数学模型课程设计-中国人口增长预测

中国人口增长预测

摘要: 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。对此，我们建立了短期与长期两种预测人口增长的模型，并对附录中城镇乡的人口演变趋势做拟合与分析。

本文的建模过程选用了1996年到2005年的人口数据。短期人口预测用曲线的直接拟合，分析出人口的增长趋势。人口的出生率与死亡率均符合指数函数bt

=+，利

y ae c

用logistic模型求出人口最大上限

x，据此拟合人口增长的指数函数x（t），预测

m

2006-2011年的人口数量。长期预测中，建立灰色动态模型GM（1,1）预测中国人口长期增长趋势。在解系数的过程中运用了最小二乘法，得出预测人口数据的方程)0(?x，并预测2011年到2015年的人口数量。在对中国总人口进行短期和中长期的总体预测后，我们从附件中提取出城、镇、乡三地人口、男女出生性别比、老龄人口比率等相关数据，对中国未来城、镇、乡三地人口比例、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等影响人口发展的主要因素做趋势预测，从而达到了对中国人口全方位的预测。

关键词: 曲线拟合、灰色动态模型、最小二乘法、自然增长率

一、问题的重述

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》还做出了进一步的分析。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。

试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。

二、符号说明

nianfen 年份

chusheng 出生率

bata0 估计的参数值

nlinfit 非线性拟合函数

1

y出生率函数

2

y死亡率函数

m

x人口上限

t 时间

x（t）人口增长函数

X(0)中国各年人口总数

X(1) X(0)的一次累加序列

Z(1) X(1)的紧邻均值生成数列

-a 发展系数

b 灰色作用量

)0(?x人口预测值

c 均方差

k

?相对误差

三、模型的假设

1.假设人口迁入迁出对问题产生的影响可以忽略；

2.忽略社会环境、自然、经济、文化水平的对人口的影响；

3.长期预测中，不考虑出生率、死亡率等因素的影响。

四、模型的建立与求解

4.1中国人口短期预测的模型建立与求解

根据查找资料得到，人口死亡率，出生率与人口增长符合指数增长的模型bt

y ae c

=+。模型选取了1996年到2005年的全国人口进行nlinfit拟合。（代码见附录一）

处理人口增长函数时，考虑到人口数量受资源等因素的约束，中国人口将有一个上限。定义函数时，用“人口上限与指数函数相减”模式。死亡率、出生率等客观因素很大程度上影响着中国人口的变化趋势。而且随着环境等的因素，中国的总人口最终会趋

向一个固定值，即最大容纳量x

m，由logistic模型求出。假设x

m

在短时间内不会改变，

则可利用逐年的历史数据来计算出人口增长率的变化情况。

设x(t)为第t年中国总人口数，r为人口的增长率，x

m

为中国人口的最大容纳量。

建立logistic 模型

20(0)m dx r rx x dt x x x ?=-?

???=?

2

0(0)dx x x dt x x αβ?=-???=? （1）

解得：0()11m

rt

m x x t x e x -=

??+- ???

，m x αβ

=

将1996-2005年中国人口总数带入方程（1），导数用一阶差商来代替：

()()()2i h i i f x f x h dx

f x dt h

+--'≈= （2）

得方程组

(0)(0)(0)(0)

20000(0)(0)

(0)(0)

20000(0)(0)

(0)(0)

2

0000(3)(1)(2)(2)2(4)(2)(3)(3)2()(2)(1)(1)2

x x x x x x x x x n x n x n x n αβαβαβ?-=-?

?-?=-?

???--?=---?? （3）

由最小二乘法求解出,αβ 可得：m x

设置系数的初始值beta0，beta0是使函数收敛的值。并由代码拟合，分别得到出生率和死亡率的函数。（详细代码见附录一） 出生率函数： 1959.7455346.7280008.01+-=t e y （4） 死亡率函数 8561.943434.880001.02+-=t e y （5） 将logistic 模拟出的数据m x 代入bt y ae c =+的常数项，用MATLAB 求解（方法同（4）、（5）） 人口增长函数：

0.027837046()37355.571160000t x t e -=-+ 保留结果时，用digits ，vpa 来精确位数。

由拟合函数求得预测死亡率与出生率。并计算相对误差见表1

表1：1996-2005年实际数据与预测数据的比较及相对误差

年代 实际出生率‰ 实际死亡率‰ 预测出生率‰ 预测死亡率‰

出生率相对误差 死亡率相对误差

1996 16.98 6.56 16.66 6.51 0.0188 0.0076 1997 16.57 6.51 16.08 6.50 0.0296 0.0015 1998 15.64 6.50 15.49 6.50 0.0096 0.0000 1999 14.64 6.46 14.91 6.49 0.0184 0.0046 2000 14.03 6.45 14.33 6.48 0.0214 0.0047 2001 13.38 6.43 13.74 6.47 0.0269 0.0062 2002 12.86 6.41 13.16 6.46 0.0233 0.0078 2003 12.41 6.40 12.57 6.45 0.0129 0.0078 2004 12.29 6.42 11.98 6.44 0.0252 0.0031 2005 12.40 6.51 11.40 6.43 0.0806 0.0123

实际数据与预测数据的比较

05101520

1994

1996

1998

20002002

2004

2006

年份

出生率

实际出生率‰预测出生率‰

（图1）实际出生率与预测出生率比较

实际数据与预测数据的比较

6.35

6.46.456.56.556.6199419961998

2000200220042006年份

死亡率

预测死亡率‰实际死亡率‰

（图2）实际死亡率与预测率的比较

表2：1996-2005年实际人口与预测人口的比较 年份 1996 1997 1998 1999 2000 人口（百万） 122389 123626 124761 125786 126743 拟合（百万） 122644 123670 124667 125637 126581

年份 2001 2002 2003 2004 2005 人口（百万） 127627 128453 129227 130000 130756 拟合（百万） 126581 128390 129258 130102 130923

实际人口与预测人口比较

118000

1200001220001240001260001280001300001320001996199719981999200020012002200320042005

年份

人口

实际人口预测人口

（图3）实际人口与预测人口的比较

由表1、表2及其相关图例可得出生率与死亡率预测值与实际值相对误差较小，实际人口与预测人口的误差较小，由出生率、死亡率函数与人口增长函数的关系可知拟合函数)(t x 可直接用于人口预测。表3即为2006-2011年的人口预测值。

表3：2006-2011年的预测值 年份 2006 2007 2008 2009 2010

2011 人口 131721

132498 133253 133987

134701 135396

4.2中国人口长期预测的模型建立与求解 4.2.1模型的建立与求解

对于序列X (0)=（x (0)(1),x (0)(2),x (0)(3),x (0)(4),x (0)(5),x (0)(6),x (0)(7)......x (0)(n)） 建立灰色模型中较常用的GM(1,1)模型：

b k az k x =+)()()1(0）

（ （1） X (0)：中国各年人口总数（见表4）

X (1)=（x (1)(1),x (1)(2),x (1)(3),x (1)(4),x (1)(5),x (1)(6),x (1)(7),x (1)(8),x (1)(9)......x (1)(n)）为x 的一次累加序列，其中x (1)

（k ）=)(x 1

)0(i k

i ∑=（见表5）

Z (1)

为X (1)

的紧邻均值生成数列，)1(5.0)(.50)()1()1()

1(-+=k x k x k z （见表四）

表4：1996-2005年中国总人口X (0)

年代 1996 1997 1998 1999 2000 人口数（百万） 122389 123626 124761 125786 126743

年代 2001 2002 2003 2004 2005 人口数（百万） 127627 128453 129227 129988 130756

表5:X (0)的依次累加序列X (1)

X (1)(1) X (1)(2) X (1)(3) X (1)(4) X (1)(5) 122389 246015 370776 496562 623305 X (1)(6) X (1)(7) X (1)(8) X (1)(9) X (1)(10) 750932 879385 1008612 1138600 1269356

表6：X (1)的紧邻均值生成数列Z (1)

Z 0(1)(2) Z 0(1)(3) Z 0(1)(4) Z 0(1)(5) Z 0(1)(6) 123007.5 308395.5 433669 559933.5 687118.5 Z 0(1)(7) Z 0(1)(8) Z 0(1)(9) Z 0(1)(10) 815158.5 943998.5 1073606.0 1203978.0

-a 为发展系数，b 为灰色作用量；

利用MATLAB 软件在最小二乘法意义下求解线形方程组

a

? = Y B B B T T 1)(- 其中a ?=a b ?? ???， B =??????? ??---111),(),3( ),2(z )1()1()1( n z z Y=??

???

?

?

??)(x )3(x )2(x )0()0()0(n 求解知： a ? =a b ?? ??? =???

? ??.01228710668873

.00- 3.0-≤a ,GM （1，1)可用于中长期预测。

方程（1）的白化方程形式为： b ax dt

dx =+)1()

1( （2） 可以解得下列时间响应：

?????-+=++?-=+-)(?)1(?)1(?))1(()1(?)1()1()0()0()1(k x k x k x

a b e a b x k x ak 取x (1)(0)=x (0)(1)得

a b e a b x k ak +??

? ??-=+-)1(1x ?)0(1）（）（ （3）

方程（3）的还原值：

)(?)1(?)1(?)1()1()0(k x k x k x -+=+=）

（）（）

（a ak e e a b x k -1)1(1x ?)0(0-??? ?

?-=+ （4） 方程（4）即为所求人口预测函数。 4.2.2模型的分析

将原始数据列x （0）带入灰色动态模型中，计算出1996-2005年这个时间段的人口数 )0(?x

=（123278，124106，124941，125781，126626，127477，128334，129197，130066，130940），

为了检验预测函数是否合理、精确，本文采用后验差检验方法。需要的数据如下：

X （0）的方差 2)0(1

2

1))((1x k x n S n k -=∑==69656236

X （0）

均方差 12

11-=n S S =2782.01

残差方差 ))((11

22∑=-=n k k n S εε=965766.5 残差均方差 122

2-=n S S =327.58

均方差比值 1

2S S

c ==0.117749397≈0.118

和查得的资料数据进行比较，得到表格如下：

表7：灰色模型检验的对比数据

年份

实际数据 模拟数据 残差

相对误差

（‰）

均方差

)()0(k x （百万） )(?)0(k x （百万）

)(?)()

0()0(k x x k -=ε )()()

0(k x k k ε=? 1

2

S S c =

1996 122389 123278 -899 7.30 0.118

1997 123626 124106 -480 3.90 1998 124761 124941 -180 1.40 1999 125786 125781 5 0.04 2000 126743 126626 117 0.92 2001 127626 127477 149 1.17 2002 128453 128334 119 0.93 2003 129227 129197 30 0.23 2004 129988 130066 -78 0.60 2005 130756 130940 -184 1.41

图（4）较上表更好的显示了人口预测函数的精确性。由图可见实际人口与预测人口的差距很小。

实际人口数与预测人口数的比较

118000

12000012200012400012600012800013000013200019961997

199819992000

200120022003

20042005

年份

人口总数

实际人口数预测人口数

（图4）实际人口与预测人口比较

根据预测精度的等级划分：c<0.35，该模型的预测等级为“好”，可直接用于预测。 根据函数求值得2011-2015年的人口预测值见表8。

表8：2011-2015年的人口预测值

年份 2011 2012 2013 2014 2015

预测人口数

136311

137228

138150

139075

140014

长期预测模型是在灰色理论上建立起来的，从上述模型所得出的数据可以看出国内

人口总数每年都会增加，但幅度不大。

上述两个模型都是根据前几年的数据而初步所建立起来的模型，是直接根据前几年的人口总数所建立的，其模型是根据前几年的总数而预测几年之后的数据，没有考虑到人口迁移、人口老龄化等因素。现实生活中，人口总数总是与性别比例、出生率、死亡率、迁移率等因素有关。

4.3人口迁移对人口增长的影响

由附件所给数据：2001~2005年城市，城镇，乡村人口分别所占总人口的比例见表9：

表9 ：2001~2005年城市，城镇，乡村人口分别所占总人口的比例

年份 城市人口比例 城镇人口比例 乡村人口比例 2001 0.242 0.1297 0.6283 2002 0.2616 0.1255 0.6129 2003 0.2602 0.1522 0.5876 2004 0.2582 0.1536 0.5882 2005 0.2772 0.1713 0.5516

由表9可看出乡村人口比例下降，城市、城镇人口逐渐上升，说明乡村人口正向城市城镇迁移，由于乡村计划生育等政策的普及不高，现在乡村人口的迁移使得总生育率下降，人口增长也得到控制。

人口增长的趋势如图5

0.10.20.30.40.50.60.72001

2002

20032004

2005

年份

人口比例

城市人口比例城镇人口比例乡村人口比例

（图5）2001-2005市,镇,乡人口比例

4.4人口死亡率拟合

由附件所给数据，用MATLAB 三次曲线拟合得到图6、图7。（代码见附录一）

图6、图7分别为2001-2005年 城镇男性、城市男性、城市女性的死亡率与年龄的关系

10203040

5060708090

050

100

150

200

250

年龄

死亡率

城市男性

05年04年

03年02年01年

（图6）城市男性死亡率

10203040

5060708090

050

100

150

200

250

年龄

死亡率

城市女性

05年

04年03年02年

01年

（图7）城市女性死亡率

由图可见城市人口中：年龄越大，死亡率高。在中青年阶段死亡率趋向于零，青少年阶段死亡率各年变化趋势一致。医疗卫生事业的发展对人口出生率和死亡率有着直接影响，它使得因各种疾病致死的死亡率下降。拟合图中青少年的死亡率大于中年，考虑到学业压力及对不安全因素的警惕性低，自制能力差等因素。

4.5人口老龄化

假设年龄65岁以上为老龄人口。根据城市人口的上升现状，进城务工及发展的多为青年男女，城市人口的老龄化趋势变缓，但乡村老龄化严重，人口增长会趋势变缓。（2005年城市人数变化过大 不宜参与分析老龄人口数量增长）

表10：2001-2005年65岁以上人口占总人口的比例

（图8）65岁以上人口所占比例

2001

2001.520022002.520032003.52004

200040006000800010000

12000

14000

16000

年份

人口

代表的城乡镇老龄人口数量及趋势

城男城女

镇男镇女乡男

乡女

（图9）城镇乡老龄化趋势

4.6男女出生比率

图表显示的男女出生率比值一直大于1，联系男女比例的现状，持续这样增长导致性别比例危机。有些情况会对社会的稳定和发展产生不利影响。男性未来要比女性要多很多，女性找工作可能会是个问题。

年份 65岁以上人口所占比例

2001

0.037648 2002 0.039453 2003 0.041231 2004 0.042831 2005

0.05635 65岁以上人口所占比例

0.01

0.020.030.040.050.062000200120022003200420052006

年份

百分比

65岁以上人口所占比例

各年份地域男女出生比

105110115120125

1301990

1995

200020052010

年份

出生比

市男女出生比例（女100计）

镇男女出生比例（女100计）

乡男女出生比例（女100计）

（图10）各年份地域男女出生比

五、模型的改进与评价

5.1模型改进

上述所建立的灰色模型是在比较理想的前提下，未考虑出生率、死亡率等客观因素。实际上，这些客观因素很大程度上影响着中国人口的变化趋势。为使预测数据更准确，可以把出生率、死亡率、人口老龄化、迁入迁出等多个因素对中国人口数量的影响也考虑到模型中，可进一步建立各因素i x 对因子0x 的GM （1，N)模型。

5.2 模型的评价

5.2.1灰色模型的优点

灰色GM （1,1）预测模型与MATLAB 相结合轻松解决了计算问题，利用最小二乘法解决问题的灰色预测模型实用简单，容易操作，预测精度比较高。

5.2.2灰色模型的缺点

对我国人口发展进行预测的灰色系统理论没有考虑各个因素：死亡率、出生率等对其影响。误差可能有些大。如果要考虑多种因素的联系和影响，可以建立GM （1，N)的模型，提高预测精度。

六、参考文献

[1]全国大学生数学建模竞赛组委会.数学建模的实践.第一版.北京：高等教育出版社，2007.8。

[2]陈光亭 裘哲勇.数学建模.第一版.北京：高等教育出版社，2010.2。 [3]阮晓青 周义仓.数学建模引论.第一版.北京：高等教育出版社，2005.7。 [4]罗应婷 杨钰娟.SPSS 统计分析.第二版.北京：电子工业出版社，2010.1。 [5]马莉.MATLAB 数学实验与建模.第一版.北京：清华大学出版社，2010.1。

附录

附录一：通过MATLAB实现的代码

（1）出生率的求解：

>> chusheng=[16.98 16.57 15.64 14.64 14.03 13.38 12.86 12.41 12.29 12.40]; >> nianfen=[1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 ];

>> year=nianfen-1996;

>> beta0=[-2.5 0.2 23];

>> a=nlinfit(year,chusheng ,@growth,beta0);

函数文件：

function y=growth(c,t)

y=c(1)*exp(c(2).*t)+c(3);

-728.5346 0.0008 745.1959

死亡率的求解：

>> siwang=[6.56 6.51 6.50 6.46 6.45 6.43 6.41 6.40 6.42 6.51];

>> nianfen=[1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 ];

>> year=nianfen-1996;

>> beta0=[-1.5 0.21 11.1];

>> a=nlinfit(year,siwang ,@death,beta0);

函数文件:

function y=death (c,t)

y=c(1)*exp(c(2).*t)+c(3);

增长函数求解：

>> renkou=[122389 123626 124761 125786 126743 127627 128453 129227 130000 130756];

>> nianfen=[1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 ];

>> year=nianfen-1996;

>> beta0=[1 1];

>> a=nlinfit(year,renkou ,@grow,beta0);

函数文件：

function y=grow(c,t);

y=c（2）*exp（c（2）.*t）+160000;

（2）通过最小二乘法求解参数变量a?

>> B=[-123007.5 1;-308395.5 1;-433669 1;-559933.5 1;-687118.5 1;-815158.5 1;-943998.5 1;-1073606.0 1;-1203978.0 1];

>> Y=[123626;124761;125786;126743;127627;128453;129227;129988;130756]; >> digits(8)

>> a=vpa(pinv(B'*B)*B'*Y)

a=

-0.0066883702

122871.23

（3）通过M文件求解模拟数值

预测值M文件X0.m

clear

digits(6)

a=input('请输入a的值:');

b=input('请输入b的值:');

k=input('请输入k的值:');

for k=0:9

y=vpa((122389-b/a)*(exp(-a*k))*(1-exp(a)))

end

（4）人口老龄化的画图函数

per1=[5.2 5.6 4.86 5.26 5.82 6.05]; %2005年

num1=[2357679 2350224 1464804 1444176 4762400 4606484];

x5=(per1.*num1)/100

per2=[4.44 4.69 3.81 4.21 4.09 4.38];%2004年

num2=[160764 162812 96976 95447 379428 357638];

x4=(per2.*num2)/100

per3=[4.69 5 3.57 3.73 3.81 4.05];%2003年

num3=[163660 164287 97164 94661 382576 358150];

x3=(per3.*num3)/100

per4=[4.33 4.62 3.49 3.76 3.64 3.94];%2002年

num4=[164684 164697 80491 77464 397579 374036];

x2=(per4.*num4)/100

per5=[4.1 4.39 3.27 3.53 3.51 3.81];%2001年

num5=[147907 147465 80279 77976 394690 372242];

x1=(per5.*num5)/100

x=[x1(1) x2(1) x3(1) x4(1) ];

y=[x1(1) x2(1) x3(1) x4(1) ];

x=[2001 2002 2003 2004 ];

plot(x,y)

hold on;

y=[x1(2) x2(2) x3(2) x4(2)];

plot(x,y);

hold on;

y=[x1(3) x2(3) x3(3) x4(3)];

plot(x,y);

hold on;

y=[x1(4) x2(4) x3(4) x4(4) ];

plot(x,y);

hold on;

y=[x1(5) x2(5) x3(5) x4(5)];

plot(x,y);

y=[x1(6) x2(6) x3(6) x4(6)];

plot(x,y);

hold on;

legend('城男','城女','镇男','镇女','乡男','乡女');

（5）死亡率画图函数

城市男性

x=linspace(0,90);

y=3.4008.*x-0.1277.*x.^2+0.0013.*x.^3-17.0455;

plot(x,y);

hold on;

y=3.032.*x-0.1154.*x.^2+0.0012.*x.^3-15.2399;

plot(x,y);

hold on;

y=3.4277.*x-0.1292.*x.^2+0.0013.*x.^3-17.4994;

plot(x,y);

hold on;

y=1.0052.*x-0.0495.*x.^2+6.0E-4.*x.^3-2.6366;

plot(x,y);

hold on;

y=1.7911.*x-0.0754.*x.^2+8.0E-4.*x.^3-7.1953;

plot(x,y);hold on

legend('05年','04年','03年','02年','01年');

axis([0 90 0 250]);

附录二：表格

表十二：处理的数据

年代人口数（百万）出生率‰死亡率‰自然增长率‰1995 121121 17.12 6.57 10.55

1996 122389 16.98 6.56 10.42

1997 123626 16.57 6.51 10.06

1998 124761 15.64 6.50 9.14

1999 125786 14.64 6.46 8.18

2000 126743 14.03 6.45 7.58

2001 127627 13.38 6.43 6.95

2002 128453 12.86 6.41 6.45

2003 129227 12.41 6.40 6.01

2004 130000 12.29 6.42 5.87

2005 130756 12.40 6.51 5.89

年份城市男城市女城镇男城镇女乡村男乡村女

2005 相关系数0.09424 0.9083 0.9717 0.9658 0.9510 0.9664

参

数

值

B1 3.4008 2.8156 2.7289 2.1735 3.3895 2.4626 B2 -0.1277 -0.1054 -0.1068 -0.0839 -0.1314 -0.9847 B3 0.0013 0.0010 0.0011 0.0009 0.0014 0.0010 B0 -17.0455 -14.1863 -12.6244 -9.7443 -15.4214 -10.3076

2004 相关系数0.9201 0.8548 0.6465 0.9051 0.9556 0.9644

参

数

值

B1 3.0320 1.8817 3.0799 2.1756 3.6657 2.4707 B2 -0.1154 -0.0721 -0.1266 -0.0836 -0.1439 -0.0999 B3 0.0012 0.0007 0.0014 0.0009 0.0015 0.0011 B0 -15.2399 -9.2293 -14.0523 -10.6183 -16.5217 -10.1060

2003 相关系数0.9399 0.8963 0.9031 0.8981 0.9417 0.9223

参

数

值

B1 3.4277 3.3709 4.0616 2.5351 3.6188 2.4986 B2 -0.1292 -0.1260 -0.1551 -0.0998 -0.1429 -0.1014 B3 0.0013 0.0012 0.0016 0.0010 0.0015 0.0011 B0 -17.4994 -17.0360 -19.6707 -11.0731 -15.7127 -9.9490

2002 相关系数0.8814 0.9016 0.8880 0.8928 0.9704 0.9677

参

数

值

B1 1.0052 2.4724 2.8653 1.9631 2.507625 2.7250 B2 -0.0495 -0.0943 -0.1127 -0.0812 -0.1062 -0.1099 B3 0.0006 0.0009 0.0012 0.0009 0.0012 0.0012 B0 -2.6366 -11.7241 -13.4323 -8.3815 -9.2157 -11.0792

2001 相关系数0.9575 0.8612 0.8898 0.8936 0.9713 0.9749

参

数

值

B1 1.7911 3.2936 2.4221 1.7280 3.1688 1.6891

B2 -0.0754 -0.1222 -0.0966 -0.0702 -0.1292 -0.0750

B3 0.0008 0.0012 0.0010 0.0007 0.0014 0.0008

B0 -7.1953 -16.8671 -10.8600 -7.1579 -12.8064 -4.5827

数学模型课程设计-中国人口增长预测

中国人口增长预测 摘要: 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。对此，我们建立了短期与长期两种预测人口增长的模型，并对附录中城镇乡的人口演变趋势做拟合与分析。 本文的建模过程选用了1996年到2005年的人口数据。短期人口预测用曲线的直接拟合，分析出人口的增长趋势。人口的出生率与死亡率均符合指数函数bt =+，利 y ae c 用logistic模型求出人口最大上限 x，据此拟合人口增长的指数函数x（t），预测 m 2006-2011年的人口数量。长期预测中，建立灰色动态模型GM（1,1）预测中国人口长期增长趋势。在解系数的过程中运用了最小二乘法，得出预测人口数据的方程)0(?x，并预测2011年到2015年的人口数量。在对中国总人口进行短期和中长期的总体预测后，我们从附件中提取出城、镇、乡三地人口、男女出生性别比、老龄人口比率等相关数据，对中国未来城、镇、乡三地人口比例、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等影响人口发展的主要因素做趋势预测，从而达到了对中国人口全方位的预测。 关键词: 曲线拟合、灰色动态模型、最小二乘法、自然增长率

一、问题的重述 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》还做出了进一步的分析。 关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。 二、符号说明 nianfen 年份 chusheng 出生率 bata0 估计的参数值 nlinfit 非线性拟合函数 1 y出生率函数 2 y死亡率函数 m x人口上限 t 时间 x（t）人口增长函数 X(0)中国各年人口总数 X(1) X(0)的一次累加序列 Z(1) X(1)的紧邻均值生成数列 -a 发展系数 b 灰色作用量 )0(?x人口预测值 c 均方差 k ?相对误差 三、模型的假设 1.假设人口迁入迁出对问题产生的影响可以忽略； 2.忽略社会环境、自然、经济、文化水平的对人口的影响； 3.长期预测中，不考虑出生率、死亡率等因素的影响。 四、模型的建立与求解 4.1中国人口短期预测的模型建立与求解 根据查找资料得到，人口死亡率，出生率与人口增长符合指数增长的模型bt y ae c =+。模型选取了1996年到2005年的全国人口进行nlinfit拟合。（代码见附录一） 处理人口增长函数时，考虑到人口数量受资源等因素的约束，中国人口将有一个上限。定义函数时，用“人口上限与指数函数相减”模式。死亡率、出生率等客观因素很大程度上影响着中国人口的变化趋势。而且随着环境等的因素，中国的总人口最终会趋 向一个固定值，即最大容纳量x m，由logistic模型求出。假设x m 在短时间内不会改变， 则可利用逐年的历史数据来计算出人口增长率的变化情况。 设x(t)为第t年中国总人口数，r为人口的增长率，x m 为中国人口的最大容纳量。

中国人口增长趋势预测

中国人口增长趋势预测 摘要 人口总数的预测对未来资源分配，划分有着重要的意义，本文根据人口预测模型结合所给数据进行人口预测，并进行模型改进结合最小二乘法拟合出较理想的人口变化趋势。 第一问中，采用Logistic模型描述了人口的增长规律，通过简要的假设设置相应的预测系数 第二问中，根据表中所给的数据，运用Matlab以及Excel得出人口随时间变化的曲线 第三问中，通过运用非线性最小二乘法拟合，Matlab编程得到相关的系数x =r 万人，并判断模型的可用性。 .0 248205= 0253 m 第四问中，根据所得的模型，带入相关数值得到2030年人口数量将达到144210万人 第五问中，通过改进求解拟合参数的方法，将非线性最小二乘法改为线性最小二乘法估计模型参数，通过分析可知2030年可能会达到我国人口数量的峰值近似为145168万人，与国家人口预测结果基本相符合。 关键词：Logistic模型；最小二乘估计；Matlab；线性拟合

一. 问题提出 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料，对于表中所给出的数据，研究人口增长的规律。 问题一，作出适当的简化假设，在此基础上建立中国大陆人口群体增长的数学模型。 问题二，对表中所给出的数据，画出1949~2017年中国大陆人口总数随时间变化的曲线； 问题三，对第1问模型中的参数进行估计 问题四，预测2030年中国大陆的人口总数。 问题五，模型的评价与改进。 二．问题分析 由于人口的增长受到自然资源，环境条件等因素的影响，因此第一问的模型选取应该选用能够反映阻滞作用对人口增长率的影响，使增长率r能够随着人口数量的增长而下降，基于此选择了典型的人口增长模型logistic函数，并对相应的参数进行设置。 第二问中由Matlab能够得到表中数据的变化趋势。 第三问中对于大数据处理要得到模型中的相应参数需要用最小二乘法进行系数估计，通过分析曲线的特点评价模型的可用性。 在第四问，根据模型带入相应的时间预测对应的人口总数。 第五问中，由分析可知，线性最小二乘法估计参数要比非线性最小二乘法估计参数的精度要更高，因此通过观察人口增长率的曲线可以近似拟合成一次函数的现象，将估计参数的方法改为线性最小二乘法估计参数，并结合数据实际曲线，确定相应的模型参数。 三．模型的基本假设 （1）生育模式相对不变 （2）所用数据真实可靠 （3）不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影 （4）较短的时期内的死亡率是稳定的

数学建模课程设计论文(学生评教模型)

《数学建模与数学实验综合实验》课程设计任务书 一、设计目的 “数学建模与数学实验”是一门实践性、综合性、应用性较强的数学基础课程，是交叉学科和新兴边缘学科发展的基础，对学生动手能力要求很高。数学建模与数学实验综合实验是该课程的必要实践环节。通过实验学生实践数学建模的各个环节，以帮助学生强化数学建模基础知识与建模方法的掌握，激励学生勇于创新，全面提高学生解决实际问题的动手能力，掌握常用数学计算工具和数学软件，为从事科学研究和工程应用打下坚实基础。通过基础实验,使学生加深对“数学建模与数学实验”课程中基本理论和基本方法的理解,了解常用数学工具和方法，增强学生的实验技能和基本操作技能，在提高学生学习数学建模课程兴趣的同时，培养和提高学生的动手能力和理论知识的工程应用能力。 二、设计教学内容 1、生产计划制定 ; 2、利润最大化问题 ; 3、光纤铺设问题 ; 4、大学生的个人花费问题； 5、电站建设问题； ……… 26、印花税调整与证券市场； 27、学生成绩的综合评定； ……… （每个同学按照指定题目选题） 三、设计时间 2013—2014学年第1学期：第17周共计1周 教师签名: 2013年12月23日 目录

摘要 (3) 一、问题重述 (4) 二、问题假设 (5) 三、模型建立 (6) 四、模型求解 (10) 五、模型的评价与改进 (11) 六、模型以外的其他思考 (12) 八、文献参考 (13) 学生评教的数据分析与处理 摘要 学校是一个充满着评价人的场所，每时每刻都在对各个人进行评价。毫不夸

张地说评价教师是学校里每个人的“日常功课”。由于教师职业劳动的特殊性，它是复杂劳动。不能仅仅用工作量来评价教师的劳动，同时评价教师的人员纷繁复杂，方式多种多样。评价教师的标准往往束缚着学校的教学质量，教师教学的积极性。所以教师评价的确定就显的很重要。尤其是以学生为主题的评价。学生是顾客、是上帝，教师服务的满意度应有他们说了算，只有他们满意了，学校才能生存、发展。学生对教师的评价肯定不会看你在外面上了多少节公开课，他看你的上课就是平时实实在在的家常课上得怎么样。他也不会管你在报刊杂志上发表了多少文章，而只看你教学是否有条理，学生考试的成绩怎么样。他一般也不会在乎你受过什么级别的奖励，只要你对学生好，学生喜欢你并最终喜欢你的课就成。他们在评价教师的时候心里都有一杆看不见的称，即使这杆称不一定精确，可他们心目中好教师的形象一点也不比身处教育教学第一线的人来得模糊，由于他们的动机的单纯，他们对教师的个人经历不是很感兴趣，正是如此由于身处局外而看得异常清晰。新课程强调：评价的功能应从注重甄别与选拔转向激励、反馈与调整；评价内容应从过分注重学业成绩转向注重多方面发展的潜能；评价主体应从单一转向多元。那么如何公正、客观地评价教师的同时，有效地保护教师的教学积极性和帮助提高学校的办学水平呢？此模型的建立改变了以往同类模型的多种弊端，从另一角度更加合理地分析、评价，就是为了更公平，公正地对教师做出合理的评价，从而促进学生发展和教师提高。本模型主要用了模糊数学模型和对各项评价付权重的方法进行建模分析。 关键词：模糊数学模型权重学生各项评价 问题重述 在中学，学校常拿学生考试成绩评价教师教学水平，虽存在一定合理性，但这与素质教育相悖。在高校不存在以学生考试成绩评价教师教学水平的条件。很多高校让每一位学生给每一位授课教师教学效果打一个分，来评价教师的教学效果，这样能全面体现教师教学效果。现某高校要从下面教师中选一名优秀教师，

人口增长模型的确定

题目：人口增长模型的确定 摘要 人口问题已成为当前世界上最普遍关注的问题之一，人口增长规律的发现以及人口增长的预测问题对一个国家制定长远的发展规划有着非常重要的意义。本文分别使用了马尔萨斯人口指数增长模型和阻滞增长模型，以美国1790-1980年间每隔10年的人口数量为依据，对接下来的每隔十年进行了预测五次人口数量。通过对比我们可以发现阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。 关键词：人口增长；马尔萨斯人口指数增长模型；阻滞增长模型；人口预测

一、问题重述 1.1 问题背景 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 1.2 问题提出 我们需要解决以下问题： 1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。 3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。 二、问题分析 首先，我们运用Matlab 软件绘制出1790到1980年的美国人口数据图，如图1。 17801800182018401860188019001920194019601980 050 100 150 200 250

图1 1790到1980年的美国人口数据图 从图表中我们可以清晰地看到人口数在1790—1980年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型。因此我们首先建立马尔萨斯模型，马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N的变化率与生物总数成正比。 三、问题假设 为简化问题，我们做出如下假设： （1）在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害，突发事件或战争而受到大的影响； （2）所给出的数据具有代表性，能够反映普遍情况； （3）一段时间内我国人口死亡率不发生大的波动； （4）在查阅的资料与文献中，所得数据可信； （5）假设人口净增长率为常数。 四、变量说明 在此，对本文所使用的符号进行定义。 表2 变量说明 符号符号说明 N(0)起始年人口容纳量 N(t)t年后人口容纳量 t年份 r增长率 五、模型建立 5.1 问题一：马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型 设：t表示年份（起始年份t=0），r表示人口增长率，N(t)表示t年后的人口数量。 当考察一个国家或一个很大地区的人口时，N(t)是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将N(t)视为连续、可微函数。记初始时刻(t=0)的人口为N(0)，人口增长率为r，r是单位时间内N(t)的增量与N(t)的比例系数。根据r是常数的基本假设，于是N(t)满足如下的微分方程： dN(t)/dt=r*N(t) (5-1) 由这个线性常系数微分方程容易解出: N(t)=N(0)e rt(5-2) 表明人口将按指数规律无限增长(r>0)。将以t年为单位，上式表明，人口以e r为公

数学建模课程设计报告范本

数学建模课程设计 报告 1 2020年4月19日

数学建模课程设计 题目： 学院： 专业： 班级： 姓名： 学号： 指导教师： 实验日期： 2 2020年4月19日

摘要 本文针对葡萄酒的质量分析与评价问题，以置信区间、优势矩阵、逐步回归分析等方法和方差分析理论为基础，首先分别构建了以评酒员和样酒为组别的方差数据序列，经过进行双向显著性检验，接着经过置信区间法处理的数据进行了方差分析，并确定可信的评价组别。然后以评酒员感官评价为主、葡萄酒的理化指标为辅，采用回归分析、聚类分析、判别分析法建立葡萄分级模型，继而使用相关系数矩阵确立葡萄酒与葡萄理化指标中具有较大相关性的指标，实现对葡萄理化指标的初步筛选，进行等级划分。再利用逐步回归的方法拟合酿葡萄酒理化指标与葡萄理化指标间一对多的函数关系得出二者之间的联系。最后经过上文函数关系，同时提取对香气与口感评分相关度较大的芳香物质，建立芳香物质与葡萄酒质量的函数关系，论证葡萄和葡萄酒的理化指标只在一定程度上对葡萄酒的质量有影响。 关键字：双向显著性检验；方差分析；置信区间；聚类分析；标准化； 1 2020年4月19日

一、问题重述 确定葡萄酒质量时一般是经过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的一级理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题： 1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？ 2. 根据酿酒葡萄的一级理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。 3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。 4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的一级理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的一级理化指标来评价葡萄酒的质 2 2020年4月19日

人口预测模型经典

中国人口预测模型 摘要 本文对人口预测的数学模型进行了研究。首先，建立一次线性回归模型，灰色序列预测模型和逻辑斯蒂模型。考虑到三种模型均具有各自的局限性，又用加权法建立了熵权组合模型，并给出了使预测误差最小的三个预测模型的加权系数，用该模型对人口数量进行预测，得到的结果如下： 其次，建立Leslie人口模型，充分反映了生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素，并利用以1年为分组长度方式和以5年为 负指数函数，并给出了反映城乡人口迁移的人口转移向量。 最后我们BP神经网络模型检验以上模型的正确性 关键字：一次线性回归灰色序列预测逻辑斯蒂模型Leslie人口模型BP神经网络

一、问题重述 1. 背景 人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。 2. 问题 人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。例如，中国人口预期寿命约为70岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70年以后，中期40—50年，短期可以是5年、10年或20年。根据2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录一）及《中国人口年鉴》收集的数据（附录二），再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。 二、问题的基本假设及符号说明 问题假设 1． 假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值。 2． 假设本问题所研究的是一个封闭系统，也就是说不考虑我国与其它国家的人口迁移问题。 3． 不考虑战争 瘟疫等突发事件的影响 4． 在对人口进行分段处理时，假设同一年龄段的人死亡率相同，同一年龄段的育龄妇女生育率相同。 5． 假设各年龄段的育龄妇女生育率呈正态分布 6．人类的生育观念不发生太大改变，如没有集体不愿生小孩的想法。 7.中国各地各民族的人口政策相同。 符号说明 ()i a t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数 ()i c t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数占总人口的比例 ()k i c t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段中第k 年龄值人口总数占总人口 的比例 ()A t --------------------第t 时间区间内各年龄段人口总数的向量 ()P t --------------------第t 时间区间各年龄段人口总数向量转移矩阵

数学建模logistic人口增长模型

数学建模l o g i s t i c人口 增长模型 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]

Logistic 人口发展模型 一、题目描述 建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测的效果好并结合中国实情分析原因。 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： 0)0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2）

设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再 增长，即增长率0)(=m x r ，代入（2）式得 m x r s = ，于是（2）式为 )1()(m x x r x r -= （3） 将（3）代入方程（1）得： ?? ? ??=-=0 )0()1(x x x x rx dt dx m （4） 解得： rt m m e x x x t x --+= )1( 1)(0 （5） 三、模型求解 用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005; x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988]; x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r x0=61.5; f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b'); title('1954-2005年实际人口与理论值的比较')

中国人口预测模型(精)

中国人口预测模型 天津师范大学数学科学学院 1003班 刘瑶（10505135）周丽（10505110） 2013年6月17日星期一

中 国 人 口 预 测 模 型 摘 要 为了加快中国的经济建设进程，全面落实科学的发展观，按照构建社会主义和谐社会的要求，实现人口与经济社会资源环境的协调和可持续发展。我们确定人口发展战略，必须既着眼于人口本身的问题，又处理好人口与经济社会资源环境之间的相互关系，构建社会主义和谐社会，统筹解决人口数量、素质、结构、分布等问题。 本文是以《中国人口统计年鉴》公布的部分人口数据为基准（其他部分数据通过网站查询得到），通过合理的假设和数学模型得到了对于中国人口增长预测的统计模型。对Leslie 人口模型改进，构建了反映生育率和死亡率变化率负指数函数。基于leslie 的改 进模型： (t)X B B B +(t)X A A A =t)▽n +X(t 22) -(n 3 2112) -(n 3 21 此模型考虑到了生育率的变化，并是针对总人口分布处理的，克服了leslie 模型的不足，很适合做长期预测。得到结论：人口数量先增大后减小，峰值出现在2040年，届时人口数量将达到最大，为15.869亿。 关键词: 人口预测, Leslie 人口模型改进 , 长期预测 一 问题的背景 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。新中国成立50多年来，我国人口发展经历了前30年高速增长和后20年低速增长两大阶段：从建国初期到上世纪70年代初，中国人口再生产由旧中国的高出生、高死亡率进入高出生、低死亡率的人口高增长时期，1950-1975年人口出生率始终保持在30‰以上, 最高达到37‰（附录1）。70年代以后，人口过快增长的势头得到迅速扭转，人口出生率、自然增长率、妇女总和生育率有了明显下降，人口出生率由70年代初的33‰大幅度下降到80年代的21‰, 妇女总和生育率也由6下降到2.3左右。90年代以来，随着我国经济高速发展，人民文化和健康水平逐步提高，计划生育工作的不断深入，在20-29岁生育旺盛人数年均超过1亿的情况下, 人口出生率依然呈现大幅下降的趋势，到2000年底人口出生率从1990年的21.06‰下降到14.03‰，自然增长率由1990年的14.39‰下降到7.58‰, 妇女总和生育率也下降到2以下。进入90年代末期, 我国人口再生产实现了低出生、低死亡、低增长的历史性转变，我国用20多年时间完成了国外近200年的历程。到2000年底全国总人口为12.6743亿, 成功实现了“九五”计划将人口控制在13亿的奋斗目标。 中国政府自1980年在全国城乡实行计划生育基本国策以来成果卓著，据国家计生委“计划生育投入与效益研究”课题组的研究成果，20年共少生2.5亿个孩子。若从70年代算起，至今至少少生3亿人口，这有效地控制了人口的快速增长，为中国现代化建设、全面实现小康打下坚实的基础, 这同时也是对世界人口的增长和控制做出了杰出贡献。但是由于中国人口基数大，人口增长问题依然十分严峻，1990-1999年每年平均净增人口约1300万，这仍然对我国社会和经济产生巨大的压力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、

人口增长的预测(数学建模论文

关键字：人口数平衡点方程模型运动预测曲线稳定增长人口 一题目： 请在人口增长的简单模型的基础上。 " （1）找到现有的描述人口增长，与控制人口增长的模型； " （2）深入分析现有的数学模型，并通过计算机进行仿真验证； " （3）选择一个你们认为较好的数学模型，并应用该模型对未来20年的某一地区或国家的人口作出有关预测； " （4）就人口增长模型给报刊写一篇文章，对控制人口的策略进行论述。 二摘要： 本次建模是依照已知普查数据，利用Logistic模型，对中国人口的增长进行预测。首先假设人口增长符合Logistic模型，即引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设，。用参数＝3.0,r=0.0386, =1908, =14.5。画出N=N(t)的图像，作为人口增长模型的一种近似。 做微分方程解的定性分析，求出N=N(t)的驻点和拐点，按照函数作图方法列出定性分析表，作出相轨迹的运动图。当初始人口<时，方程的解单调递增到地趋向，这意味着如果使用Logistic模型描述人口增长，则人口发展地总趋势是渐增到最大人口数，因此可作为人口的预测值，也称谓平衡点。 用导数做稳定分析，为判断平衡点是否为稳定，可在平面上绘制f(x)的图象，然后像函数绘图那样，用导数进行定性分析，通过图看出人口数N(t)按时间是递增的，当人口数未达到饱和状态的时候，将逐渐地趋向，这意味着是稳定的平衡点。按该模型，未来人口的数量将随着时间的演化，从初始状态出发达到极限状态，这样就给出了人口的未来预测。 三问题的提出 1． Malthus模型 英国统计学家Malthus（1766－1834）发现人口增长率是一个常数。设t时刻人口为N（t），因为人口总数很大，可近似把N（t）当作连续变量处理。Malthus的假设是：在人口的自然增长过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口总数成正比。根据这个假设有： , (1.1) 这是一个最简单的可分离变量方程，用符号微分方程求解器desolve容易求得方程的解为：

数学建模课程设计汇本参考模板

2015-2016第1学期数学建模课程设计题目：医疗保障基金额度的分配 ： 学号： 班级： 时间：

摘要 随着人们生活水平的提高及社会制度的发展,医疗保险事业显得越来越重要,各企业也随之越来越注重员工的福利措施，医疗保障基金额度的分配也成为了人们的关注热点。扩大医疗保障受益人口也是政府和企业面临的难题，因而根据历史统计数据，合理的构造出拟合曲线，分析拟合函数的拟合程度，从而为基金的调配以及各种分配方案做方向上的指导。 本文针对A,B两个公司关于医疗保障基金额度的合理分配问题，根据两公司从1980-2003年统计的医疗费用支出数据，科学地运用了MATLAB软件并基于最小二乘法则进行了多项式曲线拟合，成功建立了医疗保障基金额度的分配模型。最后，对不同阶数的多项式拟合曲线的拟合程度进行了残差分析，并输出相关结果，得出拟合程度与多项式阶数的关联。 此问题建立在收集了大量数据的基础上，以及利用了MATLAB编程拟合曲线，使问题更加简单，清晰。该模型经过适当的改造，可以推广到股票预测，市场销售额统计等相关领域。

关键字：matlab，最小二乘多项式拟合,阶数，残差分析 一．问题重述 某集团下设两个子公司：子公司A、子公司B。各子公司财务分别独立核算。每个子公司都实施了对雇员的医疗保障计划，由各子公司自行承担雇员的全部医疗费用。过去的统计数据表明，每个子公司的雇员人数以及每一年龄段的雇员比例，在各年度都保持相对稳定。各子公司各年度的医疗费用支出见下表（附录1）。 试利用多项式数据拟合，得到每个公司医疗费用变化函数，并绘出标出原始数据的拟合函数曲线。需给出三种不同阶数的多项式数据拟合，并分析拟合曲线与原始数据的拟合程度。 二．模型假设 1．假设A,B两公司在1980年底才发放医疗保障基金。

2019年人口增长的预测.doc

人口增长的预测 关键字：人口数平衡点方程模型运动预测曲线稳定增长人口 一题目： 请在人口增长的简单模型的基础上。 " （1）找到现有的描述人口增长，与控制人口增长的模型； " （2）深入分析现有的数学模型，并通过计算机进行仿真验证； " （3）选择一个你们认为较好的数学模型，并应用该模型对未来20年的某一地区或国家的人口作出有关预测； " （4）就人口增长模型给报刊写一篇文章，对控制人口的策略进行论述。 二摘要： 本次建模是依照已知普查数据，利用Logistic模型，对中国人口的增长进行预测。首先假设人口增长符合Logistic模型，即引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设，。用参数＝3.0,r=0.0386, =1908, =14.5。画出N=N(t)的图像，作为人口增长模型的一种近似。 做微分方程解的定性分析，求出N=N(t)的驻点和拐点，按照函数作图方法列出定性分析表，作出相轨迹的运动图。当初始人口<时，方程的解单调递增到地趋向，这意味着如果使用Logistic模型描述人口增长，则人口发展地总趋势是渐增到最大人口数，因此可作为人口的预测值，也称谓平衡点。 用导数做稳定分析，为判断平衡点是否为稳定，可在平面上绘制f(x)的图象，然后像函数绘图那样，用导数进行定性分析，通过图看出人口数N(t)按时间是递增的，当人口数未达到饱和状态的时候，将逐渐地趋向，这意味着是稳定的平衡点。按该模型，未来人口的数量将随着时间的演化，从初始状态出发达到极限状态，这样就给出了人口的未来预测。 三问题的提出 1．Malthus模型 英国统计学家Malthus（1766－1834）发现人口增长率是一个常数。设t时刻人口为N（t），因为人口总数很大，可近似把N（t）当作连续变量处理。Malthus的假设是：在人口的自然增长过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口总数成正比。根据这个假设有： , (1.1) 这是一个最简单的可分离变量方程，用符号微分方程求解器desolve容易求得方程的解为：如果人口的增长符合Malthus的模型，则意味着人口数量呈指数级数增长，最终结果是人口爆炸。 2．Logistic模型 1938年，荷兰生物数学家Verhulst引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设（1.1）式可改为： ，（2.1） 上述方程为可分离变量方程，可直接求解。也可用符号微分方程解题器求它的解： N=dsolve（’DN=r*(1-N/Nm)*N’,’N(t0)=N0’） N=Nm/(1+exp(-r*t)*exp(t0*r)*(Nm-N0)/N0) 化简后得： 四利用数学模型对中国人口的预测

《数学建模》课程设计报告--常染色体遗传模型

《数学建模》课程设计 报告 课题名称：___常染色体遗传模型 系（院）：理学院 专业：数学与应用数学 班级： 学生姓名：巫荣 学号： 指导教师：陈宏宇 开课时间：2011-2012 学年二学期 常染色体遗传模型摘要 为了揭示生命的奥秘, 遗传特征的逐代传播, 愈来愈受到人们更多的注意。我们通过问题分析，模型的建立，去解决生物学的问题。为了去研究理想状态下常染色体遗传的情况，我们通过建立随机组合时常染色体的遗传模型，可以计算出各种情况随机出现的百分率，并且可以通过常染色体遗传模型，算出各个情况的概率分布，并且通过模型，分析情况出现的稳定性。揭示了常染色体遗传的分布规律，揭示了下一代各情形变化的规律性和稳定性。 关键词：遗传; 随机; 百分率; 概率分布; 稳定 一、问题重述 问题产生背景

常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因A和a控制的，那么就有三种基因对，记为AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基因型是AA的金鱼草开红花，Aa 型的开粉红色花，而aa型的开白花。又如人类眼睛的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是AA或Aa 的人，眼睛为棕色，基因型是aa的人，眼睛为蓝色。这里因为AA和Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因A支配基因a，也可以认为基因a对于A来说是隐性的。当一个亲体的基因型为Aa ，而另一个亲体的基因型是aa时，那么后代可以从aa型中得到基因a，从Aa 型中或得到基因A，或得到基因a。这样，后代基因型为Aa或aa的可能性相等。下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。 父体—母体的基因型 AA ??AA AA ??Aa AA ??aa Aa ??Aa Aa ??aa aa ??aa 后代AA 1 1/2 0 1/4 0 0 基因Aa 0 1/2 1 1/2 1/2 0 型aa 0 0 0 1/4 1/2 1 问题描述 题目：农场的植物园中某种植物的基因型为AA, Aa和aa。农场计划采用AA型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布如何？ 二、问题分析 在本问题中要知道每一代的基因分布，首先要知道上一代的基因型分布，在自由组合后的所有子代可能出现的基因型（上面已经给出）。为了求出每一代的基因型分布，第一步写出第一代的基因型分布；第二步推出第n+1代的基因型分布与第n代的基因型分布的关系；第三步利用差分方程求出每一代的每种基因型分布通项从而求得任一子代三种基因型的概率分布。 现该农场的植物园中某种植物的基因型为AA,Aa和aa.采用AA型基因的植物相结合培育后代，求若干年后这种植物的任一代的三种基因型分布，首先分析出初始里，AA,Aa,aa这三种基因型植物的大致分布，首先必须分析出初

数学建模 人口模型 人口预测

关于计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究 【摘要】 本文着重于讨论两个问题:1、从目前中国人口现状出发，对于中国未来人口数量进行预测。2、针对深圳市讨论单独二胎政策对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。 对于问题1从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了 Logistic 、灰色预测、等方法进行建模预测。 首先，本文建立了 Logistic 阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历 史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合， 对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测， 得出在 2040 年时，中国人口有 14.32 亿。在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、 出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理 论上很好，实用性不强，有一定的局限性。 然后， 为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响， 本文建立了 GM(1,1) 灰色预测模型，对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测，同时还用 2002 至 2013 年的 人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测， 得出 2040 年时，中国人口有 14.22 亿。与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄 一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。 对于问题2针对深圳市人口结构中非户籍人口比重大，流动人口多这一特点，我们采用了灰色GM(1,1)模型，通过matlab 对深圳市自2001至2010年的数据进行拟合，发现其人口变化近似呈线性增长，线性相关系数高达0.99，我们就此认定其为线性相关并给出线性方程。同理，针对其非户籍人口，我们进行matlab 拟合发现，其为非线性相关，并得出相关函数。并做出了拟合函数 0.0419775(1)17255.816531.2t X t e ?+=?-。 对于新政策的实施，我们做出了两个假设。在假设只有出生率改变的情况，人口呈现一次函数线性增加。并拟合出一次函数0.032735617965.017372.5t Y e ?=?-；在假设人口增长率增长20%时，做出了预测如果单独二胎政策实施，到2021年，深圳市常住人口数将会到达1137.98千万人。 关键词:GM(1,1)灰色模型 Logistic 阻滞增长模型 线性拟合 非线性拟合

中国人口增长预测模型

北方民族大学学士学位论文论文题目:中国人口增长预测模型 院(部)名称:信息与计算科学学院 学生姓名:赖银波 专业:数学与应用数学学号:20040291指导教师姓名:高义讲师 论文提交时间: 2008年5月26日 论文答辩时间: 2008年5月30日 学位授予时间: 北方民族大学教务处制

中国人口增长预测模型 摘要 本课题来源于2007年全国大学生数学建模竞赛甲组A题，本文以中国人口发展为研究对象，首先综合分析题目提供的信息讨论了已有的一些预测方法及其适用的范围和优缺点，然后结合我国人口发展现状和题目提供的数据表确立了以2000年人口普查数据为基础数据、以大学生数学建模提供的2001年到2005年的各分量数据为预测指导方向、以2006年和2007年的公报数据为结果检验参照数据的整体建模思想，并在建模过程中提出了人口年龄推移算法，即通过上一年年末市镇乡男女各年龄人口数量、育龄妇女生育率和人口死亡率，计算出本年的出生人口数和死亡人口数，并结合2001年到2005年市镇乡人口比拟合出未来人口迁移变化式，在此基础上根据上一年年末人口总数加上当年出生人口数和迁进人口数，减去当年死亡人口数和迁出人口数，获得本年年末人口数量．依次进行推移，对未来30年中国人口进行预测．预测结果显示在未来30年中国人口规模将保持增长的趋势，2010年为13.4亿，2020年为13.9亿，并在2034年达到峰值14.2亿，中国人口实现零增长. 在此期间人口自然增长率持续平稳下降，妇女生育保持稳定的低水平，死亡率保持较低水平，人口抚养比持续下降，城镇化水平进一步提高，人口年龄结构继续向老年型人口转变. 文章最后结合预测结果提出了我国未来应继续坚持贯彻实施计划生育政策和加强关注农村老年人口等人口政策的建议． 关键词：中国人口数学模型人口预测人口政策 I

数学建模课程设计

攀枝花学院 学生课程设计（论文） 题目：产品广告费用分配对销量及利润的影响模型学生姓名：梁忠 学号： 201210802007 所在院(系)：数学与计算机学院 专业：信息与计算科学 班级： 12信本1班 指导教师：马亮亮职称：讲师 2014年12 月19 日 攀枝花学院教务处制

攀枝花学院本科学生课程设计任务书 题目具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型 1、课程设计的目的 数学建模课程设计是让学生通过动手动脑解决实际问题，让学生学完《数学建模》课程后进行的一次全面的综合训练，是一个非常重要的教学环节。 2、课程设计的内容和要求（包括原始数据、技术要求、工作要求等） 根据指导教师所下达的课程设计题目和课程设计要求，在规定的时间内完成设计任务；撰写详细的课程设计论文一份。 3、主要参考文献 【1】姜启源，数学模型（第二版），高等教育出版社，北京。 【2】寿纪麟，数学建模——方法与范例，西安交大出版社。 【3】（美）JOHN A.QUELCH 等著吕—林等译，市场营销管理教程和案例, 北京大学出版社 2000。 【4】戴永良广告绩效评估，中国戏剧出版社，2001。 4、课程设计工作进度计划 序号时间（天）内容安排备注 1 2 分析设计准备周一至周二 2 4 编程调试阶段周三至周一 3 2 编写课程设计报告周二至周三 4 2 考核周四至周五 总计10（天） 指导教师（签字）日期年月日 教研室意见： 年月日 学生（签字）： 接受任务时间：2014 年12 月15 日

注：任务书由指导教师填写。 课程设计（论文）指导教师成绩评定表题目名称具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型 评分项目分 值 得 分 评价内涵 选题15% 01 能结合所学课程知识，有 一定的能力训练。符合选 题要求 5 遵守各项纪律，工作刻苦努力，具有良好的科学 工作态度。 02 工作量适中，难易度合理10 通过实验、试验、查阅文献、深入生产实践等渠 道获取与课程设计有关的材料。 能力水平35% 04 综合运用知识的能力10 能运用所学知识和技能去发现与解决实际问题， 能正确处理实验数据，能对课题进行理论分析， 得出有价值的结论。 05 应用文献的能力 5 能独立查阅相关文献和从事其他调研；能提出并 较好地论述课题的实施方案；有收集、加工各种 信息及获取新知识的能力。 06 设计（实验）能力，方案 的设计能力 5 能正确设计实验方案，独立进行装置安装、调试、 操作等实验工作，数据正确、可靠；研究思路清 晰、完整。 07 计算及计算机应用能力 5 具有较强的数据运算与处理能力；能运用计算机 进行资料搜集、加工、处理和辅助设计等。 08 对计算或实验结果的分析 能力（综合分析能力、技 术经济分析能力） 10 具有较强的数据收集、分析、处理、综合的能力。 成果质量45% 09 插图（或图纸）质量、篇 幅、设计（论文）规范化 程度 5 符合本专业相关规范或规定要求；规范化符合本 文件第五条要求。 10 设计说明书（论文）质量30 综述简练完整，有见解；立论正确，论述充分， 结论严谨合理；实验正确，分析处理科学。 11 创新10 对前人工作有改进或突破，或有独特见解。 成绩 指 导 教 师 评 语 指导教师签名：年月日