选修4-4 第二节 参数方程
1.(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy
中,求过椭圆?
??
??
x =5cos φ,
y =3sin φ(φ为参
数)的右焦点,且与直线?
??
??
x =4-2t ,
y =3-t (t 为参数)平行的直线的普通方程.
解:由题设知,椭圆的长半轴长a =5,短半轴长b =3,从而c =a 2
-b 2
=4,所以右焦点为(4,0).将已知直线的参数方程化为普通方程:x -2y +2=0.
故所求直线的斜率为12,因此其方程为y =1
2(x -4),
即x -2y -4=0.
2.在椭圆x 29+y 2
4=1上求一点M ,使点M 到直线x +2y -10=0的距离最小,并求出最小
距离.
解:因为椭圆的参数方程为???
??
x =3cos φ,
y =2sin φ
(φ为参数),
所以可设点M 的坐标为(3cos φ,2sin φ). 由点到直线的距离公式,得到点M 到直线的距离为
d =
|3cos φ+4sin φ-10|5
=|5cos φ·35+sin φ·4
5
-10|
5
=
1
5
|5cos(φ-φ0)-10|, 其中φ0满足cos φ0=35,sin φ0=4
5.
由三角函数的性质知,
当φ-φ0=0时,d 取最小值 5. 此时,3cos φ=3cos φ0=9
5,
2sin φ=2sin φ0=8
5.
因此,当点M 位于(95,8
5
)时,
点M 到直线x +2y -10=0的距离取最小值 5.
3.已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2sin θ,直线l 的参数方程是 ?????
x =-3
5t +2,y =45t
(t 为参数).
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设直线 l 与x 轴的交点是M ,N 是曲线C 上一动点,求|MN |的最大值. 解:(1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2
=2ρsin θ, 又x 2
+y 2
=ρ2
,x =ρcos θ,y =ρsin θ, 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2
+y 2
-2y =0. (2)将直线l 的参数方程化为普通方程, 得y =-4
3(x -2),
令y =0得x =2, 即M 点的坐标为(2,0).
又曲线C 为圆,且圆心坐标为(0,1),半径r =1, 则|MC |= 5.
所以|MN |≤|MC |+r =5+1. 即|MN |的最大值为5+1.
4.已知圆M :???
?
?
x =1+cos θ,y =sin θ
(θ为参数)的圆心F
是抛物线E :???
?
?
x =2pt 2
,y =2pt
的
焦点,过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,求AF ·FB 的取值范围.
解:圆M :?
??
??
x =1+cos θ,
y =sin θ的普通方程是(x -1)2+y 2
=1,
所以F (1,0).
抛物线E :???
??
x =2pt 2
,
y =2pt
的普通方程是y 2
=2px ,
所以p
2
=1,p =2,抛物线的方程为y 2
=4x . 设过焦点F 的直线的参数方程为???
??
x =1+t cos θ
y =t sin θ
,(t 为参数),
代入y 2
=4x ,得
t 2sin 2θ-4t cos θ-4=0.
所以AF ·FB =|t 1t 2|=4
sin 2θ
.
因为0 θ≤1, 所以AF ·FB 的取值范围是[4,+∞). 5.(2012·厦门模拟)在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C 的参数方程为 ? ?? ?? x =2cos α,y =sin α(α为参数).以直角坐标系原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系,直线l 的极坐标方程为ρcos(θ-π 4 )=2 2. (1)求直线l 的直角坐标方程; (2)点P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 距离的最大值. 解:(1)ρcos(θ-π 4)=22化简ρcos θ+ρsin θ=4, ∴直线l 的直角坐标方程为x +y =4; (2)设点P 的坐标为(2cos α,sin α), 得P 到直线l 的距离d =|2cos α+sin α-4| 2 , 即d =|5sin α+φ-4|2,其中cos φ=15,sin φ=25. 当sin(α+φ)=-1时,d max =22+ 10 2 . 6.(2012·福建高考)在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程为x -y +4=0,曲线C 的参数方程为?? ? x =3cos αy =sin α (α为参数). (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为(4,π 2 ),判断点P 与直线l 的位置关系; (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值. 解: (1)把极坐标系下的点P (4,π 2 )化为直角坐标,得P (0,4). 因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x -y +4=0,所以点P 在直线l 上. (2)因为点Q 在曲线C 上,故可设点Q 的坐标为(3cos α,sin α),从而点Q 到直线 l 的距离为 d =|3cos α-sin α+4| 2=2cos α+π 6+4 2 =2cos(α+π 6 )+2 2. 由此得,当cos(α+π 6)=-1时,d 取得最小值,且最小值为 2. 7.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为??? ?? x =3-2 2 t ,y =5+2 2 t (t 为参数).在极 坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程为ρ=25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程; (2)设圆C 与直线l 交于点A ,B .若点P 的坐标为(3,5),求|PA |+|PB |. 解:(1)由ρ=25sin θ,得x 2 +y 2 -25y =0, 即x 2 +(y -5)2 =5. (2)法一:将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程, 得(3- 22t )2+(2 2 t )2=5, 即t 2-32t +4=0. 由于Δ=(32)2 -4×4=2>0,故可设t 1,t 2是上述方程的两实根, 所以?? ? t 1+t 2=32,t 1·t 2=4. 又直线l 过点P (3,5), 故由上式及t 的几何意义得|PA |+|PB |=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3 2. (2)法二:因为圆C 的圆心为(0,5),半径r =5, 直线l 的普通方程为:y =-x +3+ 5. 由?? ? x 2+y -52=5,y =-x +3+ 5.得x 2 -3x +2=0. 解得:?? ? x =1,y =2+ 5. 或 ?? ? x =2,y =1+ 5. 不妨设A (1,2+5),B (2,1+5), 又点P 的坐标为(3,5), 故|PA |+|PB |=8+2=3 2. 8.已知椭圆??? ?? x =4cos φ, y =5sin φ.(φ为参数)上相邻两个顶点为A 、C ,又B 、D 为椭圆上 两个动点,且分别在直线AC 的两侧,求四边形ABCD 面积的最大值. 解:设相邻两个顶点A (4,0)、C (0,5)、AC 所在直线方程为5x +4y -20=0. 又设B (4cos α,5sin α),D (4cos β,5sin β), 其中α∈(0,π2),β∈(π 2 ,2π).点B 到AC 距离 d 1= 2041 |cos α+sin α-1| = 20 41|2sin(α+π4)-1|≤20 41 (2-1) (当α=π 4时取等号). 点D 到AC 的距离 d 2= 20 41|2sin(β+π4)-1|≤2041 (2+1)(当α=5 4π时取等号). ∴所求S 四边形ABCD 的最大值为 12AC ·[2041(2-1)+20 41(2+1)]=20 2