北京理工大学 离散数学I 期末测试

课程编号：MTH07034 北京理工大学2015-2016学年第二学期

2015级离散数学期末试题（A卷）

班级学号姓名成绩

1.选择题（共10题, 每题1分）

1)设p：我有时间，q：我去旅游，下面哪个命题可以符号化为p→q？( )

A. 除非我有时间，我才去旅游.

B. 除非我去旅游，否则我没时间.

C. 只有我有时间，我才去旅游.

D. 我去旅游仅当我有时间.

2)设C(x)表示x是运动员，G(x)表示x是强壮的，则命题“没有运动员不是

强壮的”符号化为哪个公式？( )

A. ??x(C(x)∧?G(x))

B.??x(C(x)→?G(x))

C. ??x(C(x)∧?G(x))

D.??x(C(x)→?G(x))

3)设F(x)表示x是火车，G(y)表示y是汽车，H(x,y)表示x比y快，则命题“有

的汽车比所有的火车快”符号化为下面哪个公式？( )

A. ?y(G(y)→?x(F(x)∧H(x,y)))

B. ?y(G(y)∧?x(F(x)→H(y,x)))

C. ?x?y(G(y)→(F(x)∧H(x,y)))

D. ?y(G(y)→?x(F(x)→H(x,y)))

4)下列推理哪个是不正确的？( )

A. 前提：?p∨ (q→r), ?s∨p, q结论：s→r

B. 前提：(p∨q)→ (r∧s), (s∨t)→u结论：p→u

C. 前提：(p∧q) →r, r→s, ?s∧p结论：q

D. 前提：p→ (q→r), p , q结论：r∨s

5)下面哪个命题公式是永真式？( )

A. (p∨q) →?r

B. (q→p)∧q→p

C. ?(?p∨q)∧q

D. ?(p→q)?r

6)下列命题中错误的是哪个？( )

A. x∈{x}?{{x}}；

B. {x}?{x}-{{x}}；

C. 若A={x}?x，则x∈A且x?A；

D. A-B=?? A=B.

7)下列命题中正确的是哪个？( )

A. 若A?B=A?C，则B=C；

B. 若A?B=A?C，则B=C；

C. 若A⊕B=A⊕C，则B=C；

D. 若A?B且C?D，则A?C?B?D.

8)集合A={1,2,3,6}，A上的整除关系具有的性质是下面的哪个？( )

A. 自反的、对称的、可传递的；

B. 反自反的、对称的、可传递的；

C. 自反的、反对称的、可传递的；

D. 反自反的、反对称的、可传递的.

9)设为偏序集, B?A,下面描述错误的是哪个？( )

A. B的下界、上界一定存在；

B. B的下确界、上确界不一定存在；

C. B的下确界、上确界如果存在，则惟一；

D. B的最小元是其下确界.

10)自然数集合N与下述哪个集合不等势？( )

A. 有理数集合Q；

B. {0,1}N；

C. N×N；

D. N-{1,2,3}.

2.判断题（共10题, 每题1分，真为"T", 假为"F"）

1)在命题逻辑中，公式((?p∧q) →r) ?(?r∨s)的层次是4. ( )

2)在命题逻辑中，公式q∧?(p→q) 是可满足式. ( )

3)每一个极小项当其真值指派与编码相同时，其真值为1，在其余2n-1 种

指派情况下均为0. ( )

4)C1∧C2与Res(C1,C2)是等值的. ( )

5)?x?yG(x,y)??y?xG(x,y) ( )

6)A、B、C是任意三个集合，则(A×B)×C=A×(B×C). ( )

7)设F是任意的关系, 则ran F -1= dom F.( )

8)恒等关系确定的自然映射是双射. ( )

9)设R为A上的关系, 则R 在A上反对称当且仅当R∩R-1 = I A. ( )

10)任何实数区间都与实数集合R等势. ( )

3.填空题（共10题, 每题3分）

1)在命题逻辑中，公式A = (p∨q) →?r的成假赋值为_____________________.

2)设C1= ?p∨q∨r,C2= p∨q∨?s, 则Res(C1, C2)= _____________________.

3)给定解释I 如下:

(a) 个体域为实数集合; (b) a=0

(c) f(x,y)=x- y (d) F(x,y):x=y, G(x,y):x

则公式?x?y(G(x,y) →?F(f(x,y), a))在I下的真值为_____________________.

4)设个体域D={a,b}, 消去公式?x?y(F(x)∧G(y))→H(y)中的量词后得到的公式

为（要求使用不超过四个联结词）_____________________.

5)公式(?xF(x,y) →?yG(y))→?xH(x,y)的前束范式为_____________________.

6)令S={100,101,102,…,999}，在S中有个数，它们都至少含有数字3

或7.

7)已知A={1,2,3,4}，R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>}，则

A/R=_____________________.

8)偏序集，其中A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，R是A上的整除关系，则A的

极大元是_____________________.

9)R={<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,3>,<3,2>}, 则R?{1，3} = ____________________.

10)已知A={3n|n∈N}, 则card A =_____________________.

4.（10分）某电路中有一个灯泡和三个开关A,B,C。已知在且仅在下述四种情况

下灯亮：

（1）C的扳键向上，A,B的扳键向下。

（2）A的扳键向上，B,C的扳键向下。

（3）B,C的扳键向上，A的扳键向下。

（4）A,B的扳键向上，C的扳键向下。

设F为1表示灯亮，命题变元p, q, r分别表示A, B, C的扳键向上。

（A）求F的主析取范式。

（B）在联结词完备集{?,∧}上构造F, 并尽可能地简单。

5.（10分）在一阶逻辑中推证下列结论的有效性：

所有爱学习的人都有知识；每个有知识、爱思考的人都有创造力；有些爱学习、爱思考的人是科学家. 所以有些爱学习、有创造力的人是科学家.

设个体域是人的集合，P(x)：x爱学习，R(x)：x有知识，

S(x)：x有创造力，U(x)：x是科学家，V(x)：x爱思考.

6.（10分）设N是自然数集合，定义N上的二元关系R：

R={|x∈N, y∈N,x+y是偶数}

(1)证明R是一个等价关系；

(2)求关系R的等价类.

7.（10分）设A=(0,1)，B=(0,1]. 通过构造双射函数证明集合A与B等势.

8.（10分）已知集合A和B，其中A≠?，是偏序集，中存在最大元

b. 定义B A上的二元关系R如下：

fRg??x ( x∈A →(f(x)≤g(x))).

(1) 证明R为B A上的偏序关系.

(2) 给出偏序集中的最大元.

离散数学期末试题

离散数学考试试题（A 卷及答案） 一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M ?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P ∧Q 乙：?Q ∧P 丙：?Q ∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P ，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为： ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?' R 。则sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。

《 离散数学》期中考试试卷(2006—2007学年第2学期)

《离散数学J》考试试卷（期中） 课程代码143140320命题单位学院：计算机学院信息教研室 学院:_______________班级:_____________姓名:_______________学号:____________ 1．将下列命题将其符号化。（4分） ①.李平不是不聪明，而是不用功。 假设p:李平聪明，q:李平用功 ②.如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图，那么我不了解柏拉图。 假设p：我懂得希腊文，q：我了解柏拉图 2．在一阶逻辑中将下列命题符号化。（9分） ①.整数都是有理数，并不是每个有理数一定是整数，有些有理数不是整数。 假设I(x)：x是整数，Q(x)：x是有理数。 ②.某些汽车比所有的火车慢。 假设F(x)：x是火车。G(x)：y是汽车。H(x,y)：x比y快 ③.谁要是游戏人生，他就一事无成；谁不能主宰自己，他就是一个奴隶。 假设：M(x)表示“x是人”，K(x)表示“x游戏人生”，L(x)表示“x 一事无成”，H(x,y)表示“x主宰y”，N(x)表示“x是奴隶”。 3．试证明： (┐P∧(┐Q∧R))∨((Q∧R)∨(P∧R))=R(10分) 4．求公式G＝(P→Q)∧R的主析取范式和主合取范式。(12分) 5．先将些列论断符号化，再证明论断的正确性。（15分） 所有的大一学生都要学习英语；并非所有的大一学生都要学习离散数学；故有些学习英语的不学习离散数学。 假设谓词如下：P(x)：x是大一学生；Q(x)：x要学习英语； R(x)：x要学习离散数学。 6．某班学生50人，会排球的有40人，会篮球的35人，会足球的10人，以上三种运动都会的5人，都不会的没有，问只会两种运动的有几人？

离散数学期末试题及答案完整版

离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).

北京理工大学2012-2013学年第一学期工科数学分析期末试题(A卷)试题2012-2(A)

1 北京理工大学2012-2013学年第一学期 工科数学分析期末试题(A 卷) 一. 填空题（每小题2分, 共10分） 1. 设?????<≥++=01arctan 01)(x x x x a x f 是连续函数，则=a ___________. 2. 曲线θρe 2=上0=θ的点处的切线方程为_______________________________. 3. 已知),(cos 4422x o bx ax e x x ++=- 则_,__________=a .______________=b 4. 微分方程1cos 2=+y dx dy x 的通解为=y __________________________________. 5. 质量为m 的质点从液面由静止开始在液体中下降, 假定液体的阻力与速度v 成正比, 则质点下降的速度)(t v v =所满足的微分方程为_______________________________. 二. (9分) 求极限 21 0)sin (cos lim x x x x x +→. 三. (9分) 求不定积分?+dx e x x x x )1arctan (12. 四. (9分) 求322)2()(x x x f -=在区间]3,1[-上的最大值和最小值. 五. (8分) 判断2 12arcsin arctan )(x x x x f ++= )1(≥x 是否恒为常数. 六. (9分) 设)ln(21arctan 22y x x y +=确定函数)(x y y =, 求22,dx y d dx dy . 七. (10分) 求下列反常积分. (1);)1(1 22?--∞+x x dx (2) .1)2(1 0?--x x dx 八. (8分) 一垂直立于水中的等腰梯形闸门, 其上底为3m, 下底为2m, 高为2m, 梯形的上底与水面齐平, 求此闸门所受 到的水压力. (要求画出带有坐标系的图形) 九. (10分) 求微分方程x e x y y y 3)1(96+=+'-''的通解. 十. (10分) 设)(x f 可导, 且满足方程a dt t f x x x f x a +=+?)())((2 ()0(>a , 求)(x f 的表达式. 又若曲线 )(x f y =与直线0,1,0===y x x 所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为,6 7π 求a 的值. 十一. (8分) 设)(x f 在]2,0[上可导, 且,0)2()0(==f f ,1sin )(1 21 =?xdx x f 证明在)2,0(内存在ξ 使 .1)(='ξf

08计算机《离散数学》期中试卷答案

系 专业 年级 班级 学号 姓名 ……………………装……………………订……………………线…………………… 泉州师院2009-2010学年度第一学期 2008级计算机《离散数学》期中试卷 题 序 一 二 三 四 五 总分 成 绩 签 名 一、单项选择题:（20%，每空2分） 1．设A={a,{a}}，下列命题错误的是（ B ）。 A ．{a}P(A) B ．{a}P(A) C ．{{a}}P(A) D ．{{a}}P(A) 2、假定全集E ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={3,4,5}，B ＝{2,3,4,7,8,9}，则A ∪B 的位串是（ D ）。 A ．01 B ．0011100000 C ．00 D ．00 3、下列文氏图阴影部分所表示的集合是( A )。 A. (A-(B ∪C))∪((B ∪C)-A) B. (A-(B ∩C))∪((B ∩C)-A) C. (A-(B ∩C))∪((B ∪C)-A) D. (A-(B ∪C))∪((B ∩C)-A) 4．设p ：你主修计算机科学，q ：你是新生， r ：你可以从校园网访问因特网。只有你主修计算机科学或不是新生，你才可以从校园网访问因特网。可符号化为( C )。 A ．r →p ∨q B ．r →p ∧q C ．r →p ∨q D ．r →p ∨q 5．下列是两个命题变元p ，q 的极小项是（ A ） A ．┐p ∧q B ．┐p ∨q C ．p ∧┐p ∧q D ．┐p ∨p ∨q 6、下列等值式不正确的是（ C ） A ．┐(x)A(x)┐A B ．(x)(B →A(x))B →(x)A(x) C ．(x)(A(x)∧B(x))(x)A(x)∧(x)B(x) D ．(x)(y)(A(x)→B(y))( x)A(x)→(y)B(y) 7、若s={1,2,3,4}，S 上关系R 的关系图为： 则R 具有（ B ）性质。 A 、自反性 B 、自反性、对称性 C 、反自反性、反对称性 D 、自反性、对称性、传递性 8．设A={a,b,c,d}，A 上的等价关系R={,,,}∪I A ，则对应于R 的A 的划分是（ D ） A ．{{a},{b,c},{d}} B ．{{a,b},{c},{d}} C ．{{a},{b},{c},{d}} D ．{{a,b},{c,d}} 9、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ C ）个。 A. 2 3 B. 3 2 C. D. 10．下列函数是双射的为（ A ），其中：I —整数集，E —偶数集， N —自然数集，R —实数集。 A. f : IE , f (x) = 2x B. f : NNN, f (n) = C. f : RI , f (x) = [x] D. f :IN, f (x) = | x | 二．填空题（20%，每题2分） 1．集合的表示法有 列举法、描述法 。 。则设、 } {0 A 1 ==??????=∞ =I i i i A i i ,...,,,,,3211023．令p ：今天下雪了，q ：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为 p →q 。 4．复合命题(p →q)∨(p → q)是___ 永真____式（永真式或永假式或可满足 式）。 5．令谓词P(x,y)表示”x 爱y ”,个体域是全世界所有人的集合，用P(x,y)、量词 得 分 评卷人 得 分 评卷人

【浙江工商大学】《离散数学》期末考试题(B)

《离散数学》期末考试题(B) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为 ( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二、单选题(每小题3分，共15分) 1.设R 是集合A 上的偏序关系，1-R 是R 的逆关系，则1 -?R R 是A 上的 (A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上结论都不成立 2.由2个命题变元p 和q 组成的不等值的命题公式的个数有 (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 3.设p 是素数且n 是正整数，则任意有限域的元素个数为 (A)n p + (B)pn (C)n p (D)p n 4.设R 是实数集合，≤是其上的小于等于关系，则(R, ≤)是 (A)有界格 (B)分配格 (C)有补格 (D)布尔格 5.3阶完全无向图3K 的不同构的生成子图有 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”. 1.若一个元素a 既存在左逆元l a ，又存在右逆元r a ，则r l a a =. ( ) 2.命题联结词→不满足结合律. ( ) 3.在Z 8 = {0，1，2，3，4，5，6，7}中，2关于“?8”的逆元为 4. ( ) 4.整环不一定是域. ( )

北京理工大学2017-2018学年工数上期末试题A及标准答案

课程编号：H0172103 北京理工大学2017-2018学年第一学期 工科数学分析（上）期末试题(A 卷) 座号 _______ 班级_____________ 学号_____________ 姓名_____________ (试卷共6页,十个大题. 解答题必须有过程. 试卷后面空白纸撕下做草稿纸. 试卷不得拆散.) 1．若 e x x kx x 1 )2( lim =-∞ → ，则=k . 2．已知,arctan 2111ln 41x x x y --+= 则=dx dy . 3. =-+?dx xe x e x x 1 02 ) 1() 1( . 4 . =?xdx x sin 2 . 5. 设x y y cos =+'，则=y . 二、计算题（每小题5分，共20分） 1.求极限 ).2 sin 211(sin lim 3n n n n -∞→ 2. 设 x x y x 2sin sin +=，求dy . 3. 计算 dx x x x x ? -++1 1 2 211cos 2-. 4.求)cos(y x dx dy +=的通解. 三、（8分）已知0)-1(lim 2 =-+-+∞ →b ax x x x ，试确定常数a 和b 的值. 四、（6分）已知,...).2,1)((21,0,011=+= >>+n b b b b b b n n n 证明: 数列{}n b 极限存在；并求此极限. 五、（8分）求函数2) 1(42 -+= x x y 的单调区间和极值，凹凸区间和拐点，渐近线. 六、（8分）设曲线2x y =，x y =围成一平面图形D .

(1) 求平面图形D 的面积； (2) 求平面图形D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 七、（8分）设一长为l 的均匀细杆，线密度为μ,在杆的一端的延长线上有一质量为m 的质点，质点与该端的距离为a . （1）求细杆与质点间的引力； （2）分别求如果将质点由距离杆端a 处移到b 处(b a >)与无穷远处时克服引力所 做的功. 八、（8分）设)(x f 在]1,1[-上具有三阶连续导数，且,0)0(,1)1(,0)1('===-f f f 证明在开区间)1,1(-内至少存在一点ξ，使3)()3(=ξf . 九、（8分）设?-+ =x x dt t f t x xe x f 0)()()(, 其中)(x f 连续，求)(x f 的表达式. 十、（6分）已知)(x f 在闭区间[]6,1上连续，在开区间)6,1(内可导，且 ，5)1(=f ，1)5(=f .12)6(=f 证明：存在)6,1(∈ξ，使 22)()(=-+'ξξξf f 成立. 北京理工大学2017-2018学年第一学期《工科数学分析》（上）期末试题(A 卷) 标准答案及评分标准 2018年1月12日 一、填空（每小题4分，共20分） 1． 21 2．42 1x x - 3. )(，不收敛+∞∞ 4 . C x x x x x +++-cos 2sin 2cos 2 5. x ce x x y -++= )cos (sin 2 1 二、计算题（每小题5分，共20分） 1. 解：)2 sin 211(sin lim 3x x x x -∞→ 3 12sin 211sin lim x x x x -=∞→ x t 1=令 30) 2sin(21 sin lim t t t t -=→ …………. 2分 2 0cos 1sin lim t t t t t -?=→21= …………. 4分 2 1 )2sin 211(sin lim 3=-∴∞→n n n n …………. 5分

河海大学文天学院09级离散数学期中考试试卷答案

2010-2011学年第一学期离散数学期中考试试卷答案 一、（本题满分12分）在命题逻辑中将下列命题符号化。 （1）小王边走路边听音乐。（2）除非a能被2整除，a才能被4整除。 （3）派小张、小李中的一人去开会。（4）小张和小李是同学。 （5）今天是星期一仅当明天是星期二。（6）若2+2≠4，则3+3≠6；反之亦然。 解：（1）令p：小王走路；q：小王听音乐。符号化为p∧q （2）令p：a能被2整除；q：a能被4。符号化为q→p （3）令p：派小张去开会；q：派小李去开会。符号化为（p∧┐q）∨（┐p∧q） （4）令p：小张和小李是同学。符号化为p （5）令p：今天是星期一；q：明天是星期二。符号化为p→q （6）令p：2+2=4；q：3+3=6。符号化为┐p?┐q 二、（本题满分12分）在一阶逻辑中将下列命题符号化。 （1）有的有理数能被2整除。（2）没有不犯错误的人。 （3）人都不一样高。（4）说火车比汽车跑的快是不对的。 （5）4>2与3≥1互为充要条件。（6）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。解：（1）令F(x)：x为有理数；G(x)：x能被2整除。符号化为?x(F(x)∧G(x)) （2）令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误，则命题符号化为：?x（F（x）→G(x)） （3）令F(x)：x是人；H(x,y)：x与y一样高。符号化为?x?y（F（x）∧F（y）→┐H（x，y））（4）令F(x)：x是火车，G(y)：y是汽车，H(x,y)：x比y快，┐?x?y（F（x）∧G（y）→H（x，y））（5）令F(x,y)：x>y，G(x,y):x≥y，a:4，b:2，c:3，d:1。符号化为F(a,b)?G(c,d) （6）令F(x)：x是东北人，G(x)：x怕冷，a：李键，符号化为┐G（a）→F（a） 三、（本题满分8分）给出公式(q →r) ∧ ( p→p)的真值表并求出成真赋值和成假赋值。解：真值表如下 成真赋值：000、001、011、100、101、111；成假赋值：010、110 四、（本题满分10分）设p:2能整除5，q:太阳从西方升起，r:一年分四季。求下列复合命题的真值： （1）((p ∨q) → r)∧(r→ (p ∧q)) （2）((┐q ?p) → (r ∨p)) ∨ ((┐p ∧┐q) ∧r) 解：由题意，p、q、r的真值分别为0、0、1。（1）的真值为0；（2）的真值为1。 五、（本题满分12分）使用等值演算法判断公式下列公式的类型。

离散数学期末考试试题及答案

离散数学试题(Ｂ卷答案１） 一、证明题(10分） 1）(P∧（Ｑ∧Ｒ）)∨(Q∧R）∨（Ｐ∧R)R 证明: 左端(P∧Q∧Ｒ）∨((Q∨P）∧R) ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((Ｐ∨Ｑ）∧R）∨((Ｑ∨P)∧Ｒ) (（P∨Q）∨（Ｑ∨P))∧Ｒ （(P∨Ｑ)∨(Ｐ∨Q))∧R T∧Ｒ(置换)Ｒ 2) x (A(x)B(ｘ）)xA(x)xＢ(ｘ) 证明：x(A(ｘ)B(x))x(Ａ(ｘ)∨B(x)） x A(ｘ)∨xB（ｘ) xA(x)∨xB(x） xＡ(x)xB(x) 二、求命题公式(P∨（Q∧R)）(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分）。 证明：(P∨（Q∧R))(P∧Q∧R)（P∨(Q∧R)）∨(P∧Q∧R)) (P∧(Q∨Ｒ))∨（P∧Q∧Ｒ） （Ｐ∧Q)∨（P∧R)）∨(P∧Q∧R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧Ｒ)∨(P∧Q∧Ｒ))∨(P∧Ｑ∧R）)∨(Ｐ∧Q∧R） m0∨ｍ1∨m２∨ｍ７ Ｍ３∨M４∨Ｍ５∨M6 三、推理证明题（１0分) 1）Ｃ∨D，（C∨D)E, E(A∧B)，(A∧Ｂ)(R∨S)R∨Ｓ证明：(１） (C∨D) E ?P (2) E（A∧Ｂ) ??P （3) (Ｃ∨D）（A∧B) Ｔ（1）(2），I (4) （A∧B)(R∨S）??P (5) (Ｃ∨D)(Ｒ∨S) ? T(3)(4)，I (6） C∨Ｄ P (7) R∨S T(5)，I 2) x(P(ｘ)Ｑ(y)∧R(ｘ)），xＰ(ｘ)Q（y)∧x(Ｐ(x)∧R(x)) 证明(1)ｘP(x) Ｐ

（2)Ｐ(ａ） T(1），ＥS (3)ｘ（P(x)Q（y)∧R(x）) Ｐ (４)P(a)Q（y)∧R(a） T(3)，ＵS (５)Q（ｙ)∧R(a） T(2)（4），I （6）Q(y) Ｔ(５)，I （7)R(ａ) T(5),I (8)P(a)∧Ｒ（ａ) T(2)(7),I （9)x(Ｐ(x）∧R(x)) Ｔ(8),ＥG (10)Q(ｙ)∧x(P(x)∧R(ｘ)) Ｔ(６）(9)，I 四、某班有２5名学生,其中14人会打篮球,１2人会打排球，6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数(10分)。 解：A，B,C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则｜A|=1２，|Ｂ|＝6,｜Ｃ|=14，｜A∩C|=6，｜B∩C｜=5，|Ａ∩Ｂ∩C｜=２。 先求|A∩B|。 ∵6＝|（Ａ∪C)∩B|=|（A∩B）∪（Ｂ∩C)|=|（A∩B）|＋|（B∩C）｜-|A∩B∩C|=|(Ａ∩B)|+5-２，∴|(A∩B）|=３。 于是|A∪Ｂ∪C｜=12+6+14-6-5－３＋２=20。不会打这三种球的人数25-20=5。五、已知Ａ、B、Ｃ是三个集合,证明A-(B∪Ｃ)=(A-B)∩(Ａ-C）(10分)。 证明：∵x A-（B∪C） x A∧x（B∪C） xＡ∧(xＢ∧x C） （x A∧x B）∧(x A∧ｘC） x（A-B）∧x(Ａ-C） ｘ（Ａ-Ｂ）∩(A-C） ∴Ａ-（B∪Ｃ)=（Ａ－B）∩(A－Ｃ） 六、已知R、S是Ｎ上的关系,其定义如下：R={| x,ｙN∧y=ｘ2} R*S＝｛| x，y N∧y＝x２+1} Ｓ*R=｛<ｘ,y>| x,ｙN∧y=(x＋1)２},R{1，２}＝{＜1，1>，＜2，４>｝,Ｓ[{1,2}]={1,4}。 七、设Ｒ={<ａ，b>,,＜c，ａ>}，求ｒ(R)、s(Ｒ)和t(Ｒ) （１5分）。 解：r(R）=｛,，,,<ｂ,b＞，｝

北京理工大学 离散数学I 期末测试

课程编号：MTH07034 北京理工大学2015-2016学年第二学期 2015级离散数学期末试题（A卷） 班级学号姓名成绩 1.选择题（共10题, 每题1分） 1)设p：我有时间，q：我去旅游，下面哪个命题可以符号化为p→q？( ) A. 除非我有时间，我才去旅游. B. 除非我去旅游，否则我没时间. C. 只有我有时间，我才去旅游. D. 我去旅游仅当我有时间. 2)设C(x)表示x是运动员，G(x)表示x是强壮的，则命题“没有运动员不是 强壮的”符号化为哪个公式？( ) A. ??x(C(x)∧?G(x)) B.??x(C(x)→?G(x)) C. ??x(C(x)∧?G(x)) D.??x(C(x)→?G(x)) 3)设F(x)表示x是火车，G(y)表示y是汽车，H(x,y)表示x比y快，则命题“有 的汽车比所有的火车快”符号化为下面哪个公式？( ) A. ?y(G(y)→?x(F(x)∧H(x,y))) B. ?y(G(y)∧?x(F(x)→H(y,x))) C. ?x?y(G(y)→(F(x)∧H(x,y))) D. ?y(G(y)→?x(F(x)→H(x,y))) 4)下列推理哪个是不正确的？( ) A. 前提：?p∨ (q→r), ?s∨p, q结论：s→r B. 前提：(p∨q)→ (r∧s), (s∨t)→u结论：p→u C. 前提：(p∧q) →r, r→s, ?s∧p结论：q D. 前提：p→ (q→r), p , q结论：r∨s 5)下面哪个命题公式是永真式？( ) A. (p∨q) →?r B. (q→p)∧q→p C. ?(?p∨q)∧q

离散数学期末试卷A卷及答案

《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???.

2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？

离散数学期末考试试题及答案

离散数学试题(B卷答案1） 一、证明题（10分） 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R ?T∧R(置换)?R 2) ?x (A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明：?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x)) ??x?A(x)∨?xB(x) ???xA(x)∨?xB(x) ??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。 证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?（?P∧(?Q∨?R)）∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题（10分） 1）C∨D， (C∨D)→?E，?E→(A∧?B)， (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明：(1) (C∨D)→?E P (2) ?E→(A∧?B) P (3) (C∨D)→(A∧?B) T(1)(2)，I (4) (A∧?B)→(R∨S) P (5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)， I (6) C∨D P (7) R∨S T(5)，I 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明(1)?xP(x) P

离散数学期末试卷及答案

一．判断题（共10小题，每题1分，共10分） 在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误： 1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( ) 2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3．初级回路一定是简单回路。( ) 4．自然映射是双射。( ) 5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6．群的运算是可交换的。( ) 7．自然数集关于数的加法和乘法构成环。( ) 8．若无向连通图G中有桥，则G的点连通度和边连通度皆为1。( ) 9．设A={a,b,c},则A上的关系R={,}是传递的。( ) 10．设A、B、C为任意集合，则A?(B?C)=(A?B)?C。( ) 二、填空题（共10题，每题3分，共30分） 11．设p：天气热。q：他去游泳。则命题“只有天气热，他才去游泳”可符号 化为。 12．设M(x)：x是人。S(x)：x到过月球。则命题“有人到过月球”可符号 化为。 13．p?q的主合取范式是。 14．完全二部图K r,s（r < s）的边连通度等于。 15．设A={a,b}，,则A上共有个不同的偏序关系。 16．模6加群中，4是阶元。 17．设A={1,2,3,4,5}上的关系R={<1,3>,<1,5>,<2,5>,<3,3>,<4,5>}，则R的传递闭包t(R) = 。. 18．已知有向图D的度数列为(2,3,2,3)，出度列为(1,2,1,1)，则有向图D的入度

列为。 19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20．7阶圈的点色数是。 三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分） 21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。 23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{,}，则R是A上的等价关系。求等价类[a]R、[c]R及商集A/R。 24．求图示带权图中的最小生成树，并计算最小生成树的权。 25．设R*为正实数集，代数系统< R*,+>、< R*,·>、< R*,/>中的运算依次为普通加法、乘法和除法运算。试确定这三个代数系统是否为群？是群者，求其单位元及每个元素的逆元。 四、证明题（共3小题，共20分） 26 （8分）在自然推理系统P中构造下述推理的证明： 前题：p→(q∨r)，?s→?q，p∧?s 结论：r 27 （6分）设是群，H={a| a∈G∧?g∈G，a*g=g*a},则是G的子群 28．（6分）设G是n(≥3)阶m条边、r个面的极大平面图，则r=2n-4。

《离散数学》期末考试试题

《离散数学》期末考试试题 一、 填空题（每空2分，合计20分） 1. 设个体域为{2,3,6}D =-, ():3F x x ≤，():0G x x >。则在此解释下公式 ()(()())x F x G x ?∧的真值为______。 2. 设:p 我是大学生，:q 我喜欢数学。命题“我是喜欢数学的大学生”为可符合化 为 。 3. 设{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B -=________，A B ⊕=________。 4. 合式公式()Q P P ?→∧是永______式。 5. 给定集合{1,2,3,4,5}A =，在集合A 上定义两种关系： {1,3,3,4,2,2}R =<><><>, {4,2,3,1,2,3}S =<><><>， 则_______________S R =ο，_______________R S =ο。 6. 设e 是群G 上的幺元，若a G ∈且2a e =,则1a -=____ , 2a -=__________。 7． 公式))(()(S Q P Q P ?∧?∨∧∨?的对偶公式为 。 8. 设{2,3,6,12}A =, p 是A 上的整除关系，则偏序集,A <>p 的最大元是________，极小元是_ _。 9. 一棵有6个叶结点的完全二叉树，有_____个内点；而若一棵树有2个结点度数为2，一 个结点度数为3，3个结点度数为4，其余是叶结点，则该树有_____个叶结点。 10. 设图,G V E =<>, 1234{v ,v ,v ,v }V =，若G 的邻接矩阵????????????=0001001111011010A ，则1()deg v -=________, 4()deg v +=____________。 二、选择题（每题2分，合计20分） 1．下列各式中哪个不成立（ ）。 A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨? ； B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∧??∧?； D 、Q x xP Q x P x ∧??∧?)())((。

08计算机《离散数学》期中试卷答案

泉州师院2009-2010学年度第一学期 2008级计算机《离散数学》期中试卷 一、单项选择题:（20%，每空2分） 1．设A={a,{a}}，下列命题错误的是（ B ）。 A ．{a}∈P(A) B ．{a}?P(A) C ．{{a}}∈P(A) D ．{{a}}?P(A) 2、假定全集E ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={3,4,5}，B ＝{2,3,4,7,8,9}，则A ∪B 的位串是（ D ）。 A ．1000000001 B ．0011100000 C ．0111001110 D ．0111101110 3、下列文氏图阴影部分所表示的集合是( A )。 A. (A-(B ∪C))∪((B ∪C)-A) B. (A-(B ∩C))∪((B ∩C)-A) C. (A-(B ∩C))∪((B ∪C)-A) D. (A-(B ∪C))∪((B ∩C)-A) 4．设p ：你主修计算机科学，q ：你是新生， r ： 你可以从校园网访问因特网。只有你主修计算机科学或不是新生，你才可以从校园网访问因特网。可符号化为( C )。 A ．r →p ∨q B ．r →p ∧q C ．r →p ∨?q D ．r →p ∨?q 5．下列是两个命题变元p ，q 的极小项是（ A ） A ．┐p ∧q B ．┐p ∨q C ．p ∧┐p ∧q D ．┐p ∨p ∨q 6、下列等值式不正确的是（ C ） A ．┐(?x)A ?(?x)┐A B ．(?x)(B →A(x))?B →(?x)A(x) C ．(?x)(A(x)∧B(x))?(?x)A(x)∧(?x)B(x) D ．(?x)(?y)(A(x)→B(y))?( ?x)A(x)→(?y)B(y) 7、若s={1,2,3,4}，S 上关系R 的关系图为： 则R 具有（ B ）性质。 A 、自反性 B 、自反性、对称性 C 、反自反性、反对称性 D 、自反性、对称性、传递性 8．设A={a,b,c,d}，A 上的等价关系R={,,,}∪I A ，则对应于R 的A 的划分是（ D ） A ．{{a},{b,c},{d}} B ．{{a,b},{c},{d}} C ．{{a},{b},{c},{d}} D ．{{a,b},{c,d}} 9、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ C ）个。 A. 23 B. 32 C. 3 32 ? D. 2 23 ? 10．下列函数是双射的为（ A ），其中：I —整数集，E —偶数集， N —自然数集，R —实数集。 A. f : I →E , f (x) = 2x B. f : N →N ?N, f (n) = C. f : R →I , f (x) = [x] D. f :I →N, f (x) = | x | 二．填空题（20%，每题2分） 1．集合的表示法有 列举法、描述法 。 。则设、 } {0 A 1 ==??????=∞ = i i i A i i ,...,,,,,3211023．令p ：今天下雪了，q ：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为 p →?q 。

离散数学-期末考试卷-A卷

离散数学-期末考试卷-A卷

东莞理工学院城市学院（本科）试卷（A卷） 2013-2014学年第一学期 开课单位：计算机与信息科学系，考试形式：闭卷，允许带入场 科目：离散数学，班级：软工本2012-1、2、3 姓名：学号： 题序一二三四总分 得分 A评 卷人 一、单项选择题（每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，错选、多选或未选均无分。 1. 下述不是命题的是( ) A. 做人真难啊! B. 后天是阴天。 C. 2是偶数。 D. 地球是方的。 2. 命题公式P→(P∨Q∨R)是( ) A. 永假的 B. 永真的 C. 可满足的

D. 析取范式 3. 命题公式﹁B→﹁A等价于( ) A. ﹁A∨﹁ B B. ﹁(A∨B) C. ﹁A∧﹁ B D. A→B 4．设P：他聪明，Q：他用功，命题“他虽聪明但不用功”的符号化正确的是（）A．?P∧Q B．P∧?Q C．P→?Q D．P∨?Q 5．设A（x）:x是人，B（x）：x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（）A．?x(A(x))∧B(x) B．??x( A(x)→?B(x) ) C．??x( A(x)∧B(X)) D．??x( A(x)∧?B(x) ) 6. 设有A={a,b,c}上的关系R={,,,}，则R具有( ) A. 自反性 B. 反自反性 C. 传递性 D. 反对称性

7. 设A={1,2,3,4,5,6},B={a,b,c,d,e}，以下哪一个关系是从A到B的满射函数( ) A. f={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,d>,<5,e>} B. f={<1,e>,<2,d>,<3,c>,<4,b>,<5,a>,<6,e>} C. f={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,a>,<5,b>,<6,c>} D. f={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,d>,<5,e>,<1,b>} 8．设简单图G所有结点的度数之和为10，则G一定有（） A．3条边B．4条边C．5条边 D．6条边 9．下列不．一定是树的是（） A．每对结点之间都有通路的图 B．有n个结点，n-1条边的连通图 C．无回路的连通图D．连通但删去一条边则不连通的图 10．下列各图中既是欧拉图，又是哈密顿图的是（）

离散数学期中考试

离散数学期中考试试卷 班级————姓名————学号———— 一、单项选择题（每题４分，共３２分。） 1、前提┐P∨Q, ┐Q∨R, ┐R的结论是（）。 A. Q B. ┐P C. P∨Q D. ┐P→R 2、下列语句为命题的是（）。 Ａ．暮春三月，江南草长。 Ｂ．这是多么可爱的风景啊！ Ｃ．大家想做什么，就做什么，行吗？ Ｄ．请勿践踏草坪！ 3、下列复合命题为真命题的是（）。 A．如果３＋３≠６，则３是奇数。 B．３是有理数当且仅当加拿大在亚洲。 C．只要乌鸦是黑色的，就有中国是世界上面积最大的国家。 D．２是偶素数是不对的。 ４、下列关于谓词公式的论述不正确的是（）。 A．闭式在任何解释下都是命题。 B．可满足式是指存在一个解释使得在该解释下对任一赋值公式都为真。 C．命题公式中的重言式的代换实例是永真式。 D．命题公式中的矛盾式的代换实例是矛盾式。 ，Ｂ＝P(P(A))，以下不正确的是（）。 Ａ．｛｝∈Ｂ Ｂ．｛｝∈Ｂ Ｃ．｛｝包含于Ｂ Ｄ．｛｛｛｝｝｝包含于Ｂ ６、设集合｛１，２，３｝，下列关系Ｒ中不是等价关系的是（）。 Ａ．Ｒ＝｛（１,１），（２,２），（３,３）｝ Ｂ．Ｒ＝｛（１,１），（２,２），（３,３）,（３,２），（２,３）｝ Ｃ．Ｒ＝｛（１,１），（２,２），（３,３）, （1, 4）｝ Ｄ．Ｒ＝｛（１,１），（２,２），（１,２）,（２,１），（１,３），（３,１）,（３,３），（３,２）,（２,３）｝ ７、对于如下某个偏序集的哈斯图，其中集合{a,b,c,e}的最大元是（）。 A．c B．d C．e D．无

８、命题公式A和B是等值的，是指（）。 A．A和B有相同的命题变项。 B．A和B都是可满足的。 C．当A对某一赋值为真时，B对该赋值也为真。 D．A和B有相同的真值表。 二、填空题（每题３分，共15 分。） 1、设R为非空集合A上的二元关系，如果R满足（）、（）、（），则称R为A上的一个偏序关系。 ２、若集合A={1, 2, 3}上的二元关系R1和R2的关系图如下所示， 则R1o R2 =（），R2o R1=（）。 ３、用P和P∧Q同时代入合式公式P→┐(P∨Q)中的P和Q,所得代换实例为（）。 4、设F(x):x是人，H(x,y):x与y一样高，在一阶逻辑中，命题“人都不一样高”的符号化形式为_________________。 ５、P({Φ,1}) = _____________________________________。 三、计算题（每题8分，共16分） 1．求下面公式的主析取范式和主合取范式。 ( →) r p→ q 2．求集合A={a，b，c}的所有划分和他们相应的等价关系。