，但大都只介绍了奇数阶幻方的填法，而对于偶数阶幻方的填法，都没有过多的介绍。我通过对幻方的深入研究，得到了一种n阶幻方的填法规律,利用这个规律,可以很快地填出任意阶幻方(已用V.B语言编成了程序,在计算机上只需要几秒钟就可以得到上千阶幻方)。现把n阶幻方的填法介绍给大家。 1、奇数阶幻方 奇数阶幻方的填法很多书上都有介绍，现选谭浩强著《QBASIC 语言教程》中方法，以5阶幻方为例说明填法（如图１）： 图１ ①先将“1”放在第一行当中一列；
②从“2”开始直到“n 2”为止，各数依次按下列规则放数：每一个数放的行比前一个数的行数减1，列数加1。如“6”放的第3行第2列，则“7”放在第2行第3列； ③如果上一个数的行数为1，则下一数的行数为n （最下一行）。如“8”放在第1行第4列，则“9”放在第5行第5列； ④如果上一个数的列数为n ，则下一个数的列数应为1，行数减1。如“3在第4行第5列，则“4”应放在第3行第1列； ⑤如下一个数应放的位置已被其它数占用，则下一个数放在上一个数的下面。如“5”的下一个数“6”应放在第1行第3列，但该位置已被“1”占用，故将“6”放在“5”的下面。 根据上述五点，可以填出所有的奇数阶幻方。 2、偶数阶幻方 分是否能被4整除两种情况而用不同的方法。 （1）、当n 能被4整除时，设n=4k(k ≥1)，最简单的4k 阶幻方为k ＝1时的4阶幻方，前人的填法为： ①先画一个4×4的格子，从小到大依次填入1至16各数（如 (同列对调) c (同行对调) 图2
第五讲 三阶幻方
第五讲、三阶幻方 幻方起源于中国. 传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如右图. 人们称之为洛书. 如果将龟背上的数字翻译出来，如下图. 观察，你发现了什么？ 观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是 15. 像这样，将九个不同的自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方. 三阶幻方是一种特殊的数阵图. 上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字，简称中心数. 三阶幻方的规律： （1）幻和= 九个数之和 ÷3； （2）中间数=幻和÷3 （3）四个角上的数字 2=（3+1）÷2,8=（9+7）÷2 例题1 在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。 巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21。 二、例题讲解 6 72159834
例题2 在下图中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。 巩固练习：根据三阶幻方的特点，完成下列幻方。 例题3 在下图的每个空格中填入小于12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列 及每条对角线上的三个数之和都等于21。 巩固练习：在下列右图空着的方格内填上合适的数，使得每一横行、每一竖列和对角 线上的三个数之和都等于27。 例题4 将1～9这九个自然数填在下面图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上 的三个数的和都相等。
介绍杨辉法：介绍公式法：口诀：九子斜列，上下对易，左右相更，四维挺出。 想一想还有没有其他填法： 第一种： 第二种： 第三种： 第四种： 第五种： 第六种： 第七种： 第八种： 巩固练习：用3-11构造一个三阶幻方
第五讲三阶幻方
如果将龟背上的数字翻译出来，如下图 例题1 第五讲、三阶幻万 幻方起源于中国?传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案, 如右图?人们称之为洛书. 4 9 2 3 5 7 丄 _L 观察，你发现了什么？ 观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是 15.像这样，将九个不同的自然数填在 3X 3 (三行三列)的正方形内，使每行、每列以及 每条对角线 上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方 ?三阶幻方是一种特殊的数阵 图? 上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称 幻和.5是幻方最中心的数字，简称 中心 数. 三阶幻方的规律： (1) 幻和=九个数之和 -3; (2) 中间数=幻和十3 (3) 四个角上的数字 2= (3+1)十2,8= (9+7)- 2 二、例题讲解 在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。 7 3 8 巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都 等于21。 4 6 3
例题2在下图中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。 19 14 10 18 巩固练习：根据三阶幻方的特点，完成下列幻方 □ □ p-l k □ □ □ 口 □ □ □ 1L 1 □ □ □ □ 例题3 在下图的每个空格中填入小于 及每条对角线上的三个数之和都等于 12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列 21 0 _______________________ 8 □ □ □ □ □ □ □ □ 巩固练习：在下列右图空着的方格内填上合适的数，使得每一横行、每一竖列和对角 三个数之和都等于27o 线上的 □ □ n 12 □ u □ □ □ 例题4将1?9这九个自然数填在下面图中的九个方格里, 的三 个数的和都相等。 使每行、每列、两条对角线上
【教师版】小学奥数5-1-4-1 幻方(一).专项练习及答案解析
1. 会用罗伯法填奇数阶幻方 2. 了解偶数阶幻方相关知识点 3. 深入学习三阶幻方 一、幻方起源 也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图： 98 76 54321 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 二、幻方定义 幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33?的数阵称作三阶幻方，44?的数阵称作四阶幻方，55?的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样， 知识点拨 教学目标 5-1-4-1.幻方（一）
第五讲三阶幻方
第五讲、三阶幻方 幻方起源于中国.传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案, 如右图.人们称之为洛书. 如果将龟背上的数字翻译出来，如下图 4 9 2 3 5 7 8 1 6 观察，你发现了什么？ 观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是 15.像这样，将九个不同的自然数填在 3X 3 (三行三列) 每条 对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方 图. 上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称 幻和.5是幻方最中心的数字，简称 中心 数. 三阶幻方的规律： (1) 幻和=九个数之和 -3; (2) 中间数=幻和十3 (3) 四个角上的数字 2= (3+1)- 2,8= (9+7)- 2 二、例题讲解 例题1在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。 7 3 8 巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都 等于21。 4 6 3 的正方形内，使每行、每列以及 .三阶幻方是一种特殊的数阵
例题2在下图中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。 19 14 10 18 巩固练习：根据三阶幻方的特点，完成下列幻方。 巩固练习：在下列右图空着的方格内填上合适的数，使得每一横行、每一竖列和对角 线上的 三个数之和都等于27o 例题4将1?9这九个自然数填在下面图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上 的三个数 的和都相等。 12 11 18 3 13 17 5 1 6 16 20 60 80 例题3在下图的每个空格中填入小于 及每条对角线上的三个数之和都等于 12且互不相同的九个自然数, 21 0 使得每行、每列