自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念
4-2 常规根轨迹的绘制法则
4-3 广义根轨迹
4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-4
0 < K <1s 1 s 2为不等的负实根
K =1s 1=-2 s 2=-2
1 < K < ∞s 1s
2 实部均为-
2
由根轨迹可知：
1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.
2）当0 3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。 4) 1 ★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。 有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系 统对所有K>0都是稳定的。 (2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭 环极点)s=0。说明属于I型系统，阶跃作用 下的稳态误差为0。在速度信号V0t作用下, 稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳 态误差为∞。 (3)动态性能： 过阻尼临界阻尼欠阻尼 K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。由此可知： 1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。 2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。 由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。 绘制根轨迹的思路：通过一些绘制法则由开环传递函数直接绘制闭环根轨迹。 4-2 常规根轨迹的绘制法则 一、绘制根轨迹的基本法则 1.根轨迹的起点和终点 K*=0时对应的根轨迹点称根轨迹的起点，K* =∞时对应的根轨迹点称根轨迹的终点 根轨迹起于开环极点，终于开环零点。若开环零点数m小于开环极点数n,则有n-m条根轨迹终于无穷远处（无限零点）。 2.根轨迹的分支数，对称性和连续性 分支数=特征方程阶数； 根轨迹连续且对称于实轴。 3.实轴上的根轨迹 实轴上某一区域右边的开环零、极点总数为奇数时，则该区域是根轨迹。 来说,其左边的因为对实轴根轨迹上的任一点s 1 开环零、极点到s 点的相角总是0，对相角方程 1 点的相角总没影响。其右边的开环零、极点到s 1 是π， 根轨迹的分离点或出现在实轴上,或共轭成对地出现在复平面中,但以实轴上的分离点最为常见。实轴上的分离点： 1）若实轴上两个相邻开环极点之间是根轨迹，则这两极点之间至少存在一个分离点。 2）若实轴上两个相邻开环零点之间是根轨迹，则这两零点之间至少存在一个分离点（其中一个零点可以是无限零点）。 注意：由分离点公式求出d后，一定要进行检查，应舍弃不在根轨迹上的点d。