第十二章第二节参数方程

第十二章第二节参数方程

课下练兵场

1．(2018·天津高考)设直线l 1的参数方程为?

???

?x ＝1＋t ，y ＝1＋3t ，(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，

那么l 1与l 2间的距离为

( )

A.10

B.3105

C.210

5

D ．310

解析：直线l 1的参数方程?????

x ＝1＋t ，

y ＝1＋3t

(t 为参数)．

化为一般方程为：x －11＝y －1

3，即 3x －y －2＝0.

又l 2：3x －y ＋4＝0.由两平行线间距离公式知 d ＝

|c 1－c 2|

a 2＋

b 2

＝|4－(－2)|10＝310

5.

答案：B

2．(2018·广东高考)假设直线?

????

x ＝1－2t ，

y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，那么常数k ＝( )

A ．25

B ．－6

C ．6

D ．7 解析：直线l 1：3x ＋2y －7＝0，直线l 2：4x ＋ky －1＝0. 由l 1⊥l 2，∴2k ＋3·4＝0，∴k ＝－6. 答案：B

3．点P (x ，y )在曲线?

????

x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)上，那么y

x 的取值范畴为 ( )

A ．(－

22，22] B ．[－33，33] C ．[－1,1] D ．[－55，5

5

] 解析： 曲线?

????

x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)是以(－2,0)为圆心，以1为半径的圆，设y

x

＝k ，

求y

x 的取值范畴，即求当直线y ＝kx 与圆有公共点时k 的取值范畴，如图结合圆的几何性质可得－

33≤k ≤33

.

答案：B

4．设直线参数方程为???

x ＝2＋t 2

，

y ＝3＋3

2

t (t 为参数)，那么它的斜截式方程为 ( )

A ．y ＝3x ＋(23－3)

B ．y ＝3x ＋(3－23)

C ．y ＝3x ＋(22－3)

D ．y ＝3x ＋(3－22)

解析：设直线的斜率为3，当t ＝－4时，x ＝0，y ＝3－23，故直线的斜截式方程为y ＝ 3x ＋( 3－23)． 答案：B

5．点P (x ，y )是椭圆2x 2＋3y 2＝12上的一个动点，那么x ＋2y 的最大值为 ( )

A.21

B.22

C.23 D ．26 解析：椭圆x 26＋y 2

4＝1，设点P (6cos θ，2sin θ)，

那么x ＋2y ＝6cos θ＋4sin θ＝22sin(θ＋φ)≤22. 答案：B

6．假设P (2，－1)为圆?

????

x ＝1＋5cos θ，

y ＝5sin θ(θ为参数且0≤θ<2π)的弦的中点，那么该弦所在的直

线方程为

( )

A ．x ＋y ＋3＝0

B ．x ＋y －3＝0

C ．x －y －3＝0

D ．x －y ＋3＝0

解析：∵圆?

????

x ＝1＋5cos θ，

y ＝5sin θ.

消去θ，得(x －1)2＋y 2＝25， ∴圆心C (1,0)，∴k CP ＝－1. ∴弦所在的直线的斜率为1.

∴弦所在的直线方程为y －(－1)＝1·(x －2)， 即为x －y －3＝0. 答案：C

7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?

????

x ＝t ＋3，

y ＝3－t (参数t ∈R)，圆C 的参数方程

为?

????

x ＝2cos θ，

y ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0,2π])，那么圆C 的圆心坐标为________，圆心到直线l 的距离为________．

解析：直线和圆的方程分不是：x ＋y －6＝0，x 2＋(y －2)2＝22，因此圆心坐标为(0,2)，其到直线距离为d ＝|0＋2－6|1＋1＝2 2.

答案：(0,2) 2 2

8．动圆方程x 2＋y 2－x sin2θ＋22y sin(θ＋π

4

)＝0(θ为参数)，那么圆心的轨迹方程是___________．

解析：圆心轨迹的参数方程为：

???

x ＝1

2sin2θ，y ＝－2sin(θ＋π4

)，即?????

x ＝sin θcos θ，

y ＝－(sin θ＋cos θ)，

消去参数θ得y 2＝1＋2x (－12≤x ≤1

2)．

答案：y 2＝1＋2x x ∈[－12，1

2

]

9．a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，点P (x ，y )为椭圆x 2a ＋y 2

b ＝1上的一点，那么x 2＋

2

2

xy ＋y 2的最大值为________． 解析：依题意得?????

2b ＝2a ＋b b 2＝a 2

b

，解得a ＝2，b ＝4，得椭圆方程为x 22＋y 2

4＝1，

设P (2cos θ，2sin θ)(θ为参数)，那么有 x 2＋

22xy ＋y 2＝(2cos θ)2＋2

2

×2cos θ×2sin θ＋4sin 2θ ＝2＋2sin 2θ＋sin2θ＝3＋sin2θ－cos2θ ＝3＋2sin(2θ－π

4)≤3＋2，

故最大值为3＋ 2. 答案：3＋ 2

10．(2018·南京模拟)过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线???

x ＝t ＋1

t

y ＝t －1

t

(t 为参数)相交于A 、

B 两点，求线段AB 的长．

解：曲线???

x ＝t ＋

1t

y ＝t －1

t

的一般方程为x 2－y 2＝4.

过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线方程为y ＝3

3

x ＋3， 联立方程组???

??

y ＝33x ＋3，x 2－y 2＝4消去y 得，

23

x 2

－2x －7＝0，

∴x 1x 2＝－21

2.x 1＋x 2＝3，

∴AB ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝

1＋k 2

(x 1＋x 2)2－4x 1x 2

＝217

11．直线l 的参数方程：?????

x ＝t ，y ＝1＋2t

(t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin(θ＋π

4)(θ为参

数)．

(1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判定直线l 和圆C 的位置关系．

解：(1)消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1； ρ＝22sin(θ＋π

4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，

两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， 消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为： (x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)圆心C 到直线l 的距离 d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2，

因此直线l 和⊙C 相交．

12．极坐标系的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合．直线l 的参数方程

为?

????

x ＝t cos θ

y ＝t sin θ(t 为参数，θ为直线l 的倾斜角)，圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ＋12＝0. (1)假设直线l 与圆C 相切，求θ的值；

(2)假设直线l 与圆C 有公共点，求θ的取值范畴．

解：因为直线l 的直角坐标方程为y =x tan θ或x =0，圆C 的直角坐标方程为(x -4)2+y 2=4. 由图形可知：

(1)当直线l 与圆C 相切时，θ=π6或θ=5π6

；

(2)当直线l 与圆C 有公共点时，θ∈[0，π6]∪[5π

6

，π)．

第十二章第二节参数方程

第十二章第二节参数方程 课下练兵场 1．(2018·天津高考)设直线l 1的参数方程为? ??? ?x ＝1＋t ，y ＝1＋3t ，(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4， 那么l 1与l 2间的距离为 ( ) A.10 B.3105 C.210 5 D ．310 解析：直线l 1的参数方程????? x ＝1＋t ， y ＝1＋3t (t 为参数)． 化为一般方程为：x －11＝y －1 3，即 3x －y －2＝0. 又l 2：3x －y ＋4＝0.由两平行线间距离公式知 d ＝ |c 1－c 2| a 2＋ b 2 ＝|4－(－2)|10＝310 5. 答案：B 2．(2018·广东高考)假设直线? ???? x ＝1－2t ， y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，那么常数k ＝( ) A ．25 B ．－6 C ．6 D ．7 解析：直线l 1：3x ＋2y －7＝0，直线l 2：4x ＋ky －1＝0. 由l 1⊥l 2，∴2k ＋3·4＝0，∴k ＝－6. 答案：B

3．点P (x ，y )在曲线? ???? x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)上，那么y x 的取值范畴为 ( ) A ．(－ 22，22] B ．[－33，33] C ．[－1,1] D ．[－55，5 5 ] 解析： 曲线? ???? x ＝－2＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)是以(－2,0)为圆心，以1为半径的圆，设y x ＝k ， 求y x 的取值范畴，即求当直线y ＝kx 与圆有公共点时k 的取值范畴，如图结合圆的几何性质可得－ 33≤k ≤33 . 答案：B 4．设直线参数方程为??? x ＝2＋t 2 ， y ＝3＋3 2 t (t 为参数)，那么它的斜截式方程为 ( ) A ．y ＝3x ＋(23－3) B ．y ＝3x ＋(3－23) C ．y ＝3x ＋(22－3) D ．y ＝3x ＋(3－22) 解析：设直线的斜率为3，当t ＝－4时，x ＝0，y ＝3－23，故直线的斜截式方程为y ＝ 3x ＋( 3－23)． 答案：B 5．点P (x ，y )是椭圆2x 2＋3y 2＝12上的一个动点，那么x ＋2y 的最大值为 ( ) A.21 B.22 C.23 D ．26 解析：椭圆x 26＋y 2 4＝1，设点P (6cos θ，2sin θ)， 那么x ＋2y ＝6cos θ＋4sin θ＝22sin(θ＋φ)≤22. 答案：B

分式方程知识点归纳总结(整理)

重庆渝昂教育个性化辅导中心 重庆市渝北区两路步行街金易都会八楼809 电话：67836768 邮箱：youngedu@https://www.docsj.com/doc/0b2105642.html, 第 1 页 共 1 页 分式方程知识点归纳总结 1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式。 1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。 2) 分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。 3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零 2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 用式子表示 其中A 、B 、C 为整式（0≠C ） 注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。 （2）应用基本性质时，要注意C ≠0，以及隐含的B ≠0。 （3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分 母乘除的不是同一个整式的错误。 3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式 1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。 2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式 3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母 的分式化成分母相同的分式。 4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。 4. 分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为 注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。 5. 条件分式求值 1） 整体代换法：指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式 子，从而可避免局部运算的麻烦和困难。 例：已知 ，则求 2）参数法：当出现连比式或连等式时，常用参数法。 例：若 ，则求 6. 分式的运算： 1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 3）分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 4）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左到右的顺序运算 5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减 ,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±=±=±= bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=?;n n n b a b a =)(C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷= 41 1=+b a b b a b ab a a 7223-++-4 32c b a == c b a c b a +++-523

2019中考数学热点难点突破《分式方程中的参数问题》(解析版)

考纲要求: 1. 了解分式方程的概念 2.会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个），会对分式方程的解进行检验. 3.会用分式方程解决简单的事件问题. 基础知识回顾: 1.分式方程的定义： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般步骤： ()1去分母化分式方程为整式方程. ()2解这个整式方程，求出整式方程的根. ()3检验，得出结论.一般代入原方程的最简公分母进行检验. 3.增根.增根是分式方程化为整式方程的根，但它使得原分式方程的分母为零.学*科网 应用举例: 招数一、分式方程增根问题：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【例1】当____________时,解分式方程会出现增根． 【答案】2 考点：分式方程的增根． 招数二、分式方程无解问题：分式方程无解分为以下两种情况：①原方程解不出数来，也就是整式方程无解；②整式方程能解出来，但是解出来的数使得原分式方程的分母为零，也就是所谓的增根，所以切记一定要讨论。

【例2】若关于x的方程无解，则m的值为__． 【答案】-1或5或 考点：分式方程的解． 招数三、已知分式方程解的范围求参数范围问题：明确告诉了解的范围，首先还是要按正常步骤解出方程，解中肯定带有参数，再根据解的范围求参数的范围，注意：最后一定要讨论增根的问题.[来源:学,科,网] 【例3】关于x的方程＝1的解是非负数，则a的取值范围是（） A．a≥﹣3 B．a≤﹣3 C．a≥﹣3且a D．a≤﹣3且a 【答案】D 【解析】 解：解方程＝1，得：x＝﹣a﹣3， ∵方程＝1的解是非负数， ∴﹣a﹣3≥0且﹣a﹣3≠， 解得：a≤﹣3且a≠﹣， 故选：D． 【例4】若关于x的分式方程=1的解是负数,求m的取值范围. 【答案】m<2且m≠0.

2013届高考数学一轮复习课时检测 第二节 参数方程 理

选修4-4 第二节 参数方程 1．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆? ?? ?? x ＝5cos φ， y ＝3sin φ(φ为参 数)的右焦点，且与直线? ?? ?? x ＝4－2t ， y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程． 解：由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2 －b 2 ＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0. 故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝1 2(x －4)， 即x －2y －4＝0. 2．在椭圆x 29＋y 2 4＝1上求一点M ，使点M 到直线x ＋2y －10＝0的距离最小，并求出最小 距离． 解：因为椭圆的参数方程为??? ?? x ＝3cos φ， y ＝2sin φ (φ为参数)， 所以可设点M 的坐标为(3cos φ，2sin φ)． 由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为 d ＝ |3cos φ＋4sin φ－10|5 ＝|5cos φ·35＋sin φ·4 5 －10| 5 ＝ 1 5 |5cos(φ－φ0)－10|， 其中φ0满足cos φ0＝35，sin φ0＝4 5. 由三角函数的性质知， 当φ－φ0＝0时，d 取最小值 5. 此时，3cos φ＝3cos φ0＝9 5， 2sin φ＝2sin φ0＝8 5. 因此，当点M 位于(95，8 5 )时， 点M 到直线x ＋2y －10＝0的距离取最小值 5.

3．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是 ????? x ＝－3 5t ＋2，y ＝45t (t 为参数)． (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设直线 l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求|MN |的最大值． 解：(1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2 ＝2ρsin θ， 又x 2 ＋y 2 ＝ρ2 ，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2 ＋y 2 －2y ＝0. (2)将直线l 的参数方程化为普通方程， 得y ＝－4 3(x －2)， 令y ＝0得x ＝2， 即M 点的坐标为(2,0)． 又曲线C 为圆，且圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1， 则|MC |＝ 5. 所以|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1. 即|MN |的最大值为5＋1. 4．已知圆M ：??? ? ? x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)的圆心F 是抛物线E ：??? ? ? x ＝2pt 2 ，y ＝2pt 的 焦点，过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，求AF ·FB 的取值范围． 解：圆M ：? ?? ?? x ＝1＋cos θ， y ＝sin θ的普通方程是(x －1)2＋y 2 ＝1， 所以F (1,0)． 抛物线E ：??? ?? x ＝2pt 2 ， y ＝2pt 的普通方程是y 2 ＝2px ， 所以p 2 ＝1，p ＝2，抛物线的方程为y 2 ＝4x . 设过焦点F 的直线的参数方程为??? ?? x ＝1＋t cos θ y ＝t sin θ ，(t 为参数)， 代入y 2 ＝4x ，得 t 2sin 2θ－4t cos θ－4＝0. 所以AF ·FB ＝|t 1t 2|＝4 sin 2θ .

第二节参数方程-高考状元之路

第二节 参数方程 预习设计 基础备考 知识梳理 1．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：???==). (),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在 ，那么方程叫做这条曲线的参数方程，t 叫做参变数，简称 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 2．直线的参数方程 过定点),(000y x p 且倾斜角为α的直线的参数方程为 （t 为参数），则参数t 的几何意义是 3．圆的参数方程 圆心为(a ，b)，半径为r ，以圆心为顶点且与x 轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角α为参数的圆的参数方程为 ).2,0[πα∈ 4．椭圆的参数方程 以椭圆的离心角θ为参数，椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的参数方程为 ).2,0[πθ∈ 典题热身 1．已知直线l 的参数方程为??? ????+=--=t y t x 222,221（t 为参数），则直线l 的斜率为( ) 1.A 1.-B 2 2. c 22.-D 答案：B 2．过点M(2，1)作曲线θθ θ,sin 4cos 4:?? ?==y x c 为参数）的弦，使M 为弦的中点，则此弦所在直线的方程为 ( ) )2(2 11--=-?x y A )2(21--=-?x y B )1(2 12--=-?x y C )1(22--=-?x y D 答案：B

3．圆),0()(222>=+-r r y r x 点M 在圆上，O 为原点，以?=∠MOx 为参数，那么圆的参数方程为 ( ) ???==??sin ,cos .r y r x A ???=+=??sin ),cos 1(.r y r x B ???+==)sin 1(,cos .??r y r x c ? ??=+=??2sin ),2cos 1(.r y r x D 答案：D 4．直线t t y t x (531,541??? ????-=+=为参数）被曲线)4(2πθρ+∞=s 所截的弦长为 答案：5 7 课堂设计 方法备考 题型一 直线的参数方程及应用 【例1】已知直线l 经过点A(l ，2)，倾斜角为 ?3 π (1)求直线l 的参数方程; (2)求直线l 和圆922=+y x 的两个交点到点A 的距离之积． 题型二 圆的参数方程及应用 【例2】已知P(x ，y)是圆022 2=-+y y x 上的动点． (1)求y x +2的取值范围． (2)若0≥++c y x 恒成立，求实数C 的取值范围． 题型三 椭圆的参数方程及应用 【例3】如图所示，已知点M 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上在第一象限的点，A(a ，O)和B(O ，b)是椭圆的两个顶点，O 为原点，求四边形MAOB 的面积的最大值． 题型四 参数方程与极坐标的综合问题 【例4】（2011．课标全国卷）在直角坐标系xOy 中，曲线1c 的参数方程为?? ???+==.sin 22(,cos 2αααy x 为参数)M 是C ，上的动点，P 点满足P OM OP ,2=点的轨迹为曲线?2c

数学人教版八年级上册含参数的分式方程应用

分式方程应用（2） ——含参数的分式方程应用武汉二中广雅中学张勇 教学目标知识 技能 1．会解含参数的分式方程 2．会分析题意找出等量关系. 方法通过小组讨论、合作、比赛的形式激励学生勇于思考问题，并提出自己的见解，体现翻转课堂中学生的主体性 情感 态度 1.在小组合作中，增加学生的交流，培养学生的合作意识，及团队精神. 2.在解决问题中，让学生了解数学知识来源于生活，同时又为生活服务. 重点利用分式方程解决简单的含参数的行程问题. 难点根据行程问题找等量关系，能能完整、正确的解出该分式方程. 环节教学问题设计 教学活动设计 任务单反馈三个主要问题： 1.过程的不完整和不规范 问：分式方程应用题的基本步骤有哪几步？ 2.不会解含参数的分式方程 问：什么是含参数的分式方程？ 3，不会分析题意中的等量关系 学生抢答，回顾上节课重点内 容： 或由教师指定几个学生对出现 的问题进行点评，其他同学可以 补充，增强对出现问题的认识 重难点突破突破1：会解含参数的分式方程 例1： 1 1(1) 1 a a x +=≠ - 练习（1） 2 0(2) 2 a a x x -=≠ - （2） 5 (50) a a a x x a =≠≠ - 且 问：参数字母的限定对方程检验有影响吗？ 突破2：会分析等量关系列方程 例2：甲、乙两人同时从A地出发，步行到a 千米的B地，甲比乙每小时多走1千米， 结果比乙早到半个小时，求两人每小时各 走多少千米？若设乙每小时走x千米，则 根据题意可列方程为_________________ 突破1由老师和学生共同分析 分式方程的解法的每一步，并由 老师对每一步可能出现的问题 进行点评，加深学生对参数表示 已知数还是未知数的理解 对与分式方程的练习以小组比 赛的形式看哪一组完成的正确 率高，速度快，提高学生的竞争 意识. 突破2由学生分析基本的行程 中数量关系，体会审题中对等量 关系关键词的关注，和体会不同 等量关系对不同的方程形式的 影响. 最后由老师给予总结和点评

含字母参数的分式方程专题导学案

15.3.1含字母参数的分式方程专题导学案 班级：姓名： 解方程：{ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT | 增根的定义： 1、____________________ 2、____________________ 类型一：分式方程有增根 例1：若关于的方程有增根，求的值。 方法归纳： （1）化分式方程为____________________； （2）根据________________,确定增根的 值； （3）解含参数方程方法： ①___________________________； ②___________________________。 练习1：如果关于的方程有增根，则的值为_________ 练习2：若方程有增根，则增根为_______，k的值_______ 练习3：若关于的方程有增根，求增根和的值。 类型二：分式方程无解 例2:若关于的方程无解，求的值

练习4：如果关于的分式方程无解，求的值 类型三：分式方程的解为正数或者为负数（其他的限制条件） 例3：如果关于的方程的解为正数，则m的 取值范围？提示：不要忘记保证____________（即 ________________）这个隐含条件。 方法归纳： （1）__________________________； （2）__________________________； （3）__________________________。 练习5：如果关于的方程的解为正数，则a的取值范围____________。 练习6：当的值为何值时，关于的方程的解为负数？

中考数学专项练习分式方程的增根(含解析)

中考数学专项练习分式方程的增根（含解析）【一】单项选择题 1.以下关于分式方程增根的说法正确的选项是〔〕 A.使所有的分母的值都为零的解是增 根 B.分式方程的解为零就是增根 C.使分子的值为零的解就是增 根 D.使最简公分母的值为零的解是增根 2.解关于x的方程产生增根，那么常数的值等于〔〕 A.－ 1 B.－ 2 C.1 D.2 3.关于x的方程﹣=0有增根，那么m的值是〔〕 A.2 B.- 2 C.1 D.-1 4.假设关于x的分式方程有增根，那么k的值是〔〕

A.- 1 B.- 2 C.2 D.1 5.假设关于x的分式方程?m＝无解，那么m的值为〔〕 A.m= 3 B.m= C.m= 1 D.m=1或 6.解关于x的方程＝产生增根，那么常数m的值等于〔〕 A.-1 B.-2 C.1 D.2 7.如果关于x的方程无解，那么m等于〔〕 A.3

B.4 C.- 3 D.5 8.分式方程+1＝有增根，那么m的值为〔) A.0和 2 B.1 C.2 D.0 9.解关于x的分式方程时不会产生增根，那么m的取值是〔〕 A.m≠ 1 B.m≠﹣ 1 C.m≠ D.m≠±1 10.假设解分式方程产生增根，那么m的值是〔〕 A.或 B.或 2 C.1或 2 D.1或

11.假设关于x的分式方程+ =1有增根，那么m的值是〔〕 A.m=0或m= 3 B.m= 3 C.m= D.m=﹣1 12.以下说法中正确的说法有〔〕 〔1〕解分式方程一定会产生增根；〔2〕方程=0的根为x=2；〔3〕x+ =1+ 是分式方程． A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3个 13.假设关于x的方程有增根，求a的值〔〕 A.0 B.- 1 C.1 D.-2 【二】填空题

破解高考数学压轴题之 参数方程

第二节参数方程 目录 第二节参数方程 (1) 考点一求曲线的参数方程 (3) 考点二参数方程与普通方程的互化 (3) 考点三圆和圆锥曲线的参数方程问题应用及其最值问题 (5) 考点五直线的参数方程及其应用 (10) 考点六利用参数法求轨迹方程 (13) 考点七极坐标参数方程的综合应用 (13)

一、基础知识 1．曲线的参数方程 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数????? x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化 (1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，则 得曲线的参数方程????? x ＝f (t )，y ＝g (t ). 3．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为()00cos sin x x t t y y t αα =+??=+?为参数． 注意：直线的参数方程可以写成这样的形式：()00x x at t y y bt =+??=+?为参数，当221a b +=且b >0时，0t M M = 此时，我们可以认为cos sin a b αα==，若[)0απ∈，，则α为倾斜角。 直线参数方程的标准形式的应用 过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是()00cos sin x x t t y y t αα =+?? =+?为参数，若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则. ①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|. ②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝???? ??t 1＋t 22. ③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.

分式方程中的增根问题

2.4-2 分式方程中的增根问题 【学习目标】 1.知道分式方程的增根及产生增根的原因. 2.已知增根会求待定系数的值. 【核心知识】分式方程产生增根的原因；知识核心：已知增根会求待定系数的值.学习过程 一、知识链接 1.什么是分式方程?解分式方程的关键是什么？应该注意哪些问题 2.解方程: （1） 105 2 2112 x x += --（2）2 2 1 2 2 2 + - = + + x x x 二、新课学习 探究一分式方程产生增根的原因 1.看书39页议一议，思考问题： (1)产生增根的原因是什么？ （2）什么是原方程的增根？（在书上画出、小组讨论） （3）如何检验？ 点拨:（1）产生增根的原因：我们在方程两边乘以一个不为零的整式，扩大了值域. （2）解分式方程去分母时，方程两边都乘以各分母的最简公分母，检验时可代入最简公分母看是否为零. 2.课本例2，（学生尝试在练习本上做，不会可参考课本上的过程） 3.练习：做课本40页的随堂练习（找学生板演，其他学生做课堂练习本上） 探究二已知增根求待定系数的值. 1．若方程 x x－3 －2＝ k x－3 有增根，试求k的值. （学生先独立做，讨论解题思路） 点拨:解这类题的一般步骤：（1）把分式方程化成整式方程（2）令最简公分母为0，求出求出x的值（3）把x的值代入整式方程，求出字母系数的值. 2.练习：若方程 2 2 2 2 = - + + -x m x x有增根，试求m的值。

三、课堂达标 1.若方程 的解是非正数，求a 的取值范围. 2.若方程x x －3 －2＝k x －3 有增根，试求k 的值. 四、课堂小结，回顾思考 1.解分式方程的解的两种情况： 所得的根是原方程的根、②所得的根不是原方程的根 2.原方程的增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根 3.产生增根的原因：在把分式方程转化为整式方程时，分式的两边同时乘以了一个不为零的整式，扩大了值域. 4.验根：把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零。使最简公分母值为零的根是增根. 5.解这类题的一般步骤：（1）把分式方程化成整式方程. （2）令公分母为0，求出求出x 的值. （3）把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值. 课外训练 【基础达标】 1.当m 为何值时，关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根？ 2.如果分式方程11(2)a x x x -=-有增根x=0.求a 的值. 3.若方程有 918332-=--+x x x x x 增根，求增根x.

2022高三统考数学文北师大版一轮教师文档：选修4-4第二节 参数方程

第二节 参数方程 授课提示：对应学生用书第201页 [基础梳理] 1．曲线的参数方程 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数???x ＝f （t ），y ＝g （t ）， 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫作参变数，简称参数． 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化 (1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参 数的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程???x ＝f （t ）， y ＝g （t ）. 3轨迹 普通方程 参数方程 直线 y －y 0＝tan α(x －x 0) (α≠π2，点斜式) ???x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0 ＋t sin α (t 为参数) 圆 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2 ? ??x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0) ???x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数) 1．参数方程化普通方程 (1)常用技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等． (2)常用公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1，1＋tan 2θ＝1 cos 2θ. 2．直线参数方程的标准形式的应用 过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ?????x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则 (1)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|. (2)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 2 2，中点M 到定点M 0的距

含有参数的分式方程Word版

含有参数的分式方程 【问题一】解含有参数的分式方程 例如：解关于x 的方程11(1)1 a a x +=≠- 分析：解分式方程的一般是方法将分式方程转化为整式方程，通过在等式两边乘以最简公分母达到去分母的效果。在解决含有参数的分式方程时，将参数看作一个常数进行运算，用含有参数的代数式表示方程的解。 解：去分母，方程两边同时乘以1x - 得：1(1)1a x x +-=- 整理方程得：(1)2a x a -=- ∵1a ≠，∴10a -≠， ∴21 a x a -=- 检验，当21 a x a -= -时，10x -≠ ∴原分式方程的解为21a x a -=- 小结：将等式中的参数看作常数，用含有参数的代数式表示一个未知数的值，是解决含参问题的基本方法。 练习：解关于x 的方程 10(0,1)1m m m x x -=≠≠+且 （1m x m =-） 【问题二】已知含有参数的分式方程有特殊解，求参数的值 例如：当a 为何值时，关于x 的方程12325 x a x a +-=-+的解为0. 分析：将方程的解代入原方程建立关于参数的方程。 解：当x =0是方程的解时 有 0123025a a +-=-+，解得 15 a = 当15 a =时，50a +≠ 所以15a =是方程23152 a a -=-+的解. 所以当15a =时，原方程的解为0 . 小结：方程的解是指使得等式两边相等的未知数的值，所以将方程的解代入原式，等式依然成立。 练习：当a 为何值时，关于x 的方程2334 ax a x +=-的解为1. （3a =）

【问题三】已知含有参数的分式方程解的范围，求参数的值 例如：已知关于x 的方程233 x m x x -=--的解为正数，试求m 的取值范围. 分析：将m 看作常数，表示出方程的解，根据方程的解的范围建立关于m 的关系式，注意 方程有意义这个前提条件. 解：去分母得：2(3)x x m --= 解得6x m =- ∵原方程的解为正数， ∴0x >，即60m ->……………① 又∵原方程要有意义 ∴30x -≠，即63m -≠……………② 由①②可得6m <且3m ≠ 所以，当6m <且3m ≠时，方程的解为正数. 小结：用含有参数的代数式将方程的解表示出来，进而根据原方程解的范围，建立与参数有关的关系式子。 练习：若关于x 的方程2122212 x x x a x x x x --++=-+--的解为负数，试求a 的取值范围. （5a <-且7a ≠-） 【问题四】已知含有参数的分式方程有增根，求参数的值 例如：已知关于x 的方程211 x k x x +=--有增根，求k 的值. 分析：分式方程的增根不是原分式方程的解，而是分式方程去分母后所得的整式方程的解中使得最简公分母为0 的未知数的值. 解：去分母，等式两边同时乘以1x -， 得 22x k x +=-， 解得 2x k =+ ∵分式方程有增根， ∴10x -=，即1x = ∴21k +=，解得1k =- 所以1k =-时，原方程有增根. 小结：含有参数的分式方程有增根求参数的一般方法. ①解含有参数的分式方程（用含有参数的代数式表示未知数的值）； ②确定增根（最简公分母为0）； ③将增根的值代入整式方程的解，求出参数. 练习：已知关于x 的方程212122 k x x x x +=-++-有增根，求k 的值. 变式：已知关于x 的方程212221(2)(1) x x x ax x x x x -++-=-+-+无增根，求a 的值.

初中数学分式方程练习题

分式方程练习题 一 ；填空题 1．当x =______时， 15x x ++的值等于12． 2．当x =______时，424x x --的值与5 4 x x --的值相等． 3．若11x -与1 1 x +互为相反数，则可得方程___________,解得x =_________. 4．若方程 212x a x +=--的解是最小的正整数，则a 的值为________. 5. 分式方程2131 x x =+的解是_________ 6. 若关于x 的分式方程 3 11x a x x --=-无解，则a = ． 二、选择题 7．下列方程中是分式方程的是（ ） （A ） (0)x x x π π= ≠ （B ）111235x y -= （C ）32 x x x π=+ （D ）11 132x x +--=- 8．解分式方程12133x x x +-=，去分母后所得的方程是（ ） （A ）13(21)3x -+= （B ）13(21)3x x -+= （C ）13(21)9x x -+= （D ）1639x x -+= 9.．化分式方程 22134 05511x x x --=---为整式方程时，方程两边必须同乘（ ） （A ）2 2 (55)(1)(1)x x x --- （B ）2 5(1)(1)x x -- （C ）2 5(1)(1)x x -- （D ）5(1)(1)x x +- 10．下列说法中错误的是（ ） （A ）分式方程的解等于0，就说明这个分式方程无解 （B ）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程 （C ）检验是解分式方程必不可少的步骤 （D ）能使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值不是原分式方程的解． 11.解分式方程 2236111 x x x +=+--，下列说法中错误的是（ ） （A ）方程两边分式的最简公分母是(1)(1)x x +- (B)方程两边乘以(1)(1)x x +-，得整式方程2(1)3(1)6x x -++= (C)解这个整式方程，得1x = (D) 原方程的解为1x = 12．下列结论中，不正确的是（ ）

含参数分式方程问题详解

分式方程参数问题 求分式方程中参数（字母系数）的取值范围的问题是一类非常重要的题目，在各类试题中出现频率较高，和解分式方程的题目相比，它更能考差学生思维的全面性和敏捷程度。在此类题目中往往首先给出分式方程解的情况，让解题者作出逆向判断，从而确定参数的取值范围。由于分式方程是先化成整式方程求解的，并且在去分母化简的过程中容易扩大未知数的范围，所以求出的参数的取值范围也就不准确了。 例1. 已知关于x 的分式方程 132323-=--+--x mx x x 无解，求m 的值。 正解：将原方程化为整式方程，得：()21-=-x m ， 因为原分式方程无解，所以()01=-m 或312 =--m 所以m=1或 m=3 5 ． 辨析：产生错误的原因是只从字面意思来理解“无解”，认为“无解”就单单是解不出数来。实际上，导致分式方程无解的原因有两个：①解不出数来，也就是整式方程无解；②解出的数不符合原方程，也就是整式方程虽然有解，但这个解能使最简公分母为零． 例2. 已知关于x 的分式方程 3 23-= --x m x x 有一个正解，求m 的取值范围。 正解：将原方程化为整式方程，得：()m x x =--32 ∴m x -=6，∵原方程有解且是一个正解 ∴06>-m 且36≠-m ∴m 的取值范围是：m ＜6且m ≠3 辨析：产生错误的原因是忽视了分式方程的解必须满足的条件：最简公分母不等于零。误认为分式方程有一个正解就是整式方程有一个正解，从而简单处理了事。实际上，题目隐含着一个重要的条件：x ≠3, 有一个正解并不表示所有的正数都是它的解，而表示它有一个解并且这个解是一个正数两层含义。 例3：已知关于x 的分式方程4 2212-=-+x m x x 的解也是不等式组()?????-≤-->-8 32221x x x x 的一个解，求m 的 取值范围。

重庆市巴蜀中学2019年中考数学冲刺复习——第1部分 含参分式方程与含参不等式组

第一部分 含参分式方程与含参不等式组 1．从4,3,1,3,4??这五个数中，随机抽取一个数，记为m ，若m 使得关于,x y 的二元一次方 程组2223x y mx y +=???=?? 有解，且使关于x 的分式方程12111m x x ??= ??有正数解，那么这五个数中所有满足条件的m 的值之和是（ ） A ．1 B ．2 C ．1? D ．2? 2．从、0、25这五个数中，随机抽取一个数记为m ，若数m 使关于x 的不等式组? ? ?+≥??+>14122m x m x 无解，且使关于x 的分式方程122 2?=????x m x x 有非负整数解，那么这五个数中所有满足条件的m 的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3. 若关于x 的不等式组3428 712x x x a x +≤+?? ?+?

分式含参问题

分式计算 1．化简x x x x ---23 1 的结果是 （ ） A 、1 B 、1-x C 、 1-x x D 、x x -1 2．若x 取整数，则使分式的值为整数的x 值有（ ） 3． 若 3,--+=-b a b a b a 则的值是（ ） A -2 B 2 C 3 D -3 4.老师出了一道题“化简： 23224 x x x x +-++-” 小明的做法是：原式22222 2(3)(2)2628 4444 x x x x x x x x x x x +--+----=-==----； 小亮的做法是：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-； 小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222 x x x x x x x x x x +-++-= -=-==++-+++．其中正确的是（ ） A ．小明 B ．小亮 C ．小芳 D ．没有正确的 5.若分式221-2b-3b b -的值为0，则b 的值为（ ） A. 1 B. -1 C.±1 D. 2 6. 已知 311=-y x ，则y xy x y xy x ---+2232的值为 。 7.当x 为 时，代数式293132 x x x x ++---的值等于2。 8.若实数m 满足m 2 －m —1 = 0，则 m 2 + m －2 = 。 9.在公式 ()1212 111 0R R R R R =++≠中，已知1R 、2R ，则R=________________。

10.已知30x y -=，求).(222 2y x y xy x y x -+-+的值为 。 11、计算 （1） （2） x x x x x x x x -÷+----+4)4 4122( 22 12、解关于x 的方程 （1）52-x x +x 255 -=1 （2）4 4214252-=--+x x x （3）a 1+x a =b 1+x b （a ≠b ） （4）612444444 02222y y y y y y y y +++---++-=2 13、已知() 22 584422x A B x x x x -=+-+--，试确定整数A,B 的值． 14．有这样一道题：“计算222211 1x x x x x x x -+-÷--+的值， 其中2004x =”甲同学把“2004x =”错抄成“2040x =”，但他的计算结果也正确，你说这是怎么回事？ 15．先化简：a a a a a -+-÷--2 244)111(，然后请选取你喜欢的a 的值代入，求出分式的值。

含参分式方程

分式方程 1. 解分式方程的思路是： （1） 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2） 解这个整式方程。 （3） 把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原 方程的增根，必须舍去。 （4） 写出原方程的根。 “一化二解三检验四总结” 例1：解方程21 4 111x x x +-=-- 解方程22321 ++-=+-x x x x ． ． 例2：解关于x 的方程22 3 242ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。 例3：解关于x 的方程223 242ax x x x +=--+无解，则常数a 的值。 若方程3 2x x --=2m x -无解，则m=——————． 例4：若分式方程212x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围。 已知关于x 的方程233x m x x -=--有一个正数解，求m 的取值范围

4、当m 为何值时，关于x 的方程22-x ＋42-x mx ＝2 3+x 会产生增根． 若关于ｘ的方程3312-+ =-+x x m x x 有增根，求ｍ的值． 若关于ｘ的方程554 -=--x m x x ＋３无解，求ｍ的值． 若方程111+=-+-x x x k x x 无解，则ｋ的值是多少？ 5、若关于x 的分式方程3 11x a x x --=-无解，求a 当堂检测 1. 解方程11322x x x -=--- 2. 关于x 的方程12144a x x x -+=--有增根，则a = 3. 解关于x 的方程15m x =-下列说法正确的是（ ） A.方程的解为5x m =+ B.当5m >-时，方程的解为正数 C.当5m <-时，方程的解为负数 D.无法确定 4.若分式方程1x a a x +=-无解，则a 的值为-------- 5. 若分式方程=11m x x +-有增根，则m 的值为------------- 6.分式方程1 21m x x =-+有增根，则增根为----------- 7. 关于x 的方程1 122k x x +=--有增根，则k 的值为---------- 8. 若分式方程x a a a +=无解，则a 的值是---------- 9.若分式方程201m x m x ++=-无解,则m 的取值是------ 10. 若关于x 的方程(1)5 321m x m x +-=-+无解，则m 的值为----- 11. 若关于x 的方程3 11x m x x --=-无解，求m 的值为-------

含参数分式方程问题详解

含参数分式方程问题详解 分式方程参数问题 求分式方程中参数（字母系数）的取值范围的问题是一类非常重要的题目，在各类试题中出现频率较高，和解分式方程的题目相比，它更能考差学生思维的全面性和敏捷程度。在此类题目中往往首先给出分式方程解的情况，让解题者作出逆向判断，从而确定参数的取值范围。由于分式方程是先化成整式方程求解的，并且在去分母化简的过程中容易扩大未知数的范围，所以求出的参数的取值范围也就不准确了。例1.已知关于x的分式方程乙竺1无解，求m的 值。 x 3 3 x 正解：将原方程化为整式方程，得：1 m x 2， 因为原分式方程无解，所以1 m 0或? 3 1 m 所以m=1或m= 5. 3 辨析：产生错误的原因是只从字面意思来理解“无解”，认为“无解”就单单是解不出数来。 实际上，导致分式方程无解的原因有两个：①解不出数来，也就是整式方程无解；②解出的数不符合原方程，也就是整式方程虽然有解，但这个解能使最简公分母为零. 例2.已知关于x的分式方程亠 2 —有一个正解，求m的取值范围。 x 3 x 3

正解：将原方程化为整式方程，得：x 2x 3 m x 6 m，丁原方程有解且是一个正解 6 m 0且6 m 3 m的取值范围是：m v 6且m z 3 辨析：产生错误的原因是忽视了分式方程的解必须满足的条件：最简公分母不等于零。误认为分式方程有一个正解就是整式方程有一个正解，从而简单处理了事。实际上，题目隐含着一个重要的条件：x z 3,有一个正解并不表示所有的正数都是它的解，而表示它有一个解并且这个解是一个正数两层含义。 例3：已知关于x的分式方程1亠輕的解也是不等式组 A x 2的一个解，求m的 2 x x2 4 2