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《解二元一次方程组》教案(例题+练习+答案)

二元一次方程组的解法

1.二元一次方程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做

二元一次方程。

例1.下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________

判断一个方程是为二元一次方程的三个要素： ①含有两个未知数 ②未知数的次数为1 ③整式方程

想一想：二元一次方程的解与一元一次方程的解有什么区别？

①二元一次方程的解是成对出现的； ②二元一次方程的解有无数个； ③一元一次方程的解只有一个。

例2 若方程是二元一次方程，求m 、n 的值．分析：

变式：方程是二元一次方程，试求a 的值．注意：

①含未知项的次数为1； ②含有未知项的系数不能为0

2.二元一次方程组的解

2(1)3x y y z +=??

+=?，

5(2)6

x y xy +=??

=?，7(3)6

a b b -=??=?，

2(4)13x y x y +=-???-=??，52(5)122

y x x y

=-??

?+=??，25(6)312

x y -=??

+=?，213257m n x y --+=211321

m n -=??-=?1

(2)2

a x a y -+-=

二元一次方程组的解法，即解二元一次方程的方法；今天我们就一起探究一下有什么方法能解二元一次方程组。练一练：1、若 =-??

x 1

y 2是关于 x 、y 的方程 5x +ay = 1 的解，则a=（）.

2、方程组 +=??

?y z 180y z （）的解是 =??=?y 100

z （）.

3、若关于x 、y 的二元一次方程组––=??

=?4x 3y 1

kx k 1y 3（）的解x 与 y 的值相等，则k =（）.

3、用一个未知数表示另一个未知数

想一想：(1)24x y ，所以________x ；

(2)345x

y ，所以________x ，________y

；

(3) 2y x =,所以x = ，________y ．

总结出用一个未知数表示另一个未知数的方法步骤：

①被表示的未知数放在等式的左边，其他的放在等式的右边． ②把被表示的未知数的系数化为1．

4.二元一次方程的解法

（1）用代入法解二元一次方程组

将方程组中的一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法. 代入消元法解方程组的步骤是： ①用一个未知数表示另一个未知数；

②把新的方程代入另一个方程，得到一元一次方程（代入消元）； ③解一元一次方程，求出一个未知数的值；

④把这个未知数的值代入一次式，求出另一个未知数的值； ⑤检验，并写出方程组的解.

例3：方程组

x y

y x

……①

………②

解：把②代入①得，29

x x

3x 9

把x=3代入②，得

所以，原方程组的解是

总结：解方程组的方法的图解：

练一练：

1、如果31014

x y，那么x=________；

2、解方程组

35,

23 1.

x y

3、解方程组

31014

101532

x y

3、以

5.0

5.1

为解的方程组是（）

4、用代入消元法解下列二元一次方程组：

（1）

321

y x

x y

（2）

（3）23

3418

x y

?+=

（2）加减消元法：

两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相

减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。例4：解方程组

2x+5y=13 ①

3x-5y=7 ②

提示：①式中的5y和②式中的-5y是互为相反数的

分析：（2x ＋5y）+（3x - 5y）=13 + 7

①左边+ ②左边= ①左边+②左边

2x+5y +3x - 5y=20

5x+0y =20

5x=20

解：由①+②得: 5x=20

x＝4

把x＝4代入①，得

y＝1

所以原方程组的解是x=4

y=1

例5：解方程组

x--5y=7 ①

x+3y=-1 ②

分析：观察方程组中的两个方程，未知数x的系数相等，都是2．把这两个方程两边分别相减，就可以消去未知数x，同样得到一个一元一次方程．

解：把②－①得:8y＝－8

y＝－1

把y ＝－1代入①，得

2x－5×（－1）＝7

解得:x＝1

所以原方程组的解是x=1

y=-1

练一练：用加减消元法解下列二元一次方程组：

（1）??

?=+=-13y x y x （2）??

?=+=-83120

34y x y x （3）??

?=+=-14

645

34y x y x

5.解二元一次方程组需要注意的几个问题：

（1）应重视加与减的区分

例6 解方程组??

?=-=+②

①.

5n m 3,7n 2m 3

错解：①~②，得n ＝2。

分析与解：①~②，即57)n m 3()n 2m 3(-=--+。去括号，得2n m 3n 2m 3=+-+。合并同类项，得2n 3=，即3

2n =

。把32n =

代入①，得9

17m =。所以原方程组的解是???

????==.32n ,9

17m

失误警示：学习了二元一次方程组的解法后，同学们会感到加减消元法比代入消元法方便好用。但用加减消元法解方程组常常受到符号问题的困扰。解决问题的关键是要正确应用等式性质，重视加与减的区分。

（2）应重视方程组的化简

例7 解方程组??

?=-=-②

①.

19y 5.0x 2.0,1y x 3.0

繁解：由①得1x 3.0y -=。 ③ 把③代入②，得19)1x 3.0(5.0x 2.0=--。

化简，得5.18x 05.0=。解得370x =。把370x =代入③，得110y =。

所以原方程组的解是?

??==.110y ,

370x

分析与简解：没有把原方程组化为整数系数的方程组，含有小数的计算容易出错。

原方程组可化为?

??=-=-.190y 5x 2,

10y 10x 3

以下解答略。

失误警示：这道题解法上并没有错误，但思想方法不是很完美，解题应寻找最简便的方法。把含小数系数的二元一次方程组化为整数系数方程组，可以简化运算。（3）应重视方程组变形的细节

例8 解方程组??

?-=+-=-②

①).

2y (24x ),1y (31x

错解：整理，得?

??=--=-.0y 2x ,

4y 3x

分析与解：将原方程组整理为??

?-=--=-④

③.

8y 2x ,2y 3x

④~③，得6y -=，代入③，得20x -=。

所以原方程组的解是?

??-=-=.6y ,

20x

失误警示：解二元一次方程组往往需要对原方程组变形，在移项时要特别注意符号的改变。

解二元一次方程组课后练习

一、基础知识回顾

1、指出下列方程那些是二元一次方程？并说明理由。（1）3x+y=z+1 ( ) (2) x(y+1)=6 ( ) (3) 2x(3-x)=x 2-3(x 2+y) ( )

2、下列方程中，是二元一次方程的有（）

①

1225=-n m ② a z y -=-61147 ③ 312=-+b

a ④ mn+m=7 ⑤ x+y=6 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、下列方程中，是二元一次方程组的是（）

① ??

?=+=-7

232z y y x ② ????

?-=-=+1241

y y x ③ ??

?=-=--5

12)4(3y x x x ④ ??

+=-21

32132y x y x

A 、①②③

B 、②③

C 、③④

D 、①②

4、用加减法解二元一次方程解方程组：

（1）??

?=-=+1

235

4y x y x （2）??

?=+=+1326

45y x y x （3）??

?=+=-17

327

23y x y x

5、代入消元法解方程组：56

3640

x y x y +=??

--=?

二、.填空题

1.在方程32y x =--中,若2x =,则_____y =.若2y =,则______x =;

2.若方程23x y -=写成用含x 的式子表示y 的形式:_________________;写成用含y 的式子表示x 的形式:___________________________;

3. 已知??

?==1

2y x 是方程2x +ay=5的解，则 a= .

4.二元一次方程343x my mx ny -=+=和有一个公共解1

x y =??=-?,则m=______,n=_____;

5.已知2

|2|(3)0a b b -++-=,那么______ab =

三、选择题

1.对于方程组5

322(1),(2),(3),(4)1

61021x y x y x x y x xy x y x y y +=?+===????

????-==-+=--=?????

,是二元一次方程组的为( )

A.(1)和(2)

B.(3)和(4)

C.(1)和(3)

D.(2)和(4) 2.若2

x y =??

=?是方程22kx y -=的一个解,则k 等于( )

858.

..6

A B C D -

3.方程组34111238x y x y =??

?-=??的解为( )

214

2 (43)

x x x x A B C D y y y y ?

==???==?????

???==????==????

4.已知,a b 满足方程组28

a b a b +=??

+=?,则a b -的值为( )

A.-1

B.0

C.1

D.2 5、若3122

x m y m =+??=-?，是方程组1034=-y x 的一组解，求m 的值。

6、已知等式(2A －7B)x+(3A －8B)=8x+10，对一切实数x 都成立，求A 、B 的值。

解下列方程：

（1）??

?-=-+=-8

5)1(21)2(3y x x y （2）?????=+=

433

2y x y x

（3）???=--=--0

23256017154y x y x （4）????

?=-=+2

3432

1332y x y x

（5）?????=-+=+1

323

241y x x y （6）??

?=+=+241

2123243

2321y x y x

（7）????

?=+-+=-+-0

4235

132423512y x y x （8）????

?=+--=++-5

7326

231

732623y x y x y x y x

二元一次方程组综合练习

1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）

A ．?????=

+=+65115

y x y x B ．???-=+=+2102y x y x C ．???==+158xy y x D ．?

??=+=31y x x

2．方程组?

?=+=-15253

y x y x 的解是（）

A ．3,5==y x

B ．1,4==y x

C ．5,1==y x

D ．0,3==y x

3．用代入法解方程组??

?=+=+

832152y x y x ，下列解法中最简便的是（）

①②

A ．由①得

y x 25221-=

代入② B ．由①得x y 52521-=代入②

C ．由②得y x 38-=代入①

D ．由②得

338x

y -

代入①

4．下列方程组中与?

?=-=+10352y x y x 具有相同的解的方程组是（）

A ．?

??-=+-=521y x y B ．??

?=+-=-24

y x y x C ．?????=

-=+232367

32y x y x D ．

?=+=+1123932y x y x

5．已知m n m y x 344-与

y x n 5是同类项，则m 与n 的值分别是 ( ) A ．4、1 B ．1、4 C ．0、8 D ．8、0

6．用代入法解方程组?

?+==12543y x y

x 中，以下各式代入正确的是（）。

A ．1)34(25+=x x B. 1)43(25+=x x

C. 1)34(25+=y x

D. 1)4

(25+=y x

7. 若?????

-==

21y x 是方程组??

?=+=-1253by x y ax 的一个解，则a 、b 的值分别是（）。 A. 1，2 B. 4，0 C.

，-1 D. 0，4 8．已知0)(2|3|52

=-+-+y x y x ，则 ( )

A. ???==01y x

B. ???==22y x

C. ???==00y x

D. ???

????==23

23y x

9. 若??

?-==11y x 是方程组?

??-=-=+1242a by x b

y ax 的解，则a=_________，b=_________。

10. 若已知2x+y=4，把它代入方程4x+3y=3，则y=_________。

11.已知方程3x+2y+6=0，则4（2y+3x ）-3（2x-5）-4y 的值等于_________。

12．当m =______，n =______时，

821=+-n m y x 是二元一次方程。 13．已知3,2-==y x 是方程72=+ay x 的一个解，则a 的值是________.

14．如果,53=-y x 那么.________38=+-y x

15．方程组???=+=+54ay bx by ax 的解是???==12y x ，则a =________，b =_________。

16．在方程组?

?=+=+032

ny x my x 中，m 与n 互为相反数，则.__________=x

17．甲数的60%与乙数的差是甲乙两数和的一半，设甲数的x ，乙数为y ，那么列方程是__________________________. 18. 填写下表：

观察上表，则方程组??

??+-==-212325

7x y y x 的解是_________。

19. （1）???=+=-74823x y y x （2）?

??-=-=5243n m n

（3）???=+-=+2109443y x y x （4）?

??+=-+=-)5(3)1(55)1(3x y y x

20.（1）在方程3y=4x-7中，若3

y ，求3x-7的值。（2）在二元一次方程7x-5y=3中，y 是x 的2倍，求x 、y 的值。

21.甲、乙两个文具店销售笔记本。甲店进货价比乙店进货价便宜10%，甲店按20%的利润定价，乙店按15%的利润定价，甲店定价比乙店定价便宜11.20元，问甲店的进货价是多少元？

22.初一（4）班同学与幼儿园小朋友联欢，带去一筐苹果，分苹果时发现，如果每人分6个，那么还缺6个；如果每人分5个，那么多于5个，请你算一算，有多少个小朋友？有多少个苹果？

23．甲、乙两人各有若干本书，如果甲把自己的书送给乙15本，那么两人的书的本数相等；如果乙送给甲15本，那么甲的书的本数是乙的6倍，问甲、乙两人原来各有多少本书？

24．甲、乙两人在A地，丙在B地，他们三人同时出发，甲、乙与丙相向而行，甲每分钟走120m，乙每分钟走130m，丙每分钟走150m，已知丙遇上乙后，又过了5分钟遇到甲，求AB两地的距离？